Как найти эдс индукции в катушке

Магнитный поток

Прежде, чем разобраться с тем, что такое электромагнитная индукция, нужно определить такую сущность, как магнитный поток.

Представьте, что вы взяли обруч в руки и вышли на улицу в ливень. Чем сильнее ливень, тем больше через этот обруч пройдет воды — поток воды больше.

Если обруч расположен горизонтально, то через него пройдет много воды. А если начать его поворачивать — уже меньше, потому что он расположен не под прямым углом к вертикали.

Теперь давайте поставим обруч вертикально — ни одной капли не пройдет сквозь него (если ветер не подует, конечно).

Магнитный поток по сути своей — это тот же самый поток воды через обруч, только считаем мы величину прошедшего через площадь магнитного поля, а не дождя.

Магнитным потоком через площадь ​S​ контура называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля вектора магнитной индукции ​B​, площади поверхности ​S​, пронизываемой данным потоком, и косинуса угла ​α​ между направлением вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра к плоскости данной поверхности):

Магнитный поток можно наглядно представить как величину, пропорциональную числу магнитных линий, проходящих через данную площадь.

В зависимости от угла ​α магнитный поток может быть положительным (α < 90°) или отрицательным (α > 90°). Если α = 90°, то магнитный поток равен 0. Это зависит от величины косинуса угла.

Изменить магнитный поток можно меняя площадь контура, модуль индукции поля или расположение контура в магнитном поле (поворачивая его).

В случае неоднородного магнитного поля и неплоского контура, магнитный поток находят как сумму магнитных потоков, пронизывающих площадь каждого из участков, на которые можно разбить данную поверхность.

Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция — явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего его.

Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем.

Майкл Фарадей провел ряд опытов, которые помогли открыть явление электромагнитной индукции.

Опыт раз. На одну непроводящую основу намотали две катушки: витки первой катушки были расположены между витками второй. Витки одной катушки были замкнуты на гальванометр, а второй — подключены к источнику тока.

При замыкании ключа и протекании тока по второй катушке в первой возникал импульс тока. При размыкании ключа также наблюдался импульс тока, но ток через гальванометр тек в противоположном направлении.

Опыт два. Первую катушку подключили к источнику тока, а вторую — к гальванометру. При этом вторая катушка перемещалась относительно первой. При приближении или удалении катушки фиксировался ток.

Опыт три. Катушка замкнута на гальванометр, а магнит движется вдвигается (выдвигается) относительно катушки

Вот, что показали эти опыты:

1. Индукционный ток возникает только при изменении линий магнитной индукции.
2. Направление тока будет различно при увеличении числа линий и при их уменьшении.
3. Сила индукционного тока зависит от скорости изменения магнитного потока. Может изменяться само поле, или контур может перемещаться в неоднородном магнитном поле.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) звучит так:

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Математически его можно описать формулой:

Знак «–» в формуле позволяет учесть направление индукционного тока. Индукционный ток в замкнутом контуре всегда направлен так, чтобы магнитный поток поля, созданного этим током сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшал бы те изменения поля, которые вызвали появление индукционного тока.

Если контур состоит из ​N витков (то есть он — катушка), то ЭДС индукции будет вычисляться следующим образом.

Сила индукционного тока в замкнутом проводящем контуре с сопротивлением ​R​:

Если проводник длиной l будет двигаться со скоростью ​v​ в постоянном однородном магнитном поле с индукцией ​B​ ЭДС электромагнитной индукции равна:

Возникновение ЭДС индукции в движущемся в магнитном поле проводнике объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Количество теплоты в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам:

• вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле
• вследствие изменения во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной:

• в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца
• в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Правило Ленца

Чтобы определить направление индукционного тока, нужно воспользоваться правилом Ленца.

Академически это правило звучит следующим образом: индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток.

Давайте попробуем чуть проще: катушка в данном случае — это недовольная бабуля. Забирают у нее магнитный поток — она недовольна и создает магнитное поле, которое этот магнитный поток хочет обратно отобрать.

Дают ей магнитный поток, забирай, мол, пользуйся, а она такая — «Да зачем сдался мне ваш магнитный поток!» и создает магнитное поле, которое этот магнитный поток выгоняет.

В материале разберемся в понятии ЭДС индукции в ситуациях ее возникновения. Также рассмотрим индуктивность в качестве ключевого параметра возникновения магнитного потока при появлении электрического поля в проводнике.

Электромагнитная индукция представляет собой генерирование электрического тока магнитными полями, которые изменяются во времени. Благодаря открытиям Фарадея и Ленца закономерности были сформулированы в законы, что ввело симметрию в понимание электромагнитных потоков. Теория Максвелла собрала воедино знания об электрическом токе и магнитных потоках. Благодаря открытия Герца человечество узнало о телекоммуникациях.

Магнитный поток

Вокруг проводника с электротоком появляется электромагнитное поле, однако параллельно возникает также обратное явление – электромагнитная индукция. Рассмотрим магнитный поток на примере: если рамку из проводника поместить в электрическое поле с индукцией и перемещать ее сверху вниз по магнитным силовым линиям или вправо-влево перпендикулярно им, тогда магнитный поток, проходящий через рамку, будет постоянной величиной.

При вращении рамки вокруг своей оси, тогда через некоторое время магнитный поток изменится на определенную величину. В результате в рамке возникает ЭДС индукции и появится электрический ток, который называется индукционным.

ЭДС индукции

Разберемся детально, что такое понятие ЭДС индукции. При помещении в магнитное поле проводника и его движении с пересечением силовых линий поля, в проводнике появляется электродвижущая сила под названием ЭДС индукции. Также она возникает, если проводник остается в неподвижном состоянии, а магнитное поле перемещается и пересекается с проводником силовыми линиями.

Когда проводник, где происходит возникновение ЭДС, замыкается на вешнюю цепь, благодаря наличию данной ЭДС по цепи начинает протекать индукционный ток. Электромагнитная индукция предполагает явление индуктирования ЭДС в проводнике в момент его пересечения силовыми линиями магнитного поля.

Электромагнитная индукция являет собой обратный процесс трансформации механической энергии в электроток. Данное понятие и его закономерности широко используются в электротехнике, большинство электромашин основывается на данном явлении.

Законы Фарадея и Ленца

Законы Фарадея и Ленца отображают закономерности возникновения электромагнитной индукции.

Фарадей выявил, что магнитные эффекты появляются в результате изменения магнитного потока во времени. В момент пересечения проводника переменным магнитным током, в нем возникает электродвижущая сила, которая приводит к возникновению электрического тока. Генерировать ток может как постоянный магнит, так и электромагнит.

Ученый определил, что интенсивность тока возрастает при быстром изменении количества силовых линий, которые пересекают контур. То есть ЭДС электромагнитной индукции пребывает в прямой зависимости от скорости магнитного потока.

Согласно закону Фарадея, формулы ЭДС индукции определяются следующим образом:

Е = — dФ/dt.

Знак «минус» указывает на взаимосвязь между полярностью индуцированной ЭДС, направлением потока и изменяющейся скоростью.

Согласно закону Ленца, можно охарактеризовать электродвижущую силу в зависимости от ее направленности. Любое изменение магнитного потока в катушке приводит к появлению ЭДС индукции, причем при быстром изменении наблюдается возрастающая ЭДС.

Если катушка, где есть ЭДС индукции, имеет замыкание на внешнюю цепь, тогда по ней течет индукционный ток, вследствие чего вокруг проводника появляется магнитное поле и катушка приобретает свойства соленоида. В результате вокруг катушки формируется свое магнитное поле.

