Как найти высоту зная площадь полной поверхности

Как вычислить высоту цилиндра

У цилиндра имеется высота, которая перпендикулярна двум его основаниям. Способ определения ее длины зависит от набора исходных данных. Таковыми могут быть, в частности, диаметр, площадь, диагональ сечения.

Инструкция

Для любых фигур существует такой термин, как высота. Высотой обычно называется измеряемая величина какой -либо фигуры в вертикальном положении. У цилиндра высота -это линия, перпендикулярная двум его параллельным основаниям. Также у него есть образующая. Образующая цилиндра -это линия, вращением которой получается цилиндр. Она, в отличие от образующей других фигур, например конуса, совпадает с высотой.

Рассмотрим формулу, с помощью которой можно найти высоту:

V=πR^2*H, где R – радиус основания цилиндра, H – искомая высота.

Если вместо радиуса дан диаметр, данная формула видоизменяется следующим образом:

V=πR^2*H=1/4πD^2*H

Соответственно, высота цилиндра равна:

H=V/πR^2=4V/D^2

Также высоту можно определить, исходя из диаметра и площади цилиндра. Существует площадь боковой и площадь полной поверхности цилиндра. Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называют боковой поверхностью цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя и площадь его оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по следующей формуле:

S=2πRH

Преобразовав данное выражение, найдите высоту:

H=S/2πR

Если дана площадь полной поверхности цилиндра, вычисляйте высоту несколько иным способом. Площадь полной поверхности цилиндра равна:

S=2πR(H+R)

Вначале преобразуйте данную формулу как показано ниже:

S=2πRH+2πR

Затем найдите высоту:

H=S-2πR/2πR

Через цилиндр можно провести прямоугольное сечение. Ширина этого сечения будет совпадать с диаметрами оснований, а длина – с образующими фигуры, которые равны высоте. Если провести через это сечение диагональ, то можно легко заметить, что образуется прямоугольный треугольник. В данном случае диагональ является гипотенузой треугольника, катет -диаметром, а второй катет- высотой и образующей цилиндра. Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора:

b^2 =sqrt (c^2 -a^2)

Источники:

• Как вычислить объем цилиндра?

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Далее, из теоремы синусов имеем:

Подставляя (6) в (7), получим:

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

( small h_a=c cdot sin angle B. )

(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Высота треугольника

В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.

Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника – площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.

Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр – это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.

Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.

С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.

Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.

Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты.

Формула высоты произвольного треугольника через площадь

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php

http://allcalc.ru/node/992

[/spoiler]