В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Обыкновенные дроби состоят из числителя – верхней части, и знаменателя – нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 1114, 1714, 914 имеют одинаковый знаменатель 14. Другими словами, они приведены к общему знаменателю.
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Очевидно, что дроби 45 и 34 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 45 на 4, а числитель и знаменатель дроби 34 умножим на 5. Вместо дробей 45 и 34 получим соответственно 1620 и 1520.
Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель дробей – это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 16 и 35. Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5. Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.
Рассмотрим пример.
Можно ди дроби 13, 216, 512 привести к общему знаменателю, который равен 150?
Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3, 6, 12. Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3, 6, 12. Проверим:
150÷3=50, 150÷6=25, 150÷12=12,5
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель дробей – это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.
Наименьший общий делитель данного набора чисел – это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 110 и 12728.
Ищем НОК чисел 10 и 28. Разложим их на простые множители и получим:
10=2·528=2·2·7НОК(15, 28)=2·2·5·7=140
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
- Найти наименьший общий знаменатель дробей.
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Есть дроби 314 и 518. Приведем их к наименьшему общему знаменателю.
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
14=2·718=2·3·3НОК(14, 18)=2·3·3·7=126
Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 314 дополнительный множитель находится как 126÷14=9, а для дроби 518 дополнительный множитель будет равен 126÷18=7.
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
3·914·9=27126, 5·718·7=35126.
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Привести дроби 32, 56,38 и 1718 к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
НОК(2, 6)=6НОК(6, 8)=24НОК(24, 18)=72НОК(2, 6, 8, 18)=72
Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.
Для 32 дополнительный множитель равен 72÷2= 36, для 56 дополнительный множитель равен 72÷6= 12, для 38 дополнительный множитель равен 72÷8= 9, наконец, для 1718 дополнительный множитель равен 72÷18= 4.
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
32·36=1087256·12=607238·9=27721718·4=6872
Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Цикл статей “Дроби”
Первая часть Вторая часть Третья часть Четвертая часть Пятая часть
Здравствуйте, уважаемые читатели!
Отмечу, что в одних учебниках материал этой статьи рассматривается в 5-ом классе, в других — в 6-ом. Прежде чем продолжить чтение этой статьи, предлагаю Вам познакомиться с пятой статьёй цикла «Признаки делимости чисел: где мы их применяем в жизни», автор которой #ирина_чудневцева любезно предоставила её в наше с Вами распоряжение.
Нахождение Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) двух чисел служит для преобразований обыкновенных дробей при их сокращениях или для приведения к общему знаменателю при сложении и вычитании.
При наличии достаточного опыта эти преобразования во многих случаях производятся «в уме» и довольно быстро приводят к нужному результату.
Однако так бывает далеко не всегда. При достаточно больших значениях как числителя, так и знаменателя сделать устно подобные преобразования достаточно затруднительно.
В таких случаях необходимо каждое из этих чисел разложить на простые множители. Именно при выполнении этой операции нам на помощь приходят признаки делимости.
Давайте подробно рассмотрим операцию сокращения дроби
Запишем раскладываемое на простые множители число и справа от него проведём вертикальную черту, за которой запишем возможно наименьший простой делитель этого числа.
Результат деления запишем под первым числом, а его наименьший простой делитель — за чертой… Далее запишем частное от деления числа на простой множитель под самим числом, а его наименьший простой делитель — за чертой.
Продолжим этот процесс до появления в частном числа 1.
Отметим каким-либо способом (обычно это делается подчёркиванием) совпадающие множители в этих разложениях.
Произведение подчёркнутых множителей и будет наибольшим
общим делителем: НОД(273; 462) = 3 × 7 = 21.
ВНИМАНИЕ! Теперь для сокращения дроби нам нет нужды делить её числитель и знаменатель на найденный НОД!
