Как найти логарифм частного – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Действия с логарифмами могут показаться довольно сложными, но, как и со степенными функциями или многочленами, необходимо просто знать основные правила. Их совсем немного: чтобы поделить логарифмы с одинаковым основанием или разложить логарифм частного, достаточно использовать пару основных свойств логарифмов.

1

Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида ${frac {log _{{b}}(x)}{log _{{b}}(a)}}$ . Однако он не годится для некоторых особых случаев:^[1]
2

Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: ${frac {log _{{b}}(x)}{log _{{b}}(a)}}=log _{{a}}(x)$ .
3

При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти $log _{{a}}(x)$ , представьте себе выражение “ $a^{{?}}=x$ “, то есть задайтесь следующим вопросом: “В какую степень необходимо возвести a, чтобы получить x?”. Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
4

Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:

Реклама

1
Рассмотрим случай, когда под знаком логарифма стоит частное (дробь). Данный раздел посвящен выражениям вида $log _{{a}}({frac {x}{y}})$ .
- Предположим, необходимо решить следующее задание:
  “Найдите n, при котором $log _{{3}}({frac {27}{6n}})=-6-log _{{3}}(6)$ “.
2
Проверьте, нет ли под знаком логарифма отрицательных чисел. Логарифм отрицательного числа не определен. Если x или y отрицательны, убедитесь в том, что задача имеет решение, прежде чем приступать к его поиску:
- Если x или y меньше нуля, задача не имеет решения.
- Если оба числа x и y отрицательны, сократите знак минус: ${frac {-x}{-y}}={frac {x}{y}}$ .
- В приведенном выше примере под знаком логарифма нет отрицательных чисел, поэтому можно перейти к следующему шагу.
3

Разложите логарифм частного на два логарифма. Еще одно полезное свойство логарифмов описывается следующей формулой: $log _{{a}}({frac {x}{y}})=log _{{a}}(x)-log _{{a}}(y)$ . Иными словами, логарифм частного всегда равен разности логарифмов делимого и делителя.^[2]
4

По возможности упростите выражение. Если получившиеся логарифмы представляются целыми числами, можно упростить выражение.
5

Отделим неизвестную величину. Как и при решении других алгебраических уравнений, рекомендуется перенести искомую величину в одну сторону, а все остальные члены — в другую сторону уравнения. При этом объединяйте подобные члены, чтобы упростить уравнение.
6

При необходимости используйте другие свойства логарифмов. В нашем случае неизвестная величина стоит под знаком логарифма. Чтобы отделить ее от других членов, следует использовать другие свойства логарифмов.
7

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 21 835 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Логарифм частного

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Логарифм частного

Логарифм частного двух чисел $х$ и $у$ представляет собой разность логарифмов этих чисел при условии, что $a, x, y$ – положительные числа и $a ne 1$:

$log_{a}frac{x}{y}=log_{a}⁡x-log_{a}⁡y$.

Докажем данную теорему:

Возьмем два положительных числа $х$ и $у$. Примем $log_{a}⁡x=k$, $log_{a}⁡y=l$. Тогда $x=a^k$ и $y=a^l$. Найдем их частное:

$frac{x}{y}=frac{a^k}{a^l} =a^{k-l}$.

Из выражения $frac{x}{y}=frac{a^k}{a^l} =a^{k-l}$ получим $k-l=log_{a}frac{x}{y}$.

Т.к. $k=log_{a}⁡x$, $l=log_{a}⁡y$, то $log_{a}frac{x}{y}=log_{a}⁡x-log_{a}⁡y$.

Формула логарифма частного применяется для упрощения вычисления логарифмов.

Пример 1

$log_{11}frac{8}{13}=log_{11}⁡8-log_{11}⁡13$;

$log_{9}frac{1}{sqrt[3]{2}}=log_{9}⁡1-log_{9}sqrt[3]{2}=0-log_{9}sqrt[3]{2}=-log_{9}sqrt[3]{2}$;

$log_{9}frac{9}{x}=log_{9}⁡9-log_{9}⁡x=1-log_{9}⁡x$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Замечание 1

Логарифм частного применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.

Пример 2

Вычислить $log_{13}frac{13}{sqrt[3]{13}}$.

Решение.

Применим свойство логарифма частного:

$log_{13}frac{13}{sqrt[3]{13}}=log_{13}⁡13-log_{13}sqrt[3]{13}=$

к первому логарифму применим свойство $log_{a}⁡a=1$, а во втором логарифме запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $13$ в определенной степени:

$=1-log_{13}13^{frac{1}{3}}=1-frac{1}{3} log_{13}13=1-frac{1}{3} cdot 1=frac{2}{3}$.

