Как найти центр тяжести двух стержней

Центр тяжести (центр масс):

Любое твердое тело можно представить как состоящее из множества материальных точек, на каждую из которых действует сила тяжести.

Центр тяжести – геометрическая точка абсолютно твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на данное тело при любом его положении в пространстве.

На каждую точку тела в поле сил тяжести действует сила, а на все тело – равнодействующая этих сил. Точка приложения равнодействующей называется центром тяжести тела.

Центр масс (центр инерции) – точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел. Представляется она как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все приложенные к системе  внешние силы.

При определенных условиях положение центра тяжести тела совпадает с положением центра его масс.

Положение центра масс тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра тяжести.

При небольших размерах тел возле поверхности Земли поле сил тяжести можно считать однородным, а силы, действующие на каждую точку тела, – параллельными.

Чтобы сила тяжести не вызывала движения, необходимо соблюдать определенные условия.

 Положение центра масс тела в однородном поле тяжести | совпадает с положением его центра тяжести.

Если тело закреплено в одной точке, например подвешено или лежит на опоре и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали: сила тяжести, действующая на тело, уравновешивается реакцией точки опоры.

Если тело закреплено в одной точке (подвешено или лежит на опоре) и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали.

Рассмотрим примеры определения центра тяжести (центра масс) тел правильной несложной геометрической формы.

1. Найдем центр тяжести однородного стержня (рис. 2.48). Разделим стержень на несколько одинаковых небольших объемов (в нашем случае на пять слева и справа от середины стержня). Если добавить две параллельные силы, которые действуют на объемы 1 и 1′, то их равнодействующая будет расположена в точке О – середине стержня.

Аналогично и для пар сил 2-2′, 3-3′ и т. д. На основании этого можно сделать вывод: центр тяжести однородного стержня 99 расположен в точке О — середине стержня.

Центр тяжести однородного стержня расположен в середине стержня.

2. Пользуясь рассмотренным выше приемом, можно установить, что центр тяжести однородного круга совпадает с его центром (рис. 2.49).

Таким образом, в однородных телах, имеющих центр симметрии (прямоугольник или круглая пластинка, шар, цилиндр и т. д.), центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться и вне тела, например у кольца или спичечной коробки, мяча или пустого стакана.

Центр тяжести однородного круга совпадает с его центром.

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.

3. Найдем центр тяжести однородного треугольника (рис. 2.50), представим, что вся площадь треугольника поделена на узкие поло-
сы, параллельные любой из сторон треугольника, например АВ. Центр тяжести каждой такой полосы, как однородного стержня, находится в ее середине. Центр тяжести всего треугольника лежит где-то на медиане CD, которая проходит через середины всех отрезков, параллельных стороне АВ.

Если поделить треугольник на отрезки, параллельные стороне СВ, то с учетом предыдущих вычислений можно сделать вывод: центр тяжести треугольника будет лежать на медиане АЕ. На обеих медианах центр тяжести может лежать лишь в том случае, если он совпадает с точкой их пересечения О.

4. Чтобы найти центр тяжести плоской фигуры, надо ее подвесить за какую-нибудь точку 1; тогда фигура развернется так, что ее центр тяжести окажется на вертикали, которая проходит через точку подвеса (рис. 2.51).

Отметив направление этой вертикали, подвесим фигуру за другую точку 2. И в этом случае фигура развернется так, чтобы центр тяжести находился на вертикали, проходящей через новую точку подвеса. Отметим направление и этой вертикали.

Центр тяжести плоской фигуры расположен в точке О пересечения вертикалей, проведенных через две любые точки подвеса.

Когда нужно определить центр сил тяжести сложных фигур, необходимо исходить из того, что сила тяжести равна сумме сил тяжести частей тела и всегда приложена к центру этих сил.

• Заказать решение задач по физике

Центр тяжести тела и центр масс тела

Когда мы рассматривали опыты с подвешенными телами, находящимися в равновесии, точка приложения сил натяжения была нам известна. А где приложена сила тяжести? В какой точке? Из этих опытов следует только то, что точка приложения силы тяжести при равновесии лежит на линии действия силы натяжения подвеса. Но это позволяет решить задачу о нахождении точки приложения силы тяжести экспериментальным путем. Если подвешивать плоское тело в разных точках (рис. 151), то линии действия сил натяжения пересекутся в одной точке С. Эта точка и будет точкой приложения силы тяжести. Она называется центром тяжести. Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоского тела, но и любого другого.

