Как найти сумму натуральных чисел между числами

Онлайн калькулятор поможет найти сумму чисел от M до N, определит сумму чисел на промежутке от N1 до N2, найти сумму ряда натуральных чисел в указанном интервале.

Для нахождения суммы чисел от А до Б используется формула: (a+b)×(b-a+1)/2
a – наименьшее число ряда;
b – наибольшее число ряда.

Всем привет! Добро пожаловать на канал любителей математики! Сегодня Вас ждёт увлекательная тема.

Большинство из нас в старших классах школы или другом учебном заведении изучали пределы. О них мы ещё как-нибудь поговорим подробнее. При их изучении мы сталкивались с таким понятием, как бесконечность. Понятие это довольно абстрактное, но, тем не менее, в математике оно используется нередко. Главное, понять его суть. Бесконечность – это то, что никогда не прекратит увеличиваться (или уменьшаться, если говорить о минус бесконечности). Как только Вы где-то остановитесь, это уже будет не бесконечность. Это, скорее всего, будет какое-то колоссальное число больше гугола или даже гуголплекса. Слышали про такие числа? Если нет, то гугол – это 10 в степени 100, а гуголплекс – это 10 в степени гугол )) Так вот, бесконечность, важно понять, – это не какое-то очень большое число, это идея. Но с этой идеей можно работать. Это была предыстория к сегодняшней теме ))

Вы когда-нибудь задумывались о том, что получится, если сложить все натуральные числа? 1+2+3+4+5+…=? Сколько это будет? Бесконечность? Бесконечность в степени бесконечность? Как найти или оценить эту сумму? Ответ на этот вопрос, как Вы увидите, абсолютно неочевиден. Более того, он большинству покажется бредом)) Тем не менее это факт. Который, кстати, используется в некоторых областях физики: в частности, в квантовой механике и теории струн.

Существует несколько способов для нахождения суммы всех натуральных чисел. Например, через дзета-функцию и эта-функцию Дирихле. Но это относится к области математического анализа и для большинства будет очень сложно в понимании. Но есть и довольно простой и наглядный способ показать, как найти эту сумму, не углубляясь при этом в глубины матанализа.

Для того, чтобы найти сумму всех натуральных чисел, нам понадобятся два других вспомогательных бесконечных ряда чисел, точнее их сумма. Первый ряд – это так называемый ряд Гранди, и выглядит он так: 1-1+1-1+1-1+1… и т. д. Второй ряд выглядит так: 1-2+3-4+5-6+7… Он ещё называется знакочередующийся натуральный ряд. Если мы найдём суммы этих двух рядов, то этого будет достаточно, чтобы найти сумму ряда всех натуральных чисел.

Найдём сумму первого ряда:

Почему сумма равна 1/2? Всё просто: если остановиться на нечётном члене ряда, сумма получится равной 1, если на чётном – 0. Поскольку ряд бесконечен, то берётся среднее значение от 0 и 1. Это равно 1/2.

Теперь разберёмся с суммой знакочередующегося натурального ряда.

Для того, чтобы найти сумму ряда, находится его удвоенное значение. Для этого складываем два одинаковых ряда столбиком, но второй сдвигаем относительно первого вправо на один член. Складывая почленно, получим, что удвоенная сумма второго ряда равна сумме ряда Гранди, т. е. 1/2. Тогда сумма знакочередующегося ряда равна половине суммы ряда Гранди, т. е. 1/4.

Что ж, мы нашли суммы вспомогательных рядов. Теперь мы сможем найти сумму всех натуральных чисел.

Для того, чтобы найти искомую сумму, вычтем из неё ряд № 2, сумму которого мы нашли ранее. Вычитая столбиком почленно получаем, что разность нечётных членов равна 0, а чётных: 4, 8, 12, и т. д. Тогда если из полученной суммы вынести за скобку 4, получим, что в скобке остаётся сумма того же ряда всех натуральных чисел. Получится уравнение с одной неизвестной. Решая его, находим, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12. Как я и говорил в самом начале, ответ получился абсолютно неочевидным, пожалуй, даже безумным! Но это на самом деле так ))

Теперь Вы можете, спрашивая у Ваших друзей, чему равна сумма всех натуральных чисел, приводить им ответ, который вызывает просто взрыв мозга! ))) Причём, Вы сможете это доказать!

Надеюсь, друзья, Вам понравилась статья. Буду благодарен за лайки, комментарии и подписки.

P.S. Хотите напоследок интересную задачку из древности? Она должна Вам понравиться. Вот она. Летела стая гусей. Навстречу ей – один гусь. «Здравствуйте, сто гусей», – говорит он им. Вожак отвечает: «Нас не сто гусей; вот если бы нас было столько, сколько сейчас, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четвертьстолька, да ещё ты, гусь, с нами, вот тогда нас было бы сто гусей». Сколько гусей летело в стае? Ответ будет в конце следующей статьи.