Ответ: $log_{13}frac{13}{sqrt[3]{13}}=frac{2}{3}$.

Пример 3

Вычислить $log_{4}frac{4}{n}$, если известно, что $log_{4}⁡n=18$.

Решение.

Применим формулу логарифма частного:

$log_{4}frac{4}{n}=log_{4}⁡4-log_{4}⁡n=1-18=-17$.

Ответ: $log_{4}frac{4}{n}=-17$.

«Логарифм частного» 👇

Разница логарифмов

Верным будет и обратное определение:

Теорема 2

Разницу логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма частного подлогарифмических выражений:

$log_{a}⁡x-log_{a}⁡y=log_{a}frac{x}{y}$

при положительных $a, x, y$, $a ne 1$.

Пример 4

Упростить выражение $log_{11}⁡8-log_{11}⁡20$.

Решение.

Применим определение разности логарифмов:

$log_{11}⁡8-log_{11}⁡20=log_{11}frac{8}{20}=log_{11}frac{2}{5}=log_{11}⁡0,4$.

Ответ: $log_{11}⁡8-log_{11}⁡20=log_{11}⁡0,4$.

Пример 5

Упростить выражение $log_{15}⁡6750-log_{15}⁡2$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$log_{15}⁡6750-log_{15}⁡2=log_{15}frac{6750}{2}=log_{15}⁡3375=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $15$ в определенной степени:

$=log_{15}15^3=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=3 log_{15}⁡15=$

воспользуемся свойством $log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=3 cdot 1=3$.

Ответ: $log_{15}⁡6750-log_{15}⁡2=3$.

Пример 6

Упростить выражение $log_{3}⁡54-log_{3}⁡2$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$log_{3}⁡54-log_{3}⁡2=log_{3}frac{54}{2}=log_{3}⁡27=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $3$ в определенной степени:

$=log_{3}3^3=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=3 log_{3}⁡3=$

воспользуемся свойством $log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=3 cdot 1=3$.

Ответ: $log_{3}⁡54-log_{3}⁡2=3$.

Пример 7

Упростить выражение $log_{4}⁡192-log_{4}⁡3$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$log_{4}⁡192-log_{4}⁡3=log_{4}frac{192}{3}=log_{4}⁡64=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $4$ в определенной степени:

$=log_{4}4^3=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=3 log_{4}⁡4=$

воспользуемся свойством $log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=3 cdot 1=3$.

Ответ: $log_{4}⁡192-log_{4}⁡3=3$.

Пример 8

Упростить выражение $log_{7}⁡147-log_{7}⁡3$.

Решение.

По формуле разности логарифмов:

$log_{7}⁡147-log_{7}⁡3=log_{7}frac{147}{3}=log_{7}⁡49=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $7$ в определенной степени:

$=log_{7}7^2=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=2 log_{7}⁡7=$

воспользуемся свойством $log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=2 cdot 1=2$.

Ответ: $log_{7}⁡147-log_{7}⁡3=2$.

Пример 9

Упростить выражение $log_{1,5}⁡50,625-log_{1,5}⁡10$.

Решение.

Согласно формуле разности логарифмов:

$log_{1,5}⁡50,625-log_{1,5}⁡10=log_{1,5}frac{50,625}{10}=log_{1,5}⁡5,0625=$

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $1,5$ в определенной степени:

$=log_{1,5}1,5^4=$

теперь можем применить свойство логарифма степени:

$=4 log_{1,5}⁡1,5=$

воспользуемся свойством $log_{a}⁡a=1$ и получим:

$=4 cdot 1=4$.

Ответ: $log_{1,5}⁡50,625-log_{1,5}⁡10=4$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.07.2022

Источник

Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.

Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.

