Здравствуйте, дорогие читатели, подписчики и гости канала. Рассмотрим задачи на среднюю скорость.
Задачи на среднюю скорость достаточно простые, но многие допускают ошибку в ее вычислении.
Средняя скорость рассчитывается для неравномерного движения. Средняя скорость – это отношение всего пути на время в течении которого этот путь был пройден.
Рассмотрим в чем различие нахождение скорости движения с постоянной скоростью на всем пути от нахождения скорости при неравномерном движении на всем пути.
Рассмотрим решение нескольких задач.
Задача №1
Чтобы найти среднюю скорость, нам нужно найти время на каждом участке пути. В нашей задаче таких участков три.
Зная время на каждом участке пути, можем найти среднюю скорость:
Задача №2
В этой задаче у нас два участка пути. За весь пусть возьмем S. Тогда половина пути равна S/2
Теперь воспользуемся формулой, и найдем среднюю скорость на протяжении всего пути:
В задачах может встречаться и задачи, где пройдено путь необязательно делится пополам, но и в других отношениях: например 2/3 пути и 1/3 пути. Но смыл решения задач одинаков.
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите класс и подпишитесь на мой блог.
Путеводитель по каналу здесь
В открытом банке заданий ФИПИ есть задачи на нахождение средней скорости движения автомобиля. В этих задачах ученики допускают больше всего ошибок.
Типичные ошибки в задачах:
– ! Находят среднюю скорость движения как среднее арифметическое двух скоростей ( Vср. = 𝑉1+𝑉2 / 2 );
– Решают задачу на среднюю скорость, рассматривая только частные случаи (придают величине пути всевозможные значения -1 км., или 108 км.);
– Приписывают единицы измерения, не соответствующие данным величинам;
– Забывают записывать единицы измерения к введенным значениям;
– Допускают записи вида: составим уравнение, а сами составляют выражения и их преобразования, неоднократно используют при этом знак равенства;
– Не вводят переменные величины, а используют при составлении уравнений;
– Не показано как составлено уравнение (формула)
– Путают понятия скорости и времени движения;
– Допускают вычислительные ошибки;
– Записывают ответ, используя приближения (≈);
– Используют формулу для нахождения средней скорости без ее вывода;
– Отсутствие краткой записи к решению задачи, и таблицы, и обоснований, решение задачи выглядит как столбик примеров без каких бы то ни было пояснений;
– Использование неравносильных преобразований при решении уравнений.
Как решать и оформлять задания на нахождение средней скорости
Решение должно быть полностью логически обосновано с начала до конца.
Если задача решается через х – пишите, что принимаете за х, какие еще будут составляющие с неизвестными.
Если решаете через формулу средней скорости, обязательно сначала нужно ее вывести следующим образом.
Пример. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение через формулу пути
Дано:
v1= 42 км/ч
v2= 48 км/ч
S1=S2
vср – ?Решение:
S1=S/2 км, v1=42 км/ч, значит $t_1=frac{displaystylefrac S2}{42}=frac S{84}$
S2=S/2 км, v2=48 км/ч, значит $t_2=frac{displaystylefrac S2}{48}=frac S{96}$
Найдем среднюю скорость на протяжении всего пути
$v_{ср}=frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}$
$v_{ср}=frac{{displaystylefrac S2}+{displaystylefrac S2}}{{displaystylefrac S{84}}+{displaystylefrac S{96}}}=frac S{displaystylefrac{84S+96S}{84ast96}}=frac{cancel S}{displaystylefrac{180cancel S}{84ast96}}=frac{84ast96}{180}=44,8$ км/ч
Ответ: 44,8 км/ч.
В задаче может быть не 2 половины пути, а, допустим, 1/3 и 2/3 пути, или еще больше разных частей. Выразив S1, S2 и тд. , умножив S на соответствующую часть, сможем решить и такие задачи.
Та же задача. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение через формулу определения средней скорости
Дано:
v1= 42 км/ч
v2= 48 км/ч
S1=S2
vср – ?Решение:
vср=S/t, где t=t1+t2
t1 – время, затраченное на первую половину пути, t2 – время, затраченное на первую половину пути.