Рис. 151

Очевидно, что положение центра тяжести тел правильной формы можно указать, не выполняя описанный опыт. Так, например, центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре, поскольку любой диаметр является осью симметрии шара. Центр тяжести круглого диска также находится в его геометрическом центре, как и центр тяжести обруча или кольца, и т. д. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может находиться вне тела.

Положение центра тяжести тела можно и вычислить. Предварительно рассмотрим следующий опыт. Пусть тело состоит из двух шаров массами m₁ и m₂, насаженных на стержень (рис. 152, а). Если масса стержня значительно меньше масс шаров, то ею можно пренебречь. На каждый из шаров действуют силы тяжести, приложенные в их центре тяжести. Для того чтобы система находилась в равновесии, призму надо расположить так, чтобы линия действия силы реакции призмы проходила через центр тяжести этой системы — точку С. В этом случае суммарный момент сил относительно точки C равен нулю, т. е. выполняется условие:

или

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Соотношение (1) можно получить и иначе. Поскольку момент сил тяжести равен нулю, то он должен быть равен нулю и относительно любой горизонтальной оси, проходящей, например, через точку О. Иначе тело вращалось бы вокруг этой оси. Обозначим расстояние между точками C и О через а. Тогда алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно точки О примет вид:

Рис. 152

Поскольку F=(m₁ + m₂)g, то после несложных преобразований получим соотношение (1). Такой подход позволяет находить положение центра тяжести аналитически.

Направим ось Ox вдоль стержня (рис. 152, б). Выберем начало отсчета в произвольной точке О. тогда координаты точек приложения сил соответственно будут х₁, х_с и х₂. Запишем условие моментов относительно точки О:

Отсюда

При выводе этой формулы было использовано значение силы F = (m₁ + m₂) g. Таким образом, центр тяжести этой системы тел отстоит от точки О на расстоянии х_с, определенном формулой (2).

Напомним, что выражение (2) является следствием правила моментов при равновесии тела, но в правой части отсутствует ускорение свободного падения. В него входят только координаты центра тяжести тел и их массы, поэтому точка, координата которой определяется формулой (2), называется центром масс тела. Следует отметить, что центр масс и центр тяжести совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле.

Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести. Центр масс является характеристикой тела или системы тел, важной не только для задач, где речь идет о силе тяжести, но и для решения других физических проблем.

Если произвольное тело можно разбить на n элементов, массы которых m₁, m₂…,    m_n, и если известны координаты центров масс этих элементов x₁, x₂…,   x_n относительно выбранной системы координат, то координата центра масс тела вычисляется по формуле:

Естественно, что такие же соотношения можно записать и для у_с и z_c. Для примера вычислим положение центра масс столярного угольника. Он состоит из деревянного бруска 1 и деревянной линейки 2, соединенных под прямым углом (рис. 153). Положим, что масса бруска 1 в два раза больше массы линейки (m₁ = 2m₂). Так как линейка и брусок — однородные параллелепипеды, то центры масс находятся в их геометрических центрах. Очевидно, что центр масс угольника находится где-то на линии, соединяющей центры масс бруска (C₁) и линейки (C₂).

Выберем наиболее оптимальным образом систему координат, как показано на рисунке. Тогда координаты центра масс бруска: х₁ = 0, y₁ =, а координаты центра масс линейки: , y₂ = 0 .
По формуле (3):    .

Таким образом, центр масс угольника находится вне тела.

Главные выводы:

1. Центр тяжести — точка, в которой приложена сила тяжести.
2. Центр масс симметричных однородных тел находится в их геометрическом центре.
3. Координаты центра масс тела можно вычислить по формуле (3).

ТЕМА 4

Центр параллельных
сил с центр тяжести тела

Рассматриваемые вопросы:

. Центр параллельных сил. Формулы для
определения координат центра параллельных
сил. Центр тяжести тела, способы его
нахождения.

Литература:

1. § 31…35;

2. ч.I, §
8.Т…8.4; 4. ч.1.
§ 53.. .61.