Э.Х. Ленц установил закономерность, согласно которой определяется направление индукционного тока в катушке и ЭДС индукции. Закон гласит, что ЭДС индукции в катушке при изменении магнитного потока формирует в катушке ток направления, при котором данный магнитный поток катушки дает возможность избежать изменения постороннего магнитного потока.

Закон Ленца применяется для всех ситуаций индуктирования электротока в проводниках, вне зависимости от их конфигурации и метода изменения внешнего магнитного поля.

Движение провода в магнитном поле

Значение индуктированной ЭДС определяется в зависимости от длины проводника, пересекаемого силовыми линиями поля. При большем количестве силовых линий возрастает величина индуктируемой ЭДС. При увеличении магнитного поля и индукции, большее значение ЭДС возникает в проводнике. Таким образом, значение ЭДС индукции в движущемся в магнитном поле проводнике находится в прямой зависимости от индукции магнитного поля, длины проводника и скорости его движения.

Данная зависимость отражена в формуле Е = Blv, где Е — ЭДС индукции; В — значение магнитной индукции; I — длина проводника; v —скорость его перемещения.

Отметим, что в проводнике, который движется в магнитном поле, ЭДС индукции появляется, только когда он пересекает силовые линии магнитного поля. Если проводник движется по силовым линиям, тогда ЭДС не индуктируется. По этой причине формула применяется только в случаях, когда движением проводника направлено перпендикулярно силовым линиям.

Направление индуктированной ЭДС и электротока в проводнике определяется направлением движения самого проводника. Для выявления направления разработано правило правой руки. Если держать ладонь правой руки таким образом, чтобы в ее направлении входили силовые линии поля, а большой палец указывает направление движения проводника, тогда остальные четыре пальца показывают направление индуктированной ЭДС и направление электротока в проводнике.

Вращающаяся катушка

Функционирование генератора электротока основывается на вращении катушки в магнитном потоке, где имеется определенное количество витков. ЭДС индуцируется в электрической цепи всегда при пересечении ее магнитным потоком, на основании формулы магнитного потока Ф = B x S х cos α (магнитная индукция, умноженная на площадь поверхности, через которую проходит магнитный поток, и косинус угла, сформированный вектором направления и перпендикулярной плоскости линии).

Согласно формуле, на Ф воздействуют изменения в ситуациях:

• при изменении магнитного потока меняется вектор направления;
• изменяется площадь, заключенная в контур;
• меняется угол.

Допускается индуцирование ЭДС при неподвижном магните или неизменном токе, а просто при вращении катушки вокруг своей оси в пределах магнитного поля. В данном случае магнитный поток изменяется при смене значения угла. Катушка в процессе вращения пересекает силовые линии магнитного потока, в итоге появляется ЭДС. При равномерном вращении возникает периодическое изменение магнитного потока. Также число силовых линий, которые пересекаются ежесекундно, становится равным значениям через равные временные промежутки.

На практике в генераторах переменного электротока катушка остается в неподвижном состоянии, а электромагнит выполняет вращения вокруг нее.

ЭДС самоиндукции

При прохождении через катушку переменного электротока генерируется переменное магнитное поле, которое характеризуется меняющимся магнитным потоком, индуцирующим ЭДС. Данное явление называется самоиндукцией.

В силу того, что магнитный поток пропорционален интенсивности электротока, тогда формула ЭДС самоиндукции выглядит таким образом:

Ф = L x I, где L – индуктивность, которая измеряется в Гн. Ее величина определяется числом витков на единицу длины и величиной их поперечного сечения.

Взаимоиндукция

При расположении двух катушек рядом в них наблюдается ЭДС взаимоиндукции, которая определяется конфигурацией двух схем и их взаимной ориентацией. При возрастании разделения цепей значение взаимоиндуктивности уменьшается, поскольку наблюдается уменьшение общего для двух катушек магнитного потока.

Рассмотрим детально процесс возникновения взаимоиндукции. Есть две катушки, по проводу одной с N1 витков течет ток I1, которым создается магнитный поток и идет через вторую катушку с N2 числом витков.

Значение взаимоиндуктивности второй катушки в отношении первой:

М21 = (N2 x F21)/I1.

Значение магнитного потока:

Ф21 = (М21/N2) x I1.

Индуцированная ЭДС вычисляется по формуле:

Е2 = — N2 x dФ21/dt = — M21x dI1/dt.

В первой катушке значение индуцируемой ЭДС:

Е1 = — M12 x dI2/dt.

Важно отметить, что электродвижущая сила, спровоцированная взаимоиндукцией в одной из катушек, в любом случае прямо пропорциональна изменению электрического тока в другой катушке.

Тогда взаимоиндуктивность считается равной:

М12 = М21 = М.

Вследствие этого , E1 = — M x dI2/dt и E2 = M x dI1/dt. М = К √ (L1 x L2), где К является коэффициентом связи между двумя значениями инжуктивности.

Взаимоиндукция широко используется в трансформаторах, которые дают возможность менять значения переменного электротока. Прибор представляет собой пару катушек, которые намотаны на общий сердечник. Ток в первой катушке формирует изменяющийся магнитный поток в магнитопроводе и ток во второй катушке. При меньшем числе витков в первой катушке, чем во второй, возрастает напряжение, и соответственно при большем количестве витков в первой обмотке напряжение снижается.

Помимо генерирования и трансформации электрической энергии, явление магнитной индукции используется в прочих приборах. К примеру, в магнитных левитационных поездах, движущихся без непосредственного контакта с током в рельсах, а на пару сантиметров выше по причине электромагнитного отталкивания.

Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции

Электромагнитная индукция – явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего его.

Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем.

Опыты Фарадея

• На одну непроводящую основу были намотаны две катушки: витки первой катушки были расположены между витками второй. Витки одной катушки были замкнуты на гальванометр, а второй – подключены к источнику тока. При замыкании ключа и протекании тока по второй катушке в первой возникал импульс тока. При размыкании ключа также наблюдался импульс тока, но ток через гальванометр тек в противоположном направлении.
• Первая катушка была подключена к источнику тока, вторая, подключенная к гальванометру, перемещалась относительно нее. При приближении или удалении катушки фиксировался ток.
• Катушка замкнута на гальванометр, а магнит движется – вдвигается (выдвигается) – относительно катушки.

Опыты показали, что индукционный ток возникает только при изменении линий магнитной индукции. Направление тока будет различно при увеличении числа линий и при их уменьшении.

Сила индукционного тока зависит от скорости изменения магнитного потока. Может изменяться само поле, или контур может перемещаться в неоднородном магнитном поле.

Объяснения возникновения индукционного тока

Ток в цепи может существовать, когда на свободные заряды действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура равна ЭДС. Значит, при изменении числа магнитных линий через поверхность, ограниченную контуром, в нем появляется ЭДС, которую называют ЭДС индукции.

Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Его называют вихревым электрическим полем. Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1861 году.

Свойства вихревого электрического поля:

• источник – переменное магнитное поле;
• обнаруживается по действию на заряд;
• не является потенциальным;
• линии поля замкнутые.

Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике.

Магнитный поток

Магнитным потоком через площадь ​( S )​ контура называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля вектора магнитной индукции ​( B )​, площади поверхности ​( S )​, пронизываемой данным потоком, и косинуса угла ​( alpha )​ между направлением вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра к плоскости данной поверхности):

Обозначение – ​( Phi )​, единица измерения в СИ – вебер (Вб).

Магнитный поток в 1 вебер создается однородным магнитным полем с индукцией 1 Тл через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно вектору магнитной индукции:

Магнитный поток можно наглядно представить как величину, пропорциональную числу магнитных линий, проходящих через данную площадь.

