Как найти ось симметрии параболы по уравнению

Как найти ось симметрии параболы по уравнению


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Многие характеристики графика функции или многочлена невозможно объяснить без визуального представления. Одна из таких характеристик — ось симметрии: вертикальная линия на графике, которая делит этот график на два зеркально симметричных изображения. Найти ось симметрии для данного многочлена относительно несложно.[1]
 Существует два основных способа.

  1. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 1

    1

    Определите, какова степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении.[2]
     Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x2), вы можете найти ось симметрии, используя данный способ. Если степень многочлена больше двух, применяйте второй способ.

    • Чтобы наглядно продемонстрировать этот способ, возьмем, например, многочлен вида 2x2 + 3x – 1. Самая высокая степень в многочлене — x2, следовательно, мы имеем дело с квадратным трехчленом и можем воспользоваться первым способом для нахождения оси симметрии.

  2. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 2

    2

    Подставьте коэффициенты в формулу расчета оси симметрии. Для нахождения оси симметрии для квадратного трехчлена вида ax2 + bx +c (парабола), применяют базовую формулу x = -b / 2a.[3]

    • В нашем примере a = 2, b = 3, and c = -1. Подставим эти значения в нашу формулу, и получаем:
      x = -3 / 2(2) = -3/4.

  3. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 3

    3

    Запишите уравнение оси симметрии. Значение, которое вы рассчитали по формуле оси симметрии, — это значение точки пересечения оси симметрии с осью абсцисс.

    • В вышеприведенном примере ось симметрии равна -3/4.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 4

    1

    Определите степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении. Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x2), вы можете найти ось симметрии, используя вышеприведенный способ. Если степень многочлена больше 2, применяйте графический способ.

  2. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 5

    2

    Начертите систему координат. Нарисуйте две линии, пересекающиеся под прямым углом в виде знака «плюс». Горизонтальная линия будет осью x, а вертикальная — осью у.

  3. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 6

    3

    Отложите единичные числовые отрезки на осях. Отложите на осях числовые отрезки равной величины.

  4. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 7

    4

    Рассчитайте значение y = f(x) для каждого значения x. Возьмите данный многочлен или функцию и рассчитайте значения f(x), последовательно подставив в выражение значения x.

  5. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 8

    5

    Отметьте точки на графике для каждой пары координат. Теперь у вас есть соответствующее значение y = f(x) для каждого значения на оси абсцисс. Для каждой точки с координатами (x, y), отметьте точку в системе координат — по вертикали отложив значение по оси X, а по горизонтали — на оси Y.

  6. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 9

    6

    Нарисуйте график многочлена. Когда вы нанесли все точки на систему координат, можно плавно соединить их между собой. У вас получится непрерывный график вашего многочлена.

  7. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 10

    7

    Найдите ось симметрии. Внимательно изучите полученный график. Найдите точку на графике, по которой можно провести линию, разделяющую график на две равные зеркальные половины.[4]

  8. Изображение с названием Find an Axis of Symmetry Step 11

    8

    Отметьте ось симметрии. Если вы нашли такую точку (назовем ее «b») на оси x, которая разделяет график на две зеркальные половины, это значение и будет искомой осью симметрии.

    Реклама

Советы

  • Длина осей абсцисс и ординат должна быть достаточной, чтобы наглядно отобразить форму графика.
  • Некоторые многочлены не имеют оси симметрии. Например, для y = 3x не существует оси симметрии.
  • Симметрия многочлена может быть определена как четная или нечетная. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью у имеет «четную» симметрию. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью x, — «нечетный».

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 111 750 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Как найти ось симметрии квадратичной функции – Разница Между

Содержание:

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax 2 + bx + c – квадратичная функция, где a, b и c – действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах 2 + bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a – уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax 2 + BX + C

Как найти ось симметрии квадратичной функции – Примеры

  • Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x 2 + Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = – 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

  • Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x 2 -5x-4x + 10 = 2x 2 -9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ: наглядно.
  • Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

  • a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
  • b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
  • с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 – 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1. Если D 0,то график выглядит так:


  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=”671″ src=”https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=”602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x – 5.

Как строим:

  1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
  2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x – 5.

D = b 2 – 4ac = 9 – 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x – 5 = 0 2 + 3x – 5 = 0″ png;base64,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”>

  1. Координаты вершины параболы:
  1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
  2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
    2 + 3x – 5 = 0″ height=”671″ src=”https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC” width=”602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x – x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x – 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x – 1) 2 + 4.

Как строим:

  1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
  • построить y = x 2 ,
  • умножить ординаты всех точек графика на 2,
  • сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
  1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀” height=”431″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=”602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Как найти вершину параболы: три формулы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

подставляем значения a и b в формулу;

вычисляем значения y;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n – корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

  • 1 – первый корень;
  • 5 – второй корень.

