Как это найти исходную часть

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Решение целых и дробно рациональных уравнений

    Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

    Рациональное уравнение: определение и примеры

    Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

    Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

    В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

    Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

    Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.

    А теперь обратимся к примерам.

    x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x – 1 = 2 + 2 7 · x – a · ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 – 12 x – 1 = 3 .

    Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

    Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

    Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

    Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

    Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

    3 · x + 2 = 0 и ( x + y ) · ( 3 · x 2 − 1 ) + x = − y + 0 , 5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

    1 x – 1 = x 3 и x : ( 5 · x 3 + y 2 ) = 3 : ( x − 1 ) : 5 – это дробно рациональные уравнения.

    К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

    Решение целых уравнений

    Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

    • сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
    • затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

    Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n .

    Необходимо найти корни целого уравнения 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) = x · ( 2 · x − 1 ) − 3 .

    Решение

    Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = 0 .

    Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

    3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

    У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x 2 − 5 · x − 6 = 0 . Дискриминант этого уравнения положительный: D = ( − 5 ) 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 25 + 24 = 49 . Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

    x = – – 5 ± 49 2 · 1 ,

    x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 – 7 2 ,

    x 1 = 6 или x 2 = – 1

    Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3 · ( 6 + 1 ) · ( 6 − 3 ) = 6 · ( 2 · 6 − 1 ) − 3 и 3 · ( − 1 + 1 ) · ( − 1 − 3 ) = ( − 1 ) · ( 2 · ( − 1 ) − 1 ) − 3 . В первом случае 63 = 63 , во втором 0 = 0 . Корни x = 6 и x = − 1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

    Ответ: 6 , − 1 .

    Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

    Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

    Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

    Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

    Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

    • переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
    • представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

    Пример 4

    Найдите решение уравнения ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) .

    Решение

    Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком: ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) − 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 0 . Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0 . Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

    Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x 2 − 10 · x + 13 . Так мы придем к уравнению вида ( x 2 − 10 · x + 13 ) · ( x 2 − 2 · x − 1 ) = 0 . Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x 2 − 10 · x + 13 = 0 и x 2 − 2 · x − 1 = 0 и найдем их корни через дискриминант: 5 + 2 · 3 , 5 – 2 · 3 , 1 + 2 , 1 – 2 .

    Ответ: 5 + 2 · 3 , 5 – 2 · 3 , 1 + 2 , 1 – 2 .

    Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

    Есть ли корни у уравнения ( x 2 + 3 · x + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( x 2 + 3 · x − 4 ) ?

    Решение

    Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x 2 + 3 · x .

    Теперь мы будем работать с целым уравнением ( y + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( y − 4 ) . Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y 2 + 4 · y + 3 = 0 . Найдем корни квадратного уравнения: y = − 1 и y = − 3 .

    Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x 2 + 3 · x = − 1 и x 2 + 3 · x = − 3 . Перепишем их как x 2 + 3 · x + 1 = 0 и x 2 + 3 · x + 3 = 0 . Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: – 3 ± 5 2 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

    Ответ: – 3 ± 5 2

    Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

    Решение дробно рациональных уравнений

    Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 , где p ( x ) и q ( x ) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

    В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 положено следующее утверждение: числовая дробь u v , где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p ( x ) q ( x ) = 0 может быть сведено в выполнению двух условий: p ( x ) = 0 и q ( x ) ≠ 0 . На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 :

    • находим решение целого рационального уравнения p ( x ) = 0 ;
    • проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q ( x ) ≠ 0 .

    Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

    Найдем корни уравнения 3 · x – 2 5 · x 2 – 2 = 0 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p ( x ) q ( x ) = 0 , в котором p ( x ) = 3 · x − 2 , q ( x ) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступим к решению линейного уравнения 3 · x − 2 = 0 . Корнем этого уравнения будет x = 2 3 .

    Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 − 2 ≠ 0 . Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5 · 2 3 2 – 2 = 5 · 4 9 – 2 = 20 9 – 2 = 2 9 ≠ 0 .

    Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.

    Ответ: 2 3 .

    Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 . Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p ( x ) = 0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 :

    • решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
    • находим область допустимых значений переменной x ;
    • берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x , в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

    Пример 7

    Решите уравнение x 2 – 2 · x – 11 x 2 + 3 · x = 0 .

    Решение

    Для начала решим квадратное уравнение x 2 − 2 · x − 11 = 0 . Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D 1 = ( − 1 ) 2 − 1 · ( − 11 ) = 12 , и x = 1 ± 2 3 .

    Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x 2 + 3 · x ≠ 0 . Это то же самое, что x · ( x + 3 ) ≠ 0 , откуда x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

    Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x = 1 ± 2 3 в область допустимых значений переменной x . Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x = 1 ± 2 3 .

    Ответ​​: x = 1 ± 2 3

    Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x , а корни уравнения p ( x ) = 0 иррациональные. Например, 7 ± 4 · 26 9 . Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 127 1101 и − 31 59 . Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q ( x ) ≠ 0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

    В тех случаях, когда корни уравнения p ( x ) = 0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 . Быстрее сразу находить корни целого уравнения p ( x ) = 0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q ( x ) ≠ 0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p ( x ) = 0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

    Найдите корни уравнения ( 2 · x – 1 ) · ( x – 6 ) · ( x 2 – 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) x 5 – 15 · x 4 + 57 · x 3 – 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0 .

    Решение

    Начнем с рассмотрения целого уравнения ( 2 · x − 1 ) · ( x − 6 ) · ( x 2 − 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) = 0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2 · x − 1 = 0 , x − 6 = 0 , x 2 − 5 · x + 14 = 0 , x + 1 = 0 , из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x = 1 2 , из второго – x = 6 , из третьего – x = 7 , x = − 2 , из четвертого – x = − 1 .

    Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

    По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:

    1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

    6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

    7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

    ( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

    ( − 1 ) 5 − 15 · ( − 1 ) 4 + 57 · ( − 1 ) 3 − 13 · ( − 1 ) 2 + 26 · ( − 1 ) + 112 = 0 .

    Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 1 2 , 6 и − 2 .

    Ответ: 1 2 , 6 , – 2

    Найдите корни дробного рационального уравнения 5 · x 2 – 7 · x – 1 · x – 2 x 2 + 5 · x – 14 = 0 .

    Решение

    Начнем работу с уравнением ( 5 · x 2 − 7 · x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 . Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0 и x − 2 = 0 .

    Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x = 7 ± 69 10 , а из второго x = 2 .

    Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x . В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 · x − 14 = 0 . Получаем: x ∈ – ∞ , – 7 ∪ – 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

    Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x .

    Корни x = 7 ± 69 10 – принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

    Ответ: x = 7 ± 69 10 .

    Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

    Решите дробное рациональное уравнение – 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

    Решение

    Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

    Ответ: нет корней.

    Решите уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

    Решение

    Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x .

    Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x , при которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 . Решениями уравнения x 4 + 5 · x 3 = 0 являются 0 и − 5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 · ( x + 5 ) = 0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0 , откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x = 0 и x = − 5 .

    Получается, что дробное рациональное уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и – 5 .

    Ответ: – ∞ , – 5 ∪ ( – 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

    Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r ( x ) = s ( x ) , где r ( x ) и s ( x ) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений сводится к решению уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 .

    Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение r ( x ) = s ( x ) равносильно уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 . Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 в тождественную ему рациональную дробь вида p ( x ) q ( x ) .

    Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r ( x ) = s ( x ) к уравнению вида p ( x ) q ( x ) = 0 , решать которые мы уже научились.

    Следует учитывать, что при проведении переходов от r ( x ) − s ( x ) = 0 к p ( x ) q ( x ) = 0 , а затем к p ( x ) = 0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x .

    Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r ( x ) = s ( x ) и уравнение p ( x ) = 0 в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p ( x ) = 0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r ( x ) = s ( x ) . В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

    Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :

    • переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
    • преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p ( x ) q ( x ) , последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
    • решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
    • выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

    Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

    r ( x ) = s ( x ) → r ( x ) – s ( x ) = 0 → p ( x ) q ( x ) = 0 → p ( x ) = 0 → о т с е и в а н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й

    Решите дробное рациональное уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

    Решение

    Перейдем к уравнению x x + 1 – 1 x + 1 = 0 . Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p ( x ) q ( x ) .

    Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

    x x + 1 – 1 x – 1 = x · x – 1 · ( x + 1 ) – 1 · x · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) = = x 2 – x – 1 – x 2 – x x · ( x + 1 ) = – 2 · x – 1 x · ( x + 1 )

    Для того, чтобы найти корни уравнения – 2 · x – 1 x · ( x + 1 ) = 0 , нам необходимо решить уравнение − 2 · x − 1 = 0 . Получаем один корень x = – 1 2 .

    Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

    Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим – 1 2 – 1 2 + 1 = 1 – 1 2 + 1 . Мы пришли к верному числовому равенству − 1 = − 1 . Это значит, что x = − 1 2 является корнем исходного уравнения.

    Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x . Это будет все множество чисел, за исключением − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x = − 1 2 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

    Ответ: − 1 2 .

    Найдите корни уравнения x 1 x + 3 – 1 x = – 2 3 · x .

    Решение

    Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

    Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x 1 x + 3 – 1 x + 2 3 · x = 0

    Проведем необходимые преобразования: x 1 x + 3 – 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x .

    Приходим к уравнению x = 0 . Корень этого уравнения – нуль.

    Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 0 1 0 + 3 – 1 0 = – 2 3 · 0 . Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

    Ответ: нет корней.

    Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

    Решите уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 – x 2 = 7 7 24

    Решение

    Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

    Отнимем от правой и левой частей 7 , получаем: 1 3 + 1 2 + 1 5 – x 2 = 7 24 .

    Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3 + 1 2 + 1 5 – x 2 = 24 7 .

    Вычтем из обеих частей 3 : 1 2 + 1 5 – x 2 = 3 7 . По аналогии 2 + 1 5 – x 2 = 7 3 , откуда 1 5 – x 2 = 1 3 , и дальше 5 – x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

    Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

    Урок по теме “Решение дробных рациональных уравнений”. 8-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 8

    Цели урока:

    • формирование понятия дробных рационального уравнения;
    • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
    • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
    • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
    • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
    • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
    • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение и обобщение;
    • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
    • развитие критического мышления;
    • развитие навыков исследовательской работы.
    • воспитание познавательного интереса к предмету;
    • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
    • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

    Тип урока: урок – объяснение нового материала.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

    Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

    2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

    А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

    1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
    2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа – в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
    3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
    4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
    5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
    6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

    3. Объяснение нового материала.

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

    х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

    х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

    Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

    Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

    Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

    [spoiler title=”источники:”]

    http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-tselyh-i-drobno-ratsionalnyh-uravnenij/

    http://urok.1sept.ru/articles/559882

    [/spoiler]

    Число уменьшили на четверть и получилось 120, найдите исходное число. Как решить?

    Добрый вечер!

    Эта задача лёгкая, по теме “Дроби и дробные числа”, достаточно составить выражение в виде уравнения!

    Представим, что: искомое число “Х”, тогда

    Х – это целое, так как нам необходимо найти четвертая часть, следовательно составим

    выражение: Х – х:4=120 (уравняем левую часть уравнения), получим (4х-х)/4=120; далее получаем 3х/4=120; по правилам уравнения, неизвестное оставляем в левой части, а известное-переносим в правую с противоположным знаком, то есть: 3х=120*4; х=480:3; х=160.

