Как найти r2 формула чего

R-квадрат (R2 или Коэффициент детерминации) — это статистическая мера, которая показывает степень вариации зависимой переменной из-за независимой переменной. В инвестировании он действует как полезный инструмент для технического анализа. Он оценивает эффективность ценной бумаги или фонда (зависимая переменная) по отношению к заданному эталонному индексу (независимая переменная).

В отличие от корреляции (R), которая измеряет силу связи между двумя переменными, R-квадрат указывает на изменение данных, объясняемое связью между независимой переменной. Независимая переменная. Независимая переменная — это объект, период времени или входное значение, изменения которого используется для оценки влияния на выходное значение (т. е. конечную цель), которое измеряется в математическом, статистическом или финансовом моделировании. Подробнее и зависимая переменная. Значение R2 находится в диапазоне от 0 до 1 и выражается в процентах. В финансах он указывает процент, на который ценные бумаги перемещаются в ответ на движение индекса. Чем выше значение R-квадрата, тем синхроннее движение ценных бумаг с индексом и наоборот. В результате это помогает инвесторам отслеживать свои инвестиции.

Оглавление

• Значение R-квадрата
  • Формула R-квадрата
  • Примеры расчета
    • Пример №1
    • Пример #2
  • Интерпретация R-квадрата
  • R-квадрат против скорректированного R-квадрата
  • R против R-квадрат
  • Часто задаваемые вопросы (FAQ)
  • Рекомендуемые статьи

• R-квадрат измеряет степень движения зависимой переменной (акции или фонды) по отношению к независимой переменной (эталонный индекс).
• Это помогает узнать производительность ценной бумаги по эталонному индексу.
• Чем выше значение R2, тем больше зависимость зависимой переменной от независимой переменной и наоборот.
• Значения R2 представлены в процентах в диапазоне от 1 до 100 процентов.
• R, R2 и скорректированный R2 — это разные термины в статистике. R представляет собой корреляцию между переменными, R2 указывает на изменение данных, объясняемое корреляцией, а скорректированный R2 учитывает другие переменные.

Формула R-квадрата

Чтобы добраться до R2, сделайте следующее:

1. Определите коэффициент корреляцииКоэффициент корреляцииКоэффициент корреляции, иногда называемый коэффициентом взаимной корреляции, представляет собой статистическую меру, используемую для оценки силы взаимосвязи между двумя переменными. Его значения варьируются от -1,0 (отрицательная корреляция) до +1,0 (положительная корреляция). читать дальше (р)

где,

• n = количество наблюдений
• Σx = общее значение независимой переменной
• Σy = общее значение зависимой переменной
• Σxy = сумма произведения независимой и зависимой переменных
• Σx2 = сумма квадратов значения независимой переменной
• Σy2 = сумма квадратов значения зависимой переменной

2. Возведите в квадрат коэффициент корреляции (R)

Значение R2 лежит в диапазоне от 0 до 1. Это означает, что если значение равно 0, независимая переменная не объясняет изменения зависимой переменной. Однако значение 1 показывает, что независимая переменная прекрасно объясняет изменение зависимой переменной. Обычно R2 выражается в процентах для удобства.

Примеры расчета

Вот несколько примеров, чтобы прояснить концепцию R-квадрата.

Пример №1

Выясним зависимость между количеством статей, написанных журналистами в месяц, и их многолетним стажем. Здесь зависимая переменная (y) — количество написанных статей, а независимая переменная (x) — количество лет опыта.

Сначала найдите коэффициент корреляции (R), а затем возведите его в квадрат, чтобы получить коэффициент детерминацииКоэффициент детерминацииКоэффициент детерминации, также известный как R в квадрате, определяет степень дисперсии зависимой переменной, которую можно объяснить независимой переменной. Следовательно, чем выше коэффициент, тем лучше уравнение регрессии, так как это означает, что независимая переменная выбрана с умом. Подробнее или R2. Вот данные.

R2 = 0,932 = 0,8649

Следовательно, коэффициент детерминации составляет 86%. Это означает, что 86% различий в количестве написанных статей объясняются многолетним опытом автора.