Алгебраические тождества[править | править код]

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[1]:

$a^{log _{a}b}=b$

Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

${displaystyle log _{a}1=0}$

${displaystyle log _{a}a=1}$

${displaystyle log _{a}a^{b}=b}$

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня[править | править код]

Сводка тождеств^[2]:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	${displaystyle log _{a}(xy)=log _{a}(x)+log _{a}(y)}$	${displaystyle log _{3}(243)=log _{3}(9cdot 27)=log _{3}(9)+log _{3}(27)=2+3=5}$
Частное от деления	${displaystyle log _{a}!left({frac {x}{y}}right)=log _{a}(x)-log _{a}(y)}$	$lg left({frac {1}{1000}}right)=lg(1)-lg(1000)=0-3=-3$
Степень	${displaystyle log _{a}(x^{p})=plog _{a}(x)}$	${displaystyle log _{2}(64)=log _{2}(2^{6})=6log _{2}(2)=6}$	Доказательство ${displaystyle log _{a}{x^{p}}=y}$ ${displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${displaystyle a^{frac {y}{p}}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}={frac {y}{p}}}$ ${displaystyle pcdot log_{a}{x}=y}$
Степень в основании	${displaystyle log _{(a^{p})}(x)={frac {1}{p}}log _{a}(x)={frac {log _{a}(x)}{p}}}$	${displaystyle log _{2^{10}}{sin {({frac {pi }{6}})}}={frac {log _{2}{frac {1}{2}}}{10}}=-{frac {1}{10}}=-0.1}$	Доказательство ${displaystyle log _{a^{p}}{x}=y}$ ${displaystyle a^{ycdot p}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}=pcdot y}$ ${displaystyle {frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень	${displaystyle log _{a}{sqrt[{p}]{(x)}}={frac {1}{p}}log _{a}(x)={frac {log _{a}(x)}{p}}}$	$lg {sqrt {1000}}={frac {1}{2}}lg 1000={frac {3}{2}}=1.5$	Доказательство ${displaystyle log _{a}{sqrt[{p}]{x}}=y}$ ${displaystyle a^{y}={sqrt[{p}]{x}}}$ ${displaystyle a^{pcdot y}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}=pcdot y}$ ${displaystyle {frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень в основании	${displaystyle log _{sqrt[{p}]{a}}(x)=plog _{a}(x)}$	${displaystyle log _{sqrt {pi }}{(4cdot arctan {1})}=2cdot log _{pi }{(4cdot {frac {pi }{4}})}=2cdot log _{pi }{(pi )}=2}$	Доказательство ${displaystyle log _{sqrt[{p}]{a}}{x}=y}$ ${displaystyle a^{frac {y}{p}}=x}$ ${displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${displaystyle a^{frac {y}{p}}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}={frac {y}{p}}}$ ${displaystyle pcdot log_{a}{x}=y}$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

$log _{a}|xy|=log _{a}|x|+log _{a}|y|$

$log _{a}!left|{frac {x}{y}}right|=log _{a}|x|-log _{a}|y|$

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

$log _{a}(x_{1}x_{2}dots x_{n})=log _{a}(x_{1})+log _{a}(x_{2})+dots +log _{a}(x_{n})$

$log _{a}|x_{1}x_{2}dots x_{n}|=log _{a}|x_{1}|+log _{a}|x_{2}|+dots +log _{a}|x_{n}|$

Логарифм суммы и разности[править | править код]

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

${displaystyle log _{a}(b+c)=log _{a}b+log _{a}left(1+{frac {c}{b}}right)}$

${displaystyle log _{a}(b-c)=log _{a}b+log _{a}left(1-{frac {c}{b}}right),quad }$ здесь $b>c$

Обобщение:

${displaystyle log _{a}sum limits _{k=1}^{N}b_{k}=log _{a}b_{1}+log _{a}left(1+sum limits _{k=2}^{N}{frac {b_{k}}{b_{1}}}right)=log _{a}b_{1}+log _{a}left(1+sum limits _{k=2}^{N}a^{left(log _{a}b_{k}-log _{a}b_{1}right)}right)}$

Замена основания логарифма[править | править код]

Логарифм $log _{a}b$ по основанию $a$ можно преобразовать^[3] в логарифм по другому основанию $c$ :

$log _{a}b={frac {log _{c}b}{log _{c}a}}$

Следствие (при $b=c$ ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

$log _{a}b={frac {1}{log _{b}a}}$

Другие тождества[править | править код]

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

${log _{a^{q}}{b}}^{p}={frac {p}{q}}log _{a}{b}$

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание $a^{q}$ на $a$ по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

$log _{a^{k}}b={frac {1}{k}}log _{a}b;quad log _{sqrt[{n}]{a}}b=nlog _{a}b;quad log _{a^{k}}b^{k}=log _{a}b$

Ещё одно полезное тождество:

$c^{log _{a}b}=b^{log _{a}c}$

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию $a$ совпадают (равны ${displaystyle log _{a}bcdot log _{a}c}$ ), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию $d,$ получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