4.1. ЦЕНТР
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Рассмотрим две параллельные силы

и
.

Очевидно, что эта система сил имеет
равнодействующую
.

Положение
точки С найдем из теоремы Вариньона:

Если силы

и

повернуть на угол

то образуется новая система параллельных
сил и ее равнодействующая равна
и
приложена к той же точке С.

Точка С называется ЦЕНТРОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
СИЛ.

Если у нас

параллельных сил, то выберем систему
координат так, что ось

будет параллельна этим силам.

По теореме Вариньона

тогда

По аналогии

,

4.2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Понятие
о центре параллельных сил используется
при решении некоторых задач механики,
в частности при определении положений
центров тяжести тел.

На каждую частицу тела, находящегося
вблизи земной поверхности, действует
направленная вертикально вниз сила
,
которую называют силой тяжести.
Для тел, размеры которых очень малы по
сравнению с земным радиусом, силы
тяжести, действующие на частицы тела,
можно считать параллельными друг другу
и сохраняющими для каждой частицы
постоянное значение при любых поворотах
тела.

Центр параллельных сил

(точка С) называется ЦЕНТРОМ
ТЯЖЕСТИ ТЕЛА.

Равнодействующая сил тяжести

называется
ВЕСОМ ТЕЛА.

Равнодействующая сил тяжести проходит
через центр тяжести при любом положении
тела относительно земли.

Координаты центра тяжести, как центра
параллельных сил, определяются формулами

,

,

где

– координаты точек приложения сил тяжести

.

Необходимо отметить, что центр тяжести
точка геометрическая и может лежать
вне пределов данного тела.

4.3. СПОСОБЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

1. СИММЕТРИЯ

Если
однородное тело имеет плоскость, ось
или центр симметрии, то его центр тяжести
С лежит соответственно или в плоскости
симметрии, или на оси симметрии, или в
центре симметрии.

1. РАЗБИЕНИЕ

Если тело можно разбить на конечное
множество таких частей, для которых
положение центра тяжести известно, то
координаты центра тяжести всего тела
можно вычислить по известным формулам:

а) если тело имеет вид решетки или
каркаса из однородных тонких прутков,

то
,
где
–
длина прутка;

– интенсивность силы тяжести.

,

,

где
–
координаты центров тяжести отдельных
участков.

ПРИМЕР:

Определить
положение центра тяжести С однородного
проволочного контура АВС, состоящего
из трех прямолинейных отрезков.
|AB|=|AC|=a,
BAC=30⁰,
|BC|=b.

РЕШЕНИЕ:

Проволочный контур имеет ось симметрии,
вдоль которой направим ось Х.

Взяв начало координат в т.А, направляем
ось У вертикально вверх. Так как центр
тяжести С контура лежит на оси симметрии,
то У_С=0.

Для определения координаты Х_С
целесообразно разбить контур на отдельные
стержни и найти координаты их центров
тяжести (центры тяжести стержней
расположены в середине стержня):

Подставляя
полученные выражения в формулу определения
координаты центра тяжести Х_С
контура, получим:

2) Если тело составлено из плоских или
изогнутых однородных пластин, то

где

– площадь участка;

– сила тяжести единицы площади пластины

,

,

где
–
координаты центров тяжести отдельных
участков фигуры площадью
.

ПРИМЕР:

Определить координаты центра тяжести
однородной пластины. Все размеры даны
в сантиметрах.

РЕШЕНИЕ:

Выберем
оси системы координат и разобьем пластину
на три прямоугольника. Вычислим координаты
центров тяжести каждого из прямоугольников
и их площади. Результаты занесем в
таблицу

№	1	2	3
Xk	-1	1	5
Yk	1	5	9
Sk	4	20	12

Площадь всей пластины

S=S₁+S₂+S₃=4+20+21=36
см²

Подставляя вычисленные величины в
формулы для определения координат
центра тяжести, получим:

3) Если тело составлено из объемов
,
то

где

– сила тяжести единицы объема

,

,

–
координаты центров тяжести отдельных
объемов.