$t_1=frac{displaystylefrac S2}{v_1}$
$t_2=frac{displaystylefrac S2}{v_2}$Подставляем в исходную формулу средней скорости:
$v_{ср}=frac S{{displaystylefrac{{displaystylefrac12}S}{v_1}}+{displaystylefrac{{displaystylefrac12}S}{v_2}}}=frac S{{displaystylefrac12}S({displaystylefrac1{v_1}}+{displaystylefrac1{v_2}})}=frac2{{displaystylefrac1{v_1}}+{displaystylefrac1{v_2}}}=frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
$v_{ср}=frac{2ast42ast48}{42+48}=frac{2ast42astcancel{48}^{8}}{cancel{90}^{15}}=frac{2astcancel{42}^{14}ast8}{cancel{15}^{5}}=frac{224}5=44,8$ км/ч
Ответ: 44,8 км/ч.
Можно так же сразу вместо v1 и v2 подставлять известные скорости и преобразовывать уже с числами, а не с буквами.
Другой вариант оформления задач такого типа (с таблицей)
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Пусть х км – половина пути.
S км v км/ч t ч
1 х 36 х/36
2 х 99 х/99$v_{ср}=frac{S_{общ.}}{t_{общ.}}=frac{х;+;х}{{displaystylefrac{х^{(99}}{36}}+{displaystylefrac{х^{(36}}{99}}}=frac{2х}{displaystylefrac{99х;+;36х}{36ast99}}=2х:frac{135х}{36ast99}=frac{2cancel хastcancel{36}^{12}astcancel{99}^{11}}{;{}_{5;cancel{15}}cancel{135}cancel х}=frac{2ast132}5=frac{264}5=52,8$ км/ч
Значит, средняя скорость равна 52,8 км/ч
Ответ: 52,8 км/ч.
И еще один вариант оформления той же задачи.
Пусть 2S км – весь путь. Тогда время, затраченное на первую половину пути t1=S/36 ч; на вторую половину пути t2=S/99 ч.
$v_{ср}=frac{S_{общ.}}{t_{общ.}}=frac{S_{общ.}}{t_1+t_2}=frac{2S}{{displaystylefrac S{displaystyleunderset{4ast9}{36}}}+{displaystylefrac S{displaystyleunderset{11ast9}{99}}}}=frac{2S}{displaystylefrac{15S}{4ast9ast11}}=frac{4astcancel9^3ast11ast2cancel S}{{}_{5;}cancel{15}cancel S}=frac{264}5=52,8$ км/ч
Ответ: 52,8 км/ч.
Рассмотрим задачу другого типа.
Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Чтобы найти среднюю скорость, нужно найти время на каждом участке пути. В нашей задаче таких участков 3.
S1=105 км ; v1=35 км/ч; значит t1=105/35=3 часа
S2=120 км ; v2=60 км/ч; значит t2=120/60=2 часа
S3=500 км ; v3=100 км/ч; значит t3=500/100=5 часов
Зная время на каждом участке пути, найдем среднюю скорость:
$v_{ср.}=frac{S_1+S_2+S_3}{t_1+t_2+t_3}=frac{105+120+500}{3+2+5}=frac{725}{10}=72,5$ км/ч
Ответ: 72,5 км/ч.
Если вы специалист по подготовке к ОГЭ, напишите, пожалуйста, в комментариях, какой вариант оформления, по вашему мнению, наиболее предпочтителен.
Если вы сдали ОГЭ и за задачу у вас 2 балла, поделитесь, как оформляли, писали Дано и Решение?
Рассмотрим следующий вид задач из ОГЭ и ЕГЭ по математике — задачи, в которых требуется найти среднюю скорость (автомобиля, путешественника и т.д.).
Задача 1
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, после чего 225 км — со скоростью 75 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Чтобы найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, надо весь пройденный автомобилем путь разделить на всё затраченное на этот путь время.
![[ v_{cp} = frac{{140 + 195 + 225}}{{frac{{140}}{{70}} + frac{{195}}{{65}} + frac{{225}}{{75}}}} = ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78b8b7e7bc0c64b1d62b525384c55d4e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = frac{{560}}{{2 + 3 + 3}} = frac{{560}}{8} = 70 ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc472771f60784dca38c10a4b38ccd46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 70 км/ч.