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

  • Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X 4 5 5,5 6 7
Y -4 -6 -6,25 -6 -4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

  • Нужно проверять правильно ли ваше решение.
  • Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kvadratichnaya-funkciya-parabola

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-najti-vershinu-paraboly-tri-formuly

[/spoiler]

Источник


Download Article


Download Article

The graph of a polynomial or function reveals many characteristics that would not be clear without a visual representation. One of these characteristics is the axis of symmetry: a vertical line on a graph that splits the graph into two symmetrical mirror images. Finding the axis of symmetry for a given polynomial is fairly simple.[1]
 There are two basic methods.

  1. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 1

    1

    Check the degree of your polynomial. The degree (or “order”) of a polynomial is simply the largest exponent value in the expression.[2]
     If the degree of your polynomial is 2 (there is no exponent larger than x2), you can find the axis of symmetry using this method. If the degree of the polynomial is higher than 2, use Method 2.

    • To illustrate, take, as an example, the polynomial 2x2 + 3x – 1. This highest exponent present is the x2, so it is a 2nd order polynomial, and you can use this first method to find the axis of symmetry.

  2. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 2

    2

    Plug your numbers into the axis of symmetry formula. To calculate the axis of symmetry for a 2nd order polynomial in the form ax2 + bx +c (a parabola), use the basic formula x = -b / 2a.[3]

    • In the example above, a = 2 b = 3, and c = -1. Insert these values into your formula, and you will get:
      x = -3 / 2(2) = -3/4.

    Advertisement

  3. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 3

    3

    Write down the equation of the axis of symmetry. The value you calculated with your axis of symmetry formula is the x-intercept of the axis of symmetry.[4]

    • In the example above, the axis of symmetry is -3/4.

    4. Advertisement

  1. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 4

    1

    Check the degree of your polynomial. The degree (or “order”) of a polynomial is simply the largest exponent value in the expression. If the degree of your polynomial is 2 (there is no exponent larger than x2), you can find the axis of symmetry using the formula method above. If the degree of the polynomial is higher than 2, use this graphical method.

  2. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 5

    2

    Draw the x- and y- axes. Make two lines in the shape of a plus sign. The horizontal line is your x-axis; the vertical line is your y-axis.

  3. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 6

    3

    Number your graph. Mark both axes with numbers at equal intervals. Spacing should be uniform on both axes.

  4. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 7

    4

    Calculate y = f(x) for every x. Take your polynomial or function and calculate values of f(x) by putting all values of x into it.

  5. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 8

    5

    Make a graph point for each pair. You now have pairs of y = f(x) for every x on the axis. For each (x, y) pair, make a point on the graph – vertically on the x-axis and horizontally on the y-axis.

  6. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 9

    6

    Draw the graph of the polynomial. Once you have marked all the graph points, you can connect your dots smoothly to reveal a continuous graph of your polynomial.[5]

  7. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 10

    7

    Look for the axis of symmetry. Inspect your graph carefully. Look for a point on the axis such that when a line is passed through it, the graph splits into two equal, mirrored halves.[6]

  8. Image titled Find an Axis of Symmetry Step 11

    8

    Note the axis of symmetry. If you can find a point – call it “b” – on the x-axis that splits the graph into two mirrored halves, then that point, b, is your axis of symmetry.[7]

    9. Advertisement

Add New Question

  • Question

    What is the axis of symmetry of f for f(x)=-2|x+3|-7?

    Community Answer

    The axis of symmetry is x=-3, because the vertex is at (-3,7). It is an absolute value graph that faces down.

  • Question

    What is the axis of symmetry in x = -2(x – 3) + 5?

    Donagan

    Because this graph consists of a straight line, it does not have an axis of symmetry. Axes of symmetry occur with parabolic graphs representing quadratic equations (“second-degree” polynomials).

  • Question

    What is the axis of symmetry of f(x) = -x^2 – 6x + 4?

    Donagan

    As explained in the above article, the axis of symmetry of a second-degree polynomial in the form of ax² + bx + c is given by the formula x = -b/2a, which in this case is x = -(-6) / 2(1) = 6/2 = 3. x=3.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • The lengths of your x- and y- axes should allow the overall shape of the graph to be clearly visible.

  • Some polynomials are not symmetrical. For example, y = 3x has no axis of symmetry.

  • The symmetry of a polynomial can be classified into even or odd symmetry. Any graph that has an axis of symmetry on the y-axis has an “even” symmetry; any graph that has an axis of symmetry on the x-axis is “odd.”