    Ответ: искомое число 160.

    система выбрала этот ответ лучшим

    Maste­r-Marga­rita
    [135K]

    5 лет назад 

    Исходное число обозначим х.

    Его уменьшили на четверть, то есть получается (3/4)*х и по условию это равно 120.

    (3/4)*х=120 –> x=(120*4)/3=480/3=16­0.

    Теперь сделаем проверку: четвертая часть от 160 это 40. 160-40=120.

    Значит, вычисления проведены правильно.

    Ответ: 160.

    Марин­а Волог­да
    [295K]

    4 года назад 

    Задача не такая и сложная, ее лучше всего решать через неизвестную, т.е. через “х”.

    “х” – это исходное число.

    Помним, что четверть – это 1/4

    Теперь составляем уравнение

    А “х-1/4х” – это уравнение равно 120, получаем уравнение х-1/4х=120. Далее снова упрощаем и получаем 4х-х=120*4.

    Высчитываем и получаем 3х=480

    х=480/3=160 исходное число.

    Узнаем значение “х”, для этого 480 делим на 3, получается х = 160.

    Ответ – 160.

    Проверяем: 160: 4 = 40. 40 – это 1/4 от 160. Теперь от 160-40 = 120.

    Ну если изначально уменьшили на четверть, значит осталось три четверти. Отсюда следует найти сколько “весит” одна четверть. Просто сто двадцать делим на три и получаем сорок – это и есть одна из четвертей некогда бывшего числа. Теперь просто сорок умножаем на четыре, или же к ста двадцати прибавляем сорок, получаем сто шестьдесят.

    Для решения данной задачи прежде всего нужно понимать, что значит число уменьшили на четверть.

    Это означает, что от данного числа отняли его четвертую часть, то есть из исходного числа вычли одну четвертую этого числа.

    Решение задачи

    Пусть х исходное число. Четверть этого числа равна х/4. Так как по условию задачи число, уменьшенное на четверть, стало равно 120, составим уравнение:

    х – х/4 = 120.

    Решим данное уравнение.

    (3х)/4 = 120, 3х = 480, х = 480/3, х = 160.

    Выполним проверку:

    160 – 160/4 = 160 – 40 = 120.

    120 = 120. Все сходится, задача решена правильно.

    Ответ: исходное число было равно 160.

    -Irink­a-
    [281K]

    4 года назад 

    Необходимо найти исходное, целое число, которое было уменено на четверть. В результате данного уменьшения получилось 120.

    После того, как мы уменьшили целое число на четверть, получилось, что от целого осталось три четверти.

    Находим четвертую часть от целого (120):

    120 ÷ 3 = 40

    Следующим действием находим целое (исходное) число:

    40 • 4 = 160

    radlo­nat
    [5.9K]

    5 лет назад 

    Задачу проще всего решить при помощи уравнения. Определяем, что мы примем за х – это исходное число. Составляем уравнение: х – х/4 = 120; 4х – х = 480; 3х = 480; х = 160.

    Соответственно, число, которое уменьшали на четверть, и которое необходимо было найти – это 160.

    morel­juba
    [62.5K]

    4 года назад 

    Предлагаю найти исходное число посредством составления уравнения. Примем наше искомое число, например за букву “а”. таким образом получим следующее уравнение: а – а/4 = 120. После решения получаем а равное 160-ти. Это и есть наше искомое число.

    Spirt­uoz
    [454]

    5 лет назад 

    120=х-х/4

    480=4х-х

    3х=480

    х=160

    Ответ 160

    Барха­тные лапки
    [382K]

    4 года назад 

    Задачка несложная, чтобы легче было ее решать составим уравнение:

    известно, что 120 это 3/4 от исходного числа

    тогда исходное число обозначим х и составим уравнение:

    х – 3/4 = 120

    х=(120*4):3

    х=480:3

    х=160

    Чтобы проверить верно ли мы решили задачу можно сделать так:

    160:4=40 (это у нас четвертая часть)

    40*3=120 (три четвертых от 160).