1. ДОПОЛНЕНИЕ

Данный способ является частным случаем
разбиения. Он применяется к телам,
имеющим вырезы, если центры тяжести
тела без выреза и вырезанной части
известны. При этом площадь вырезанной
части берется с минусом.

Пример:

Определить положение центра тяжести
круглой пластины радиуса R
с вырезом r. Расстояние
С₁С₂=a.

РЕШЕНИЕ:

Центр тяжести пластины лежит на линии
С₁С₂, так
как эта линия является осью симметрии.
Тогда, если выбрать ось X
совпадающей с линией С₁С₂,
то координата центра масс пластины Y_C=0
и необходимо определить только координату
X_C.

Определим площадь пластины без выреза:
S₁=R²

Определим площадь вырезанной части :
S₂= –r²

S₂ – отрицательная
величина, т.к. при использовании способа
дополнения площадь вырезанной части
берется со знаком минус.

Определим площадь пластины с вырезом:

S₂=
S₁+S₂=
R²–r²)

Определим координату
X_C:

Найденный центр тяжести С, как видим,
лежит левее точки С₁.

4.3.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ

1. Подвешивание (для определения
   центров тяжести неоднородных плоских
   тел сложной конфигурации)

При этом способе тело подвешивают на
нити или тросе за различные его точки.
Направление нити будет каждый раз давать
направление силы тяжести. Точка
пересечения этих направлений определяет
центр тяжести тела.

1. Взвешивание (для определения
   центров тяжести неоднородных тел
   сложной формы и экспериментальной
   проверки расчетных данных)

Этим способом можно воспользоваться
при определении координат центра тяжести
автомобиля. При помощи весов определяют
силу давления каждого колеса на платформу
весов. Получают систему параллельных
сил и по известным зависимостям определяют
центр параллельных сил (это и будет
центр тяжести автомобиля).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Определение
центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил,
действующих на отдельные его части,— трудная задача; она облегчается только для
тел сравнительно простой формы.

Пусть
тело состоит только из двух грузов массы  и , соединенных стрежнем (рис. 125).
Если масса стержня мала по сравнению с массами  и , то ею можно пренебречь. На каждую
из масс действуют силы тяжести, равные соответственно  и               ; обе они 
направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы знаем,
равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке , которая определяется из
условия

 или .

Рис. 125.
Определение центра тяжести тела, состоящего из двух грузов

Следовательно,
центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном
отношению их масс. Если это тело подвесить в точке , оно останется в
равновесии.

Так
как две равные массы имеют общий центр тяжести в точке, делящей пополам
расстояние между этими массами, то сразу ясно, что, например, центр тяжести
однородного стержня лежит в середине стержня (рис. 126).

Поскольку любой
диаметр однородного круглого диска делит его на две совершенно одинаковые
симметричные части (рис. 127), то центр тяжести должен лежать на каждом диаметре
диска, т. е. в точке пересечения диаметров — в геометрическом центре диска . Рассуждая
сходным образом, можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в его
геометрическом центре, центр тяжести однородного прямоугольного параллелепипеда
лежит на пересечении его диагоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца
лежит в его центре. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может
лежать вне тела.

Рис. 126.
Центр тяжести однородного стержня лежит в его середине

Рис. 127.
Центр однородного диска лежит в его геометрическом центре

Если тело имеет
неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то
расчет положения центра тяжести часто затруднителен и это положение удобнее
найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжести куска
фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении равновесия центр
тяжести тела  должен
лежать на продолжении нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно
точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому, проведя на нашем куске
фанеры прямую, представляющую продолжение нити, можем утверждать, что центр
тяжести лежит на этой прямой.

Действительно,
подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что
все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела (так как
он должен лежать одновременно на всех таких прямых). Подобным образом можно
определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более
сложного тела. Положение центра тяжести самолета определяют, вкатывая его
колесами на платформы весов. Равнодействующая сил веса, приходящихся на каждое
колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она действует,
можно по закону сложения параллельных сил.

Рис. 128.
Точка  пересечения
вертикальных линий, проведенных через точки подвеса  и  есть центр тяжести тела

При
изменении масс отдельных частей тела или при изменении формы тела положение
центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при
расходовании горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для наглядного
опыта, иллюстрирующего перемещение центра тяжести при изменении формы тела,
удобно взять два одинаковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том
случае, когда бруски образуют продолжение один другого, центр тяжести лежит на
оси брусков. Если бруски согнуть в шарнире, то центр тяжести оказывается вне
брусков, на биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков
надеть дополнительный груз, то центр тяжести переместится в сторону этого
груза.

