Как найти квадрат 3 чисел в скобках – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квадрат суммы трех слагаемых

Квадрат суммы трех слагаемых можно находить каждый раз последовательным преобразованием. Проще один раз вывести формулу и в дальнейшем её использовать, тем более, что эта формула не столь сложна для запоминания.

Квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов каждого из них плюс их попарные удвоенные произведения.

Доказательство:

$[{(a + b + c)^2} = {((a + b) + c)^2} = ]$

Рассмотрим сумму трёх слагаемых как сумму суммы первых двух слагаемых и третьего и дважды применим формулу квадрата суммы двучлена:

$[ = {(a + b)^2} + 2 cdot (a + b) cdot c + {c^2} = ]$

$[ = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2} = ]$

$[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc.]$

Таким образом, формула квадрата суммы трех слагаемых

$[{(a + b + c)^2} = ]$

$[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc]$

Например,

$[{(2x + 5y + 10z)^2} = ]$

$[ = {(2x)^2} + {(5y)^2} + {(10z)^2} + ]$

$[ = 4{x^2} + 25{y^2} + 100{z^2} + ]$

Формулу квадрата суммы трёх слагаемых можно применить и для отрицательных слагаемых.

Например,

$[{(3m - 2n - 7k)^2} = ]$

$[ = {((3m) + ( - 2n) + ( - 7k))^2} = ]$

$[ = {(3m)^2} + {( - 2n)^2} + {( - 7k)^2} + ]$

$[ = 9{m^2} + 4{n^2} + 49{k^2} - ]$

Источник

Формула квадрата суммы трёх выражений
Формула квадрата суммы четырёх выражений
Формула квадрата суммы нескольких выражений
Формула квадрата разности нескольких выражений
Примеры

Формула квадрата суммы трёх выражений

Возьмём сумму a+b+c и возведём её в квадрат:

$$ (a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c)+b(a+b+c)+ $$

$$ +c(a+b+c) = a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2 = $$

$$= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$

Мы получили формулу квадрата суммы трёх выражений:

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

Квадрат суммы трёх выражений равен сумме квадратов каждого из выражений плюс все двойные произведения, взятые по два.

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

Геометрическое объяснение

Формула квадрата суммы трёх выражений

Рассмотрим квадрат со стороной a+b+c. Для его площади можем записать:

$(a+b+c)^2 =$

$= a^2+b^2+c^2+2ab+2(a+b)c =$

$= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Формула квадрата суммы четырёх выражений

Возьмём сумму a+b+c+d и возведём её в квадрат:

$$(a+b+c+d)^2 = (a+b+c+d)(a+b+c+d) = a(a+b+c+d)+$$

$$ b(a+b+c+d)+c(a+b+c+d)+d(a+b+c+d) = $$

$$ = a^2+ab+ac+ad+ab+b^2+bc+bd+ac+bc+c^2+cd+ $$

$$ +ad+bd+cd+d^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd $$

Мы получили формулу квадрата суммы четырёх выражений:

$$ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$$

Квадрат суммы четырёх выражений равен сумме квадратов каждого из выражений плюс все двойные произведения, взятые по два.

$$ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$$

Формула квадрата суммы нескольких выражений

После того, как мы получили формулу для $(a+b+c)^2$ и $(a+b+c+d)^2$, мы можем дать общую формулировку для любого количества выражений:

Квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов каждого из выражений плюс все двойные произведения, взятые по два.

Запишем это правило:

$$ (a_1+a_2+a_3+⋯+a_n )^2 = a_1^2+a_2^2+a_3^2…+a_n^2+ $$

$$ +2a_1 (a_2+a_3+⋯+a_n )+2a_2 (a_3+⋯+a_n )+⋯+2a_{n-1} a_n $$

Эта формула справедлива для всех натуральных $nge2$.

Формула квадрата разности нескольких выражений

Формулы квадратов сумм можно использовать и для разностей.

Например:

$$ (x-2y+z)^2 = (x+(-2y)+z)^2 = x^2+(-2y)^2+z^2+ $$

$$ +2xcdot(-2y)+2xz+2cdot(-2y)z = x^2+4y^2+z^2-4xy+2xz-4yz $$

Или:

$$(x-2y-z)^2 = (x+(-2y)+(-z) )^2 = x^2+(-2y)^2+(-z)^2+$$

$$ +2xcdot(-2y)+2x(-z)+2cdot(-2y)(-z) = x^2+4y^2+z^2-4xy-2xz+4yz$$

И т.д.