В зависимости от угла ​( alpha )​ магнитный поток может быть положительным (( alpha ) < 90°) или отрицательным (( alpha ) > 90°). Если ( alpha ) = 90°, то магнитный поток равен 0.

Изменить магнитный поток можно меняя площадь контура, модуль индукции поля или расположение контура в магнитном поле (поворачивая его).

В случае неоднородного магнитного поля и неплоского контура магнитный поток находят как сумму магнитных потоков, пронизывающих площадь каждого из участков, на которые можно разбить данную поверхность.

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Знак «–» в формуле позволяет учесть направление индукционного тока. Индукционный ток в замкнутом контуре имеет всегда такое направление, чтобы магнитный поток поля, созданного этим током сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшал бы те изменения поля, которые вызвали появление индукционного тока.

Если контур состоит из ​( N )​ витков, то ЭДС индукции:

Сила индукционного тока в замкнутом проводящем контуре с сопротивлением ​( R )​:

При движении проводника длиной ​( l )​ со скоростью ​( v )​ в постоянном однородном магнитном поле с индукцией ​( vec{B} )​ ЭДС электромагнитной индукции равна:

где ​( alpha )​ – угол между векторами ​( vec{B} )​ и ( vec{v} ).

Возникновение ЭДС индукции в движущемся в магнитном поле проводнике объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Количество теплоты в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

Важно!
Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам:

• магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле;
• вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея.

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной:

• в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца;
• в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Правило Ленца

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца: индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток.

Алгоритм решения задач с использованием правила Ленца:

• определить направление линий магнитной индукции внешнего магнитного поля;
• выяснить, как изменяется магнитный поток;
• определить направление линий магнитной индукции магнитного поля индукционного тока: если магнитный поток уменьшается, то они сонаправлены с линиями внешнего магнитного поля; если магнитный поток увеличивается, – противоположно направлению линий магнитной индукции внешнего поля;
• по правилу буравчика, зная направление линий индукции магнитного поля индукционного тока, определить направление индукционного тока.

Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.

Самоиндукция

Самоиндукция – это явление возникновения ЭДС индукции в проводнике в результате изменения тока в нем.

При изменении силы тока в катушке происходит изменение магнитного потока, создаваемого этим током. Изменение магнитного потока, пронизывающего катушку, должно вызывать появление ЭДС индукции в катушке.

В соответствии с правилом Ленца ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию силы тока при включении и убыванию силы тока при выключении цепи.

Это приводит к тому, что при замыкании цепи, в которой есть источник тока с постоянной ЭДС, сила тока устанавливается через некоторое время.

При отключении источника ток также не прекращается мгновенно. Возникающая при этом ЭДС самоиндукции может превышать ЭДС источника.

Явление самоиндукции можно наблюдать, собрав электрическую цепь из катушки с большой индуктивностью, резистора, двух одинаковых ламп накаливания и источника тока. Резистор должен иметь такое же электрическое сопротивление, как и провод катушки.

Опыт показывает, что при замыкании цепи электрическая лампа, включенная последовательно с катушкой, загорается несколько позже, чем лампа, включенная последовательно с резистором. Нарастанию тока в цепи катушки при замыкании препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая при возрастании магнитного потока в катушке.

При отключении источника тока вспыхивают обе лампы. В этом случае ток в цепи поддерживается ЭДС самоиндукции, возникающей при убывании магнитного потока в катушке.

ЭДС самоиндукции ​( varepsilon_{is} )​, возникающая в катушке с индуктивностью ​( L )​, по закону электромагнитной индукции равна:

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в катушке.

Индуктивность

Электрический ток, проходящий по проводнику, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток ​( Phi )​ через контур из этого проводника пропорционален модулю индукции ​( vec{B} )​ магнитного поля внутри контура, а индукция магнитного поля, в свою очередь, пропорциональна силе тока в проводнике.

Следовательно, магнитный поток через контур прямо пропорционален силе тока в контуре:

Индуктивность – коэффициент пропорциональности ​( L )​ между силой тока ​( I )​ в контуре и магнитным потоком ​( Phi )​, создаваемым этим током:

Индуктивность зависит от размеров и формы проводника, от магнитных свойств среды, в которой находится проводник.

Единица индуктивности в СИ – генри (Гн). Индуктивность контура равна 1 генри, если при силе постоянного тока 1 ампер магнитный поток через контур равен 1 вебер:

Можно дать второе определение единицы индуктивности: элемент электрической цепи обладает индуктивностью в 1 Гн, если при равномерном изменении силы тока в цепи на 1 ампер за 1 с в нем возникает ЭДС самоиндукции 1 вольт.

Энергия магнитного поля

При отключении катушки индуктивности от источника тока лампа накаливания, включенная параллельно катушке, дает кратковременную вспышку. Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции.

Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Для создания тока в контуре с индуктивностью необходимо совершить работу на преодоление ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного поля тока вычисляется по формуле:

Основные формулы раздела «Электромагнитная индукция»

Алгоритм решения задач по теме «Электромагнитная индукция»:

1. Внимательно прочитать условие задачи. Установить причины изменения магнитного потока, пронизывающего контур.

2. Записать формулу:

• закона электромагнитной индукции;
• ЭДС индукции в движущемся проводнике, если в задаче рассматривается поступательно движущийся проводник; если в задаче рассматривается электрическая цепь, содержащая источник тока, и возникающая на одном из участков ЭДС индукции, вызванная движением проводника в магнитном поле, то сначала нужно определить величину и направление ЭДС индукции. После этого задача решается по аналогии с задачами на расчет цепи постоянного тока с несколькими источниками.

3. Записать выражение для изменения магнитного потока и подставить в формулу закона электромагнитной индукции.

4. Записать математически все дополнительные условия (чаще всего это формулы закона Ома для полной цепи, силы Ампера или силы Лоренца, формулы кинематики и динамики).

5. Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.

6. Решение проверить.

Эдс индукции

Причиной
электродвижущей силы может стать
изменение магнитного
поля в
окружающем пространстве. Это явление
называетсяэлектромагнитной
индукцией.
Величина ЭДС индукции в контуре
определяется выражением

где — поток
магнитного поля через
замкнутую поверхность ,
ограниченную контуром. Знак «−» перед
выражением показывает, что индукционный
ток, созданный ЭДС индукции, препятствует
изменению магнитного потока в контуре
(см. правило
Ленца).

41. Индуктивность, ее единица СИ.
Индуктивность длинного соленоида.

Индукти́вность (или коэффициент
самоиндукции) —
коэффициент пропорциональности между
электрическим током,
текущим в каком-либо замкнутом контуре,
и магнитным
потоком,
создаваемым этим током через поверхность^[1],
краем которой является этот контур.^[2][3][4].

В
формуле

—
магнитный
поток, —
ток в контуре, —
индуктивность.

• Нередко
  говорят об индуктивности прямого
  длинного провода(см.).
  В этом случае и других (особенно – в не
  отвечающих квазистационарному
  приближению) случаях, когда замкнутый
  контур непросто адекватно и однозначно
  указать, приведенное выше определение
  требует особых уточнений; отчасти
  полезным для этого оказывается подход
  (упоминаемый ниже), связывающий
  индуктивность с энергией магнитного
  поля.

Через
индуктивность выражается ЭДС
самоиндукции в
контуре, возникающая при изменении в
нём тока^[4]:

.

Из
этой формулы следует, что индуктивность
численно равна ЭДС
самоиндукции,
возникающей в контуре при изменении
силы тока на 1 А за 1 с.