    владс­андро­вич
    [766K]

    4 года назад 

    Данная задача, потребует от нас составления уравнения. И так исходное число, это будет у нас Х. Теперь производим составления уравнения :

    Первый шаг – 480=4Х-Х

    Из этого вытекает что : 3Х=480, а значит Х=160

    В ответе получаем = 160, которое нам и нужно было найти.

    Знаете ответ?

    Содержание

    1. Целое и часть
    2. Нахождение части по целому
    3. Нахождение целого по части
    4. Выражение части в долях целого
    5. Как найти часть от целого?
    6. Ответ или решение 2
    7. Как найти часть от целого
    8. Как найти третью часть от числа 75
    9. Как найти дробь от числа
    10. Как решать задачи с процентами
    11. Основные определения
    12. Типы задач на проценты
    13. Тип 1. Нахождение процента от числа
    14. Тип 2. Нахождение числа по его проценту
    15. Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел
    16. Тип 4. Увеличение числа на процент
    17. Тип 5. Уменьшение числа на процент
    18. Тип 6. Задачи на простые проценты
    19. Тип 7. Задачи на сложные проценты
    20. Способы нахождения процента
    21. Деление числа на 100
    22. Составление пропорции
    23. Соотношения чисел
    24. Задачи на проценты с решением

    Целое и часть

    Нахождение части по целому

    Для того чтобы найти некоторую часть числа, это число умножают на дробь, которое выражает эту часть.

    По уставу сообщества, для того чтобы отчетное собрание являлось полномочным, присутствие на нем должно составлять, как правило, не менее двух третьих от общего числа персонала компании. В организации, проводящей данное собрание, общее число работающих в ней сотрудников составляет 120 человек. Требуется установить, при каком числе пришедших допускается проведение собрания?

    Количество участников должно составить восемьдесят человек, что является двумя третями от ста двадцати человек:

    Нахождение целого по части

    Чтобы, найти целое число по значению данной его части, эту величину делят на дробь, которая выражает её часть.

    Вес обработанной туши животного составляет три пятых общего живого веса. Нужно определить какой должен быть живой вес животного, чтобы его заготовленная туша весила 420 кг?

    Живой вес животного составляет семьсот килограмм по отношению к туше:

    Выражение части в долях целого

    Чтобы выразить необходимую часть в долях целого, эту часть делят на исходное целое.

    Чтобы узнать, какая часть сотрудников отсутствует, если известно, что четыре человека находятся вне расположения предприятия, а общее их число составляет 30 , нужно разделить четыре на тридцать:

    Источник

    Как найти часть от целого?

    Ответ или решение 2

    Для решения данного задания, вспомним, что Чтобы найти часть х от целого а, надо число а, соответствующее целому, разделить на знаменатель m и результат умножить на числитель k дроби, которая выражает эту часть. Например вычислим чему равна 1/4 часть от числа 20.

    20 / 4 * 1 = 5 * 1 = 5

    Как найти часть от целого

    Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти половину от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:

    • Обозначим целое за единицу, тогда половина от единицы — это 1/2. Значит нам надо найти 1/2 от числа a.
    • Чтобы найти 1/2 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/2 = a/2. То есть половина от числа a — это a/2.
    • При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.

    Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, четверть от числа a, то надо a * 1/4 = a/4. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8. Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
    Рассмотрим пример.

    Как найти третью часть от числа 75

    Нам дано целое — число 75. Нам необходимо найти от него третью часть, иначе — необходимо найти 1/3. Выполним действие умножение целого на часть: 75 * 1/3 = 25. Значит третья часть от числа 75 — это число 25. Можно сказать и так: число 25 меньше числа 75 в три раза. Или: число 75 больше числа 25 в три раза.