Пример #2

Предположим, инвестор хочет контролировать свой портфель, просматривая индекс S&P. Поэтому он хочет знать корреляцию между доходностью своего портфеля. Доходность портфеля. Формула доходности портфеля вычисляет доходность всего портфеля, состоящего из различных отдельных активов. Формула рассчитывается путем вычисления рентабельности инвестиций в отдельный актив, умноженной на соответствующую весовую категорию в общем портфеле, и сложения всех результатов вместе. Rp = ∑ni=1 wi riчитать далее и эталонный индекс. Итак, он вычисляет R и R-квадрат. Высокое значение R-квадрата указывает на то, что портфель движется подобно индексу.

Вот список доходности портфеля, представленной зависимой переменной (y), и доходности эталонного индекса, обозначенной независимой переменной (x).

Наконец, R2 рассчитывается по формуле:

Р2 = [0.8759 ]2

= 0,7672

Значение R2 подразумевает, что вариация доходности портфеля на 76,72% соответствует индексу S&P. Таким образом, инвестор может отслеживать движения своего портфеля, следя за индексом.

Интерпретация R-квадрата

R-квадрат измеряет влияние изменения независимой переменной на изменение зависимой переменной. На фондовых рынках это процент, на который ценные бумаги изменяются в ответ на движение эталонного индекса, такого как индекс S&P.

Если кто-то хочет, чтобы портфель ценных бумаг синхронизировался с эталонным индексом, он должен иметь высокое значение R2. Однако, если кто-то хочет, чтобы эталонный тест не влиял на производительность портфеля ценных бумаг, ему нужно искать портфель с низким значением R2.

Другими словами, если значение R2 находится в диапазоне:

• 70-100 %, тогда портфель ценных бумаг имеет наибольшую связь с движением и доходностью эталонных индексов.
• 40-70%, то соотношение между доходностью портфеля и доходностью эталонных индексов среднее
• 1-40%, то связь между доходностью портфеля и доходностью эталонного индекса очень мала или отсутствует.

R-квадрат против скорректированного R-квадрата

И R2, и скорректированный R2 используются для измерения корреляции между зависимой переменной и независимой переменной. С одной стороны, R2 представляет собой процент дисперсии зависимой переменной, описываемой независимой переменной. С другой стороны, скорректированный R2 представляет собой пересмотренную версию R-квадрата, скорректированную с учетом количества используемых независимых переменных.

Скорректированный R-квадрат Скорректированный R-квадрат Скорректированный R-квадрат относится к статистическому инструменту, который помогает инвесторам измерять степень дисперсии зависимой переменной, которая может быть объяснена независимой переменной, и учитывает влияние только тех независимых переменных, которые оказывают влияние на изменение зависимой переменной. Читать далее обеспечивает более точную корреляцию между переменными, учитывая влияние всех независимых переменных на функцию регрессии. В результате легко определить точные переменные, влияющие на корреляцию. Кроме того, это помогает узнать, какие переменные более важны, чем другие.

R-квадрат имеет тенденцию к увеличению при добавлении независимых переменных в набор данных. Однако скорректированный R2 может устранить этот недостаток. Следовательно, всякий раз, когда добавленные переменные несущественны или отрицательны, скорректированное значение R2 соответственно уменьшается или корректируется. Следовательно, можно сказать, что скорректированный R2 более надежен, чем R2.

R против R-квадрат

R или коэффициент корреляции — это термин, который передает прямую связь между любыми двумя переменными, такими как доходность и риск ценной бумаги. Диапазон R составляет от -1 до 1. Отрицательное значение указывает на обратную связь, а +1 указывает на прямую связь между переменными.

R2 используется в наборе данных, который содержит несколько переменных с различными свойствами, такими как риск, доходность, процентная ставка и срок погашения ценных бумаг. Диапазон R2 составляет от 0 до 1, где 0 — плохой показатель, а 1 — отличный.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что означает R-квадрат?

В функции регрессии R2 означает меру взаимосвязи между зависимой и независимой переменными. Его также называют коэффициентом детерминации в статистике. В финансовой терминологии R2 представляет отношение безопасности портфеля к эталонному индексу. Более высокое значение R2 означает, что эталонный индекс представляет производительность портфеля ценных бумаг и наоборот.

Что такое идеальное значение R-квадрата?

Значение R2 находится в диапазоне от 0 до 1 и выражается в процентах. Более высокий процент, близкий к 100%, указывает на то, что независимая переменная, выбранная для определения зависимой переменной, является идеальной, и наоборот. При инвестировании желательным считается значение R2 70% и более.

