Для
определения коэффициентов и свободных
членов канонических уравнений необходимо
предварительно построить эпюры изгибающих
моментов в основной системе от единичных
неизвестных перемещений узлов системы
и от внешней нагрузки, используя таблицы
реакций (приложение).
Элементами
основной системы в методе перемещений
являются статически неопределимые
балки. Поэтому построение единичных и
грузовых эпюр в основной системе метода
перемещений сводится к определению
усилий в однопролётных статически
неопределимых балках от перемещений
их концов и от нагрузки.
После
построения единичных и грузовых эпюр
изгибающих моментов в основной системе
вычисляют коэффициенты rik и
свободные члены Ri0канонических
уравнений.
Существуют
два способа определения коэффициентов:
1)
статический;
2)
перемножения эпюр.
Статический
способ является
основным в методе перемещений. Этот
способ основан на использовании уравнений
равновесия для определения реакций во
введённых связях, которые и являются
искомыми коэффициентами при неизвестных
и свободными членами канонических
уравнений.
Коэффициенты
и свободные члены, представляющие
реактивные моменты во введённых плавающих
заделках, определяют из условий равновесия
вырезанных из основной системы узлов
в виде Σm =
0.
Коэффициенты
и свободные члены, представляющие
реактивные усилия во введённых стержневых
связях, определяют из условий равновесия
отсечённой части основой системы,
содержащей эти связи.
Реактивное
усилие считается положительным, если
направление его действия совпадает с
принятым направлением поворота или
линейного смещения узла.
Способ
перемножения эпюр целесообразно
применять при расчёте рам с наклонными
стойками, когда использование статического
способа усложняется. Коэффициенты при
неизвестных в этом способе определяют
путём интегрирования (перемножения)
соответствующих эпюр:
,
где i, k –
эпюры от единичных перемещений введённых
связей, построенные в основной системе
метода перемещений.
Свободные
члены канонических уравнений определяют
по формуле
,
где –
эпюра изгибающих моментов от внешней
нагрузки, построенная в любой статически
определимой системе, образованной из
заданной (т. е. в основной системе метода
сил).
Следует
заметить, что способ перемножения эпюр
может быть применён в качестве контроля
правильности вычисления коэффициентов и
свободных членов канонических уравнений,
полученных статическим способом.
12.1.4. Решение системы канонических уравнений
Найденные
коэффициенты при неизвестных и свободные
(грузовые) члены подставляют в канонические
уравнения. В результате решения системы
канонических уравнений получают угловые
и линейные перемещения узлов заданной
системы z1, z2 … zn.
21….. Расчет неразрезной балки методом сил. Уравнение трех моментов
Неразрезной
балкой называется
статически неопределимая балка,
опирающаяся в пролете на конечное число
шарнирных опор. Крайние сечения
неразрезной балки могут быть свободны,
заделаны или шарнирно оперты. Одна из
опор неразрезной балки имеет связь,
препятствующую смещению балки вдоль
ее оси.
Расчет
неразрезной балки (рис.11.1, а)
можно выполнить, как и любой статически
неопределимой системы методом сил.
Основную систему для расчета
неразрезной балки получим, удалив из
нее связи, препятствующие взаимному
повороту смежных сечений балки над
ее опорами, т.е. поместив шарниры в
опорных сечениях балки (рис.11.1, б).
Неизвестными
являются изгибающие моменты, возникающие
в сечении неразрезной балки над опорами.
Выделим
из основной системы четыре примыкающих
друг к другу пролета со средней опорой
номером n и
построим единичные и грузовые эпюры
(рис.11.2). Из анализа единичных эпюр
видно, что в любом каноническом уравнении
только три единичных коэффициента
будут отличны от нуля. Напишем одно из
канонических уравнений в общем виде:
. (11.1)
Подсчитаем
единичные и грузовые коэффициенты,
применяя правило Верещагина «перемножения»
эпюр:
(11.2)
Подставим
найденные коэффициенты в (11.1), получим:
(11.3)
В случае
балки постоянного сечения J1 = J2 =…= Jn = Jn+1 и
введя обозначения Xn1 = M n1; Xn = Mn; Xn+1 = Mn+1,
получим:
. (11.4)
Это
и есть уравнение
трех моментов для
неразрезной балки постоянного сечения.