    Источник

    Как найти дробь от числа

    Одна из простой, но интересной темы – это как найти дробь от целого (от числа).

    Как найти часть от целого? У нас есть какое-то значение и нам нужно найти долю или дробь от этого значения.

    К примеру, пицца весит 540 г. Сколько весит кусок пиццы, если ее разделили на 6 одинаковых кусков?

    Пиццу разрезали на 6 одинаковых кусков, значит, один кусок – это 1/6 от всей пиццы.

    Начертим схему: чертим отрезок, разделим его на 6 равных частей. Удобнее начертить отрезок длиной 6 или 12 см (см. статью здесь).

    Если пиццу разрезали, то и весь вес надо разделить: 540:6=90 (г)

    Если нужно узнать вес двух кусков, т.е. 2/6

    то эти 90 взять 2 раза: 90х2= 180 (г)

    В итоге, 540 : 6 х 2, или, зная правила работы с дробями — 540 х 2/6.

    Видим, что для того, чтобы найти 2/6 от целой пиццы нужно просто умножить общий вес на значение этой части — 2/6.

    Как-то странно. Не правда ли? И, тем не менее: чтобы найти часть, мы умножаем, а не делим. Потому что если вспомнить, что дробь, вернее, горизонтальная черта дроби — это деление. Итак:

    7/8 от 24 — 24:8х7=21

    3/5 от 60 – 60:5х3=45

    3/4 от 12 – 12:4х3=9

    7/8 от 64 – 64:8х7=56

    Насколько публикация полезна?

    Нажмите на звезду, чтобы оценить!

    Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 70

    Источник

    Как решать задачи с процентами

    О чем эта статья:

    Основные определения

    Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

    Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

    Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

    Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100, как в примере выше.

    А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

    А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:

    Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим её в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило:

    Типы задач на проценты

    В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

    Тип 1. Нахождение процента от числа

    Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

    Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?

    Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).

    Из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.

    Тип 2. Нахождение числа по его проценту

    Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

    Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

    Задача. Школьник решил 38 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

    Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 38 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

    38/0,16 = 38 * 100/16 = 237,5

    Значит 237 задачи включили в этот сборник.

    Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

    Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

    Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?

    Как решаем: возьмем алгоритм из правила выше:

    10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%

    В классе учится 10 девочек — это 40%.

    Тип 4. Увеличение числа на процент

    Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

    Формула расчета процента от числа выглядит так:

    a = b * ((1 + c) / 100),

    где a — число, которое нужно найти,

    b — первоначальное значение,

    c — проценты.

    Задача. В прошлом месяце стикер-пак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?

    Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

    110 * (1 + 12/100) = 110 * 1,12 = 123,2.

    Стоимость стикер-пака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

    Тип 5. Уменьшение числа на процент

    Чтобы уменьшить число на несколько процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

    Формула расчета выглядит так:

    a = b * ((1 — c) / 100),

    где a — число, которое нужно найти,

    b — первоначальное значение,

    c — проценты.

    Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

    Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

    100 * (1 – 25/100) = 75

    75 выпускников закончат школу в этом году.

    Тип 6. Задачи на простые проценты

    Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

    Формула расчета выглядит так:

    S = а * ((1 + у * х)/ 100),

    где a — исходная сумма,

    S — сумма, которая наращивается,

    x — процентная ставка,

    y — количество периодов начисления процента.

    Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей, чтобы купить тебе что-то классное. Кредит на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они внесут через год?

    Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

    5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000

    Родители через год внесут в банк 14000 рублей.

    Тип 7. Задачи на сложные проценты

    Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

    Формула расчета выглядит так:

    S = а * ((1 + х)/100) y ,

    где S — наращиваемая сумма,

    a — исходная,

    x — процентная ставка,

    y — количество периодов начисления процента.

    Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

    Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

    25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.

    Онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы! Уроки ведут лучшие преподаватели!

