Угловые точки функции как найти по графику – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Точка излома или угловая точка — особая точка кривой^[1], обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные^[2]^[3]. Функция не является гладкой в данной точке.

Говорят, что функция имеет точку излома, если график функции имеет точку излома. Функция имеет точку излома, если она имеет правую и левую производные, которые различны между собой, то есть, выполняется неравенство ${displaystyle lim _{xto x_{0}^{-}}f^{'}(x)neq lim _{xto x_{0}^{+}}f^{'}(x)}$ и хотя бы один из них конечен (правый или левый предел не стремится к ${displaystyle pm infty }$ ).

Точкой излома функции $y=f(x)$ является критическая точка первого рода в которой производная функции терпит разрыв (за исключением случая бесконечных односторонних производных одного знака)^[4], то есть правая и левая производные не совпадают^[2]. Точка излома нередко является точкой локального экстремума, в том случае если производные слева и справа имеют разный знак^[4].

Пример: функции $y=|x|$ [править | править код]

Функция $y=|x|$ является непрерывной в точке (0,0). Производная равна ${displaystyle y'=sgn(x)}$ , которая терпит разрыв в точке (0,0).
${displaystyle f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1}$ — правая и левая производные не совпадают. Таким образом точка (0,0) является точкой излома функции.

Функции $y=|x|$

Примечания[править | править код]

↑ Угловая точка // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ ¹ ² А. Б. Иванов И. М. Виноградов. Излома точка // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия. — М., 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
↑ А. В. Иванов И. М. Виноградов. Особая точка // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия. — М., 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
↑ ¹ ² Иванов В. И., Васин С. И. Методические указания к изучению темы «Исследование функции». — М.: Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина, 2010. — 35 с.

См. также[править | править код]

Касп
Дифференцируемая функция

Источник

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Если (y=kx+b) — уравнение касательной к кривой (f(x)), то

[{large{k=f'(x_o),}}] где (x_o) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Задание
8

#3989

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y=f'(x)) – производной функции (f(x)), определенной на интервале ((-3;5)). Найдите абсциссу точки касания графика функции (y=f(x)) и прямой, параллельной прямой (y=x) или совпадающей с ней.

Если касательная параллельна прямой (y=x), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой (y=x), следовательно, (k=1). Так как (f'(x_0)=k=1), где (x_0) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти абсциссу точки, в которой (f'(x_0)=1), то есть ордината равна (1). Следовательно, это (x_0=-2) (заметим, что в точке (x=-3) производная не определена, так как в условии задачи сказано, что она определена на интервале ((-3;5)):

Ответ:

-2

Задание
9

#3987

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y=f'(x)) – производной функции (f(x)), определенной на интервале ((-3;5)). Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции (y=f(x)) в точке с абсциссой (1).

Из условия следует, что (x_0=1) – абсцисса точки касания. Следовательно, так как касательная проведена к графику (f(x)), то нужно найти (f'(1)).
Так как на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти точку, у которой абсцисса равна (1), и определить ее ординату. Из рисунка видно, что такая точка одна и ее ордината равна (5):

Ответ:

Задание
10

#3986

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y=f'(x)) – производной функции (f(x)), определенной на интервале ((-2; 3)). Найдите абсциссу точки, принадлежащую отрезку ([-1;2]), в которой касательная к графику функции (f(x)) параллельна прямой (y=3x+1) или совпадает с ней.

Если касательная параллельна прямой (y=3x+1), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой (y=3x+1), следовательно, (k=3). Так как (f'(x_0)=k=3), где (x_0) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти абсциссу точки, в которой (f'(x_0)=3), то есть ордината равна (3). Также нужно учесть, что эта точка должна быть из отрезка ([-1;2]). Следовательно, это (x_0=1):

Ответ:

Задание
11

#3985

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y=f'(x)) – производной функции (f(x)), определенной на интервале ((-3; 8)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции (f(x)) параллельна прямой (y=2x-19) или совпадает с ней.

Если касательная параллельна прямой (y=2x-19), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой (y=2x-19), следовательно, (k=2). Так как (f'(x_0)=k=2), где (x_0) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество таких точек, в которых (f'(x_0)=2), то есть ордината равна (2). Таких точек 4:

Ответ:

Задание
12

#3984

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции (y=f(x)), определенной на интервале ((-3,1; 8,15)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции (f(x)) параллельна прямой (y=12).

Если касательная параллельна прямой (y=12), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой (y=12), то есть (k=0) (касательная горизонтальна). Так как (f'(x_0)=k=0), где (x_0) – точка касания, и на рисунке изображен график функции, то на графике (f(x)) нужно найти точки, в которых (f'(x)=0). Это точки экстремума: их 7 штук.

Ответ:

Задание
13

#3990

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На рисунке изображен график (y=f'(x)) – производной функции (f(x)), определенной на интервале ((-4;7)). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции (y=f(x)) перпендикулярна прямой (y=-0,5x+3).

Если касательная перпендикулярна прямой (y=-0,5x+3), то их угловые коэффициенты (k_1) и (k_2) связаны соотношением: (k_1cdot k_2=-1). Следовательно, если (k_2=-0,5), то (k_1=2). Так как (f'(x_0)=k_1=2), где (x_0) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество точек, в которых (f'(x_0)=2), то есть ордината равна (2). Таких точек три:

Ответ:

Задание
14

#705

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением (y = kx – 23) , касается графика функции (f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))). Найдите (k), если (f'(x_0) = 7).

Производная функции (f(x)) в точке (x_0) равна угловому коэффициенту (a) касательной (y = ax + b) в точке ((x_0; f(x_0))).