В этом уравнении неизвестными
являются изгибающие моменты на
опорах. Если у неразрезной балки все
опоры шарнирные, то таких уравнений
можно составить столько, сколько у балки
промежуточных опор.
При
наличии на концах балки нагруженных
консолей, изгибающие моменты на крайних
опорах войдут в уравнение трех моментов,
как известные величины, а при отсутствии
консолей эти моменты будут равны 0.
Рис.11.1
Рис.11.2
Если
конец неразрезной балки защемлен, то
для применения уравнения (11.4) необходимо,
отбросив заделку, ввести с ее стороны
дополнительный пролет =0
(рис.11.2). Такая система будет
деформироваться также, как балка
с жесткой заделкой.
Решая
совместно, составленные таким образом
уравнения, найдем все неизвестные
изгибающие моменты на опорах. Далее для
построения эпюр M и Q,
каждый пролет неразрезной балки
рассматриваем как балку на двух
шарнирных опорах, загруженных внешней
нагрузкой и двумя опорными моментами.
Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по
формулам:
, (11.5)
где и ординаты
эпюр М и Q от
внешней нагрузки в основной системе.
Чтобы
убедиться в правильности построения
эпюр М и Q необходимо
провести проверку равновесия неразрезной
балки по уравнениям: ;.
Для
этого следует определить вертикальные
опорные реакции неразрезной балки,
используя эпюру Q:
. (11.6)
22…..
Моментные фокусные отношения
Рассмотрим
неразрезную балку, загруженную заданной
нагрузкой только в одном пролете и
известным нам способом построим эпюру
изгибающих моментов (схематично показана
на рис. 1).
Обратим
внимание на особенность приведенной
эпюры – наличие точек нулевых значений
моментов в незагруженных пролетах. Они
расположены слева и справа от загруженного
пролета. Назовем их левыми и
правыми моментными
фокусами:
– левым
(правым) моментным фокусом называется
нулевая точка эпюры моментов в пролете
при действии нагрузки справа (слева) от
него.
Рассмотрим,
влияет ли характер и величина нагрузки
на положение моментных фокусов. Для
этого проведем сечение через левую
опору загруженного пролета и рассмотрим
равновесие левой же отсеченной части
(рис. 5.2). Влияние правой отсеченной части
заменим известными усилиями M, Q и N.
Вполне
очевидно, что если N существует,
то влияния на характер и величину
изгибающего момента не окажет. Поперечная
сила Q приложена
на опоре и тоже не окажет влияния на
изгибающий момент. Таким образом,
изгибающие моменты в рассматриваемых
пролетах будут зависеть только от
величины опорного момента M2.
Учитывая, что в рассматриваемых пролетах
закон изменения изгибающего момента
линеен, то как бы не менялось значение
опорного момента M2,
величина момента в пролетах изменяется
пропорционально и положение моментных
точек не изменится. Естественно, что
сказанное справедливо и для правых
моментных точек.
Моментным
фокусным отношением назовем
отношение между опорными моментами
какого-либо незагруженного пролета
(рис. 5.3).
Различают
левое и правое фокусные отношения:
– левое
, если загружен пролет справа;
–
правое , если загружен пролет слева.
Рассмотрим
два соседних незагруженных пролета
(рис. 5.4) в предположении, что нагрузка
справа.
Запишем
уравнение 3-х моментов для n-й
опоры:
.
Разделим
записанное уравнение на Mn:
.
Так
как ранее было принято, что , то в нашем
случае можем записать:
,
.
Перепишем
уравнение 3-х моментов с учетом введенных
обозначений:
.
Найдем
Получили
рекуррентную формулу вычисления левых
фокусных отношений. Чтобы воспользоваться
ей, надо знать хотя бы одно фокусное
отношение.