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To find an axis of symmetry, start by checking the degree or largest exponential value of the polynomial. If the degree of your polynomial is 2, you can find the axis of symmetry by plugging the numbers directly into the axis of symmetry formula. Solve the formula and the answer you get is the x-intercept of the axis of symmetry. If the degree of the polynomial is higher than 2, you will need to find the axis of symmetry by using a graph. For tips on solving graphically, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 94,896 times.

Did this article help you?

Источник

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!
!

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция Коэффициенты
y = 2x2 − 7x + 9
  • a = 2
  • b = −7
  • с = 9
y = 3x2 − 1
  • a = 3
  • b = 0
  • с = −1
y = −3x2 + 2x
  • a = −3
  • b = 2
  • с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!
!

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

парабола - график квадратичной функции

Также парабола может быть перевернутой.

перевернутая парабола

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

  1. Направление ветвей параболы

    Запомните!
    !

    Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
    парабола маленькая

    Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

    В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
    перевернутая парабола мальнькая

  2. Координаты вершины параболы

    Запомните!
    !

    Чтобы найти «x0»
    (координата вершины по оси «Ox»)
    нужно использовать формулу:

    Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».

    Теперь нам нужно найти «y0»
    (координату вершины по оси «Oy»).
    Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию.
    Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
    «Как решать задачи на функцию» в подразделе
    «Как получить значение функции».

    y0(3,5) =
    (3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

    −12,25 + 10 = −2,25

    Выпишем полученные координаты вершины параболы.

    (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

    Отметим вершину параболы на системе координат.
    Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
    относительно оси «Oy».

    вершина параболы

  3. Нули функции

    Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

    Запомните!
    !

    Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
    (осью абсцисс).

    Наглядно нули функции на графике выглядят так:

    нули функции

    Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
    по оси «Oy» равна нулю.

    Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

    Запомните!
    !

    Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
    «y = 0».

    Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10»
    вместо «y = 0» и решим полученное
    квадратное уравнение
    относительно
    «x» .

    0 = x2 −7x + 10
    x2 −7x + 10 = 0

    x1;2 =

    7 ±
    √49 − 4 · 1 · 10
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 = 5

    x2 = 2

    Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
    с осью «Ox».
    Назовем эти точки и выпишем их координаты.

    • (·) B (5; 0)
    • (·) C (2; 0)

    Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

    отмечаем нули функции на системе координат

  4. Дополнительные точки для построения графика

    Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
    Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
    которые наиболее близки к оси
    симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

    x 1 3 4 6
    y

    Для каждого выбранного значения «x»
    рассчитаем «y».

    • y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
      4
    • y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
      −2

    • y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
      −2
    • y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
      4

    Запишем полученные результаты в таблицу.

    x 1 3 4 6
    y 4 −2 −2 4

    Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

    дополнительные точки для построения

    Теперь мы готовы построить график.
    На забудьте после построения подписать график функции.

    график параболы

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x2 − 6x − 4».

  1. Направление ветвей параболы

    2. «a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

  2. Координаты вершины параболы

    x0 =
    x0 = =

    = −1

    y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 =
    −3 · 1 + 6 − 4 = −1

    (·) A (−1; −1)

    — вершина параболы.

    вершина параболы -3x^2 - 6x - 4

  3. Нули функции

    Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

    0 = −3x2 − 6x − 4

    −3x2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

    3x2 + 6x + 4 = 0

    x1;2 =

    −6 ±
    √62 − 4 · 3 · 4
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =


    Ответ: нет действительных корней.

    Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
    «Ox».

  4. Вспомогательные точки для: «x = −3»;
    «x = −2»;
    «x = 0»;
    «x = 1». Подставим в исходную функцию
    «y = −3x2 − 6x − 4».

    • y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
      = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13

    • y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4
      = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

    • y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4
      = −4

    • y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4
      = −3 −6 − 4 = −13
    x −3 −2 0 1
    y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

график функции -3x^2 - 6x - 4

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Источник

Как найти ось симметрии квадратичной функции


Автор:
Peter Berry


Дата создания:
16 Август 2021


Дата обновления:
13 Май 2023


Вершина параболы и ось симметрии. Пример

Видео: Вершина параболы и ось симметрии. Пример

Содержание

  • Что такое квадратичная функция
  • Как найти ось симметрии квадратичной функции
  • Как найти ось симметрии квадратичной функции – Примеры

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax2+ bx + c – квадратичная функция, где a, b и c – действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах2+ bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

Эти значения расположены,

 

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a – уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax2+ BX + C

Как найти ось симметрии квадратичной функции – Примеры

  • Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x2+ Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = – 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

  • Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x2-5x-4x + 10 = 2x2-9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

х = – (-9) / (2 × 2) = 9/4

Источник

Добавить комментарий