Как найти крайние точки окружности

Как найти крайнюю левую точку круга, зная только радиус и координаты центра

Андрей Сколеев

Ученик

(43),
на голосовании

1 год назад

Буду рад формуле

Похожие вопросы

Содержание

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром.

Все точки окружности удалены от ее центра на одинаковое расстояние. (Мерзляк, с.132, 6 класс)

Именно поэтому любое транспортное средство на колесах едет ровно: центр колеса при вращении находится на одинаковом расстоянии от земли.

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек. Разумеется, все радиусы равны между собой.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. (от греч. χορδή — струна).

хордовые – тип вторичноротых животных, для которых характерно наличие энтодермального осевого скелета в виде хорды, которая у высших форм заменяется позвоночником. По строению и функции нервной системы тип хордовых занимает высшее место среди всех животных. В мире известно более 60 000 видов хордовых.
отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности. Равен двум радиусам. Диаметр — самая длинная хорда в окружности.

Дуга – часть окружности между двумя ее точками. Две точки определяют две дуги.

Дуга – часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью (содержащая ее центр).

Сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами. Два радиуса определяют два сектора.

Секущая – прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках.

Сегмент – плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой

• Наибольшая возможная хорда является диаметром.

• Наименьшая возможная хорда является точкой.

• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.

• Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.

• Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.

• Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

• Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.

• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.

• Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.

• Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

• При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой: $ AEcdot EB=CEcdot ED$.

Для всех окружностей отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число. Его принято обозначать греч. буквой $pi$.
$$pi = frac l d approx 3.1415926 approx frac {22} {7} text{ (2 знака после запятой) или } frac {355} {113} text{ (6 знаков) }$$

Это бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Обозначение числа пи происходит от первой буквы греческих слов периферия, что означает «окружность» и периметр.

Для числа пи греки использовали хорошее рациональное приближение, 22/7, отличающееся на 1,2 тысячных. Китайцы обнаружили дробь 355/113, дающую ошибку всего лишь в 7-м знаке после запятой.

Запоминается эта дробь легко: выписывам нечётные числа 1, 1, 3, 3, 5, 5, , и потом первая половина идёт в знаменатель, а вторая – в числитель.

это длина окружности с единичным диаметром:

или площадь четверти круга радиуса 2 или площадь единичного круга:

Это дает способ вычисления пи через интеграл, для первого случая:

$int_0^2 {sqrt{4-x^2}}$

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

раз у Коли и Арины распороли мы перины

День числа пи отмечается любителями математики 14 марта в 1:59:26. В этот день читают хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни человечества, едят «пи-рог» («Pi pie») с изображением греческой буквы «пи» или с первыми цифрами самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи», решают математические головоломки и загадки.

Формул для вычисления пи очень много. Например, разложение в ряд – ряд Лейбница:
$$ frac {pi} 4 = frac 1 1 – frac 1 3 + frac 1 5 – frac 1 7 + frac 1 9 – frac 1 {11} + frac 1 {13} – cdots $$

Формула Валлиса:

$$ frac {pi} 2 = frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 {7} cdot frac 8 {7} cdot frac 8 9 cdots $$

Формула Виета:

$$ frac2pi = frac{sqrt2}2 cdot frac{sqrt{2+sqrt2}}2 cdot frac{sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}2 cdot cdots $$

Базельская проблема:

$$ frac{pi^2}{6} = frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots$$

Число e – основание натурального логарифма, математическая константа:

$$e = 1 + frac{1}{1} + frac{1}{1cdot 2} + frac{1}{1cdot 2cdot 3} + cdots $$

$$e = lim_{ntoinfty} left( 1 + frac{1}{n} right)^n $$

Представление в виде цепной дроби:
$$e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,ldots,{2n},1,1,ldots]$$

Или эквивалентное ему:

$$e = 2+cfrac{1}{1 + cfrac{1}{2 + cfrac{2}{3 + cfrac{3}{4+cfrac{4}{ldots}}}}} $$

Пределы: пусть $p_k$ – простые числа

$$ frac {6}{pi^2}= lim limits_{ntoinfty}prod limits_{k=1 atop p_k in mathbf{P}}^{n},left ( 1-frac{1}{p_{k}^2}right ) $$

$$e^pi = 1 + frac{pi}{1!} + frac{pi^2}{2!} + frac{pi^3}{3!} + ldots + frac{pi^n}{n!} + ldots $$