Как рассчитывается R-квадрат?

R2 можно рассчитать по следующей формуле:

где n — количество наблюдений, x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

Рекомендуемые статьи

Эта статья была руководством по R-Squared и его значению. Здесь мы обсуждаем формулу R-Squared, интерпретацию значений в регрессии, примеры и различия с R. Вы можете узнать больше об экономике из следующих статей:

• Эконометрика
• Формула множественной регрессии
• Нелинейная регрессия

Коэффициент детерминации (R-квадрат), а также ваш первый алгоритм машинного обучения мы рассмотрим в этой статье.

Сам термин «машинное обучение» может показаться вам загадочным и сложным, но вы, вероятно, уже неоднократно сталкивались с ним, даже не зная об этом. В центре нашего внимания будет линия наилучшего соответствия, с которой вы, вероятно, сталкивались на школьных уроках физики.

Определение одномерной модели и её решение

Одно замечание по поводу этой статьи. Мы рассказывали про одномерную линейную  регрессию в этой статье, которая имеет общее сведения о линейной регрессии. Поэтому если вы читали идеи изложенные в прошлой статье, можете, не стесняясь, пропускать эту информацию так как  – в ней будет рассматриваться те же самые вопросы.

Итак, давайте рассмотрим простой пример. Все мы знакомы с законом Ома:

V=I*R,

где V – это напряжение, I – сила тока, а R – сопротивление. Между прочим, это уравнение прямой, которое можно представить в виде y=mx+b. Действительно, если представить, что y=V, x=I, m=R, a b=0, то мы получим наш закон Ома.

Итак, представим себе такой школьный эксперимент. Пусть у вас есть цепь с батареей, обеспечивающей напряжение, и нагрузкой (резистором). Предположим также, что учитель не говорит величину сопротивления резистора, а наша задача состоит в том, чтобы вычислить её самостоятельно.

К счастью, для этого у нас есть несколько батарей с разным напряжением, и у нас есть амперметр, измеряющий силу тока. Будем поочередно подключать к цепи эти батареи и записывать значения напряжения и силы тока. У нас получится ряд чисел:

V1, I1; V2, I2; …; Vn, In.

Далее нанесём их на плоскость координат, откладывая по оси x силу тока и напряжение по оси y, и без особого удивления обнаружим, что они выстраиваются в почти идеальную прямую.

Почему мы говорим «почти»? Как вы знаете, в любых экспериментах есть определённая погрешность. Она может быть вызвана погрешностью измерения или, скажем, тем, что используемые медные провода тоже имеют собственное сопротивление. Не забывайте, что физические уравнения – это лишь идеальные модели реального мира. По этому поводу ещё часто говорят: «Карта – это ещё не территория».

Что же дальше? Далее мы берём линейку и проводим прямую – линию наилучшую соответствия так, чтобы она проходила через максимальное количество точек. При этом примерно одинаковое количество точек окажется как выше, так и ниже проведённой прямой.

Получив прямую, мы можем рассчитать её наклон, который определяется, как вы знаете, её угловым коэффициентом. Он показывает, насколько изменится напряжение при данном изменении силы тока: ΔV/ΔI, или, в общем случае,

наклон =  .

А поскольку V=I*R, то найденная величина наклона и есть искомое сопротивление:

R = наклон = ΔV/ΔI

Данный метод применим, конечно же, не только к закону Ома. По оси y не обязательно откладывать именно напряжение, как и по оси x – не обязательно силу тока. Они, как мы уже говорили, могут обозначать что угодно. К примеру, это может быть зависимость артериального давления от возраста или, скажем, зависимость давления от веса тела. Или биржевые котировки в зависимости от настроений в твиттере.

Учёные знают, что не имеет никакого значения, что именно мы измеряем, так как методы обработки данных остаются прежними. Мне нравится формулировать это обстоятельство одной фразой – «все данные – одинаковы!». Будь вы биологом или финансистом, вы пользуетесь одной и той же линейной регрессией. Нет никакой «линейной регрессии для биологов» или «линейной регрессии для финансистов». Есть просто линейная регрессия.