${displaystyle log _{a}bcdot log _{d}c=log _{d}bcdot log _{a}c}$

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

${displaystyle log _{a}xcdot log _{b}ycdot log _{c}zcdot log _{d}w=log _{b}xcdot log _{d}ycdot log _{c}zcdot log _{a}w}$

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

${displaystyle x^{frac {log _{a}b}{log _{a}x}}=b}$

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию $x.$

${displaystyle log _{xy}a={frac {1}{{frac {1}{log _{x}a}}+{frac {1}{log _{y}a}}}}}$

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

${displaystyle {frac {1}{log _{x}a}}=log _{a}x;quad {frac {1}{log _{y}a}}=log _{a}y;quad {frac {1}{log _{a}(xy)}}=log _{xy}a}$

Аналитические тождества[править | править код]

Предельные соотношения[править | править код]

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами^[4]:

$lim _{xto 0}{frac {log _{a}(1+x)}{x}}=log _{a}e={frac {1}{ln a}}$

$lim _{xto 0^{+}}x^{b}log _{a}x=0quad (b>0)$

$lim _{xto infty }{frac {log _{a}x}{x^{b}}}=0quad (b>0)$

$ln x=lim _{nto infty }nleft({sqrt[{n}]{x}}-1right)=lim _{nto infty }nleft(1-{frac {1}{sqrt[{n}]{x}}}right)$

$ln x=lim _{hto 0}{frac {x^{h}-1}{h}}$

Производная и интеграл[править | править код]

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

${displaystyle {d over dx}ln x={1 over x},}$

${displaystyle {d over dx}log _{a}x={1 over xln a}={log _{a}e over x}}$

Определение логарифма через определённый интеграл:

${displaystyle ln x=int _{1}^{x}{frac {1}{t}}dt}$

Первообразная для логарифма:

${displaystyle int log _{a}x,dx=x(log _{a}x-log _{a}e)+C}$

${displaystyle int ln x,dx=x(ln x-1)+C}$

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим ${displaystyle H_{n} n-}$ е по порядку гармоническое число:

${displaystyle H_{n}={frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+dots +{frac {1}{n}}}$

Далее обозначим:

${displaystyle x^{left[0right]}=ln x}$

${displaystyle x^{left[nright]}=x^{n}(ln x-H_{n});quad }$ ( ${displaystyle n=1,2,3dots }$ )

Мы получаем последовательность функций:

${displaystyle x^{left[1right]}=xln x-x}$

${displaystyle x^{left[2right]}=x^{2}ln x-{begin{matrix}{frac {3}{2}}end{matrix}},x^{2}}$

${displaystyle x^{left[3right]}=x^{3}ln x-{begin{matrix}{frac {11}{6}}end{matrix}},x^{3}}$

и т. д. Тогда имеют место тождества:

${displaystyle {frac {d}{dx}},x^{left[nright]}=n,x^{left[n-1right]};quad }$ ( ${displaystyle n=1,2,3dots }$ )

${displaystyle int x^{left[nright]},dx={frac {x^{left[n+1right]}}{n+1}}+C;quad }$ ( ${displaystyle n=0,1,2,3dots }$ )

Примечания[править | править код]

↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
Шахмейстер А. Х. Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей. — изд. 5-е. — СПб.: МЦНМО, 2016. — 288 с. — ISBN 978-5-4439-0648-5.

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Logarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Источник

Что такое логарифм частного

Определение

Логарифм b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Записывается так: (x=log_aleft(bright)), причем основание a должно быть положительным и не равняться единице. Подставив данное выражение в формулу степенной функции (a^x=b) можно получить основное логарифмическое тождество:

(a^{log_aleft(bright)}=b)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В логарифме частного в качестве числа b выступает дробное выражение. Благодаря его свойствам, такая запись при решении преобразуется в более простую.

Формула для вычисления

Определение

Логарифм частного равняется разности логарифмов делимого и делителя:

(log_aleft(frac xyright)=log_aleft(xright)-log_aleft(yright))

Причем (x>0;)и(;y>0.)

Данное преобразование в равной степени справедливо и в обратном порядке:

(log_aleft(xright)-log_aleft(yright)=log_aleft(frac xyright),) где (a>0,;aneq1,;x>0;)и(;y>0.)

В целом, под понятие «логарифм частного» подпадают и выражения, в которых делимое равняется единице. Для их решения проводить преобразование в разность не обязательно, так как (frac1{x^y}=x^{-y},) то есть:

(log_xleft(frac1{x^y}right)=-y)

Стоит отметить, что подобное превращение одного арифметического действия в другое наблюдается и с другими вариантами логарифмируемых выражений. Так, произведение переходит в сумму, а степень выносится вперед в качестве множителя. Последнее касается и основания, по которому проводится операция. В этом случае за пределы выносится число, обратное степени.