Ответ: 70 км/ч.
Задача 2
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 100 км/ч, вторую — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем половину пути за s км, тогда весь путь равен 2s км.
![[ v_{cp} = frac{{s + s}}{{frac{{s^{backslash 3} }}{{100}} + frac{{s^{backslash 5} }}{{60}}}} = frac{{2s}}{{frac{{8s}}{{300}}}} = frac{{2 cdot 300}}{8} = 75 ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc31902b1edce66f15e021d89592a04f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Значит, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 75 км/ч.
Ответ: 75 км/ч.
Задача 3
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, вторую треть — со скоростью 60 км/ч, а последнюю — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем одну треть трассы за s км, тогда длина всей трассы равна 3s км.
![[ v_{cp} = frac{{s + s + s}}{{frac{{s^{backslash 4} }}{{75}} + frac{{s^{backslash 5} }}{{60}} + frac{{s^{backslash 6} }}{{50}}}} = ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17497f006e37f47700a5b951c78917b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = frac{{3s}}{{frac{{15s}}{{300}}}} = frac{{3 cdot 300}}{{15}} = 60 ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ee8af9d63d5def8e4e3e83adb7f27ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Итак, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
Задача 4
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем половину времени, затраченного автомобилем на дорогу, за t ч. Тогда на всю дорогу автомобиль затратил 2t ч.
![[ v_{cp} = frac{{60t + 46t}}{{t + t}} = frac{{106t}}{{2t}} = 53 ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32a19c7b0b64e6f56b0f9e7b0828acbc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 53 км/ч.
Ответ: 53 км/ч.
Задача 5
Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 26 км/ч. Обратно он летел на самолёте со скоростью 312 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
Примем путь путешественника в одну сторону за s км. Тогда путь туда и обратно составляет 2s км.
![[ v_{cp} = frac{{s + s}}{{frac{{s^{backslash 12} }}{{26}} + frac{s}{{312}}}} = frac{{2s}}{{frac{{13s}}{{312}}}} = frac{{2 cdot 312}}{{13}} = 48 ]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ec29bc35747489ee29944a5b77e30e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следовательно, средняя скорость путешественника на протяжении всего пути равна 48 км/ч.
Ответ: 48 км/ч.
Средняя скорость – не самое сложное понятие в математике и физике. Однако простота этого понятия довольно часто оказывается обманчивой. Необходимо постоянно помнить, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь. Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий по математике Федерального института педагогических измерений(ФИПИ) для проведения ОГЭ.
Задача 1. Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Чтобы найти среднюю скорость движения необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время. В задаче сказано о трёх участках пути, длина каждого известна. Найдём время движения на каждом участке.
105:35=3 (часа)
120:60=2 (часа)
500:100=5 (часов)
Всё затраченное время равно 3+2+5=10 час.
Длина пройденного пути 105+120+500=725 км.
Средняя скорость равна 725:10=72,5 км/час.
Ответ: 72,5
Задача 2. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Обозначим весь пройденный путь через 2S. Тогда время затраченное на первую половину пути равно S/69, а на вторую S/111, всё затраченное время равно
S/69+ S/111=180S/(69*111).
Тогда средняя скорость равна 2S: 180S/(69*111)=2*69*111/180=85,1 км/час
Ответ: 85,1
Задача 3. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 35 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 105 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Чтобы найти среднюю скорость движения необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время.
Всё затраченное время равно 2+2+4=8 час.
Длина пройденного пути 45*2+35*2+105*4=580 км.
Средняя скорость равна 580:8=72,5 км/час.
Ответ: 72,5
Задачи для самостоятельного решения.
1. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 102 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
2. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 52 км/ч, а вторую — со скоростью 78 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
3. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
4. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
5. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 72 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
6. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 78 км/ч, а вторую — со скоростью 91 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
7. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 39 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
8. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 30 км/ч, а вторую — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
9. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 45 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
10. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, а вторую — со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
11. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
12. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
13. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
14. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
15. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
16. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
17. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
18. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
19. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
20. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
21. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 50 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
22. Первые 4 часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 90 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
23. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 35 км/ч, а последние 2 часа — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
24. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 50 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
25. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, следующие 4 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 2 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
26. Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 65 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
27. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 50 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
28. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 75 км/ч, а последние 2 часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
29. Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 4 часа — со скоростью 95 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
30. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 60 км/ч, а последние 5 часов — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
31. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующие 5 часов — со скоростью 75 км/ч, а последние 5 часов — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
32. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 85 км/ч, следующие 5 часов — со скоростью 65 км/ч, а последние 5 часов — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
33. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 65 км/ч, следующие 4 часа — со скоростью 105 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
34. Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 35 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
35. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 115 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
36. Первые 4 часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 4 часа — со скоростью 80 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
37. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 65 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
38. Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 2 часа — со скоростью 60 км/ч, а последние 5 часов — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
39. Первые 90 км автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, следующие 400 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
40. Первые 345 км автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие 130 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 380 км — со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
41. Первые 550 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 150 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
42. Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 225 км — со скоростью 75 км/ч, а последние 100 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
43. Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 380 км — со скоростью 95 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
44. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 225 км — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
45. Первые 275 км автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующие 375 км — со скоростью 75 км/ч, а последние 400 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
46. Первые 425 км автомобиль ехал со скоростью 85 км/ч, следующие 325 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
47. Первые 130 км автомобиль ехал со скоростью 65 км/ч, следующие 420 км — со скоростью 105 км/ч, а последние 320 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
48. Первые 90 км автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, следующие 70 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 420 км — со скоростью 105 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
49. Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
50. Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
51. Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
52. Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
53. Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
54. Первые 330 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
55. Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
56. Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км — со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
57. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 225 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Найти среднюю скорость
Рассмотрим следующий вид задач из ОГЭ и ЕГЭ по математике — задачи, в которых требуется найти среднюю скорость (автомобиля, путешественника и т.д.).
Задача 1
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, после чего 225 км — со скоростью 75 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Чтобы найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, надо весь пройденный автомобилем путь разделить на всё затраченное на этот путь время.
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 70 км/ч.
Ответ: 70 км/ч.
Задача 2
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 100 км/ч, вторую — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем половину пути за s км, тогда весь путь равен 2s км.
Значит, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 75 км/ч.
Ответ: 75 км/ч.
Задача 3
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, вторую треть — со скоростью 60 км/ч, а последнюю — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем одну треть трассы за s км, тогда длина всей трассы равна 3s км.
Итак, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
Задача 4
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем половину времени, затраченного автомобилем на дорогу, за t ч. Тогда на всю дорогу автомобиль затратил 2t ч.
Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 53 км/ч.
Ответ: 53 км/ч.
Задача 5
Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 26 км/ч. Обратно он летел на самолёте со скоростью 312 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
Примем путь путешественника в одну сторону за s км. Тогда путь туда и обратно составляет 2s км.
Следовательно, средняя скорость путешественника на протяжении всего пути равна 48 км/ч.
Ответ: 48 км/ч.
|
Среднее арифметическое |
|
|
Среднее арифметическое нескольких чисел — это отношение суммы всех чисел к их количеству. |
|
ПРИМЕРЫ:
|
Найти среднее арифметическое чисел: 12,6, 14,7 и 16,5. |
Ответ. 14,6 |
|
На курсы английского языка в понедельник пришло 15 человек, во вторник — 10, в среду — 12, в четверг — 11, в пятницу — 7, в субботу — 14, в воскресенье — 8. Найти среднюю посещаемость курсов за неделю. |
Ответ. 11 |
|
Средняя скорость |
|
|
Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. |
|
|
Половина всего времени |
|
|
Половина всего пути |
|
Задача 1. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
|
V |
t |
S |
|
|
I |
50 км/ч |
2 ч |
50 2 = 100 км |
|
II |
100 км/ч |
1 ч |
100 1 = 10 км |
|
III |
75 км/ч |
2 ч |
75 2 = 150 км |
|
ВСЕГО |
5 ч |
260 км |
Ответ. 52 км/ч
Задача 2. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Ответ. 70 км/ч
Задача 3. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение.
Ответ. 61,6 км/ч
