Как найти угол отклонения нити от вертикали

Как найти угол отклонения нити от вертикали

Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол α = 30° от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найдите угол максимального отклонения нити.

Решение:

Когда нить отклонена на угол α, составляющие ускорения, направленные вдоль нити и по касательной к траектории шарика, определяются формулами:

где v — скорость шарика, l — длина нити.

Поскольку ускорение шарика в этот момент направлено горизонтально, проекции векторов an и aτ на вертикальную ось одинаковы по модулю:

или

откуда:

Далее запишем закон сохранения энергии для шарика:

mv2 + mgl • (1 − cos α) = mgl •(1 − cos αm).
2 

Решая это уравнение относительно cos αm, получим:

cos αm = cos α − v2 = cos α − sin2 α = 0,73.
2gl  2 cos α

Далее: дробинка во льду тонет   [тема: задачи на минимум и максимум]

Теги:

  • задачи с решениями
  • механика
  • законы сохранения
  • закон сохранения энергии
Источник

Определить угол отклонения нити.

#18580
2014-04-20 12:39 GMT

Народ,помогите научиться определять угол,т.е. не могу понять,от какой силы я должен ориентироваться в этих задачах или угол какой,синус или косинус,их определения знаю,а вот в решение применить не могу.Вот например задача:Нить с подвешенным на ней маленьким заряженным шариком отклонилась на некоторый угол в электрическом поле, вектор напряжённости которого направлен горизонтально и по модулю равен 2000 В/м. Заряд шарика 20 мкКл, его масса 5,6 г. Чему равен тангенс угла отклонения нити от вертикали? Или,к примиру, задача про движение предмета по наклонной плоскости.Объясните суть нахождения углов.

#18586
2014-04-20 21:27 GMT

Источник

В своей основе физика является наукой экспериментальной и в этом ее сила. Однако без осмысления большого количества опытных фактов физика выродилась бы в описание огромного количества явлений и процессов. Так появились физические законы и соответствующие им модели, которые абстрагируются от несущественных черт рассматриваемого предмета. В последние десятилетия отмечается бурный прогресс в такой области как компьютерное моделирование или, как стало общепринято говорить, компьютерный эксперимент. Дело в том, что разработанные физические модели можно напрямую реализовать в виде вычислительного процесса на компьютере и исследовать интересуемые закономерности. В данной работе мы с вами выполним такой компьютерный эксперимент для хорошо известной системы как математический маятник.

Хорошо известна формула для периода колебаний математического маятника длины $l$, находящегося в однородном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$. Однако, эта формула применима только при малых углах отклонения. Основной вопрос, на который вам предстоит ответить при выполнении этой работы: «Какой угол отклонения можно считать малым?»

В учебной литературе, посвященной лабораторным практикумам, можно встретить указание о том, что максимальный угол отклонения не должен превышать $1^circ, 2^circ, 5^circ$ и т. д. На поставленный выше вопрос вы должны ответить на основании компьютерного эксперимента! А именно, вам предлагается изучить зависимость периода колебаний математического маятника от его амплитуды, в качестве которой принимается максимальный угол отклонения от вертикали.

Схема проведения и обработки результатов компьютерного эксперимента мало отличаются от проведения обычного, натурного эксперимента. Поэтому части данной задачи напрямую соответствуют основным этапам реального физического эксперимента.

Часть 1. Построение теоретической модели

Рассмотрим математический маятник, представляющий собой небольшой массивный шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной $l$. Маятник находится в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.

1.1

Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.

Пусть в начальный момент времени $t_{0} =0$ угол отклонения нити от вертикали составляет $varphi _{0} $, а начальная скорость шарика равна нулю. Шарик движется по дуге окружности, поэтому его положение будем определять углом отклонения нити от вертикали $varphi $, а скорость изменения этого угла определяется угловой скоростью $omega =cfrac{dvarphi }{dt} $.

1.2

Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $omega left(varphi right)$ при заданной амплитуде колебаний $varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.

Так как движение маятника является симметричным относительно вертикали, то для расчета периода колебаний достаточно рассчитать время $t_{1} $ его движения от максимального отклонения $varphi _{0} $ до нуля.

1.3

Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $omega left(varphi right)$.

1.4

Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.

В компьютерном эксперименте при выполнении расчетов никогда не используются реальные размерные величины, так как они могут иметь самые разные порядки и являются крайне неудобными. Обычно применяют так называемую процедуру обезразмеривания величин на некоторые характерные для данной задачи значения. Например, в нашей задаче характерным временем является период колебаний, поэтому удобно ввести безразмерное время $tau$, которое определяется по формуле:

$$tau =tsqrt{frac{g}{l} }$$

1.5

Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $widetilde{omega }=cfrac{dvarphi }{dtau } $ с ранее введенной угловой скоростью $omega $.