Связь с золотым сечением:
$$ frac{Phi}{2} = 1 – frac{pi^2}{5^2 cdot 2! } + frac{pi^4}{5^4 cdot 4!} – frac{pi^6}{5^8 cdot 8! } – ldots $$

(см. ряды Тейлора)

Индийский математик Рамануджан примерно в 1910 году получил эту формулу (и еще 16 подобных ей):
$$frac{1}{pi} = frac{sqrt{8}}{9801}
sum_{n=0}^{infty}frac{(4n)!}{(n!)^4}timesfrac{26390n + 1103}{396^{4n}}$$

или чуть иначе… (2.25 KiB, 8y ago, 0 downloads)

Эта формула отличается удивительным свойством: с вычислением каждого последующего члена она дает 8 новых десятичных знаков пи. Однако для доказательства этой формулы пришлось подождать три четверти столетия, так как Рамануджан не потрудился привести доказательство.

Уже при k=100 достигается огромная точность — шестьсот верных значащих цифр!

Одно из разложений, полученных Эйлером:
$$pi = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3}+ frac{1}{4} – frac{1}{5}+ frac{1}{6}+ frac{1}{7}+ frac{1}{8}+ frac{1}{9}- frac{1}{10} + frac{1}{11}+ frac{1}{12}- frac{1}{13}+ ldots$$

Здесь число 2 имеет знак «+», простые числа вида $4m — 1$ — знак «+», простые же числа вида $4m + 1$ — знак «—»; for composite numbers, the sign is equal the product of the signs of its factors — указывает Эйлер.

См. также Список формул, Pi Formulas

$$ e^{ipi} + 1 = 0 $$

Тождество Эйлера связывает пять фундаментальных математических констант:

• число е, или основание натурального логарифма,

• i — мнимая единица,

• число пи, отношение длины окружности к длине ее диаметра,

• единица, нейтральный элемент по операции умножения,

• нуль, нейтральный элемент по операции сложения.

Формула была опубликована Эйлером в 1740 году и произвела глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать ее как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, мнимая единица — к алгебре, число пи — к геометрии, а число e — к математическому анализу.

• Неизвестно, являются ли числа $pi$ и e алгебраически независимыми.

• Существует общее мнение, что числа π и e нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны. Неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа $pi$ бесконечное количество раз.

Показан один из способов нахождения числа пи – с помощью листа бумаги и множества спичек.

Начиная с какой позиции в десятичной записи числа π впервые встретится дата вашего рождения? см. здесь

Первая 1000 цифр числа пи:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Первые 50 цифр числа e:

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

$$ l = 2 pi R$$

Длина дуги окружности с градусной мерой 1 градус равна  $ frac{2 pi R} {360}$

Длина дуги окружности с градусной мерой n градусов равна $ frac{2 pi R cdot n^circ} {360^circ}$

Длина единичной полуокружности равна $pi$. Объяснение пи:

По учебнику Мерзляка, 9 класс, 2009:

по учебнику Александрова Геометрия 9 класс

Длина ломанной, вписанной в кривую, равна сумме длин составляющих ее отрезков. Она дает более или менее точное значение длины кривой линии. Чем чаще располагаются вершины вписанной ломанной на данной линии, тем ближе друг к другу становятся вершины ломанной.

Длиной кривой называется такое число, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длины звеньев ломаной становятся сколь угодно малы.

Для окружности таким свойством обладают вписанные правильные многоугольники, когда число сторон неограниченно увеличивается. Поэтому, измеряя длину окружности, рассматривают вписанные в нее правильные n-угольники и вычисляют их периметры.

Сначала доказывается теорема о том, что длина окружности пропорциональна радиусу. Рассматривается две произвольные окружности, вписывают в них два правильных n-угольника. Нужно доказать $L_1/R_1 = L_2/R_2$. Это равносильно $L_1/L_2 = R_1/R_2$. Рассматривают отношение периметров
$$frac{P_1}{P_2} = frac{2nR_1sin frac{180}{n}}{2nR_2sin frac{180}{n}} = frac{R_1}{R_2}$$

Затем начинают неограниченно увеличивать число сторон (например, удваивать их), периметры стремятся к длинам окружностей, что и требовалось доказать.