При
заданной силе тока индуктивность
определяет энергию магнитного
поля, создаваемого этим током^[4]:

.

Обозначение и единицы измерения

В
системе единиц СИ индуктивность
измеряется в генри^[7],
сокращенно Гн, в системе СГС —
в сантиметрах (1 Гн = 10⁹см)^[4].
Контур обладает индуктивностью в один
генри, если при изменении тока на
один ампер в
секунду на выводах контура будет
возникать напряжение в один вольт.
Реальный, не сверхпроводящий, контур
обладает омическим сопротивлением R,
поэтому на нём будет дополнительно
возникать напряжение U=I*R, где I — сила
тока,
протекающего по контуру в данное
мгновение времени.

Символ ,
используемый для обозначения индуктивности,
был взят в честь Ленца
Эмилия Христиановича (Heinrich
Friedrich Emil Lenz)^{[источник не указан 1017 дней]}.
Единица измерения индуктивности названа
в честь Джозефа
Генри (Joseph
Henry)^[8].
Сам термин индуктивность был
предложен Оливером
Хевисайдом (Oliver
Heaviside) в феврале 1886
года^{[источник не указан 1017 дней]}.

Электрический
ток, который течет в замкнутом контуре,
создает вокруг себя магнитное поле,
индукция которого, согласно закону
Био-Савара-Лапласа, пропорциональна
току. Сцепленный с контуром магнитный
поток Ф поэтому прямо пропорционален
току I в контуре: 

(1) 

где
коэффициент пропорциональности L
называетсяиндуктивностью
контура. 

При
изменении в контуре силы тока будет
также изменяться и сцепленный с ним
магнитный поток; значит, в контуре будет
индуцироваться э.д.с. Возникновение
э.д.с. индукции в проводящем контуре при
изменении в нем силы тока
называетсясамоиндукцией. 

Из
выражения (1) задается единица
индуктивности генри (Гн):
1 Гн — индуктивность контура, магнитный
поток самоиндукции которого при токе
в 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/с = 1 В

·c/А . 

Вычислим
индуктивность бесконечно длинного
соленоида. Полный магнитный поток сквозь
соленоид (потокосцепление) равен
μ₀μ(N²I/l)S
. Подставив в (1), найдем 

(2) 

т.
е. индуктивность соленоида зависит от
длиныl солениода,
числа его витков N, его , площади S и
магнитной проницаемости μ вещества, из
которого изготовлен сердечник
соленоида. 

Доказано, что
индуктивность контура зависит в общем
случае только от геометрической формы
контура, его размеров и магнитной
проницаемости среды, в которой он
расположен, и можно провести аналог
индуктивности контура с электрической
емкостью уединенного проводника, которая
также зависит только от формы проводника,
его размеров и диэлектрической
проницаемости среды. 

Найдем,
применяя к явлению самоиндукции закон
Фарадея, что э.д.с. самоиндукции
равна 

Если
контур не претерпевает деформаций и
магнитная проницаемость среды остается
неизменной (в дальнейшем будет показано,
что последнее условие выполняется не
всегда), то L = const и(3) 

где
знак минус, определяемый правилом Ленца,
говорит о том, чтоналичие
индуктивности в контуре приводит к
замедлению изменения тока в нем. 

Если
ток со временем увеличивается, то
(dI/dt<0) и ξ_s>0
т. е. ток самоиндукции направлен навстречу
току, обусловленному внешним источником,
и замедляет его увеличение. Если ток со
временем уменьшается, то (dI/dt>0) и ξ_s<0
т. е. индукционный ток имеет такое же
направление, как и уменьшающийся ток в
контуре, и замедляет его уменьшение.
Значит, контур, обладая определенной
индуктивностью, имеет электрическую
инертность, заключающуюся в том, что
любое изменение тока уменьшается тем
сильнее, чем больше индуктивность
контура.

42. Ток при размыкании и замыкании цепи.

При
всяком изменении силы тока в проводящем
контуре возникает э. д. с. самоиндукции,
в результате чего в контуре появляются
дополнительные токи, называемые экстратоками
самоиндукции.
Экстратоки самоиндукции, согласно
правилу Ленца, всегда направлены так,
чтобы препятствовать изменениям тока
в цепи, т. е. направлены противоположно
току, создаваемому источником. При
выключении источника тока экстратоки
имеют такое же направление, что и
ослабевающий ток. Следовательно, наличие
индуктивности в цепи приводит к замедлению
исчезновения или установления тока в
цепи.

Рассмотрим
процесс выключения тока в цепи, содержащей
источник тока с э.д.с. ,
резистор сопротивлением R и
катушку индуктивностью L. Под
действием внешней э. д. с. в цепи течет
постоянный ток

(внутренним
сопротивлением источника тока
пренебрегаем).

В
момент времени t=0
отключим источник тока. Ток в катушке
индуктивностью L начнет
уменьшаться, что приведет к возникновению
э.д.с. самоиндукции препятствующей,
согласно правилу Ленца, уменьшению
тока. В каждый момент време­ни ток в
цепи определяется законом Ома I=_s/R, или

(127.1)

Разделив
в выражении (127.1) переменные,
получим Интегрируя
это уравнение по I (от I₀ до I)
и t (от
0 до t),
находим ln (I /I₀)
= –Rt/L, или

(127.2)

где =L/R — постоянная,
называемая временем
релаксации. Из
(127.2) следует, что  есть
время, в течение которого сила тока
уменьшается в е раз.

Таким
образом, в процессе отключения источника
тока сила тока убывает по экспоненциальному
закону (127.2) и определяется кривой 1 на
рис. 183. Чем больше индуктивность цепи
и меньше ее сопротивление, тем больше  и,
следовательно, тем медленнее уменьшается
ток в цепи при ее размыкании.

При
замыкании цепи помимо внешней э. д.
с.  возникает
э. д. с. самоиндукции препятствующая,
согласно правилу Ленца, возрастанию
тока. По закону Ома, или

Введя
новую переменную преобразуем
это уравнение к виду

где  —
время релаксации.

В
момент замыкания (t=0)
сила тока I =
0 и u =
–.
Следовательно, интегрируя по и (от
– до IR–)
и t (от
0 до t),
находим ln[(IR–)]/–= —t/, или

(127.3)

где —
установившийся ток (при t).

Таким
образом, в процессе включения источника
тока нарастание силы тока в цепи задается
функцией (127.3) и определяется кривой 2
на рис. 183. Сила тока возрастает от
начального значения I=0
и асимптотически стремится к установившемуся
значению . Скорость
нарастания тока определяется тем же
временем релаксации =L/R, что
и убывание тока. Установление тока
происходит тем быстрее, чем меньше
индук­тивность цепи и больше ее
сопротивление.

Оценим
значение э.д.с. самоиндукции , возникающей
при мгновенном увеличении сопротивления
цепи постоянного тока от R₀ до R.
Предположим, что мы размыкаем контур,
когда в нем течет установившийся ток .
При размыкании цепи ток изменяется по
формуле (127.2). Подставив в нее выражение
дляI₀ и ,
получим

Э.д.с.
самоиндукции

т.
е. при значительном увеличении
сопротивления цепи (R/R₀>>1),
обладающей боль­шой индуктивностью,
э.д.с. самоиндукции может во много раз
превышать э.д.с. источника тока, включенного
в цепь. Таким образом, необходимо
учитывать, что контур, содержащий
индуктивность, нельзя резко размыкать,
так как это (возникнове­ние значительных
э.д.с. самоиндукции) может привести к
пробою изоляции и выводу из строя
измерительных приборов. Если в контур
сопротивление вводить постепенно, то
э.д.с. самоиндукции не достигнет больших
значений.