В качестве числителя и знаменателя сокращённой дроби будут
произведения неотмеченных множителей в их разложениях:
Пусть теперь эти числа (273 и 462) будут знаменателями каких-то обыкновенных дробей, которые следует привести к общему знаменателю. Не вызывает сомнений, что этот общий знаменатель должен быть наименьшим из всех возможных.
Таким Наименьшим Общим Знаменателем будет Наименьшее Общее Кратное (НОК) этих чисел.
НОК(273; 462) — это одно из этих чисел, умноженное на
произведение неотмеченных множителей в разложении другого
числа:
НОК(273; 462) = 273 × (2×11) = 462 × 13 = 6006.
Умножим числитель каждой дроби на неотмеченные простые множители в разложении на простых множителей знаменателя другой дроби — это будут дополнительные множители, и поставим полученное произведение в числитель приведённой к общему знаменателю дроби, а её знаменателем будет найденное значение НОК.
Осталось показать, что произведение двух чисел равно произведению НОД и НОК этих чисел, Сделаем это сначала в общем виде.
Пусть натуральное число m = ad, а натуральное число n = bd,
где d = НОД(m; n), a — произведение неотмеченных простых множителей в разложении числа m, b — произведение неотмеченных простых множителей в разложении числа n.
Тогда
mn = ad×bd, НОД(m; n) × НОК(m; n) = d × m × b = d × ad ×b = ad × bd= mn.
Предлагаю читателю самостоятельно убедится в справедливости
этого равенства при m = 273 и n = 462.
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Канал Хакнем Школа благодарит нашего автора Себихова Александра Николаевича за познавательный контент и возможность опубликования его в нашем канале!
Другие статьи автора:
Цикл статей “Дроби”
1 статья
2 статья
3 статья
4 статья
5 статья
6 статья [Текущая]
Приведение дробей к общему знаменателю
27 июля 2011
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.
Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.
Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
- Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
- Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
- Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:
Задача. Найдите значения выражений:
В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:
Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.
Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.
Метод общих делителей
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
- Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
- Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
- При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что 84 : 21 = 4; 72 : 12 = 6. Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:
Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!
Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.
В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.
Метод наименьшего общего кратного
Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».
Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2. Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96.
Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).
Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.
Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.
Теперь приведем дроби к общим знаменателям:
Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
- Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
- Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.
Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!
Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.
Смотрите также:
- Сложение и вычитание дробей
- Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
- Тест к уроку «Простые проценты» (легкий)
- Метод узлов в задаче B5
- Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)
- Задача B14: движение навстречу
Как известно, обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя. Знаменатель — это натуральное число находящееся под чертой:
a — числитель, b — знаменатель.
Общий знаменатель
Общий знаменатель — это любое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели дробей, т.е. является их общим кратным. Для нескольких дробей можно найти бесконечно много общих знаменателей.
Пример 1: найти общий знаменатель для дробей
1 2
и
1 3
Для нахождения общего знаменателя достаточно найти числа кратные и двойке и тройке. Это будет: 6, 12, 18 и т.д. К примеру, 4, 8, 10 кратны двойке, но не кратны тройке — поэтому не будут являться общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель дробей
Зная, что такое общий знаменатель, нетрудно догадаться, что наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, которое делится без остатка на все знаменатели дробей.
Возвращаясь к предыдущему примеру, можно с уверенностью сказать, что 12 будет общим знаменателем двойки и тройки, но наименьшим не будет. Наименьшим общим знаменателем будет — 6.
Таким образом: наименьший общий знаменатель двух дробей:
1 2
и
1 3
— является 6.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Бывают ситуации когда в уме найти наименьший общий знаменатель сложно. Для этого есть алгоритм, который сводится к нахождению наименьшего общего кратного (НОК). НОК и будет являться НОЗ. Для нахождения НОК необходимо:
- разложить оба знаменателя на простые множители;
- выписать множители входящее в одно из разложений и добавить отсутствующие множители из второго разложения;
- вычислить их произведение.