    Способы нахождения процента

    Универсальная формула для решения задач на проценты:

    A * b = C,
    где A — исходное число,
    b — проценты, переведенные в десятичную дробь,
    C — новое число.

    Чтобы применить алгоритм, нужно прочитать задачу, отметить, какие два числа нам известны и найти третье.

    Есть еще четыре способа поиска процентов. Рассмотрим каждый из них.

    Деление числа на 100

    При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.

    Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?

    Как решаем:

    1. Переведем 15% в рубли:
      250 : 100 = 2,5 — это 1% от стоимости шоколада,
      значит 2,5 * 15 = 37,5 — это 15%.
    2. 250 — 37,5 = 212,5.
    3. 212,5

    Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.

    Составление пропорции

    Пропорция — определенное соотношение частей между собой.

    С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:

    Читается: a относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.

    Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?

    Как решаем:

    1. Узнаем сколько стоит футболка сейчас в % соотношении:
      100 — 14 = 86,
      значит 1390 рублей это 86%.
    2. Составим пропорцию:
      1390 : 100 = х : 86,
      х = 86 * (1390 : 100),
      х = 1195,4.
    3. 1390 — 1195,4 = 194,6.

    Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.

    Соотношения чисел

    Есть случаи, при которых можно использовать простые дроби.

    • 10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
    • 20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
    • 25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
    • 50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
    • 75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.

    Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?

    Как решаем:

    1. 100 — 25 = 75,
      значит нужно заплатить 75% от первоначальной цены.
    2. Используем правило соотношения чисел:
      8500 : 4 * 3 = 6375.

    Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.

    Задачи на проценты с решением

    Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.

    Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?

    76 : 100 = 0,76 — 1% от массы человека

    Ответ: масса воды 53,2 кг

    Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

    Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.

    Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:

    0,6х — 0,25 * 0,6x = 0,45x

    После двух понижений изменение цены составит:

    Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

    Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?

    По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто

    Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.

    Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.

    Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

    Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

    По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.

    Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.

    Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.

    А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.

    Ответ: заработок жены составляет 27%.

    Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

    Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.

    Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.

    На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах.

    Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.

    Источник

    Adblock
    detector

    Задача из варианта ВПР по математике в 6 классе.

    “Число уменьшили на четверть, и получилось 120. Найдите исходное число.”

    I способ: Данную задачу можно решить с помощью уравнения. Примем за х – исходное число, тогда четверть его – это 1/4х. Так как после уменьшения на четверть получили 120, то составим уравнение и решим его.

    х – 1/4х=120, (т.к. перед переменной не пишут число 1, то мы понимаем, что надо выполнить вычисление: 1- 1/4= 3/4) 3/4х=120, х=120:3/4, х=160.

    II способ: Данную задачу можно решить путем рассуждений: т.к. от целого вычли четверть (любое целое принимается за единицу), то осталось три четверти. Три четверти числа по условию равны 120. Помня о том, что знаменатель обыкновенной дроби показывает на сколько равных частей разделили целое, а числитель показывает сколько этих частей взяли, имеем: три части исходного числа равны 120, а само число было разделено на четыре равные части. Значит, чтобы найти исходное число надо 120:3*4=160 (разделив на 3, мы узнали чему равна 1 часть. Умножив на 4 – нашли чему равны 4 части, т.е. целое в данном случае)

    Желаю успехов в изучении математики)

    Что такое исходное число? и как его найти вот в этом примере

    24•2=48

    48+12=60

    60:2=30

    30 вот как тут найти исходное число?

    Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Что такое исходное число? и как его найти вот в этом примере 24•2=48 48+12=60 60:2=30 30 вот как тут найти исходное число? …» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

    Смотреть другие ответы

    Главная » Математика » Что такое исходное число? и как его найти вот в этом примере 24•2=48 48+12=60 60:2=30 30 вот как тут найти исходное число?

    Добавить комментарий