43. Явление взаимной индукции. Трансформатор.

Рассмотрим
два неподвижных контура (1 и 2), которые
расположены достаточно близко друг от
друга (рис. 1). Если в контуре 1 протекает
ток I₁,
то магнитный поток, который создавается
этим током (поле, создающее этот поток,
на рисунке изображено сплошными линиями),
прямо пропорционален I₁.
Обозначим через Ф₂₁ часть
потока,пронизывающая контур 2.
Тогда 

 (1) 

где
L₂₁ —
коэффициент пропорциональности. 

Рис.1

Если
ток I₁ меняет
свое значение, то в контуре 2 индуцируется
э.д.с. ξ_i2 ,
которая по закону Фарадея будет равна
и противоположна по знаку скорости
изменения магнитного потока Ф₂₁,
который создается током в первом контуре
и пронизыващет второй: 

 

Аналогичным
образом, при протекании в контуре 2 тока
I₂ магнитный
поток (его поле изображено на рис. 1
штрихами) пронизывает первый контур.
Если Ф₁₂ —
часть этого потока, который пронизывает
контур 1, то 

 

Если
ток I₂ меняет
свое значение, то в контуре 1 индуцируется
э.д.с. ξ_i1 ,
которая равна и противоположна по знаку
скорости изменения магнитного потока
Ф₁₂,
который создается током во втором
контуре и пронизывает первый: 

 

Явление
возникновения э.д.с. в одном из контуров
при изменении силы тока в другом
называется взаимной
индукцией.
Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и
L₁₂ называются взаимной
индуктивностью контуров.
Расчеты, которые подтверждены опытом,
показывают, что L₂₁ и
L₁₂ равны
друг другу, т. е. 

 (2) 

Коэффициенты
пропорциональности L₁₂ и
L₂₁ зависят
от размеров, геометрической формы,
взаимного расположения контуров и от
магнитной проницаемости среды, окружающей
контуры. Единица взаимной индуктивности
та же, что и для индуктивности, — генри
(Гн). 

Найдем
взаимную индуктивность двух катушек,
которые намотаны на общий тороидальный
сердечник. Этот случай имеет большое
практическое значение (рис. 2). Магнитная
индукция поля, которое создавается
первой катушкой с числом витков N₁,
током I₁ и
магнитной проницаемостью μ сердечника,
B = μμ₀(N₁I₁/l)
где l —
длина сердечника по средней линии.
Магнитный поток сквозь один виток второй
катушки Ф₂ =
BS = μμ₀(N₁I₁/l)S 

Значит,
полный магнитный поток (потокосцепление)
сквозь вторичную обмотку, которая
содержит N₂ витков, 

 

Поток
Ψ создается током I₁,
поэтому, используя (1), найдем 

 (3) 

Если
рассчитать магнитный поток, который
создавается катушкой 2 сквозь катушку
1, то для L₁₂ получим
выражение в соответствии с формулой
(3). Значит, взаимная индуктивность двух
катушек, которые намотаны на общий
тороидальный сердечник, 

 

Трансформа́тор (от лат. transformo —
преобразовывать) — это статическое
электромагнитное устройство, имеющее
две или более индуктивно связанных
обмоток на каком-либо магнитопроводе и
предназначенное для преобразования
посредствомэлектромагнитной
индукции одной
или нескольких систем (напряжений)
переменного тока в одну или несколько
других систем (напряжений) переменного
тока без изменения частоты системы
(напряжения) переменного тока

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Зако́н электромагни́тной инду́кции Фараде́я является основным законом электродинамики, касающимся принципов работы трансформаторов, дросселей, многих видов электродвигателей и генераторов.^[1] Закон гласит:

Для любого контура индуцированная электродвижущая сила (ЭДС) равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через этот контур, взятой со знаком минус.^[1]

или другими словами:

Генерируемая ЭДС пропорциональна скорости изменения магнитного потока.

При этом индукционный ток направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызвавшей этот ток (правило Ленца).^[2]

История[править | править код]

Электромагнитная индукция была обнаружена независимо друг от друга Майклом Фарадеем и Джозефом Генри в 1831 году, однако Фарадей первым опубликовал результаты своих экспериментов^[3][4].

В первой экспериментальной демонстрации электромагнитной индукции (август 1831) Фарадей обмотал двумя проводами противоположные стороны железного тора (конструкция похожа на современный трансформатор). Основываясь на своей оценке недавно обнаруженного свойства электромагнита, он ожидал, что при включении тока в одном проводе особого рода волна пройдёт сквозь тор и вызовет некоторое электрическое влияние на его противоположной стороне. Он подключил один провод к гальванометру и смотрел на него, когда другой провод подключал к батарее. В самом деле, он увидел кратковременный всплеск тока (который он назвал «волной электричества»), когда подключал провод к батарее, и другой такой же всплеск, когда отключал его.^[5] В течение двух месяцев Фарадей нашёл несколько других проявлений электромагнитной индукции. Например, он увидел всплески тока, когда быстро вставлял магнит в катушку и вытаскивал его обратно, он генерировал постоянный ток во вращающемся вблизи магнита медном диске со скользящим электрическим проводом («диск Фарадея»)^[6].

Фарадей объяснил электромагнитную индукцию с использованием концепции так называемых силовых линий. Однако, большинство учёных того времени отклонили его теоретические идеи, в основном потому, что они не были сформулированы математически.^[7] Исключение составил Максвелл, который использовал идеи Фарадея в качестве основы для своей количественной электромагнитной теории.^[7][8][9] В работах Максвелла аспект изменения во времени электромагнитной индукции выражен в виде дифференциальных уравнений. Оливер Хевисайд назвал это законом Фарадея, хотя он несколько отличается по форме от первоначального варианта закона Фарадея и не учитывает индуцирование ЭДС при движении. Версия Хевисайда является формой признанной сегодня группы уравнений, известных как уравнения Максвелла.

Эмилий Христианович Ленц сформулировал в 1834 году закон (правило Ленца), который описывает «поток через цепь» и даёт направление индуцированной ЭДС и тока в результате электромагнитной индукции.

Закон Фарадея как два различных явления[править | править код]

Некоторые физики отмечают, что закон Фарадея в одном уравнении описывает два разных явления: двигательную ЭДС, генерируемую действием магнитной силы на движущийся провод, и трансформаторную ЭДС, генерируемую действием электрической силы вследствие изменения магнитного поля. Джеймс Клерк Максвелл обратил внимание на этот факт в своей работе О физических силовых линиях в 1861 году. Во второй половине части II этого труда Максвелл даёт отдельное физическое объяснение для каждого из этих двух явлений. Ссылка на эти два аспекта электромагнитной индукции имеется в некоторых современных учебниках.^[11] Как пишет Ричард Фейнман:^[12]

Таким образом, «правило потока» о том, что ЭДС в цепи равна скорости изменения магнитного потока через контур, применяется независимо от причины изменения потока: то ли потому что поле изменяется, то ли потому что цепь движется (или и то, и другое)…. В нашем объяснении правила мы использовали два совершенно различных закона для двух случаев  –      для «движущейся цепи» и     для «меняющегося поля».

Мы не знаем никакого аналогичного положения в физике, когда такие простые и точные общие принципы требовали бы для своего реального понимания анализа с точки зрения двух различных явлений.

