Математика
6 класс
Урок № 76
Длина окружности. Площадь круга
Перечень рассматриваемых вопросов:
- окружность, круг и их элементы: радиус, диаметр, хорда;
- понятие длины окружности, площади круга;
- задачи на вычисление длины окружности и площади круга.
Тезаурус
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которую называют центром окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 – иррациональное число.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Окружность
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которая называется центром окружности.
Элементы окружности: центр, радиус, диаметр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Ещё в древности было установлено, что какой бы ни была окружность, отношение её длины к её диаметру является постоянным числом. Сейчас это число обозначают греческой буквой π. (читается – «пи»)
Как измерить дину окружности?
Можно взять сантиметровую ленту (если нет ленты, можно воспользоваться нитью или полоской бумаги).
Можно прокатить кольцо по ровной поверхности, сделав полный оборот.
Проверьте, верно ли, что отношение длины окружности к диаметру ≈ 3?
Возьмите несколько круглых предметов (тарелка, стакан, игрушечное колесо и др.).
Результаты измерений можно записать в таблицу в тетради.
Закон для более точного вычисления числа π очень сложен. В настоящее время значение π для точных расчётов в строительстве, авиационной или космической промышленности находят при помощи компьютера.
Вспомните, что π – это иррациональное число, которое выражается бесконечной непериодической дробью.
π = 3,141592653589793238…
При решении обычных задач используют приближенное значение
π ≈ 3,14
иногда используют π ≈ 3
Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр – буквой d, и запишем формулу:
Следовательно, справедливы формулы:
С = πd или С = 2πR
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
С помощью числа π вычисляют площадь круга.
S = πR2
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Впишите верный ответ.
Радиус круга равен 5 см. Найдите длину окружности С, площадь круга S.
Решение
С = 2πR = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 = 31,4 (см).
S = πR2 = 3,14 ∙ 52 = 3,14 ∙ 25 = 78,5 (см2).
Ответ: 31,4 см; 78,5 см.
Тип 2. Множественный выбор
Вычислите площади заштрихованных фигур (размер 1 клетки равен 1 см2).
Варианты ответов
34,24 см2
84,78 см2
50,24 см2
113,04 см2
Фигура 1
Из круга вырезали квадрат.
Sкруга = πR2 = 3,14 ∙ 42 = 3,14 ∙ 16 = 50,24 (см2).
Sквадрата = а2 = 42 = 16 (см2).
Sзаштрих = 50,24 – 16 = 34,24 (см2).
Фигура 2
Из круга вырезали круг.
S1 = πR2 = 3,14 ∙ 62 = 3,14 ∙ 36 = 113,04 (см2).
S2 = πR2 = 3,14 ∙ 32 = 3,14 ∙ 9 = 28,26 (см2).
Sзаштрих = 113,04 – 28,26 = 84,78 (см2).
Выбираем ответы: 34,24 см2 и 84,78 см2.
8 способов найти длину окружности
Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.
1. Как найти длину окружности через диаметр
Просто умножьте диаметр на число пи.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- d —диаметр окружности.
2. Как найти длину окружности через радиус
Умножьте число пи на два радиуса.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- r — радиус окружности.
3. Как вычислить длину окружности через площадь круга
Умножьте число пи на четыре площади круга.
Найдите корень из результата.
- O — искомая длина окружности.
- S – площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
4. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Умножьте число пи на диагональ.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- d – любая диагональ прямоугольника.
5. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Умножьте число пи на сторону квадрата.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- a – любая сторона квадрата.
6. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Перемножьте стороны треугольника.
Поделите результат на площадь и на два.
Умножьте полученное число на пи.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- S – площадь треугольника.
- a, b, c – стороны треугольника.
7. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Поделите площадь треугольника на его полупериметр.
Умножьте результат на число пи и на два.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- S – площадь треугольника.
- p – полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
8. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
Найдите синус полученного числа.
Разделите сторону многоугольника на результат.
Умножьте получившееся число на пи.
- O — искомая длина окружности.
- a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.
Читайте также 📐✏️🎓
- Как найти периметр прямоугольника
- 8 способов найти периметр треугольника
- 7 способов найти площадь прямоугольника
- Как перевести обычную дробь в десятичную
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
Как посчитать длину окружности
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как посчитать длину окружности
Чтобы посчитать длину окружности (круга) просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Для того чтобы определить длину окружности вам необходимо знать её радиус или диаметр, либо её площадь. Зная хотя бы один из этих параметров, введите его в соответствующие поле и получите результат в виде длины окружности (длины дуги в 360 градусов).
Как посчитать длину окружности зная диаметр
Какая длина у окружности если
её диаметр ?
Ответ:
0
Какова длина окружности (С) если её диаметр d?
Формула
С = π⋅d, где π ≈ 3.14
Пример
Если диаметр круга равен 1 см, то его длина примерно равна 3.14 см.
Как посчитать длину окружности зная радиус
Какая длина у окружности если
её радиус ?
Ответ:
0
Какова длина окружности (С) если её радиус r?
Формула
С = 2⋅π⋅r, где π ≈ 3.14
Пример
Если радиус круга равен 0.5 см, то его длина примерно равна 3.14 см.
Как посчитать длину окружности зная её площадь
Какая длина у окружности если
её площадь ?
Ответ:
0
Какова длина окружности (С) если её площадь S?
Формула
С = 2π⋅√S/π, где π ≈ 3.14
Пример
Если площадь круга равна 6 см2, то его длина примерно равна 8.68 см.