Рассмотри
крайний левый пролет с шарнирным
опиранием (рис. 5.5). Найдем левое фокусное
отношение для первого пролета:
.
Тогда
фокусное отношение для второго пролета,
при условии, что он не загружен:
и
т.д..
Рассмотрим
случай, когда крайний левый пролет имеет
левую опору в виде защемления (рис. 5.6).
Заменим
защемление нулевым пролетом бесконечной
жесткости. Учтем, что для нулевого
пролета . Получим:
.
Далее
можно вычислить фокусные отношения для
всех незагруженных левых пролетов.
Вполне
верно будет обобщить полученные
результаты на правые фокусные
отношения. Рекуррентная формула:
Для
крайних правых незагруженных пролетов,
в зависимости от типа опирания, справедливы
ранее полученные результаты.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач
Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.
Понятие канонического уравнения прямой
Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M 1 ( x 1 , y 1 ) , а также ее направляющего вектора a → = ( a x , a y ) . Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.
Возьмем плавающую точку M ( x , y ) . Тогда вектор M 1 M → можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны x — x 1 , y — y 1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).
Множество произвольно взятых точек M ( x , y ) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) только в одном случае – если векторы M 1 M → и a → = ( a x , a y ) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку:
Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:
M 1 M → = λ · a → , λ ∈ R
Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:
x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y
При условии, что a x ≠ 0 и a y ≠ 0 , получим:
x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y
Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y также называют уравнением прямой в каноническом виде.
Таким образом, с помощью уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) и проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .
Примером уравнения подобного типа является, например, x — 2 3 = y — 3 1 . Прямая, которая задана с его помощью, проходит через M 1 ( 2 , 3 ) и имеет направляющий вектор a → = 3 , 1 . Ее можно увидеть на рисунке:
Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:
1. Если прямая, имеющая направляющий вектор a → = ( a x , a y ) , проходит через две точки – M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , то уравнение для нее может быть записано как в виде x — x 1 a x = y — y 1 a y , так и x — x 2 a x = y — y 2 a y .
2. Если заданная прямая имеет направляющий вектор с координатами a → = ( a x , a y ) , то множество всех ее векторов можно обозначить как μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Таким образом, любое уравнение прямой в каноническом виде x — x 1 μ · a x = y — y 1 μ · a y будет соответствовать этой прямой.
Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.
В прямоугольной системе координат на плоскости задана прямая, которая проходит через точку M 1 ( 2 , — 4 ) и имеет направляющий вектор с координатами a → = ( 1 , — 3 ) . Запишите каноническое уравнение, описывающее данную прямую.
Решение
Для начала вспомним общий вид нужного нам канонического уравнения – x — x 1 a x = y — y 1 a y . Подставим в него имеющиеся значения x 1 = 2 , y 1 = — 4 , a x = 1 , a y = — 3 и подсчитаем:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — 2 1 = y — ( — 4 ) — 3 ⇔ x — 2 1 = y + 4 — 3
Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.
Ответ: x — 2 1 = y + 4 — 3
Канонические уравнения прямой на плоскости с a x или a y , равными нулю
Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной и понимать ее как равенство a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .
Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x — x 1 0 = y — y 1 a y при a x = 0 , а исходная прямая будет проходить через M 1 ( x 1 , y 1 ) . В таком случае она является параллельной оси ординат (если x 1 = 0 , то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.
Для этой прямой вектор a → = ( 0 , a y ) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j → = ( 0 , 1 ) .
Если же нулевым является значение второго параметра, то есть a y = 0 , то мы получаем равенство вида x — x 1 a x = y — y 1 0 . Это уравнение описывает прямую, проходящую через M 1 ( x 1 , y 1 ) , которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a → = ( a x , 0 ) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i → = ( 1 , 0 ) .
Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:
На плоскости задана прямая, параллельная оси O y . Известно, что она проходит через точку M 1 2 3 , — 1 7 . Запишите каноническое уравнение для нее.
