Как найти площадь треугольника через площадь четырехугольника

Как найти отношение площади треугольника к площади четырехугольника

• 

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` – углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` – противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` – высоты к этим сторонам; `r` – радиус вписанной окружности;`R` – радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` – периметр треугольника; `S` – площадь треугольника

`S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`,	(1)
`S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`,	(2)
`S=pr`,	(3)
``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` – формула Герона,	(4)
`S=(abc)/(4R)`.	(5)

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:

`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;

Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь – найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

$$ 2.<1>^<○>$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то

$$ 2.<2>^<○>$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):

$$ 2.<3>^<○>$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их

сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC

DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.

Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` – точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.

Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.

Точка `M` – середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.

Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.

1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.<1>^<○>$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).

2. Через точку `D` проведём прямую `DL“||“AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL“||“AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.

По той же теореме (`/_DCB`, `OK“||“DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.

3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.

(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`

`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).

Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).

Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).

В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.

Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.

Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.

В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.

Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.

Пусть `O` – точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.

По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.

Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:

`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.

Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.

Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.

Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` – площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.

`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.

Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` – середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.

Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.

Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.

Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:

`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.

называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.

Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.

Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` – точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.

Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:

`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда

Решение №2549 Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая …

Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке Т. Найдите отношение площади треугольника АDТ к площади четырёхугольника СКDТ.

Источник: ОГЭ Лысенко 2022 (40 вар)

Обозначим S_ΔABC , как S.
ΔABK и ΔAKC равновеликие, т.к. образованы медианой AK , значит имеют равную площадь:

ΔBAD и ΔBDK так же равновеликие, т.к. образованы медианой BD, значит имеют равную площадь:

Площадь ΔBAD можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

Площадь ΔADT можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

Выразим площадь четырёхугольника CKDT :

S_CKDT = S_ΔAKC – S_ΔADT =

Тогда искомое отношение площадей равно:

По теореме Менелая для ΔAKC:

Получаем, что СТ:ТА = 2:1, СТ = 2х, ТА = 1х, АС = СТ + ТА = 2х + 1х = 3х.
По теореме Менелая для ΔBCT:

Получаем, что BD:DT = 3:1, BD = 3х, DT = 1х.
Найдём искомое отношение площадей:

ОГЭ. Решение. Задание 26, Вариант 1

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

Проведем МТ параллельно АР. Поскольку М – середина АС, МТ – средняя линия треугольника АРС и СТ = ТР.
Аналогично, КР – средняя линия треугольника ВМТ, и ВР = РТ.

Пусть S – площадь треугольника АВС.
Площадь четырехугольника КРСМ равна разности площадей треугольника АВС и треугольников АВМ и ВКР.

Тогда площадь треугольника ВКР в 4 раза меньше площади треугольника ВМТ.
Площадь треугольника ВМТ равна площади треугольника ВМС, то есть площади треугольника АВС. Тогда площадь треугольника ВКР равна площади треугольника АВС.
Площадь треугольника АВМ равна половине площади треугольника АВС.
Тогда площадь четырехугольника КРСМ равна
Отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника КРСМ равно

[spoiler title=”источники:”]

[/spoiler]

§2. Площадь треугольника. Метод площадей

В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.

Пусть `A`, `B` и `C` – углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` – противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` – высоты к этим сторонам; `r` – радиус вписанной окружности;`R` – радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` – периметр треугольника; `S` – площадь треугольника

При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.

Для примера, рассмотрим два треугольника:  

 `DeltaABC:`  `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;

`DeltaKML:`  `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`,  `KM=sqrt(15)`;

 Надо найти площадь и радиус описанной окружности.

Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:

`p=1/2(AB+BC+AC)=21`,  по формуле Герона

`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)

 `R=(abc)/(4S)=(13*14*15)/(4*84)=65/8=ul(8,125)`.

Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь – найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов

`13=14+15-2sqrt(14)*sqrt(15)cosM iffcosM=8/(sqrt(14)*sqrt(15))`,

тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))`  и по формуле (2):

`S_(KML)=1/2KM*LMsinM=1/2*(sqrt(14)*sqrt(15)*sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))=(sqrt(146))/2`,

тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).

Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:

Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).

Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.

В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.

Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.

Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Содержание

1. Площадь в геометрии
2. Площадь по координатам вершин или двух определяющих его векторов
3. Площадь в матричном виде
4. Площадь в тензорном исчислении
5. Площадь треугольника в трехмерном пространстве
6. Через проекции площадей на координатные плоскости
7. Использованием операции векторного произведения векторной алгебры
8. Площадь с использованием операций свертки тензорного исчисления

В математике и физике широко пользуются тензорным исчислением, в которой понятия “скаляр”, “вектор” и “тензор” являются широко употребляемыми объектами. Смысл этих понятий и анализ первых двух понятий был определен в предыдущей статье, и последующей . В первой были определены понятия “длины ” вектора и “скалярного” произведения векторов и некоторые определения, с ними связанные, их геометрический смысл, а во второй введены понятия и определения, связанные с тензорами. Без них любая статья подобного направления будет художественным текстом на иностранном языке без перевода.

Под понятием “тензор ” обычно понимаются объекты типа “вектор “, “матрица “, и другие многоиндексные объекты произвольной валентности с размерностью, равной размерности n рассматриваемого пространства:

где i .. j , k .. m – индексы тензора,
m –символ последнего индекса.