См. также
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие материалы
- 📢 Поделиться и комментировать
Что такое окружность?
Окружность – это замкнутая плоская кривая, ограничивающая круг.
Или, другими словами, окружность представляет собой множество точек, удаленных на одно и тоже расстояние от центра круга на длину радиуса этого круга. А длина окружности – это длина этой кривой, которую образует это множество точек и которая ограничивает собой круг. Это хорошо видно на иллюстрации выше.
Как найти длину окружности?
Чтобы вычислить длину окружности, нужно знать радиус, диаметр или площадь круга. Причём достаточно только чего-то одного из этих элементов.
По диаметру
Диаметр — это такой отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через центр круга. Чтобы найти длину окружности через диаметр, просто умножаем диаметр окружности на число Пи и получаем длину окружности.
Формула будет такой:
L = π × d
Где L – длина окружности, π – константа, равная примерно 3,14, а d – это диаметр.
Например, нам нужно посчитать периметр канализационной трубы диаметром 100 мм. Окружность этой трубы можно найти весьма несложными расчётами:
L = 3,14 × 100 = 314 мм.
Кстати, у труб есть 2 окружности и 2 диметра: внутренние и внешние. Это хорошо показано на рисунке ниже.
Всегда обращайте внимание, какой именно диаметр известен и какую длину окружности вам требуется вычислить. Часто внутренний диаметр обозначается малой d или D1, а наружный просто – D или DN.
Зная радиус
Радиус окружности — это отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Радиус равен половине диаметра, поэтому вычисление длины окружности будет похоже на предыдущий случай: умножаем радиус на два и на число пи и получаем длину окружности.
Формула расчёта выглядит следующим образом:
L = 2π × R
Где L – длина окружности, π – константа (приблизительно 3,14), а r – это радиус.
К примеру, нужно посчитать длину внутренней окружности трубы, с внутренним радиусом 26 мм. В этом случае периметр получается следующим образом:
L = 2 × 3,14 × 26 = 163,28 мм.
Также обратите внимание, что в число Пи взято с точностью до двух знаков после запятой, и всегда расчёт через Пи идёт с округлением и является приблизительным.
Через площадь круга
И, пожалуй, самым редким случаем калькуляции периметра круга будет тот, когда нам известна только площадь этого круга. В этом случае, чтобы рассчитать длину окружности, можно воспользоваться следующей формулой:
L = (4Sπ)1/2
Где L – длина окружности, S – площадь круга, а π – константа, равная 3,14.
То есть длина окружности равна квадратному корню произведения площади круга, числу пи, умноженному на четыре. На всякий случай, корень и степень ½ – это одно и то же.
Возьмём пример, к нам прилетели инопланетяне и оставили круги на полях.
Площадь одного из этих кругов составила аж 1146,5 квадратных метра. Чтобы рассчитать длину окружности, нужно сделать следующее:
- Умножить 4 на 3,14, и полученное произведение умножить на площадь круга 1146,5. Получаем 14400,04.
- И теперь находим квадратный корень из этого числа и получаем примерно 120 метров. Это и есть длина окружности.
Как и в прошлых случаях из-за наличия числа Пи, которое является иррациональным, ответ будет считаться с округлением.
❓Вопросы и ответы
И наконец, предлагаем вам прочитать ответы на некоторые часто задаваемые вопросы относительно вычисления длины окружности.
Что что имеет большее значение радиус, диаметр, длина окружности или площадь круга?
Площадь круга. А если выставить всё это по мере убывания, то рейтинг будет таким:
- Площадь круга
- Длина окружности
- Диаметр
- Радиус
Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?
У нас есть разные калькуляторы, в частности калькуляторы: диаметра, площади круга и длины окружности. Для последней калькулятор находится наверху данной страницы.
Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?
Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.
Хватит ли чего-то одного (диаметра, радиуса, площади) для расчёта длины окружности?
Да, хватит. Формулы и примеры расчетов периметра круга, в которых используется что-то одно из перечисленного, есть выше на данной странице.
Что такое внутренняя и внешняя окружность? Чем они отличаются?
Внутренняя и внешняя окружность (а также диаметр) чаще всего используются для расчёта параметров труб, у которых есть стенки ненулевой ширины. Поэтому окружность внутри трубы всегда меньше окружности снаружи. Для окружности снаружи используется обозначение L или LN, а диаметра – D или DN. А для периметра и диаметра круга внутри добавляется нижний индекс «единица»: L1 и D1, или используются буквы в нижнем регистре (малые): l и d.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
- Калькулятор длины дуги. Рассчитайте онлайн длину дуги окружности по радиусу и углу или по формуле Гюйгенса.
- Калькулятор объема трубы. Рассчитайте онлайн объем трубы в куб. м. или литрах в зависимости от диаметра и длины трубопровода.
- Калькулятор объема пирамиды. Рассчитайте объем пирамиды по высоте, площади основания или стороне основания. Основание может быть любой формы.
- Калькулятор объема и площади усеченного конуса. Рассчитайте онлайн объем и площадь поверхности усеченного конуса по его радиусам и высоте.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии
Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))
Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:
Есть окружность, а есть круг:
Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.
- Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
- Круг – это часть листа (плоскости).
Как отличить круг от окружности?
Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!
Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!
Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:
А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))
Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!
Значит, вот эти две формулы одинаковые.
Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!
Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:
Есть ещё формула площади круга:
Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))
Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.
Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))
Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ
А вот здесь – как учить стихи
P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…