Поэтому будет лучше, если по оси y мы будем откладывать просто некоторую величину Y, а по оси x – некоторую величину X. Переформулируем теперь нашу задачу в более общем виде с X и Y.

Пусть, как и прежде, у нас есть ряд точек: {(x1, y1), (x2, y2), …, (xN, yN)}. Нанесём их на плоскость координат. Теперь нам необходимо найти линию наилучшего соответствия. Конечно же, мы живём в эпоху компьютеров и информатики, и есть куда более точный способ её нахождения, чем проводить её на бумаге с линейкой в руке. Как же её найти?

Начнём с того факта, что искомая линия является прямой и имеет вид y=ax+b, так что и предсказываемое значение величины y (обозначим его ŷ) имеет вид:

Нам нужно, чтобы все yi, полученные из эксперимента, были как можно ближе к предсказываемому ŷi, рассчитанному из заданных xi.

Как же это сделать?

Первое, что приходит в голову, – посчитать сумму получающихся несоответствий между фактическим значением yi  и предсказываемым значением ŷi при всех значениях i от 1 до N:

Почему так делать нельзя?

Предположим, в одном случае у нас отклонение +5 единиц, а в другом -5 единиц. Если мы их просто сложим, то получим ноль, и будет казаться, что отклонение равно нулю, хотя на самом деле это вовсе не так. На самом же деле нам нужно, чтобы любое отклонение от предсказываемого ŷ выражалось положительным числом. Стандартный способ этого достичь – возвести разницу в квадрат:

Теперь все отклонения фактического значения от предсказывемого, если только они не равны нулю, будут положительными величинами. Получившая сумма называется суммой квадратов ошибок.

Теперь, когда у нас есть выражение для расчёта величины отклонений, нам нужно сделать их как можно меньшими. Дифференциальное счисление позволяет нам легко это сделать.

Например, пусть у нас есть формула  

E=0,5t2-t,

и мы хочем узнать, при каком значении t значение E становится наименьшим. Тогда мы берём производную по t и приравниваем её к нулю:   dE/dt=t-1=0 ⇒t=1

В нашем случае всё не так просто, потому что у нас гораздо больше независимых переменных. Но давайте всё же перепишем формулу и посмотрим, что это нам даст:

Поскольку ŷi=axi+b, то мы можем записать

Помните, что yi и xi – это данные, полученные в эксперименте, а найти нам нужно a и b, которые характеризуют наклон прямой и точку её пересечения с осью у. В отличие от первого примера с Е, нам нужно найти минимумы по a и b одновременно, поэтому придётся использовать частные производные.

Итак, первое, что нам нужно, – найти производную по а. Вот она:

Поставьте видео на паузу и самостоятельно на листке бумаге вычислите производную, чтобы уяснить, как это получилось. Помните, что нам нужно приравнять производную к нулю и решить получившееся уравнение. Получим:

Остановитесь на минутку, чтобы понять, как мы получили такой результат, и попробуйте на бумаге проделать расчёты. Перенесём сумму yixi в другую часть уравнения, чтобы избавиться от отрицательных величин:

Итак, у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Не забывайте, что xi и yi – это наши данные, полученные из эксперимента, а N также известно – это количество опытов.

Но нам ещё нужно взять производную по b. Давайте этим и займёмся. Сделаем всё то же, что и раньше, – найдём производную, приравняем её к нулю и упростим полученное выражение:

Попытайтесь самостоятельно на бумаге получить данный результат. Итак, у нас получается вот такая интересная ситуация:

Надеюсь, вы помните, что нам необходимо найти a и b, поскольку xi, yi и N нам известны. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными. Это должно дать нам единственное решение для a и b. Упростим наши уравнения, введя буквенные обозначения:

Получим:

aC+bD=E,

aD+bN=F.

Если вы чувствуете, что можете самостоятельно решить эту систему уравнений, я настоятельно рекомендую так и сделать, поскольку это отличное упражнение по обработке данных и машинному обучению.

Умножим первое уравнение на D, а второе на C:

aDC+bD2=ED,

aDC+bNC=FC,

вычтем второе уравнение из первого, благодаря чему сокращается a, и мы можем найти b:

b(D2-NC)=(ED-FC),

Теперь сделаем то же самое для а. Умножим первое уравнение на N, а второе на D и вычтем второе уравнение из первого:

aNC+bND=EN,

aD2+bND=FD.