Отражение этой очевидной дихотомии было одним из основных путей, которые привели Эйнштейна к разработке специальной теории относительности:

Известно, что электродинамика Максвелла — как её обычно понимают в настоящее время — при применении к движущимся телам приводит к асимметрии, которая, как кажется, не присуща этому явлению. Возьмем, к примеру, электродинамическое взаимодействие магнита и проводника. Наблюдаемое явление зависит только от относительного движения проводника и магнита, тогда как обычное мнение рисует резкое различие между этими двумя случаями, в которых либо одно, либо другое тело находится в движении. Ибо, если магнит находится в движении, а проводник покоится, в окрестности магнита возникает электрическое поле с определенной плотностью энергии, создавая ток там, где расположен проводник. Но если магнит покоится, а проводник движется, то в окрестности магнита никакое электрическое поле не возникает. В проводнике, однако, мы находим электродвижущую силу, для которой не существует соответствующей энергии самой по себе, но которая вызывает — предполагая равенство относительного движения в двух обсуждаемых случаях — электрические токи по тому же направлению и той же интенсивности, как в первом случае.

Примеры подобного рода вместе с неудачной попыткой обнаружить какое-либо движение Земли относительно «светоносной среды» предполагают, что явления электродинамики, а также механики не обладают свойствами, соответствующими идее абсолютного покоя.

— Альберт Эйнштейн, К электродинамике движущихся тел^[13]

В общем случае объяснение появления двигательной ЭДС с помощью действия магнитной силы на заряды в движущемся проводе или в изменяющем свою площадь контуре является неудовлетворительным. Действительно, заряды в проводе или в контуре могут вообще отсутствовать, исчезнет ли тогда сам эффект электромагнитной индукции в этом случае? Данная ситуация анализируется в статье, в которой при записи интегральных уравнений электромагнитного поля в четырёхмерном ковариантном виде вместо частной производной по времени в законе Фарадея появляется полная производная по времени от магнитного потока через контур. ^[14] Таким образом, электромагнитная индукция возникает либо при изменении со временем магнитного поля, либо при изменении площади контура. С физической точки зрения лучше говорить не об ЭДС индукции, а об индуцированной напряжённости электрического поля , возникающей в контуре при изменении магнитного потока. При этом вклад в от изменения магнитного поля осуществляется через член , где есть векторный потенциал. Если же изменяется площадь контура при неизменном магнитном поле, то неизбежно движется какая-то часть контура, и в этой части контура в связанной с ней системе отсчёта K’ возникает электрическое поле – как результат Лоренцевского преобразования имеющегося в неподвижной системе отсчёта K магнитного поля , пересекающего контур. Наличие в K’ поля рассматривается как результат эффекта индукции в движущемся контуре независимо от того, имеются ли заряды в контуре или нет. В проводящем контуре поле приводит заряды в движение. Это выглядит в системе отсчёта K как появление ЭДС индукции , градиент которой в виде , взятый вдоль контура, как бы порождает поле .

Поток через поверхность и ЭДС в контуре[править | править код]

Закон электромагнитной индукции Фарадея использует понятие магнитного потока Φ_B через поверхность Σ, который определён через поверхностный интеграл:

где dS — площадь элемента поверхности Σ(t), B — магнитное поле, а B·dS — скалярное произведение B и dS. Предполагается, что поверхность имеет «устье», очерченное замкнутой кривой, обозначенной ∂Σ(t). Закон индукции Фарадея утверждает, что когда поток изменяется, то при перемещении единичного положительного пробного заряда по замкнутой кривой ∂Σ возникает ЭДС , величина которой определяется по формуле:

где  — величина электродвижущей силы (ЭДС) в вольтах, а Φ_B — магнитный поток в веберах. Направление электродвижущей силы определяется законом Ленца.

Для плотно намотанной катушки индуктивности, содержащей N витков, каждый с одинаковым магнитным потоком Φ_B, закон индукции Фарадея утверждает, что:

где N — число витков провода, Φ_B — магнитный поток в веберах на один виток.

Выбираемый путь ∂Σ(t) для нахождения ЭДС должен удовлетворять двум основным требованиям: (i) путь должен быть замкнутым, и (ii) путь должен охватывать относительное движение частей контура (источник происхождения t-зависимости в ∂Σ(t)). К требованиям не относится то, что путь должен совпадать с линией тока, но, конечно, ЭДС, которая находится по закону потока, будет считаться по выбранному пути. Если путь не совпадает с линией тока, то подсчитанная ЭДС, возможно, будет не та ЭДС, которая вызывает ток.

Пример 1: пространственно меняющееся магнитное поле[править | править код]

Рассмотрим случай на рисунке 3, на котором прямоугольная замкнутая проволочная петля, расположенная в плоскости xy, перемещается в направлении оси x со скоростью v. Центр петли x_C удовлетворяет условию v = dx_C / dt. Петля имеет длину ℓ в направлении оси y и ширину w в направлении оси x. Зависящее от времени пространственно меняющееся магнитное поле B(x) показано в направлении z. Магнитное поле на левой стороне равно B(x_C − w / 2), а на правой стороне B(x_C + w / 2). Электродвижущую силу можно найти либо с помощью закона Лоренца, либо, что эквивалентно, используя вышеизложенный закон индукции Фарадея.

Закон Лоренца[править | править код]

Заряд q в проводнике на левой стороне петли испытывает силу Лоренца q v × B k = −q v B(x_C − w / 2) j   (j, k — единичные векторы в направлениях y и z; см. векторное произведение векторов), что вызывает ЭДС (работу на единицу заряда) v ℓ B(x_C − w / 2) по всей длине левой стороны петли. На правой стороне петля аналогичное рассуждение показывает, что ЭДС равна v ℓ B(x_C + w / 2). Две противоположные друг другу ЭДС толкают положительный заряд по направлению к нижней части петли. В случае, когда поле B возрастает вдоль х, сила на правой стороне будет больше, а ток будет течь по часовой стрелке. Используя правило правой руки, мы получаем, что поле B, создаваемое током, противоположно приложенному полю.^[15] ЭДС, вызывающая ток, должна увеличиваться по направлению против часовой стрелки (в отличие от тока). Складывая ЭДС в направлении против часовой стрелки вдоль петли мы находим:

Закон Фарадея[править | править код]

В любой точке петли магнитный поток через неё равен:

Выбор знака определяется по принципу, имеет ли нормаль к поверхности в данной точке то же направление, что и B, или противоположное. Если нормаль к поверхности имеет то же направление, что и поле B наведённого тока, этот знак отрицательный. Производная по времени от потока (найденная с помощью методов дифференцирования сложной функции или по правилу Лейбница дифференцирования интеграла) равна:

(где v = dx_C / dt является скоростью движения петли в направлении оси х), что приводит к:

как и в предыдущем случае.

Эквивалентность этих двух подходов является общеизвестной, и в зависимости от решаемой задачи более практичным может оказаться либо тот, либо другой метод.

Пример 2: проводник, движущийся в постоянном магнитном поле[править | править код]

На рис. 4 показан шпиндель, образованный двумя дисками с проводящими ободами, и проводники, расположенные вертикально между этими ободами. ток скользящими контактами подается на проводящие обода. Эта конструкция вращается в магнитном поле, которое направлено радиально наружу и имеет одно и то же значение в любом направлении. то есть мгновенная скорость проводников, ток в них и магнитная индукция, образуют правую тройку, что заставляет проводники вращаться.

Сила Лоренца[править | править код]

В этом случае на проводники действует Сила Ампера, а на единичный заряд в проводнике Сила Лоренца — поток вектора магнитной индукции B , ток в проводниках, соединяющих проводящие обода, направлен нормально к вектору магнитной индукции, тогда сила, действующая на заряд в проводнике, будет равна

где v = скорости движущегося заряда^[16]

Следовательно, сила действующая на проводники

где l — длина проводников

Здесь мы использовали B как некую данность, на самом деле она зависит от геометрических размеров ободов конструкции, и это значение можно вычислить, используя Закон Био — Савара — Лапласа . Данный эффект используется и в другом устройстве, называемом Рельсотрон

Закон Фарадея[править | править код]

Интуитивно привлекательный, но ошибочный подход к использованию правила потока выражает поток через цепь по формуле Φ_B = B w ℓ, где w — ширина движущейся петли.

