Как найти максимальный заряд шарика

Условие задачи:

Какой максимальный заряд приобретает золотой шарик радиусом 0,1 м при освещении его поверхности светом с длиной волны 0,2 мкм? Работа выхода электронов из золота 4,59 эВ.

Задача №11.2.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(R=0,1) м, (lambda=0,2) мкм, (A_{вых} = 4,59) эВ, (q-?)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного фотона (hnu) идет на совершение работы выхода (A_{вых}) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону (frac{{{m_e}{upsilon ^2}}}{2}). Поэтому:

[hnu = {A_{вых}} + frac{{{m_e}{upsilon ^2}}}{2};;;;(1)]

В этой формуле (h) – это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний (nu) можно выразить через скорость света (c), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны (lambda) по следующей формуле:

[nu = frac{c}{lambda};;;;(2)]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

[frac{{hc}}{lambda } = {A_{вых}} + frac{{{m_e}{upsilon ^2}}}{2};;;;(3)]

Зададимся вопросом, почему заряд (а следовательно и потенциал золотого шарика) не может возрастать бесконечно. Когда фотон ультрафиолетового света вырвет первый электрон, то заряд шарика станет положительным и равным (e) (это модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл), а электрон удалится от шарика на бесконечное расстояние. При дальнейшем облучении шарика его заряд будет возрастать и настанет момент, когда вырванные электроны будут обратно притягиваться к шарику. При этом граничное условие для электрона, который ещё сможет вырваться навсегда из шарика и не вернется обратно к нему, по закону сохранения энергии можно записать:

[ – varphi e + frac{{{m_e}{upsilon ^2}}}{2} = 0]

То есть изначально у электрона (в момент выхода из атома золота) есть потенциальная энергия взаимодействия с заряженным шариком и кинетическая энергия, а на бесконечности энергии нет.

Здесь (varphi) – конечный потенциал шарика, а знак “-” показывает знак заряда электрона. Имеем:

[frac{{{m_e}{upsilon ^2}}}{2} = varphi e;;;;(4)]

Подставим выражение из (4) в уравнение (3), тогда:

[frac{{hc}}{lambda } = {A_{вых}} + varphi e;;;;(5)]

Потенциал шарика (varphi) (когда он будет иметь заряд (q), и вырванные электроны будут возвращаться обратно к шарику) можно найти по формуле:

[varphi = frac{q}{C};;;;(6)]

Электроемкость металлического шарика (C) радиуса (R) найдем по известной формуле:

[C = 4pi {varepsilon _0}R]

В этой формуле (varepsilon _0) – электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Ф/м.

Тогда формула (6) примет следующий вид:

[varphi = frac{q}{{4pi {varepsilon _0}R}}]

Подставим полученное выражение в уравнение (5):

[frac{{hc}}{lambda } = {A_{вых}} + frac{{qe}}{{4pi {varepsilon _0}R}}]

Тогда:

[frac{{hc}}{lambda } – {A_{вых}} = frac{{qe}}{{4pi {varepsilon _0}R}}]

[frac{{hc – {A_{вых}}lambda }}{lambda } = frac{{qe}}{{4pi {varepsilon _0}R}}]

Окончательно получим:

[q = frac{{4pi {varepsilon _0}Rleft( {hc – {A_{вых}}lambda } right)}}{{elambda }}]

Задача решена в общем виде, посчитаем теперь численный ответ задачи (1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

[q = frac{{4 cdot 3,14 cdot 8,85 cdot {{10}^{ – 12}} cdot 0,1 cdot left( {6,62 cdot {{10}^{ – 34}} cdot 3 cdot {{10}^8} – 4,59 cdot 1,6 cdot {{10}^{ – 19}} cdot 0,2 cdot {{10}^{ – 6}}} right)}}{{1,6 cdot {{10}^{ – 19}} cdot 0,2 cdot {{10}^{ – 6}}}} = 1,8 cdot {10^{ – 11}};Кл = 18;пКл]

Ответ: 18 пКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.2.29 Заряд металлического шара емкостью 2,1 мкФ равен 6,3 мкКл. На сколько увеличится заряд
11.2.31 Одна из пластин плоского воздушного конденсатора освещается светом с длиной волны
11.2.32 Серебряная пластинка (Aвых=4,7 эВ) освещена светом с длиной волны 180 нм. Определите

2018-08-02   

Какой максимальный заряд приобретает золотой шарик радиусом $r = 0,1 м$ при освещении его поверхности светом с длиной волны $lambda = 2 cdot 10^{-7} м$? Работа выхода электронов из золота 4,59 эВ.

Решение:

Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$h frac{c}{ lambda} = A_{вых} + frac{mv^{2} }{2}$. (1)

Вылетевшие с поверхности металла электроны полностью задерживаются тормозящим электрическим полем, т. е.

$frac{mv^{2}}{2} = eU$.

Уравнение (1) перепишем в виде

$h frac{c}{ lambda} = A_{вых} + eU$,

откуда

$U = frac{hc}{ lambda e} – frac{A_{вых} }{e}$.

Заряд, приобретаемый шариком, равен

$q = CU = frac{ epsilon r}{k} U = frac{ epsilon r}{ke} left ( frac{hc}{ lambda} – A_{вых} right )$,

где

$k = frac{1}{4 pi epsilon_{0} } = 9 cdot 10^{9} Нм^{2}/Кл^{2}, epsilon = 1$.

$q = 1,796 cdot 10^{-11} Кл approx 1,8 cdot 10^{-11} Кл$.

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.