1.6

Определите период малых колебаний $widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.

1.7

Определите зависимость угловой скорости $widetilde{omega }$ от угла отклонения $varphi $: $widetilde{omega }left(varphi right)$.

Далее везде используются введенные безразмерные величины: время $tau $, период $widetilde{T}$ и угловую скорость $widetilde{omega }$, которые будем обозначать $t$, $T$ и $omega $.

Часть 2. Конструирование экспериментальной установки, планирование эксперимента

В компьютерном эксперименте этому этапу соответствует разработка алгоритма проведения расчетов. В данном случае основная идея численных (компьютерных) расчетов заключается в разбиении траектории движения на малые участки, на каждом из которых движение описывается приближенно.

Разобьем интервал движения от $varphi =varphi _{0} $ до $varphi =0$ на $N$ одинаковых интервалов шириной $Delta varphi $. Обозначим точки разбиения как $varphi _{k} $, $k=0, 1,dots N$, а угловые скорости в этих точках как $omega _{k} $. Основное приближение, используемое в дальнейших расчетах, состоит в том, что на каждом интервале от $varphi _{k} $ до $varphi _{k+1} $ движение маятника считается равноускоренным. Естественно ожидать, что с увеличением числа интервалов разбиения $N$ точность расчетов будет возрастать.

В рамках сделанного приближения не сложно найти время движения маятника на интервале от $varphi _{0} $ до 0. Алгоритм расчетов при заданных вами значениях амплитуды $varphi _{0} $ и числа интервалов разбиения $N$ раскрывается в последовательности ответов на следующие вопросы.

2.1

Определите интервал разбиения $Delta varphi $.

2.2

Определите координаты точек разбиения $varphi _{k} $.

2.3

Выразите угловую скорость $omega _{k} $ в точке $varphi _{k} $ при произвольном начальном угле отклонения $varphi _{0} $. Запишите эту формулу для частного случая $varphi _{0} =cfrac{pi }{2} $.

2.4

Определите время $Delta t_{k} $ прохождения $k$-того интервала от $varphi _{k-1} $ до $varphi _{k} $.

2.5

Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $varphi _{k-1} $.

2.6

Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.

Часть 3. Пробный эксперимент, оценка погрешностей

На этом этапе необходимо убедиться в работоспособности установки, что в данном случае означает возможность проведения расчетов по разработанному выше алгоритму, а также оценить, достигается ли необходимая точность результатов.

Как было отмечено ранее, погрешности расчетов зависят от числа интервалов разбиения $N$. В данном задании вам предстоит проводить расчеты не на компьютере, а «вручную», с помощью калькулятора. Увеличение $N$ уменьшает погрешность расчетов, но увеличивает время их проведения. Поэтому важно выбрать оптимальное значение этой величины — минимальное значение, при котором достигается требуемая точность. На данном этапе все расчеты проводите для $varphi _{0} =cfrac{pi }{2} $.

ВНИМАНИЕ! Здесь и далее расчеты следует проводить с точностью до 4 десятичных знаков. Для экономии времени тщательно продумывайте всю последовательность расчетов: используйте ранее рассчитанные величины, вводите необходимые константы, присутствующие в формулах (чтобы не пересчитывать их несколько раз), записывайте результаты промежуточных расчетов в наиболее удобном виде.

3.1

Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.

3.2

Постройте График 1 закона движения маятника $varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.

3.3

На том же Графике 1 постройте закон движения $varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.

В качестве оценки относительной погрешности расчета периода колебаний при разбиении на $N$ интервалов используем величину

$$varepsilon _{N} =cfrac{T_{N} -T_{32} }{T_{32} } ,$$

где $T_{32} $ — значение периода, рассчитанное для $N=32$, что наиболее близко к истинному значению.

Зависимость относительной погрешности расчета $varepsilon _{N} $ от числа разбиений $N$ описывается приближенной формулой

$$varepsilon _{N} =frac{C}{N^{gamma } } ,$$

где $C$ и $gamma $ — некоторые постоянные величины.

3.4

Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.

3.5

Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $gamma $.

3.6

Определите минимальное значение $N_{min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2%.

В дальнейших расчетах используйте найденное значение числа интервалов разбиения $N_{min } $.

Часть 4. Эксперимент: зависимость периода от амплитуды

На этом этапе компьютерного эксперимента определим зависимость периода колебаний математического маятника от амплитуды $Tleft(varphi _{0} right)$, которая описывается функцией

$$Tleft(varphi _{0} right)=T_{0} left(a+cfrac{varphi _{0}^{2} }{b} right),$$

где $T_{0} $ — период малых колебаний маятника, $a, b$ — постоянные величины.