Решение
Если прямая по отношению оси ординат является параллельной, то мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) в качестве направляющего для нее. В таком случае искомое уравнение выглядит следующим образом:
x — 2 3 0 = y — — 1 7 1 ⇔ x — 2 3 0 = y + 1 7 1
Ответ: x — 2 3 0 = y + 1 7 1
На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.
Решение
Мы видим, что исходная прямая проходит параллельно оси O x через точку M 1 ( 0 , 3 ) . Мы берем координатный вектор i → = ( 1 , 0 ) в качестве направляющего. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужное уравнение.
x — 0 1 = y — 3 0 ⇔ x 1 = y — 3 0
Ответ: x 1 = y — 3 0
Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений
Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.
Стандартной форме записи канонического уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ . Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ . После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y :
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ ⇔ x — x 1 a x = λ y — y 1 a y = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.
У нас есть прямая, заданная на плоскости с помощью канонического уравнения x + 2 3 = y — 1 11 . Запишите параметрические уравнения исходной прямой.
Решение
Сначала поставим знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной λ и получим x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ .
Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:
x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ ⇔ x + 2 = 3 · λ y — 1 = 11 · λ ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ
Ответ: x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ
Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись a b = c d можно представить в виде a · d = b · c с сохранением смысла. Значит, что x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 .
Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров a y = A , — a x = B , — a y x 1 + a x y 1 = C .
Прямая на плоскости описана с помощью канонического уравнения x — 1 2 = y + 4 0 . Вычислите общее уравнение этой прямой.
Решение
Делаем указанные выше действия по порядку.
x — 1 2 = y + 4 0 ⇔ 0 · ( x — 1 ) = 2 · ( y + 4 ) ⇔ y + 4 = 0
Ответ: y + 4 = 0 .
Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.
На плоскости задана прямая с помощью уравнения x + 3 3 = y — 2 2 . Запишите уравнение этой же прямой в отрезках.
Решение
Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.
x + 3 3 = y — 2 2 ⇔ 2 · ( x + 3 ) = 3 · ( y — 2 ) ⇔ 2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0
Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.
2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0 ⇔ 2 x — 3 y = — 6 + 2 3 ⇔ ⇔ 2 — ( 6 + 2 3 ) x — 3 — ( 6 + 2 3 ) y = 1 ⇔ x — 6 + 2 3 2 + y 6 + 2 3 3 = 1 ⇔ x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1
Ответ: x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1
Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – A x + B y + C = 0 . При условии A ≠ 0 мы можем перенести B y вправо с противоположным знаком. Получим A x + C = — B y . Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:
Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x + C A — B = y A .
У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.
А как сделать преобразование, если B ≠ 0 ? Переносим все слагаемые, кроме A x , вправо с противоположными знаками. Получаем, что A x = — B y — C . Выносим — B за скобки:
Формируем пропорцию: x — B = y + C B A
Есть общее уравнение прямой x + 3 y — 1 = 0 . Перепишите его в каноническом виде.
Решение
Оставим с левой стороны только одну переменную x . Получим:
Теперь вынесем — 3 за скобки: x = — 3 y — 1 3 . Преобразуем равенство в пропорцию и получим необходимый ответ:
Ответ: x — 3 = y — 1 3 1
Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y
Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.
Прямая на плоскости описана с помощью системы параметрических уравнений x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Запишите каноническое уравнение для этой прямой.
Решение
Для начала преобразуем исходные уравнения в систему x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Следующим шагом будет выражение параметра в каждом уравнении:
x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4
Ставим знак равенства между получившимися частями и получаем нужное нам каноническое уравнение: x — 3 0 = y + 2 — 4
Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4
Как решать задачи на составление канонических уравнений
В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.
На плоскости задана прямая, каноническое уравнение которой имеет вид x — 1 2 = y + 1 2 — 3 . Выясните, лежат ли на ней точки M 1 3 , — 3 1 2 и M 2 ( 5 , — 4 ) .
Решение
Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.
3 — 1 2 = — 3 1 2 + 1 2 — 2 ⇔ 1 = 1
Результат говорит нам, что точка M 1 3 , — 3 1 2 принадлежит исходной прямой.