Ошибочность такого подхода в том, что это не рамка в обычном понимании этого слова. Прямоугольник на рисунке образован отдельными проводниками, замкнутыми на обод. Как видно на рисунке, ток по обоим проводникам течет в одном направлении, то есть здесь отсутствует понятие «замкнутый контур»

Наиболее простое и понятное объяснение этому эффекту дает понятие сила Ампера. То есть вертикальный проводник может быть вообще один, чтобы не вводить в заблуждение. Или же проводник конечной толщины может быть расположен на оси, соединяющей обода. Диаметр проводника должен быть конечным и отличаться от нуля, чтобы момент силы Ампера был ненулевой.

Уравнение Фарадея — Максвелла[править | править код]

Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, описываемое уравнением Фарадея — Максвелла:

где:

обозначает ротор.

E — электрическое поле.

B — плотность магнитного потока.

Это уравнение присутствует в современной системе уравнений Максвелла, часто его называют законом Фарадея. Однако, поскольку оно содержит только частные производные по времени, его применение ограничено ситуациями, когда заряд покоится в переменном по времени магнитном поле. Оно не учитывает^{[уточнить]} электромагнитную индукцию в случаях, когда заряженная частица движется в магнитном поле.

В другом виде закон Фарадея может быть записан через интегральную форму теоремы Кельвина-Стокса:^[17]

Для выполнения интегрирования требуется независимая от времени поверхность Σ (рассматриваемая в данном контексте как часть интерпретации частных производных). Как показано на рис. 6:

Σ — поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ, причём, как Σ, так и ∂Σ являются фиксированными, не зависящими от времени,

E — электрическое поле,

dℓ — бесконечно малый элемент контура ∂Σ,

B — магнитное поле,

dA — бесконечно малый элемент вектора поверхности Σ.

Элементы dℓ и dA имеют неопределённые знаки. Чтобы установить правильные знаки, используется правило правой руки, как описано в статье о теореме Кельвина-Стокса. Для плоской поверхности Σ положительное направление элемента пути dℓ кривой ∂Σ определяется правилом правой руки, по которому на это направление указывают четыре пальца правой руки, когда большой палец указывает в направлении нормали n к поверхности Σ.

Интеграл по ∂Σ называется интеграл по пути или криволинейным интегралом. Поверхностный интеграл в правой части уравнения Фарадея-Максвелла является явным выражением для магнитного потока Φ_B через Σ. Обратите внимание, что ненулевой интеграл по пути для E отличается от поведения электрического поля, создаваемого зарядами. Генерируемое зарядом E-поле может быть выражено как градиент скалярного поля, которое является решением уравнения Пуассона и имеет нулевой интеграл по пути.

Интегральное уравнение справедливо для любого пути ∂Σ в пространстве и любой поверхности Σ, для которой этот путь является границей.

Используя^[18]

и принимая во внимание (Ряд Гаусса), (Векторное произведение) и (теорема Кельвина — Стокса), мы находим, что полная производная магнитного потока может быть выражена

Добавляя член к обеим частям уравнения Фарадея-Максвелла и вводя вышеприведённое уравнение, мы получаем:

что и является законом Фарадея. Таким образом, закон Фарадея и уравнения Фарадея-Максвелла физически эквивалентны.

Рис. 7 показывает интерпретацию вклада магнитной силы в ЭДС в левой части уравнения. Площадь, заметаемая сегментом dℓ кривой ∂Σ за время dt при движении со скоростью v, равна:

так что изменение магнитного потока ΔΦ_B через часть поверхности, ограниченной ∂Σ за время dt, равно:

и если сложить эти ΔΦ_B-вклады вокруг петли для всех сегментов dℓ, мы получим суммарный вклад магнитной силы в закон Фарадея. То есть этот термин связан с двигательной ЭДС.

Пример 3: точка зрения движущегося наблюдателя[править | править код]

Возвращаясь к примеру на рис. 3, в движущейся системе отсчета выявляется тесная связь между E– и B-полями, а также между двигательной и индуцированной ЭДС.^[19] Представьте себе наблюдателя, движущегося вместе с петлёй. Наблюдатель вычисляет ЭДС в петле с использованием как закона Лоренца, так и с использованием закона электромагнитной индукции Фарадея. Поскольку этот наблюдатель движется с петлей, он не видит никакого движения петли, то есть нулевую величину v × B. Однако, поскольку поле B меняется в точке x, движущийся наблюдатель видит изменяющееся во времени магнитного поля, а именно:

где k  — единичный вектор в направлении z.^[20]

Закон Лоренца[править | править код]

Уравнение Фарадея-Максвелла говорит, что движущийся наблюдатель видит электрическое поле E_y в направлении оси y, определяемое по формуле:

Применяя правило дифференцирования сложной функции:

Решение для E_y с точностью до постоянной, которая ничего не добавляет в интеграл по петле:

Используя закон Лоренца, в котором имеется только компонента электрического поля, наблюдатель может вычислить ЭДС по петле за время t по формуле:

и мы видим, что точно такой же результат найден для неподвижного наблюдателя, который видит, что центр масс x_C сдвинулся на величину x_C + v t. Однако, движущийся наблюдатель получил результат под впечатлением, что в законе Лоренца действовала только электрическая составляющая, тогда как неподвижный наблюдатель думал, что действовала только магнитная составляющая.

Закон индукции Фарадея[править | править код]

Для применения закона индукции Фарадея рассмотрим наблюдателя, движущегося вместе с точкой x_C. Он видит изменение магнитного потока, но петля ему кажется неподвижной: центр петли x_C фиксирован, потому что наблюдатель движется вместе с петлей. Тогда поток:

где знак минуса возникает из-за того, что нормаль к поверхности имеет направление, противоположное приложенному полю B. Из закона индукции Фарадея ЭДС равна:

и мы видим тот же результат. Производная по времени используется при интегрировании, поскольку пределы интегрирования не зависят от времени. Опять же, для преобразования производной по времени в производную по x используются методы дифференцирования сложной функции.

Неподвижный наблюдатель видит ЭДС как двигательную , тогда как движущийся наблюдатель думает, что это индуцированная ЭДС.^[21]

Электрический генератор[править | править код]

Явление возникновения ЭДС, порождённой по закону индукции Фарадея из-за относительного движения контура и магнитного поля, лежит в основе работы электрических генераторов. Если постоянный магнит перемещается относительно проводника или наоборот, проводник перемещается относительно магнита, то возникает электродвижущая сила. Если проводник подключён к электрической нагрузке, то через неё будет течь ток, и следовательно, механическая энергия движения будет превращаться в электрическую энергию. Например, дисковый генератор построен по тому же принципу, как изображено на рис. 4. Другой реализацией этой идеи является диск Фарадея, показанный в упрощённом виде на рис. 8. Обратите внимание, что и анализ рис. 5, и прямое применение закона силы Лоренца показывают, что твёрдый проводящий диск работает одинаковым образом.