Примеры

(log_{a^5}left(bright)=frac15log_aleft(bright))

(log_aleft(sqrt[3]bright)=frac13log_aleft(bright))

(log_sqrt[7]aleft(bright)=7cdotlog_aleft(bright))

Разность логарифмов

Так как результатом логарифмирования является число, то и действия с ними производятся как с числами.

Если при решении функции возникает необходимость преобразования логарифма частного в разность и наоборот, обязательно стоит учитывать области допустимых значений всех элементов функции.

Примеры задач и решения

Задача 1

Вычислить логарифм (log_3left(frac{sqrt{27}}{81}right))

Решение

Проведем преобразование логарифма частного в разность логарифмов:

(log_3left(frac{sqrt{27}}{81}right)=log_3left(sqrt{27}right)-log_3left(81right))

Квадратный корень из 27 не извлекается, но, так как 27=3³, данное выражение можно записать в виде дробной степени:

(log_3left(sqrt{27}right)-log_3left(81right)=log_3left(sqrt{3^3}right)-log_3left(81right)=log_3left(3^{textstylefrac32}right)-log_3left(81right))

Вычисляем полученные логарифмы:

(log_3left(3^{textstylefrac32}right)-log_3left(81right)=frac32-4=frac32-frac82=frac52=2,5)

Ответ: (log_3left(frac{sqrt{27}}{81}right)=2,5.)

Задача 2

Вычислить значение функции (y=log_xleft(frac{sqrt[3]{x^2}}{x^4}right).)

Решение

Преобразуем логарифм частного в разность:

(y=log_{x^2}left(frac{sqrt[3]{x^2}}{x^4}right)=log_{x^2}left(sqrt[3]{x^2}right)-log_{x^2}left(x^4right))

Как и в прошлом примере, выразим корень в виде дробного выражения:

(log_{x^2}left(sqrt[3]{x^2}right)-log_{x^2}left(x^4right)=log_{x^2}left(x^{textstylefrac23}right)-log_{x^2}left(x^4right))

Одно из свойств логарифма гласит, что

(log_{a^q}left(b^pright)=frac pqcdotlog_aleft(bright))

Применим это правило для решения задачи:

(log_{x^2}left(x^{textstylefrac23}right)-log_{x^2}left(x^4right)=left(frac{displaystylefrac23}2right)cdotlog_xleft(xright)-frac42cdotlog_xleft(xright))

Так как логарифм некоего числа по основанию этого же числа равняется единице, два элемента (log_xleft(xright)) выпадают из вычислений. Остается лишь вычислить выражение с дробными множителями:

(left(frac{displaystylefrac23}2right)-frac42=frac23cdotfrac12-2=frac26-2=frac13-2=frac13-frac63=-frac53)

Ответ: (y=-frac53.)

Источник

Определение

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

$log _{a} frac{b}{c}=log _{a} b-log _{a} c, b c>0$

Пример

Задание. Известно, что $log _{5} 2=a$,
а $log _{5} 3=b$. Выразить
$log _{5} frac{2}{3}$ через
$a$ и $b$.

Решение. $log _{5} frac{2}{3}=log _{5} 2-log _{5} 3=a-b$

Верно и обратное утверждение:

Определение

Разность логарифмов равна логарифму частного подлогарифмических выражений.

$log _{a} b-log _{a} c=log _{a} frac{b}{c}, b, c>0$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить значение выражения $log _{5} 10-log _{5} 2$

Решение. $log _{5} 10-log _{5} 2=log _{5} frac{10}{2}=log _{5} 5=1$

Читать дальше: логарифм степени.

Источник

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Логарифм частного

Логарифм частного

Разница логарифмов

Алгебраические тождества[править | править код]

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня[править | править код]

Логарифм суммы и разности[править | править код]

Замена основания логарифма[править | править код]

Другие тождества[править | править код]

Аналитические тождества[править | править код]

Предельные соотношения[править | править код]

Производная и интеграл[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Что такое логарифм частного

Формула для вычисления

Разность логарифмов

Примеры задач и решения

Вам также может понравиться

Как найти коллектора который угрожает по телефону

Что такое амплитуда в географии как найти

Жесткий диск формат raw как исправить без потери данных

Добавить комментарий Отменить ответ