Рис. 129. а) Центр
тяжести соединенных шарниром брусков, расположенных на одной прямой, лежит на
оси брусков, б) Центр тяжести согнутой системы брусков лежит вне брусков

81.1.
Где находится центр тяжести двух одинаковых тонких стержней, имеющих длину 12 см и скрепленных в виде буквы Т?

81.2.
Докажите, что центр тяжести однородной треугольной пластины лежит на
пересечении медиан.

Рис. 130. К
упражнению 81.3

81.3.
Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как показано на рис. 130.
Определите силы, действующие на опоры.

Положение центра тяжести однородного тела зависит от формы опухоли, занимающей это тело, и называется центром тяжести этой опухоли.

§ 8.3. Центр тяжести

Импульс силы зависит от ее плеч, а значит, и от точки приложения силы. Положение точки приложения силы очевидно при воздействии силы на кабель, пружину или другое тело. Но что можно сказать о точке приложения силы тяжести?

Особенность гравитации в том, что она воздействует на тело не в какой-то один момент времени, а на весь объем тела. Строго говоря, они не параллельны, так как сила тяжести на отдельные элементы тела направлена к центру Земли. Однако размеры всех структур на Земле намного меньше их радиуса. Поэтому почти все эти силы можно рассматривать как параллельные.

Равновесной силой всех параллельных гравитационных сил, действующих на отдельные элементы тела (при любом данном положении тела в пространстве), является точка, называемая центром тяжести.

Определение центра тяжести тела простой формы

Сначала найдем положение центра тяжести в простейшем случае, когда тело состоит из двух шаров разной массы, соединенных со стержнем. Кроме того, длина стержня значительно превышает длину луча сферы. Тогда шары можно рассматривать как материальные точки (рис. 8.4, A).

Поэтому в материальных точках A и B, связанных с оголенным стержнем, силы тяжести₁ и₂в одно и то же время. Геометрическая сумма этих сил является результирующей гравитационной силой.

А также силы, направленные к центру Земли₁ и₂а его мера упругости равна сумме измерений добавленных сил.

Положение центра тяжести, т. е. точки приложения результирующей силы, можно определить, используя тот простой факт, что тело, закрепленное на оси, проходящей через центр тяжести С, должно находиться в равновесии. Ведь относительно этой оси моменты сил тяжести т и силы реакции опоры

С другой стороны, согласно равновесному состоянию (8.2.5), можно записать₁d₁ -f₂d₂ = 0, где d₁ = ac и d₂ = CBS — это оружие власти₁ и₂ Поэтому.

Равенство (8.3.2) определяет положение центра тяжести тела. Точки реализации параллельно генерируемых гравитационных сил делят расстояние между точками приложения этих сил на участки, обратно пропорциональные характеристикам сил.

Нахождение центра веса тела является важной технической проблемой, поскольку положение центра веса определяет устойчивость мостов, плотин, зданий, телебашен, автомобилей и ракет при запуске. Поэтому необходимо ознакомиться с тем, как располагаются различные формы весовых центров.

Нахождение центра тяжести тел

Технологии и повседневная жизнь представляют тело в совершенно разных формах. Часто они состоят из турника и диска (осевого колеса, спортивного турника и т.д.). Многие плоские формы состоят из прямоугольных и треугольных пластин. При определении положения центра тяжести таких тел легко определить положение центра тяжести отдельных частей простой формы. Для простых форм положение центра тяжести можно быстро определить с учетом симметрии.

Например, центр тяжести однородного стержня находится четко в центре стержня (рис. 8.5). Все однородные формы с центром симметрии имеют центр тяжести, совпадающий с этим центром. Круги имеют прямоугольники, включая их геометрические центры и пересечения диагоналей. Однако центр тяжести может находиться и вне тела (например, в кольце или полой сфере).

Определив положение центров тяжести компонентов тела в сложной геометрии, можно найти, где находится центр тяжести всего тела. Это делается путем замены тела системой материальных точек. Каждый из них расположен в центре тяжести соответствующей части тела и массы этой части (рис. 8.6).