В примере диска Фарадея диск вращается в однородном магнитном поле, перпендикулярном диску, в результате чего возникает ток в радиальном плече благодаря силе Лоренца. Интересно понять, как получается, что чтобы управлять этим током, необходима механическая работа. Когда генерируемый ток течёт через проводящий обод, по закону Ампера этот ток создаёт магнитное поле (на рис. 8 оно подписано «индуцированное B» — Induced B). Обод, таким образом, становится электромагнитом, который сопротивляется вращению диска (пример правила Ленца). В дальней части рисунка обратный ток течёт от вращающегося плеча через дальнюю сторону обода к нижней щётке. Поле В, создаваемое этим обратным током, противоположно приложенному полю, вызывая сокращение потока через дальнюю сторону цепи, в противовес увеличению потока, вызванного вращением. На ближней стороне рисунка обратный ток течёт от вращающегося плеча через ближнюю сторону обода к нижней щётке. Индуцированное поле B увеличивает поток по эту сторону цепи, в противовес снижению потока, вызванного вращением. Таким образом, обе стороны цепи генерируют ЭДС, препятствующую вращению. Энергия, необходимая для поддержания движения диска в противовес этой реактивной силе, в точности равна вырабатываемой электрической энергии (плюс энергия на компенсацию потерь из-за трения, из-за выделения тепла Джоуля и прочее). Такое поведение является общим для всех генераторов преобразования механической энергии в электрическую.

Хотя закон Фарадея описывает работу любых электрических генераторов, детальный механизм в разных случаях может отличаться. Когда магнит вращается вокруг неподвижного проводника, меняющееся магнитное поле создаёт электрическое поле, как описано в уравнении Максвелла-Фарадея, и это электрическое поле толкает заряды через проводник. Этот случай называется индуцированной ЭДС. С другой стороны, когда магнит неподвижен, а проводник вращается, на движущиеся заряды воздействует магнитная сила (как описывается законом Лоренца), и эта магнитная сила толкает заряды через проводник. Этот случай называется двигательной ЭДС.^[11]

Электродвигатель[править | править код]

Электрический генератор может работать в «обратном направлении» и становиться двигателем. Рассмотрим, например, диск Фарадея. Предположим, постоянный ток течёт через проводящее радиальное плечо от какого-либо напряжения. Тогда по закону силы Лоренца на этот движущийся заряд воздействует сила в магнитном поле B, которая будет вращать диск в направлении, определённым правилом левой руки. При отсутствии эффектов, вызывающих диссипативные потери, таких как трение или тепло Джоуля, диск будет вращаться с такой скоростью, чтобы d Φ_B / dt было равно напряжению, вызывающему ток.

Электрический трансформатор[править | править код]

ЭДС, предсказанная законом Фарадея, является также причиной работы электрических трансформаторов. Когда электрический ток в проволочной петле изменяется, меняющийся ток создаёт переменное магнитное поле. Второй провод в доступном для него магнитном поле будет испытывать эти изменения магнитного поля как изменения связанного с ним магнитного потока d Φ_B / d t. Электродвижущая сила, возникающая во второй петле, называется индуцированной ЭДС или ЭДС трансформатора. Если два конца этой петли связать через электрическую нагрузку, то через неё потечёт ток.

Электромагнитные расходомеры[править | править код]

Закон Фарадея используется для измерения расхода электропроводящих жидкостей и суспензий. Такие приборы называются магнитными расходомерам. Наведённое напряжение ℇ, генерируемое в магнитном поле B за счет проводящей жидкости, движущейся со скоростью v, определяется по формуле:

где ℓ — расстояние между электродами в магнитном расходомере.

Паразитная индукция и тепловые потери[править | править код]

В любом металлическом объекте, движущемся по отношению к статическому магнитному полю, будут возникать индукционные токи, как и в любом неподвижном металлическом предмете по отношению к движущемуся магнитному полю. Эти энергетические потоки в сердечниках трансформаторов нежелательны, из-за них в слое металла течёт электрический ток, который нагревает металл.

В соответствии с правилом Ленца вихревые токи протекают внутри проводника по таким путям и направлениям, чтобы своим действием возможно сильнее противится причине, которая их вызывает. Вследствие этого при движении в магнитном поле на хорошие проводники действует тормозящая сила, вызываемая взаимодействием вихревых токов с магнитным полем. Этот эффект используется в ряде приборов для демпфирования колебаний их подвижных частей.

Есть ряд методов, используемых для борьбы с этими нежелательными индуктивными эффектами.

• Электромагниты в электрических двигателях, генераторах и трансформаторах не делают из сплошного металла, а используют тонкие листы жести, называемые «ламинатами». Эти тонкие пластины уменьшают паразитные вихревые токи, как будет описано ниже.
• Катушки индуктивности в электронике обычно используют магнитные сердечники. Чтобы минимизировать паразитный ток, их делают из смеси металлического порошка со связующим наполнителем, и они имеют различную форму. Связующий материал предотвращает прохождение паразитных токов через порошковый металл.

Расслоение электромагнита[править | править код]

Вихревые токи возникают, когда сплошная масса металла вращается в магнитном поле, так как внешняя часть металла пересекает больше силовых линий, чем внутренняя, следовательно, индуцированная электродвижущая сила неравномерна и стремится создать токи между точками с наибольшим и наименьшим потенциалами. Вихревые токи потребляют значительное количество энергии, и часто приводят к вредному повышению температуры.^[22]

На этом примере показаны всего пять ламинатов или пластин для демонстрации расщепление вихревых токов. На практике число пластин или перфорация составляет от 40 до 66 на дюйм, что приводит к снижению потерь на вихревых токах примерно до одного процента. Хотя пластины могут быть отделены друг от друга изоляцией, но поскольку возникающие напряжения чрезвычайно низки, то естественной ржавчины или оксидного покрытия пластин достаточно, чтобы предотвратить ток через пластины.^[22]

Это ротор от двигателя постоянного тока диаметром примерно 20 мм, используемого в проигрывателях компакт-дисков. Обратите внимание, для снижения паразитных индуктивных потерь сделано расслоение полюса электромагнита на части.

Паразитные потери в катушках индуктивности[править | править код]

На этой иллюстрации сплошной медный стержень катушки индуктивности во вращающемся якоре просто проходит под кончиком полюса N магнита. Обратите внимание на неравномерное распределение силовых линий через стержень. Магнитное поле имеет большую концентрацию и, следовательно, сильнее на левом краю медного стержня (a, b), тогда как слабее по правому краю (c, d). Поскольку два края стержня будут двигаться с одинаковой скоростью, это различие в напряженности поля через стержень создаст вихри тока внутри медного стержня.^[23]

Это одна из причин, по которой устройства с высоким напряжением, как правило, более эффективны, чем низковольтные устройства. Высоковольтные устройства имеют множество небольших витков провода в двигателях, генераторах и трансформаторах. Эти многочисленные небольшие витки провода в электромагните разбивают вихревые потоки, а в пределах больших, толстых катушек индуктивности низкого напряжения образуется вихревые токи большей величины.

См. также[править | править код]

Майкл Фарадей Магнитное поле Магнитный поток Теорема о циркуляции магнитного поля Правило Ленца Сила Лоренца

Теорема Стокса Векторный анализ Индуктивность Электрический импеданс Униполярный генератор Генератор переменного тока

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• A simple interactive Java tutorial on electromagnetic induction
• R. Vega Induction: Faraday’s law and Lenz’s law — Highly animated lecture
• Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University
• Faraday’s Law for EMC Engineers
• Maxwell, James Clerk (1881), A treatise on electricity and magnetism, Vol. II, Chapter III, § 530, p. 178. Oxford, UK: Clarendon Press. ISBN 0-486-60637-6.
• Tankersley and Mosca: Introducing Faraday’s law.

Литература[править | править код]

• Калашников С.Г. Электричество. — М.: Гостехтеориздат, 1956. — 664 с.