Как найти ребро куба видеоурок

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

• Вершины куба – это точки, являющиеся вершинами его граней.
  Всего их 8: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁ и D₁.
• Ребра куба – это стороны его граней.
  Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁ и A₁D₁.
• Грани куба – это квадраты, из которого состоит фигура.
  Всего их 6: ABCD, A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D и AA₁D₁D.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

• ABCD || A₁B₁C₁D₁
• AA₁B₁B || CC₁D₁D
• BB₁C₁C || AA₁D₁D

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

• AC₁ = BD₁ = A₁C = B₁D (диагонали куба).
• О – точка пересечения диагоналей:
  AO = OC₁ = BO = OD₁ = A₁O = OC = B₁O = OD.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

• a – ребро куба;
• d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

На одном из предыдущих занятий мы с вами познакомились с таким
многогранником, как прямоугольный параллелепипед.

Решая задачу со спичками, получили геометрическую фигуру, которую
называют пирамидой.

Впереди вас ожидает знакомство и с другими многогранниками. А
сейчас давайте вернёмся к прямоугольному параллелепипеду.

Итак, поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6
прямоугольников. Эти прямоугольники называются гранями параллелепипеда.

Обратите внимание, что два соседних прямоугольника имеют общую
сторону, которая называется ребром прямоугольного параллелепипеда. Концы
рёбер называются вершинами прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12
рёбер и 8 вершин.

Отметим, что при всём различии многогранников поверхность каждого
из них состоит из плоских многоугольников, которые называют гранями
многогранника. Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону – ребро
многогранника. Концы рёбер являются вершинами многогранника.

Этот многогранник называется октаэдром. У него 8 граней,
которые являются треугольниками, 12 рёбер и 6 вершин.

Куб – это такой прямоугольный
параллелепипед, в котором все рёбра равны между собой. Обратите внимание, что
рёбра куба, которые не видны, мы изображаем пунктирными линиями. Это позволяет
получить полное представление о фигуре и её расположении по отношению к нам.

Все грани куба – равные между собой квадраты. Поверхность куба
состоит из 6 равных квадратов. Посмотрите, что грани, расположенные друг против
друга, не имеют общих рёбер. Эти грани называются противоположными.

Грани, которые имеют общее ребро,
называются смежными.

А теперь давайте проведём небольшой эксперимент. Возьмём коробку,
которая имеет форму куба. Откроем её, потом разрежем по четырём вертикальным
рёбрам, а затем развернём.

Фигуру, которая у нас получилась, называют развёрткой куба.
Она состоит из 6 равных квадратов.

Следующие фигуры также являются развёртками куба.

С помощью любой из развёрток вы можете изготовить модель куба. Для
этого можно поступить следующим образом. Начертить на листе бумаги развёртку
куба. Вырезать её. Согнуть по отрезкам, которые соответствуют рёбрам куба, и
склеить.

Теперь давайте проведём с вами отрезок, который соединит наиболее
удалённые друг от друга вершины куба. Эти вершины называют противоположными.

Отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба, называется
диагональю куба.

А теперь давайте с вами решим несколько задач.

Задача первая. Определите, какой кубик
получится из данной развёртки.

Решение.

Давайте мысленно представим, какие грани кубика являются смежными,
то есть имеют общее ребро, и сравним с предложенными вариантами, чтобы найти
верный. Для этого нам удобнее всего сравнивать грани, которые отличаются по
нанесённому на них рисунку. Обратите внимание на грань с жёлтым треугольником и
грань с зелёным треугольником. Очевидно, что эти грани будут смежными при
сборке кубика. При этом возможны четыре варианта взаимного расположения этих
граней при различных поворотах кубика.

Теперь сравним с четырьмя предложенными вариантами. Сразу видим,
что вариант первый неверный. Вариант второй неверный. Очевидно, что вариант
третий тоже неверный. А вот вариант четвёртый верный, так как грани, на которых
изображены треугольники, расположены верно. При этом на верхней грани должен
быть изображён синий круг. Действительно так.

Таким образом, мы с вами выяснили, что из данной развёртки
получится куб под номером 4.

Данную задачу вы можете решить ещё одним способом. А именно
нарисовать данную развёртку на бумаге. Причём удобнее это сделать на листочке в
клеточку, тогда вам не надо будет использовать линейку, чтобы соблюдать размеры
кубика. Вы просто будете отсчитывать нужное количество клеточек.

Затем нужно будет раскрасить нарисованную развёртку и вырезать. Потом
свернуть из неё куб и склеить его. После чего вы легко можете сравнить
получившийся куб с каждым из предложенных вариантов и выбрать верный.

Задача вторая. Модель куба с длиной
ребра 4 сантиметра окрасили в серую краску и распилили вдоль рёбер на кубики с
длиной ребра 1 см. Сколько среди полученных кубиков: а) окрашенных с трёх
сторон; б) окрашенных с двух сторон?

Решение.

Задача третья. На рисунке изображён
каркас куба. Проведите видимые рёбра так, чтобы куб был «виден»: а) сверху
слева; б) снизу справа.

Решение.

Задача четвёртая. На рисунке изображена
фигура, сложенная из пяти кубиков. Какой вид будет иметь данная фигура, если
смотреть на неё: а) спереди; б) слева; в) сверху?

Решение.

Содержание:

• § 1  Куб и элементы куба
• § 2  Изображение куба на плоскости