Получим решение для а:

a(NC-D2)=(EN-FD),

Итак, мы нашли а и b. Перепишем теперь выражения для них в исходном виде, заменив буквы выражениями с xi и yi, поскольку именно они представляют наши данные эксперимента:

Обратите внимание, что если в выражении для b поменять знак, то в обоих выражениях получатся одинаковые знаменатели:

Следующее, что мы можем сделать, чтобы упростить полученные выражения, – найти среднее значение. Напомним, что средняя величина переменной x определяется как сумма всех x, делённая на количество переменных N:

То же самое можно сделать и в том случае, если в выражение входят и x, и y:

Переписав наши выражения для a и b, мы упростим наши выражения:

Попытайтесь самостоятельно получить этот результат с помощью карандаша и бумаги. Обратите внимание на разницу между средним значением квадрата величины и квадратом среднего значения.

C помощью библиотеки NymPy можно провернуть один фокус. Дело в том, что эта библиотека специально оптимизирована для проведения матричных и векторных операций. Поэтому никогда не пишите чего-то вроде

         total = 0

         for i in xrange(N):

             total +=a[i]*b[i].

Вместо этого воспользуйтесь специальной функцией dot:

         total = a.dot(b) или total = np.dot(a,b),

поскольку в этом случае вычисления будут происходить гораздо быстрее, чем при использовании обычного оператора цикла.

Программирование одномерной модели на языке Python

В этой разделе статьи мы начнём программировать. Мы напишем код для одномерной линейной регрессии.

Начнем всё с нуля, чтобы вы могли писать код вместе с нами

Первое, что мы сделаем, – создадим новый файл назовём lr_1d.py. У нас уже есть скрипт, который сгенерировал все необходимые данные, так что нам не понадобится их искать, достаточно просто взять csv-файл из репозитория Github.

В нашем коде мы первым делом импортируем необходимые библиотеки NumPy и Matplotlib. Вообще-то для успешного решения этой задачи в коде Matplotlib не нужна, но она понадобится для наглядной демонстрации процесса решения задачи.

NumPy — это библиотека с открытым исходным кодом для языка программирования Python. Возможности:

• поддержка многомерных массивов (включая матрицы);
• поддержка высокоуровневых математических функций, предназначенных для работы с многомерными массивами.

Matplotlib — библиотека на языке программирования Python для визуализации данных двумерной (2D) графикой (3D графика также поддерживается). Получаемые изображения могут быть использованы в качестве иллюстраций в публикациях

        import numpy as np

        import matplotlib.pyplot as plt

Далее мы загружаем данные. Создадим два пустых массива, или списка. Вы можете использовать csv-ридер, но мы предпочитаем сделать всё проще. Поэтому сначала мы преобразуем данные x в вещественные числа и перемещаем в массив X. То же самое проделываем с y. Для удобства  превращаем отступы в коде в пробелы, но это сугубо на ваше усмотрение.

   X=[]

   Y=[]

   for line in open(‘data_1d.csv’):

            x, y = line.split(‘,’)

           X.append(float(x))

           Y.append(float(y))

Теперь преобразуем X и Y в массивы NumPy – так будет удобнее с ними работать.

          X=np.array(X)

         Y=np.array(Y)

А теперь отобразим наши данные в графическом виде, чтобы понять, как это выглядит, и запускаем.

         plt.scatter(X,Y)

         plt.show()

При первом прогоне прорисовка может занять некоторое время. Итак, мы видим, что точки располагаются более-менее вдоль прямой.

Теперь используем полученные нами ранее уравнения для вычисления коэффициентов a и b. Не забывайте, что в найденных выражениях коэффициенты имеют общий знаменатель, поэтому нет необходимости вычислять его дважды – мы просто присвоим его значение переменной denominator. Сначала мы вычислим сумму . Конечно, мы могли бы использовать для этого оператор цикла for, но такой способ неэффективен. Куда лучше использовать библиотеку NumPy, которая скрыто работает с массивами, а все вычисления происходят намного быстрее. Воспользуемся специальными функциями библиотеки.

          denominator = X.dot(X) – X.mean() * X.sum()

И это всё. Теперь вы понимаете, почему так хорошо использовать библиотеку NumPy.