ПРИМЕЧАНИЯ. Силовое поле — это область пространства в каждой точке, где к материальной частице приложена сила, зависящая от положения этой частицы. Например, поле, создаваемое магнитом, действует на движение заряженной частицы.

2. Способы нахождения центра тяжести

Метод симметрии. Этот метод основан на том, что Если однородное тело имеет элемент симметрии (зеркало, вал или уровень центральной симметрии), то его центр тяжести должен находиться на этом элементе.

Действительно, предположим, что тело имеет уровень симметрии P. Тогда две его «половинки» имеют эквивалентные по модулю и совместному действию притяжения ɛ (ɛ vec g_ ) и ɛ (ɛ vec g_ ), с точками c₁ и в₂ (полуцентры тяжести) симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 8.4).

Рисунок 8.4. позиционная симметрия центра тяжести зеркала

Гравитация ĩ (ĩ vec g ), практикуемая во всем теле, является результатом линейной ĩ (ĩ vec g_ ) и ĩ (ĩ vec g_ ) и должна применяться вдоль линии, проходящей через центральную часть.₁ c₂ принадлежит уровню P. Поэтому центр тяжести тела на линии действия ⌘ (⌘ vec g_ ) находится на том же уровне.

Путем аналогичных рассуждений можно доказать, например, что центры тяжести образующих измерительных тел находятся на одной оси.

Пример. Пересечение диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. Поэтому центр тяжести однородного («компактного») прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей (рис. 8.5).

Рисунок 8.5.Центр тяжести параллелограмма.

То же самое относится к прямоугольнику, составленному из двух пар брусков одинаковой длины и одинаковой плотности.

Если однородное тело имеет много уровней или осей симметрии, его центр тяжести находится на их пересечении. Это связано с тем, что он должен принадлежать каждому из этих уровней (осей).

Пример. Корабль с загруженными трюмами можно рассматривать как тело, разделенное на части. Сам корпус судна выступает в качестве одного из них, а некоторые позиции груза — в качестве других. Во время обрезки координаты центра изменяются — согласно (8.3a), положение центра тяжести всего грузового контейнера также изменяется. С его помощью можно добиться максимальной устойчивости лодки и избежать ее опрокидывания при сильных толчках. Напротив, неспособность зафиксировать вес может сделать центр тяжести нежелательным и опрокинуть лодку.

Для упрощения расчетов исследуемое тело делится на небольшое количество частей максимально простой формы.

Пример. Из квадрата клмн размером 60 см вырежьте квадрат MPQR со стороной 30 см (рис. 8.6 A). Найдите полученный центр тяжести.

Разделите исходное тело на две части: прямоугольник kspn и квадрат slrq. Разрежьте исходное тело на две части: с₁ и в₂ — их центры тяжести. Введите систему координат в начало точки k, при этом ось x направьте вдоль стороны kn, а ось y — вдоль kl (рис. 8.6 b).

Исходя из вышеизложенного, c₁ пересечение диагоналей KSPN. В указанной системе координат x заканчивается на.₁ = 30 см и размещение y₁ = 15 см. Аналогично, c₂ (диагональное пересечение SLRQ) находится на расстоянии sq /2 = 15 см от оси y и ks + sl /2 = 45 см от оси x, x₂ = 15 см, y₂ = 45 см. площадь s₁ и с₂KSPN и SLPQ равны соответственно 60-30 = 1800 см2 и 30-30 = 900 см2. Используя формулу (8.3a), найдите координаты точки C — центра тяжести большого квадрата с разрезом:

3. Центры тяжести некоторых однородных тел

Центр тяжести стержня находится в его середине. Это следует из того, что стержень симметричен относительно этой точки (рис. 8.10).

Рис. 8.10. Центр тяжести однородного стержня

Как было сказано ранее, центр тяжести параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей. Аналогично, центр тяжести параллелепипеда (однородного или «собранного» из плоских поверхностей равной поверхностной плотности или ребер равной единичной плотности) также находится на пересечении его диагоналей (рис. 8.11).