Таким образом, [k = f'(x_0),] тогда (k = 7).

Ответ: 7

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Онлайн калькулятор поможет вычислить координаты угловых точек (точек излома).
Точка излома или угловая точка — особая точка кривой, обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные. Функция не является гладкой в данной точке.

Синтаксис
основных функций:
x^a: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
ⁿ√x: x^(1/n)
a^x: a^x
log^ax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция “И” ∧: &&
дизъюнкция “ИЛИ” ∨: ||
отрицание “НЕ” ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo

Источник

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Определение 1

Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

Определения и понятия

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

Определения и понятия

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) – это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

Определения и понятия

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Пример 1

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Определения и понятия

Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Определения и понятия

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Определение 6

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Геометрический смысл производной функции в точке

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Пример 2

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.

Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что

y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33

Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33

Отсюда следует, что αx=arctg33=π6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Уравнение касательной прямой

Пример 3

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45

Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).

Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.

Для наглядности изобразим графически.

Уравнение касательной прямой

Пример 4

Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где

Касательная не существует;
Касательная располагается параллельно ох;
Касательная параллельна прямой y=85x+4.

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что

y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)

Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3

Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что

y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.

Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.

Решим:

-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43

Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Уравнение касательной прямой

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83

Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.

Уравнение касательной прямой

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Пример 5

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

Получаем, что

y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk

32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk

x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z

Z- множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

y0=3cos32x0-π4-13

y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13

y0=3·1–192-13 или y0=3·-1–192-13

y0=45-13 или y0=-45+13

Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.

Уравнение касательной прямой

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Пример 6

Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5

Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что

x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид

y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид

y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Пример 7

Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

Получаем, что

y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3

Наглядно изображается так:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Пример 8

Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Получаем:

kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34

Имеем, что точки касания – 234; -5+34.

Ответ: уравнение касательной принимает вид

y=-13·x-234+-5+34

Графически изобразим это таким образом:

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Источник

Загрузить PDF

Угловой коэффициент характеризует угол наклона прямой к оси абсцисс (угловой коэффициент численно равен тангенсу этого угла). Угловой коэффициент присутствует в уравнении прямой и используется в математическом анализе кривых, где всегда равен производной функции. Для облегчения понимания углового коэффициента представьте, что он влияет на скорость изменения функции, то есть чем больше значение углового коэффициента, тем больше значение функции (при одном и том же значении независимой переменной).

1

Используйте угловой коэффициент для нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс и направления этой прямой. Вычислить угловой коэффициент довольно легко, если вам дано уравнение прямой. Запомните, что в любом уравнении прямой:
2

Для нахождения углового коэффициента необходимо найти значение k (коэффициент при «х»). Если данное вам уравнение имеет вид $y=kx+b$ , то для нахождения углового коэффициента вам нужно просто посмотреть на число, стоящее перед «х». Обратите внимание, что k (угловой коэффициент) всегда находится при независимой переменной (в данном случае «х»). Если вы запутались, просмотрите следующие примеры:
3

Если данное вам уравнение имеет вид, отличный от $y=kx+b$ , обособьте зависимую переменную. В большинстве случаев зависимая переменная обозначается как «у», а для ее обособления можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и другие. Помните, что любая математическая операция должна быть выполнена на обеих сторонах уравнения (чтобы не менять его исходного значения). Вам необходимо привести любое данное вам уравнение к виду $y=kx+b$ . Рассмотрим пример:

Реклама

1
Для вычисления углового коэффициента воспользуйтесь графиком и двумя точками. Если вам дан просто график функции (без уравнения), вы все еще можете найти угловой коэффициент. Для этого вам понадобятся координаты любых двух точек, лежащих на этом графике; координаты подставляются в формулу: ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Чтобы избежать ошибок при вычислении углового коэффициента, запомните следующее:
- Если график возрастает, то угловой коэффициент имеет положительное значение.
- Если график убывает, то угловой коэффициент имеет отрицательное значение.
- Чем больше значение углового коэффициента, тем круче график (и наоборот).
- Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, равен 0.
- Угловой коэффициент прямой, параллельной оси ординат, не существует (он бесконечен).^[4]
2
Найдите координаты двух точек. На графике отметьте любые две точки и найдите их координаты (х,у). Например, на графике лежат точки А(2,4) и В(6,6).^[5]
- В паре координат первое число соответствует «х», а второе – «у».
- Каждому значению «х» соответствует определенное значение «у».
3
Приравняйте x₁, y₁, x₂, y₂ к соответствующим значениям. В нашем примере с точками А(2,4) и В(6,6):
- x₁: 2
- y₁: 4
- x₂: 6
- y₂: 6^[6]
4

Подставьте найденные значения в формулу для вычисления углового коэффициента. Чтобы найти угловой коэффициент, используются координаты двух точек и следующая формула: ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Подставьте в нее координаты двух точек.
5

Объяснение сути формулы. Угловой коэффициент равен отношению изменения координаты «у» (двух точек) к изменению координаты «х» (двух точек). Изменение координаты – это разность между значениями соответствующей координаты первой и второй точек.
6

Другой вид формулы для вычисления углового коэффициента. Стандартная формула для вычисления углового коэффициента: k = ${frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ . Но она может иметь следующий вид: k = Δy/Δx, где Δ – это греческая буква «дельта», обозначающая в математике разность. То есть, Δx = x_2 – x_1, а Δy = y_2 – y_1.^[8]

Реклама

1
Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.
- Прочитайте статью Как брать производную.
- Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано этой статье. Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
2

Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.
3
Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции $f(x)=2x^{2}+6x$ . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:
- Производная: $f'(x)=4x+6$
4

В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f'(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:
5
Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.
- Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).
Реклама