Теперь вычислим числители коэффициентов a и b.

         a = ( X.dot(Y) – Y.mean()*X.sum() ) / denominator

         b = ( Y.mean() * X.dot(X) – X.mean() * X.dot(Y) ) / denominator

Теперь вычислим наше предсказываемое Y.

        Yhat = a*X + b

И отобразим всё это в графическом виде.

        plt.scatter(X, Y)

        plt.plot(X, Yhat)

       plt.show()

Запустим ещё раз.

Первый график – набор исходных точек данных, второй – наш набор исходных данных и искомая линия наилучшего соответствия. Очевидно, что она проходит через все точки, следовательно, наше решение правильно.

Предлагаю кратко поговорить о том, как определить эффективность нашей модели.

Мы уже обсудили определение одномерной  модели, каким образом мы можем её построить, как убедиться в линейной зависимости, как вывести решение, чтобы мы могли найти линию наилучшего соответствия, и как реализовать это решение в программном коде, чтобы мы могли реально могли найти коэффициенты, определяющие нужную прямую – угол наклон и точку пересечения с осью y.

Теперь мы хотим найти какой-то количественный показатель того, насколько хороша наша модель. Обычно для этого в линейной регрессии – и не только в линейной, но и других – используется коэффициент детерминации R2. Коэффициент детерминации R2 определяется следующим образом:

где , то есть сумма квадратов остатков – это просто сумма квадратов ошибок, а

Итак, что же показывает коэффициент детерминации? Пусть у нас сумма квадратов остатков является величиной, близкой к нулю: SSres≈0. Тогда значение коэффициента детерминации будет близким к единице:

R2 ≈ 1 – 0 ≈ 1.

Если значение коэффициента детерминации равно единице, это значит, что у нас идеальная модель.

Коэффициента детерминации, равное нулю

А что означает значение коэффициента детерминации, равное нулю? Если R2=0, это значит, что  Это значит, что мы рассчитали просто среднее значение y, из чего, в свою очередь, следует, что наша модель получилась не очень удачной.

Почему так может получиться? Пусть на нашем графике нет явно выраженной тенденции, тогда линия наилучшего соответствия окажется усреднённым значением наших данных. В этом случае R2 окажется близким к нулю.

Коэффициент детерминации отрицательный

А если значение коэффициента детерминации оказалось отрицательным?

Если R2<0, то выходит, что  Это значит, что разработанная вами модель даёт прогноз даже хуже, чем простое усреднение. И это, очевидно, не очень хорошо, особенно если вы вложили много труда в разработку модели. В таком случае вам стоит остановиться на минуту и задуматься, почему же модель так плохо работает, ведь настоящая рабочая модель должна предсказывать результат гораздо лучше, чем просто каждый раз указывать среднее значение. Возможно, вы просто неправильно поняли тенденцию и создали не ту линию наилучшего соответствия.

Коэффициент детерминации в коде

Итак, сейчас мы напишем код для расчёта коэффициента детерминации R2.

Числитель включает выражение , и для этой разности мы введём специальную переменную. Помните, что наше Y является вектором, и наша переменная Yhat также является вектором размерности n, поэтому и их разность также является вектором. Но вычитая одно и то же число от каждого элемента вектора Y, мы получим скалярную величину, что очень удобно.

d1 = Y – Yhat

d2 = Y – Y.mean()

Коэффициент детерминации равен единице минус сумма квадратов остатков, делённая на сумму общих квадратов. Разность по каждому элементу массива у нас уже есть, и нам нужно возвести их в квадрат:

r2 = 1 – d1.dot(d1) / d2.dot(d2)

Даём команду на печать

print “the r-squared is:”, r2

И запускаем программу.

Коэффициент детерминации оказался равным 0,99, что очень близко к единице. Собственно, это и ожидалось, поскольку я специально подобрал данные для такого результата.

Демонстрация закона Мура в коде

  Первое, с чего мы начнём – импорт библиотек. Начнём с Re, поскольку там есть одна занятная штучка. Также мы импортируем NumPy и Matplotlib.

import re

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

Далее мы создаём пустые массивы для X и Y. Кроме того, нам надо убрать дробную часть из наших входных данных. Если вы не знаете, как это сделать, не волнуйтесь, это не играет важной роли в нашем курсе.