Рис. 8.11. Центр тяжести однородного параллелепипеда

Центр тяжести площади треугольника находится на пересечении его медиан (рис. 8.12).

Рис. 8.12. Центр тяжести однородного треугольника

それを証明しましょう。 Разрежьте треугольник на полоски, параллельные одной стороне. Сделайте полоски настолько тонкими, чтобы каждую из них можно было приблизить к сегменту. В этом случае сила тяжести, действующая на треугольник в целом, будет эквивалентна системе сил, действующих на середины полос (рис. 8.13).

Эти средние точки заполняют медиану треугольника, проведенную по выбранной стороне. Следовательно, центр тяжести (точка приложения равнодействующей гравитационных сил, действующих на все полосы) находится на этой медиане.

Разрезав исходный треугольник на тонкие полоски, параллельные другой стороне, мы можем показать, что его центр тяжести принадлежит другой медиане. Но все диаметры треугольника пересекаются в одной точке. Таким образом, это точное положение центра тяжести, которое мы ищем.

Далее найдите положение центра тяжести равномерной дуги окружности с центральным углом 2 a и радиусом R. Давайте введем систему координат, как показано на рисунке 8.14.

Рис. 8.14. Определение центра тяжести равномерной дуги окружности

Используя метод симметрии, можно легко убедиться, что искомая точка C расположена на Ox, т.е. y_c = 0. Остается найти координату x_c 。 Для этого разделите дугу на небольшие отрезки и соедините их концы с вершиной угла. Затем он будет разделен на небольшие углы. Поскольку длины отрезков, разделяющих дугу, малы, каждый из них можно рассматривать как отрезок прямой длиной dl = R dβ, где dβ — радиальная мера соответствующего угла.

Пусть β — угол между осью Ox и отрезком, соединяющим точку O с центром сегмента раздела (см. рис. 8.14). Тогда отклонение x центра тяжести этой дуги приблизительно равно R cos β. Подставим это значение x в формулу (8.3 b). Вместо объема V используем длину дуги R -2 α, вместо множителя dV под интегралом используем найденное ранее значение dl, а угол β лежит в пределах от — α до α :

Таким образом, центр тяжести однородной дуги расположен на ее оси симметрии на расстоянии ( R sin α )/α от ее центра.

4. Пример расчета координат центра тяжести

Полусфера с усеченной вершиной помещена на коробчатое основание в форме прямоугольного параллелепипеда, состоящего из плоских поверхностей. Срезанная часть заменяется плоской «крышкой» в форме круга. Определите положение центра тяжести полученного тела, предполагая, что все его элементы однородны и имеют одинаковую поверхностную плотность. Размеры указаны в см (рис. 8.18).

Исследуемый объект состоит из четырех других объектов более простой формы — параллелепипеда, круга и поверхности полусферы, от которой «отрезается» отрезок. Радиус полусферы равен R = 30 см, а высота полученного отрезка 20 см, поэтому высота отрезанного отрезка равна 10 см.

Введем систему координат, начиная с центра полусферы O, как показано на рисунке 8.18. Ось Ox расположена вдоль короткого горизонтального ребра параллелограмма, ось Oy — вдоль длинного ребра, а ось Oz — вертикально вверх. Поскольку объект симметричен относительно плоскости Oyz, дистальное положение центра тяжести C равно нулю. Необходимо найти растяжение и ширину этой точки. Используя методы деления и отрицательного объема, эти координаты можно найти по следующему уравнению.

$y_=fracy_+S_y_+S_y_-S_y_>+S_+S_-S_>,; z_=fracz_+S_z_+S_z_-S_z_>+S_+S_-S_>.$

(8.5)

Указатель «1» обозначает параллелограмм, «2» — полусферу, «3» — круг и «4» — усеченный сегмент (его площадь обозначается символом «-«). Поскольку структура состоит из поверхностных элементов, вышеуказанные типы относятся к площадям, а не к объемам.

Второе по величине ребро параллельного шестигранника равно диаметру полусферы, поэтому его поверхность равна S.₁ = 2- (100-60 + 100-10 + 60-10) = 15200 см2; центр тяжести на этой диаграмме находится на расстоянии 100/2 = 50 см от левой стороны и 20/2 = 10 см от вершины. Начало координат O находится на 30 см выше левого края параллелограмма, поэтому координаты центра тяжести на рис. 1 равны y₁ = 20 см, z₁ = -5 см.