Предыдущая статья

Следующая статья

Если вы готовитесь к экзамену или хотите научиться быстро складывать числа, этот материал для вас.

Как найти сумму чисел 1 до N?

Для сложения определенного количества целых чисел в диапазоне от 1 до заданного значения N используется формула: N⋅(N+1)2frac{Ncdot(N+1)}{2}. Где NN — наибольшее число ряда.

Как работать с последовательностью чисел

1. Определите арифметическую прогрессию, проверив последовательность чисел, которые вы собираетесь суммировать. Чтобы применить формулу для вычисления суммы целых чисел, убедитесь, что ряд чисел является арифметической прогрессией, то есть каждое последующее число увеличивается на одно и то же значение.

Пример
Последовательности чисел 5,6,7,8,95, 6, 7, 8, 9 и 17,19,21,23,257, 19, 21, 23, 25 являются арифметическими прогрессиями. Однако ряд чисел 5,6,9,11,145, 6, 9, 11, 14 не является арифметической прогрессией, так как числа увеличиваются на различные значения.

1. Определите значение N в последовательности. Чтобы применить формулу для вычисления суммы целых чисел от 1 до N, определите наибольшее целое число, которое вы подставите вместо N.

Пример
Если вам нужно вычислить сумму всех целых чисел от 1 до 100, то N=100N = 100, поскольку это наибольшее целое число в последовательности. Помните, что вы работаете только с целыми числами, следовательно, NN не может быть дробным (обычным или десятичным) или отрицательным числом.

1. Определите количество целых чисел, которые нужно сложить. Для того чтобы получить сумму целых чисел от начального числа до N, необходимо знать общее количество чисел, которые нужно сложить.

Пример
Если требуется сложить целые числа от 11 до 200200, то общее количество чисел равно 200−1+1=200200 – 1 + 1 = 200. Если нужно найти сумму целых чисел от 11 до 1212, то количество чисел равно 12−1+1=1212 – 1 + 1 = 12.

1. Найдите сумму целых чисел между двумя заданными значениями, не включая сами эти значения. Для этого нужно вычесть единицу из разности между наибольшим и наименьшим числами.

Пример
Чтобы найти сумму целых чисел между 11 и 100100, нужно вычесть единицу из 100−1100 – 1, что даст 9999.

Как использовать формулу для сложения целых чисел

1. Сформулируйте уравнение для вычисления суммы последовательных целых чисел. Чтобы вычислить сумму последовательных целых чисел до определенного значения n, используйте следующую формулу: Сумма =N⋅(N+1)2= Ncdotfrac{(N+1)}{2}.

Пример
Чтобы вычислить сумму целых чисел от 11 до 100100, замените NN на 100100 : 100⋅(100+1)2100cdotfrac{(100+1)}{2}.

1. Запишите формулу для вычисления суммы четных целых чисел. Если вы хотите вычислить сумму четных целых чисел в последовательности, начинающейся с 1, воспользуйтесь формулой: Сумма =N⋅(N+2)4= frac{Ncdot(N+2)}{4} , где NN – наибольшее четное число в последовательности.

Пример
Чтобы вычислить сумму четных чисел от 1 до 20, замените N на 20⋅(20+2)4frac {20cdot(20+2)}{4}.

1. Запишите уравнение для вычисления суммы нечетных целых чисел. Если вы хотите вычислить сумму нечетных целых чисел, то сначала найдите n, прибавив 1 к наибольшему числу в последовательности. Затем используйте следующую формулу: Сумма =(n+1)⋅(n+1)4= frac{(n+1)cdot(n+1)}{4}.

Пример
Чтобы вычислить сумму нечетных чисел от 1 до 9, замените NN на 99: (9+1)⋅(9+1)4frac{(9+1)cdot(9+1)}{4}.

1. Примените соответствующую формулу, чтобы найти сумму. Когда вы подставили нужное число в формулу, умножьте его на себя, прибавьте 1,21, 2 или 44 (в зависимости от формулы), а затем разделите результат на 22 или 44.

Пример 1
Чтобы найти сумму целых чисел от 1 до 100, используйте формулу Сумма =100⋅(100+1)2= frac{100cdot(100+1)}{2}. Умножьте 100 на 101, затем поделите на 2, чтобы получить ответ: 50505050.

Пример 2
Чтобы найти сумму четных чисел от 1 до 20, используйте формулу Сумма =20⋅224= frac{20cdot22}{4}. Умножьте 20 на 22, затем поделите на 4, чтобы получить ответ: 110110.

Была ли эта статья полезной?

Онлайн-калькулятор поможет вычислить сумму числа от М до n, определить сумму числа на промежутках от одного числа до другого, вычислить сумму числа рядом натуральных числ в указанных интервалах. Чтобы вычислить сумму от A до B, используем формулу: (а + b) * b — a * 1 / 2 * a – наименьший ряд; b – наибольший ряд. Найти натуральную сумму от М до n. Введите количество М.