X = [ ]

Y = [ ]

non_decimal = re.compile(r ‘ [^d]+’)

for line in open (‘moore.csv’):

r = line.split(‘t’)

x = int(non_decimal.sub(‘ ‘, r[2].split(‘[‘)[0]))

y = int(non_decimal.sub(‘ ‘, r[1].split(‘[‘)[0]))

X.append(x)

Y.append(y)

Не забывайте, что года – это наше x – находятся в третьем столбце таблицы, а число транзисторов – наше y – во втором столбце. Кроме того, преобразуем наши данные в np-массивы, поскольку так с ними будет легче работать.

X = np.array(X)

Y = np.array(Y)

И отобразим наши данные в графическом виде.

plt.scatter(X, Y)

plt.show()

Далее найдём логарифм числа транзисторов и также отобразим это графически, чтобы вы смогли убедиться, что точки действительно располагаются примерно вдоль прямой.

Y = np.log(Y)

plt.scatter(X, Y)

plt.show()

Теперь мы можем заняться собственно нахождением решения для нашей линейной регрессии. Вычислим знаменатель, a, b и искомую прямую Ŷ.

denominator = X.dot(X) – X.mean() * X.sum()

a – ( X.dot(Y) – Y.mean() * X.sum() ) / denominator

b = ( Y.mean() * X.dot(X) – X.mean() * X.dot(Y) ) / denominator

Yhat = a*X + b

Вычислив искомую линейную регрессию, мы, конечно, захотим воочию увидеть результат.

plt.scatter(X, Y)

plt.plot (X, Yhat)

plt.(show)

Наша следующая задача – определить, насколько хороша наша линейная модель, вычислив коэффициент детерминации. Итак, давайте вычислим, насколько далеки мы от истинных значений. Результаты вычислений отобразим на экране.

d1 = Y – Yhat

d2 = Y – Y.mean()

r2 = 1 – d1.dot(d1) / d2.dot(d2)

print(‘’a:’’, a, ‘’b:’’, b)

print(‘’the r-squared is:’’, r2)

Теперь давайте определим, за какое время количество транзисторов на микросхеме удваивается. Для этого придётся проделать ещё несколько математических операций, но, я думаю, вам не составит труда следить за моей мыслью.

Итак, логарифм количества транзисторов равен нашему a, умноженному на количество лет, плюс b: ln(tc) = a*год + b – это, собственно, и есть найденная нами линейная регрессия. Следовательно, само количество транзисторов равно tc = eb*ea*год. Проведя соответствующие вычисления, можем вычислить время удвоения.

print(‘’time to double:’’, np.log(2)/a, ‘’years’’)

Запустим программу и посмотрим, что у нас получилось. На первой диаграмме изображается количество транзисторов на микросхеме по годам – это наши исходные данные. Как мы видим, это экспоненциальный рост. На второй диаграмме изображён логарифм числа транзисторов, и получившийся результат уже очень похож на прямую. На третьей диаграмме видим логарифм числа транзисторов по годам вместе с вычисленной нами линией наилучшего соответствия.

Мы видим также, что наш коэффициент детерминации равен 0,95. Это очень хороший показатель, означающий, что наша зависимость действительно линейная. Время удвоения равна приблизительно 1,97 года, что очень близко к двум годам. Следовательно, время удвоения количества транзисторов на микросхеме действительно равно примерно двум годам.

Post Views: 22 542

Нахождение радиуса круга: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус круга (окружности) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формулы вычисления радиуса круга

1. Через длину окружности/периметр круга

Радиус круга/окружности рассчитывается по формуле:

C – это длина окружности/периметр круга; равняется удвоенному произведению числа π на его радиус:

C = 2 π R

π – число, приближенное значение которого равно 3,14.

2. Через площадь круга

Радиус круга/окружности вычисляется таким образом:

S – это площадь круга; равна числу π , умноженному на квадрат его радиуса:

S = π R 2

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Окружность круга P

Результат

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

• r — искомый радиус окружности.
• a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /_2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

• Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

• Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
• Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

• r — искомый радиус окружности.
• S — площадь треугольника.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

• R — искомый радиус окружности.
• d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
• a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti

http://exceltut.ru/radius-chto-eto-takoe-i-kak-najti-radius-okruzhnosti/

[/spoiler]