4.1

Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $varphi _{0} $: $15^circ ,30^circ ,45^circ ,60^circ ,75^circ $ и $90^circ $, который вы уже определили.

4.2

Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.

4.3

Определите значения параметров $a,b$.

Пусть погрешность измерения периода колебаний маятника в реальном эксперименте составляет примерно $5%$.

4.4

Обоснуйте, при каких углах $varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.

Источник

Как определить силу упругости нити и угол отклонения от вертикали.

В вагоне, движущемся с постоянным ускорением 2,5 м/с по прямолинейному горизонтальному участку дороги, на легкой и нерастяжимой нити висит шар массой 0,35 кг. Определите силу упругости нити и угол отклонения от вертикали…

                                        Источник: Подготовка к тестированию по физике. Шепелевич. В. Г.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, theta  — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

{displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {L over g}}}

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника[править | править код]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса L, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона {displaystyle m{vec {a}}={vec {F}}} для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ({displaystyle ma_{tau }=F_{tau })}, получится выражение

{displaystyle mL{ddot {theta }}=-mgsin theta },

так как {displaystyle a_{tau }={dot {v}}=d/dt(Ldtheta /dt)}, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту {displaystyle F_{tau }} даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

{displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}sin theta =0},

где неизвестная функция theta (t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов {displaystyle sin theta approx theta } это уравнение превращается в

{displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}theta =0}.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол theta и его производную {displaystyle {dot {theta }}} при t=0.

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости {displaystyle {dot {theta }}} от угла theta . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

  • Маятник висит

    Маятник висит

  • Малые колебания (размах 45°)

    Малые колебания (размах 45°)

  • Колебания с размахом 90°

    Колебания с размахом 90°

  • Колебания с размахом 135°

    Колебания с размахом 135°

  • Колебания с размахом 170°

    Колебания с размахом 170°

  • Фиксация в верхнем положении

    Фиксация в верхнем положении

  • Движение близкое к сепаратрисе

    Движение близкое к сепаратрисе

  • Вращение маятника

    Вращение маятника

Гармонические колебания[править | править код]

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена {displaystyle sin theta approx theta }, называется гармоническим уравнением:

{displaystyle {ddot {theta }}+omega _{0}^{2}theta =0},

где {displaystyle omega _{0}={sqrt {g/L}}} ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» {displaystyle x=Lsin theta approx Ltheta } (ось x лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

{displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону[2]:

{displaystyle x=Asin(omega _{0}t+alpha )},

где A — амплитуда колебаний маятника, alpha  — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной x, то при t=0 необходимо задать координату x_{0} и скорость {displaystyle v_{x0}}, что позволит найти две независимые константы A, alpha из соотношений {displaystyle x_{0}=Asin alpha } и {displaystyle v_{x0}=Aomega _{0}cos alpha }.

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

{displaystyle sin {frac {theta }{2}}=varkappa cdot operatorname {sn} (omega _{0}t;varkappa ),}

где operatorname {sn} — это синус Якоби. Для varkappa <1 он является периодической функцией, при малых varkappa совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр varkappa определяется выражением

{displaystyle varkappa ={frac {varepsilon +omega _{0}^{2}}{2omega _{0}^{2}}},quad varepsilon ={frac {E}{mL^{2}}}}.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

{displaystyle T={frac {2pi }{Omega }},quad Omega ={frac {pi }{2}}{frac {omega _{0}}{K(varkappa )}}},

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

{displaystyle T=T_{0}left{1+left({frac {1}{2}}right)^{2}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}sin ^{4}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots +left[{frac {left(2n-1right)!!}{left(2nright)!!}}right]^{2}sin ^{2n}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots right}}

где T_{0}=2pi {sqrt {frac {L}{g}}} — период малых колебаний, theta _{0} — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

{displaystyle T=T_{0}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)right)}.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года[3]:

{displaystyle T={frac {2pi }{M{big (}cos(theta _{0}/2){big )}}}{sqrt {frac {L}{g}}}},

где {displaystyle M(s)} — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и s.

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты[править | править код]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к pi , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения[4].
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
  • В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также[править | править код]

  • Физический маятник
  • Маятник Фуко
  • Маятник Дубошинского

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Главный редактор А. М. Прохоров. Маятник // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1983. — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
  2. ↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
  3. ↑ Adlaj S. An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 59, no. 8. — P. 1096—1097. — ISSN 1088-9477.
  4. ↑ В. В. Вечеславов. Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений // Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, № 5. — С. 1—5. Архивировано 14 февраля 2017 года.

Ссылки[править | править код]

  • Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
  • Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
  • Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР
Источник

Добавить комментарий