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена:

а) $ (2x+3y+4z)^2 = (2x)^2+(3y)^2+(4z)^2+2cdot2xcdot3y+2cdot2xcdot4z+2cdot3ycdot4z =$

$= 4x^2+9y^2+16z^2+12xy+16xz+24yz $

б) $(a-4b+5)^2 = a^2+(-4b)^2+5^2+2acdot(-4b)+2acdot5+2cdot(-4b)cdot5 =$

$= a^2+16b^2+25-8ab+10a-40b $

в) $(2p+ frac{1}{2}q+1)^2 = 4p^2+ frac{q^2}{4}+1+2cdot2pcdot frac{1}{2} q+2cdot2pcdot1+2cdot frac{1}{2} qcdot1 =$

$= 4p^2+frac{q^2}{4}+1+2pq+4p+q$

г) $(3m-frac{1}{3} k+n)^2 = 9m^2+frac{k^2}{9}+n^2+2cdot3mcdot(-frac{k}{3})+2cdot3mn+2cdot(-frac{k}{3})cdot n =$

$= 9m^2+frac{k^2}{9}+n^2-2km+6mn- frac{2}{3} kn $

Пример 2. Представьте в виде многочлена:

а) $(m+2n+3p+5)^2 = m^2+4n^2+9p^2+25+2mcdot2n+2mcdot3p+2mcdot5+ $

$+4ncdot3p+4ncdot5+6pcdot5 = m^2+4n^2+9p^2+25+4mn+6mp+10m+ $

$+12pn+20n+30p$

б) $(frac{1}{2} k-5+2c+d^2 )^2 = frac{1}{4} k^2+25+4c^2+d^4+kcdot(-5)+kcdot2c+kcdot d^2-$

$-10cdot2c-10cdot d^2+4ccdot d^2 = $

$= frac{1}{4} k^2+25+4c^2+d^4-5k+2ck+kd^2-20c-10d^2+4cd^2$

Пример 3. Упростите выражение:

а) $(2a+b-8)^2-(2a-b+8)^2 =$

$((2a+b-8)-(2a-b+8) )((2a+b-8)+(2a-b+8) ) = $

$= (2b-16)cdot4a = 8ab-64a$

б) $(2a+b-8)^2+(2a-b+8)^2 = 4a^2+b^2+64+4ab-32a-16b+$

$+4a^2+b^2+64-4ab+32a-16b = 8a^2+2b^2+128-32b $

Источник

☰

Квадрат суммы нескольких слагаемых

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)²

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)²

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)² = (a + b)² + 2(a + b)c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:

(a + b + c + d)² = ((a + b) + (c + d))² = (a + b)² + 2(a+b)(c+d) + (c + d)² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c² + 2cd + d²

В результате была бы получена следующая формула:

(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Вообще независимо от того, сколько слагаемых в квадрате суммы, при раскрытии скобок получается сумма квадратов всех слагаемых плюс удвоенные пары произведений этих слагаемых.

Источник

Квадрат суммы нескольких слагаемых

Раскроем скобки в выражении :

Итак, имеем

Справа записана сумма квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых. Вообще говоря, для любого справедливо тождество

$[ + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + ldots + 2a_{n-1}a_n.]$

Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых.

В верности этого равенства можно убедиться, если раскрыть скобки и привести подобные члены.

Источник

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

1 Формулы для квадратов
- 1.1 Разность квадратов
  - 1.1.1 Доказательство
2 Формулы для кубов
3 Формулы для четвёртой степени
4 Формулы для n-й степени
5 В комплексных числах
6 Некоторые свойства формул
7 См. также
8 Примечания
9 Литература

Формулы для квадратов[править | править код]

$(apm b)^{2}=a^{2}pm 2ab+b^{2}$ – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
$left(a+b+cright)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле^[1]:

${displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

${displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

${displaystyle ba-ab=0}$

и остаётся

${displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

${displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}$ .

Чтобы это было равно ${displaystyle a^{2}-b^{2}}$ , мы должны иметь

${displaystyle ba-ab=0}$

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

$(apm b)^{3}=a^{3}pm 3a^{2}b+3ab^{2}pm b^{3}$ – куб суммы (разности) двух чисел
$a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2)$ – сумма (разность) кубов
$left(a+b+cright)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$ – куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

$(apm b)^{4}=a^{4}pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}pm 4ab^{3}+b^{4}$
${displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}$ (выводится из $a^{2}-b^{2}$ )
${displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{sqrt {2}}ab+b^{2})}$

Формулы для n-й степени[править | править код]

${displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}$
${displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}$ , где $nin N$
${displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}$
${displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}$ , где $nin N$

В комплексных числах[править | править код]

${displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$
${displaystyle a^{3}pm b^{3}=left(apm bright)left(a+{frac {mp 1+{sqrt {3}}i}{2}}bright)left(a+{frac {mp 1-{sqrt {3}}i}{2}}bright)}$
${displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}$
${displaystyle a^{4}+b^{4}=left(a+{frac {1+i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {-1+i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {-1-i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {1-i}{sqrt {2}}}bright)}$