Точно так же поступим и с координатами второй точки:
5 — 1 2 = — 4 + 1 2 — 3 ⇔ 2 = 7 6
Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.
Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.
Есть две точки M 1 ( 2 , 4 ) и M 2 ( — 1 , 3 ) . Будет ли прямая, которая задана в той же плоскости с помощью уравнения x — 2 0 = y — 3 2 , проходить через них?
Решение
Вспомним, что запись x — 2 0 = y — 3 2 можно понимать как 2 · ( x — 2 ) = 0 · ( y — 3 ) ⇔ x — 2 = 0 . Подставим координаты заданных точек в это равенство и проверим.
Начнем с первой точки M 1 ( 2 , 4 ) : 2 — 2 = 0 ⇔ 0 = 0
Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.
Подставляем данные второй точки: — 1 — 2 = 0 ⇔ — 3 = 0 .
Равенство неверное, значит, точка M 2 ( — 1 , 3 ) не лежит на исходной прямой.
Ответ: через точку M 1 ( 2 , 4 ) прямая проходит, а через M 2 ( — 1 , 3 ) нет.
Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.
Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.
Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.
Прямая на плоскости проходит через точку M 1 ( 0 , — 3 ) и через точку M 2 ( 2 , — 2 ) . Сформулируйте для этой прямой канонической уравнение.
Решение
Eсли у нас есть координаты двух точек, то мы можем вычислить по ним координаты вектора M 1 M 2 → = 2 , 1 . По отношению к прямой, чье уравнение мы составляем, он будет направляющим вектором. После этого мы можем записать следующее:
x — 0 2 = y — ( — 3 ) 1 ⇔ x 2 = y + 3 1
Также можно использовать координаты второй точки. Тогда мы получим: x — 2 2 = y — ( — 2 ) 1 ⇔ x — 2 2 = y + 2 1
Ответ: x 2 = y + 3 1
Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.
Известно, что точка M 1 ( 1 , 3 ) принадлежит некоторой прямой, которая параллельна второй прямой, заданной с помощью уравнения x 2 = y — 5 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.
Решение
Для первой прямой можно определить направляющий вектор a → = 2 , — 5 . Его можно рассматривать и в качестве направляющего для второй прямой, что следует из самого определения направляющих векторов. Это позволяет нам получить всю информацию, нужную для записи искомого уравнения: x — 1 2 = y — 3 — 5
Ответ: x — 1 2 = y — 3 — 5
Через точку M 1 ( — 1 , 6 ) проходит прямая, которая является перпендикулярной другой прямой, определенной на плоскости с помощью уравнения 2 x — 4 y — 7 = 0 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.
Решение
Из данного уравнения мы можем взять координаты нормального вектора второй прямой – 2 , 4 . Мы знаем, что этот вектор является направляющим по отношению к первой. Тогда мы можем записать искомое уравнение:
x — ( — 1 ) 2 = y — 6 4 ⇔ x + 1 1 = y — 6 2
Метод сил — расчет статически неопределимых рам
При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:
1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.
Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:
1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.
Канонические уравнения метода сил
Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.
В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.
Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:
где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; — перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.
В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:
где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.
Подставляя (2) в (1), получим:
Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.
Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:
Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.
Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. .
Алгоритм расчета методом сил
Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.
Выбор основной системы
Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.
1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).
2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).
3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).
Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.
Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.
Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .
Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.
Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.
Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру — эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:
Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :
Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:
Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:
Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.
Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:
Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:
Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов
Окончательные эпюры можно построить двумя способами.
Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:
или, учитывая, что
приходим к выражению:
Аналогично определяется продольные и поперечные силы:
Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.
Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.
В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.
Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.
При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.
Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.
Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:
Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:
Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.
Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:
Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.
Определение перемещений в статически неопределимых системах
Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:
где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.
Отметим, что при вычислении перемещения можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.
Пример расчета
Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).
Степень статической неопределимости рамы:
n = r — s = 4 — 3 = 1
Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).
Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).