Пример 2: Найти НОК чисел 12 и 8.
Согласно алгоритму раскладываем оба числа на простые множители:
Берем множители из первого разложения — 2, 2, 3. И добавляем отсутствующие из второго. В нашем случае во втором 3 двойки, но т.к. в первом разложении уже присутствуют 2 двойки — то недостающей будет одна. Таким образом получается набор цифр 2, 2, 3, 2 — которые необходимо перемножить. Отсюда 2 · 2 · 3 · 2 = 24.
Ответ: НОК (12; 8) = 24.
Пример 3: Найти НОК чисел 388 и 142.
Данный пример, с точки зрения вычислений сложнее, однако наглядно демонстрирует важность понимания алгоритма:
Аналогично, берем множители из первого разложения — 2, 2, 97. И добавляем отсутствующие из второго — 71. Отсюда 2 · 2 · 97 · 71 = 27548.
Ответ: НОК (388; 142) = 27548.
Практическое применение
На практике нахождение наименьшего общего знаменателя, используется, к примеру, при арифметических действиях с дробями (сложение, вычитание), при сравнении дробей и других задачах, где необходимо, как найти НОЗ, так и привести дроби к общему знаменателю.
Приведение дробей к общему знаменателю
Правило приведения дробей к общему знаменателю:
- Найти наименьший общий знаменатель дробей (НОЗ);
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель (НОЗ разделить на каждый знаменатель);
- Умножаем числитель на дополнительный множитель.
Пример 4: привести дроби
4 12
и
3 8
к наименьшему общему знаменателю.
- Согласно алгоритму находим НОЗ для знаменателей 12 и 8. Выше, во втором примере, мы уже находили НОК для 12 и 8. Как уже было сказано ранее НОЗ = НОК. Таким образом, НОЗ = 24.
- Находим дополнительные множители:
24 : 12 = 2
24 : 8 = 3
- Умножаем числители на дополнительные множители:
4 · 2 = 8
3 · 3 = 9
Таким образом:
Смотрите также:
- Смотрите также
- Калькуляторы
- Последние примеры
Оцените материал:
Загрузка…
Например, для дробей (frac{1}{5a}) и (frac{3}{b}) общим знаменателем будет (5ab), потому что именно это выражение содержит в себе все множители первого знаменателя (то есть, пятерку и (a)), а также все множители второго (это (b)).
Получается, что для нахождения общего знаменателя достаточно просто перемножить знаменатели всех дробей? Да, вообще говоря, это так. Однако на практике такой способ часто бывает неудобен, так как приводит к громоздким вычислениям в дальнейшем. Поэтому обычно находят наименьший общий знаменатель.
Например, для дробей (frac{1}{ab}) и (frac{3}{abc}) наименьшим общим знаменателем будет выражение (abc), но не (a^2 b^2c) (которое мы получим, если просто перемножим (ab) и (abc)).
Как искать наименьший общий знаменатель?
В приведенном выше примере наименьший общий знаменатель был очевиден. Однако в более сложных случаях его вот так сходу не напишешь.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нескольких дробей нужно все знаменатели разложить на множители, а потом собрать из этих множителей наименьший общий знаменатель.
Пример. Найдите общий знаменатель для дробей (frac{3}{x^2-5x}) и (frac{x}{x^2-25}).
Решение.
Пример. Найдите общий знаменатель для дробей (frac{a+1}{5a^2}), (frac{11-b}{a^3-9a}) и (frac{7}{(a-3)^2}).
Решение. И вновь раскладываем на множители знаменатели всех трех дробей, а потом собираем нашего «Франкенштейна»:
Общий знаменатель зависит только от знаменателей дробей, числители же на него не влияют вообще никак!
Поиск общего знаменателя важный этап при работе с алгебраическими дробями, а также при решении дробно-рациональных уравнений.
Скачать статью