На рис. 2 показано сечение сферы высотой H = R. Центр находится в точке O, ось симметрии — Oz. Площадь s₂ = 4π — 302/2 = 1800π см2 и координаты его центра тяжести y₂ = 0 см, z₂ = 30-30/2= 15 см.

Очевидно, что центр тяжести окружности находится в точке (0; 0; 20). Радиус этой окружности равен (Lo_SQRT = sqrt ) см, поэтому площадь S равна.₃ = 500πcm2.

Площадь купола разрезанной сферы равна S₄ = 2π — 30 — 10 = 600π см2. Линия центра тяжести y₄ = 0 см, ширина z₄ = 30-10 / 2 = 25 см.

（ Подставляя параметры, найденные в (8.5), получаем_c ≈ 14,80 см, z_c ≈ -0,34 см; следовательно, C (0; 14,80; -0,34). Как и ожидалось, центр тяжести с самого начала сместился вправо (поскольку рис. 1 асимметричен относительно Oz) и вниз (площадь, а значит и вес параллелепипеда, приходится на сферическое сечение).

Построение состояния задачи показывает, что треугольник является прямоугольным и что центр тяжести лежит на горизонтальной линии, проходящей через центр диска. Предполагается, что ось x является осью x. Чтобы решить эту проблему, сложную форму необходимо разделить на несколько частей. В каждой части можно найти нужную точку.

Понятие центра тяжести

Рассмотрим плоский однородный диск. Подвешенные на нити, они начинают вращаться под действием силы тяжести, за исключением одного. Только если нить соединена с центром диска, вращения не происходит и устанавливается равновесие.

Точка, в которой суммарный гравитационный момент всех частей тела равен нулю, называется центром тяжести. Когда объект рассматривается в однородном гравитационном поле, центр тяжести твердого тела совпадает с центром тяжести. В общем случае это не так.

Рисунок 1: Центр тяжести в неоднородном гравитационном поле.

Центр тяжести используется только по отношению к твердым телам в гравитационном поле. В противном случае его использование бессмысленно.

Рассмотрим два тела, прикрепленных к голому стержню. Система висит на нити и находится в равновесии. Следующей точкой, в которой закрепляется нить, является центр тяжести. Равенство моментов силы дает отношения:.

Рисунок 2. Два центра тела закреплены стержнями.

По полученным результатам можно определить положение центров некоторых нормальных однородных тел. Например, центр тяжести стержня находится в его центре, а центр тяжести сферы описывается центром тяжести параллельности ее поверхности и пересечением ее диагоналей.

Способы определения центра тяжести

Аналитический метод часто используется для однородных тел простой геометрии. Человек вычисляет центр тяжести трехмерной фигуры следующим образом.

$ r_c = frac cdot iiint limits_v r dv $, где v — объем тела.

Для плоских форм:.

$ r_c = frac cdot iiint limits_s r ds $, где s — поверхность тела.

Для равномерных линий:.

$ r_c = frac cdot iiint limits_l r dl $, где l — длина линии.

Общий случай, когда тело может иметь неоднородную и сложную форму, очень сложен. Используются следующие методы.

Первый способ осуществляется путем подвешивания к телу нитей из разных частей (вдоль нитей проводятся линии с пересекающимися центрами тяжести) или гирь (например, через весы разрешается автомобиль). (Существуют задачи, аналогичные тем, которые решаются для двух тел, закрепленных друг с другом стержнями).

Второй метод заключается в разделении всего тела на участки, где можно легко найти центр тяжести, используя следующие типы

Рисунок 3.Метод разделения.

Наконец, третий метод основан на принципе, что центр тяжести симметричного тела находится на уровне вала или симметрии. В принципе, этот метод используется для упрощения предыдущих методов.

Центр тяжести человека находится вблизи пятого поясничного позвонка. В этом случае вертикальное положение считается неустойчивым. Стремление тела вперед или назад создает гравитационный момент и вызывает нарушения равновесия. Поэтому нормальное мышечное напряжение необходимо для того, чтобы стоять прямо на одном месте.

Была ли эта статья полезной?