Грузовая эпюра моментов (рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.
При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:
Вычислим коэффициенты канонического уравнения:
Реакция лишних связи:
Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.
Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.
В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.
Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:
Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.
Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:
откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).
Вычисление коэффициентов канонических уравнений
Коэффициенты канонических уравнений обычно вычисляются с помощью интеграла Мора (8.43) и, где это возможно, применяется правило Верещагина.
Вычисления начинаются с определения внутренних силовых факторов и построения эпюр этих факторов отдельно от заданной нагрузки и единичных усилий, приложенных вместо искомых усилий X 1 , X 2 , X 3 ,. X n . Силовым факторам и их эпюрам от единичного усилия приписывается номер i соответствующего усилия X i , а у силовых факторов от заданной нагрузки проставляется индекс P или 0. Эпюры от заданных нагрузок называются основными, а от единичных усилий — единичными.
Согласно методу Мора далее надо снять с эквивалентной системы все внешние для нее нагрузки, включая усилия X 1 , X 2 , X 3 ,. X n , а затем в сечениях, перемещение которых ищется, приложить единичные нагрузки (силы или пары) и вычислить внутренние силовые факторы от каждой из этих нагрузок. Необходимость в таких вычислениях отпадает, если единичные нагрузки совместить по направлению с искомыми усилиями X 1 , X 2 , X 3 ,. X n , так как в этом случае внутренние силовые факторы от единичных нагрузок будут по величине и знаку равны найденным ранее одноименным силовым факторам от единичных усилий, приложенных вместо X i . Обычно так всегда и направляют единичные нагрузки. Но в таком случае для определения коэффициентов канонических уравнений надо вычислить интегралы Мора от произведения ранее найденных внутренних силовых факторов с номерами, соответствующими индексам у этих коэффициентов, или перемножить по правилу Верещагина эпюры этих факторов с теми же номерами.
При определении коэффициентов δ iP перемножаются внутренние силовые факторы (или их эпюры) от заданной нагрузки и от соответствующего единичного усилия с индексом i . Для побочных коэффициентов δ ik и δ ki интегралы Мора отличаются только последовательностью сомножителей с индексами i и k . Но от перестановки сомножителей величины интегралов не изменяются, поэтому всегда
.
Если δ ik — угол поворота сечения, δ ki — линейное смещение, то это равенство надо понимать как численное.
Отметим, что главные коэффициенты δ ii всегда отличны от нуля и положительны, а побочные коэффициенты δ ik и свободные члены δ iP могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
источники:
http://funnystudy.ru/sopromat/52.html
http://mysopromat.ru/uchebnye_kursy/sopromat/staticheski_neopredelimye_sterzhnevye_sistemy/koeffitsienti_kanonicheskih_uravnenii/
Метод сил – расчет статически неопределимых рам
Заказать решение Способ оплаты
При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:
1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.
Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:
1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.
Канонические уравнения метода сил
Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.
В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.
Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:
где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. – это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; – перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.
В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:
где – единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.
Подставляя (2) в (1), получим:
Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.
Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:
Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.
Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. .
Алгоритм расчета методом сил
Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.
Выбор основной системы
Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.
1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).
2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).
3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).
рис. 1
Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.
рис. 2
Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.
Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .
Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.
Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.
Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру – эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:
Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :
Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр – это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:
Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:
Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.
Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:
Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:
Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов
Окончательные эпюры можно построить двумя способами.
Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:
или, учитывая, что
приходим к выражению:
Аналогично определяется продольные и поперечные силы:
Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.
Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.
В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.
Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.
При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.
Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.
Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.<br /> При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:
Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:
Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.
Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:
Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.
Определение перемещений в статически неопределимых системах
Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:
где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.
Отметим, что при вычислении перемещения можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.
Пример расчета
Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).
Степень статической неопределимости рамы:
n = r – s = 4 – 3 = 1
Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).
Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).
Грузовая эпюра моментов (рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.
При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:
Вычислим коэффициенты канонического уравнения:
Реакция лишних связи:
Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.
Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.
В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.
Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:
Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.
Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:
откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).