Тензоры в математике применяются очень широко. В частности, с их помощью можно определять геометрические параметры – длину, площадь, объем. А также различные “прекции”. А для многомерных объектов – гиперобъемы. Длину вектора или отрезка и проекции мы определили в предыдущих статьях. Здесь определим площади.

1. Площадь в геометрии

Из школьной геометрии мы знаем, что площадь квадрата со сторонами d равна d ² .
Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab .
Площадь треугольника со стороной a и высотой h равна ah /2.
Площадь треугольника со сторонами a и b равна a · b · sin ( a , b ).

2. Площадь по координатам вершин или двух определяющих его векторов

А чему равна площадь треугольника, заданного с помощью координат ее вершин или двух известных определяющих его сторон–векторов? Конечно, можно вычислить, применяя геометрический метод. Но есть еще один метод – универсальный, годный при любом расположении ее вершин и сторон–векторов. Попробуем найти эту формулу для двумерного случая.

Задача: найти площадь треугольника OAB .

Решение: ACB )площадь треугольника ОАВ равна площади квадрата OYa CXb = Ya Xb за вычетом окружающих треугольник OAB треугольников

S = S(OYb B) + S(BCA) + S(OAXa ).

Вычислим их:

S(OYb B) = (OYb) *(OXb) = Yb Xb,
S(OXa A) = (OXa )*( Ya ) = Xa Ya,
S(BCA) = (Yb – Ya )*( Xa – Xb ) = Yb Xa – Yb Xb – Ya Xa + Ya Xb.

Сложим ( точнее – вычтем ) их :

После приведения подобных членов имеем:

S = ½(Yb Xa – Ya Xb) = A × B.

Это очень замечательная формула, по которой, зная координаты вектора, можно напрямую вычислить площадь треугольника и четырехугольника, построенных на них. При этом получим скалярную – точнее, псевдоскалярную – величину. Псевдоскалярную – потому что, если поменять местами вектора A и B , то результат поменяет свой знак – можете поверить – а можете проверить.

Но у этой формулы имеется недостаток – она годится только на двумерной плоскости.

3. Площадь в матричном виде

Есть еще одна математическая дисциплина, которая позволяет ее методами вычислить площадь треугольника по значениям двух матриц-векторов. В виде формулы она представляется через представление площади как детерминанта матрицы, составленного из элементов этих векторов, в таком виде:

У этой формулы также имеется недостаток – она годится только на двумерной плоскости.

4. Площадь в тензорном исчислении

Эта замечательная формула записана не в тензорном формате. Но она состоит из тензорных элементов, элементы которой определяются как элементы прямого произведения элементов векторов A и B . Для того, чтобы получить скаляр, в тензорном исчислении необходимо свернуть все индексы тензора. Поэтому в тензорном виде площадь записывается в форме, где ε ᵢ ⱼ – антисиммметричный тензор:

5. Площадь треугольника в трехмерном пространстве

В трехмерном случае обойтись такими простыми формулами будет невозможно – алгоритмы будут немножко сложнее. В трехмерном пространстве два вектора будут иметь уже по три координаты – ( x , y , z ). Здесь можно выделить основных метода.

Первый метод – используя двухмерные параметры треугольника – находим соответствующие параметры треугольника (длины сторон, углы, координаты точек A и B в плоскости, где находится треугольник) и применяем любые из выше показанных методов (есть, конечно, и другие методы).

Второй метод – используя непосредственно трехмерные параметры треугольника.

6. Через проекции площадей на координатные плоскости

Например, так. Первой операцией будет нахождение площадей получающегося треугольника в координатных плоскостях S(yz), S(zx) и S(xy). Это можно сделать любым из показанных выше методов. В результате получим проекции площадей треугольника на соответствующие координатные плоскости. Причем три проекции {S(yz), S(zx), S(xy)} составлять координаты некоторого вектора [S(yz), S(zx), S(xy)]. Точнее, опять – псевдовектора или по другому – аксиального вектора . Псевдовектор меняет свой знак при преобразовании отражения осей координат.

А общая площадь получится как длина этого вектора. А длину вектора проходили ранее .

7. Использованием операции векторного произведения векторной алгебры

Есть такая математическая дисциплина, которая называется векторной алгеброй , в которой определена операция 3-мерного векторного умножения, результат которой есть именно определенный только что (п.7) вектор:

C ₃ = A × B = [S(yz), S(zx), S(xy)] = ( Az By – Ay Bz , Ax Bz – Az Bx , Ay Bx – Ax By,) .

А общая площадь получится, как писали там же, как длина этого вектора. Как отмечали выше, этот вектор не совсем обычный – а псевдовектор.

8. Площадь с использованием операций свертки тензорного исчисления

Для этого используем формулу площади треугольника через длину сторон и угол между ними: площадь треугольника со сторонами a и b равна a · b · sin ( a , b ). Найдем участвующие в формуле параметры через скалярные произведения. Длины векторов равны | a | и | b |, а также

В результате получили выражение, состоящее только из скалярных произведений участвующих в формуле параметров треугольника – векторов его сторон a и b. Только в формуле опущены индексы.

И эта формула может быть применена в пространстве любой размерности, а не только размерности 2 и 3.

Если статья понравилась – ставьте лайк, делитесь в ваших соцсетях.
И комментируйте!