рис. 3
рис. 4
следовательно, расчет выполнен правильно.
Заказать решение
Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки и от единичных неизвестных перемещений (по направлениям введенных закреплений). Построение их производится с помощью данных, приведенных в табл. 7.2. В качестве примера рассмотрим построение эпюр для основной системы, изображенной на рис. 7.18, б.
Эпюру в основной системе от заданной нагрузки для левой стойки построим, как для балки с двумя заделанными концами при действии сосредоточенной силы (по данным 6-й строки табл. 7.2), а для ригеля — как для балки с заделкой на одном конце и шарнирной опорой на другом (по данным 2-й строки той же таблицы). Опорные моменты будут равны:
так как
Эпюры моментов изображены на рис. 7.20, а. Эпюру моментов от поворота заделки 1 на угол по часовой стрелке построим
в ригеле 1—2 по данным 3-й строки, а в стойке по данным 8-й строки табл. 7.2. Эпюра показана на рис. 7.20, б.
Построение эпюры для стоек от линейного перемещения узла 2 на вправо выполним по данным, приведенным в 4-й и 9-й строках табл. 7.2. В стержне 1—2 моменты отсутствуют, так как при смещении по направлению этот стержень не деформируется. Эпюра показана на рис. 7.20, в.
После того как эпюры изгибающих моментов от нагрузки и единичных неизвестных перемещений в основной системе построены, можно перейти к определению коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений.
Рис. 7.20
Все коэффициенты, а также и свободные члены уравнений разделим на две группы:
1) коэффициенты, представляющие реактивные моменты во введенных заделках;
2) коэффициенты, представляющие реактивные усилия во введенных стержнях.
Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных заделках, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия вида
Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных стержнях, можно определить с помощью разреза элементов рамы и составления уравнений равновесия сил, действующих на отсеченную часть:
Направление оси Т выбирается так, чтобы уравнение получилось более простым.
Установим следующее правило знаков для реакций заделок и опорных стержней.
Реактивное усилие будем считать положительным, если направление
его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла.
Пример. Определить коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений метода перемещений для рамы, изображенной на рис. 7.18.
Рис. 7.21
Решение. Первоначально найдем реактивные моменты Реактивный момент во введенной заделке от заданной нагрузки определим, вырезав узел I в состоянии «Р» (рис. 7.20, а и 7.21, а).
Составив уравнение равновесия этого узла, получим
отсюда найдем
Реактивный момент в заделке 1 от поворота этой же заделки на угол по часовой стрелке определим, вырезав узел 1 в состоянии «1» (рис. 7.20, б) и составив уравнение равновесия (рнс. 7.21, б):
следовательно,
Рис. 7.22
Реактивный момент в заделке 1 от перемещения узла 2 на определим, вырезав узел 1 в состоянии «2» (рис. 7.20, в и 7.21, в):
Определим реактивные усилия во введенном стержне. Реакцию от нагрузки определим, проведя разрез в состоянии «Р» (рис. 7.20, а и 7.22, а). Составив выражение суммы проекций всех сил, приложенных к отсеченной части, на горизонтальную ось получим
откуда
При проведении разреза 1—1 реактивное усилие было направлено в сторону принятого во втором единичном состоянии смещения узла 2, т. е. вправо. Это направление является положительным. Полученный для реакции знак минус показывает, что реакция имеет противоположное направление.
Для определения реакции проведем в состоянии «1» (см. рис. 7.20, б) разрез (рис. 7,22, б) и составим уравнение проекций сил на горизонтальную ось
следовательно,
Заметим, что Это соотношение между побочными реакциями (взаимность реакций) аналогично соотношению между побочными перемещениями в методе сил и доказывается ниже в общем виде (см. § 7.6).
Реакцию найдем, проведя в состоянии «2» (см. рис. 7.20, в) разрез (рис, 7,22, в); из уравнения проекций сил на ось следует
откуда найдем
Изложенный способ определения коэффициентов и свободных членов называется статическим, так как основан на применении обычных уравнений равновесия,