Здесь необоснован тот факт, что длина окружности будет сколь угодно мало отличаться от периметра вписанного многоугольника при увеличении сторон.

Данное «доказательство» представляет собой софизм. Кажется, что фигура, которая получается из квадрата, и в самом деле будет в точности повторять круг: ведь все отрезки, из которых состоит фигура, будут находиться сколь угодно близко к окружности.

Несмотря на это, фигура кругом никогда не станет, потому что сколь малыми бы ни были её элементы, они представляют собой «угловатую» ломаную линию, периметр которой не меняется.

Длина кривой не обязана иметь предел:

В рамках школьной программы строгое доказательство невозможно дать.

В Древнем Египте считалось, что если текст написан на папирусе, то он достоверен, так как никто не будет использовать дорогой материал, чтобы писать ерунду. В современном мире доказательство принимается на веру, так как проверить его могут только люди, которые понимают в этой теме – достаточно, что статья опубликована в авторитетном реферируемом журнале, что автор и его руководитель – авторитетные ученые. Математики не ссылаются на Википедию в своих статьях, наоборот, Википедия ссылается на научные работы. видео- выступление Вавилова

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления пи. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку.

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку $3+10/71 < pi < 3 + 1/7$ и предположил, что пи примерно равняется 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Упражнение. Оценить значение пи для случая а) квадрата; б) 8-угольника.

У окружности длина

Во все стороны равна.

Знает каждый пионер

Це равно два пи на эр

* * *

А я знаю площадь круга

И тому я очень рад!

Научу-ка я и друга:

эс равно пи эр квадрат

Аналогично вычисляется площадь кругового сектора – делением площади круга на 360 градусов и умножением на величину угла.

Площадь сегмента = площадь сектора – площадь треугольника.

См. также

Учебники:
Математика 6 класс Мерзляк, параграф 24 Коло i круг
Длина окружности, площадь круга — Геометрия 9 класс Мерзляк, параграф 2 Многоугольники

Сегодня обычный циркуль ни у кого не вызывает трепетного восхищения, поскольку построение окружностей и дуг гармонично вошло в жизнь каждого из нас, начиная со школьной скамьи.

Циркуль – инструмент для черчения окружностей и дуг окружностей, также может быть использован для измерения расстояний, в частности, на картах.

Козья ножка – разновидность циркуля, у которого нет пишущей части, а есть зажим для использования карандаша (ручки, пера, фломастера, кисти). Обычно козья ножка существенно уступает обычному циркулю по точности, но позволяет рисовать окружности не только карандашом, но и любым другим пишущим прибором.

Старинный циркуль – Рыцарь – В Центре современного искусства М’АРС:

Готовальня:

Кронциркуль – циркуль с изогнутыми ножками для измерения объёмных предметов.

Электронный штангель-циркуль:

Штангенциркуль имеет измерительную штангу (отсюда и название) с основной шкалой и нониус — вспомогательную шкалу для отсчёта долей делений. Принцип работы нониуса основан на том факте, что глаз гораздо точнее замечает совпадение делений, чем определяет относительное расположение одного деления между другими.

см. также Нониус (верньер) – etudes.ru

Самодельный циркуль:

Большую окружность ученическим циркулем не начертить. А ведь у мастера может возникнуть необходимость сделать круглую заготовку очень большого диаметра. Простейший вариант – это любая рейка с забитым в один её конец гвоздем, в другом которой на нужном расстоянии сверлится отверстие для карандаша. Если пользоваться циркулем приходится не часто, то можно вполне обойтись и таким инструментом, тем более, что отверстий для карандаша можно насверлить сколько угодно, на разных расстояниях для вычерчивания окружностей и дуг нужного размера.

Планиметр:

Планиметр (механический интегратор) – прибор для механического определения площадей (интегрирования) замкнутых контуров, прорисованных на плоской поверхности.

видео

Принцип действия основан на измерении длин дуг, описываемых на поверхности специальным роликом. Ролик закреплен на одном из шарнирно соединенных рычагов простейшего пантографического механизма. Известное положение ролика относительно звеньев механизма позволяет при обходе контура — за счет прокатывания роликом в каждый конкретный момент времени по дуге со строго определенным радиусом — аппроксимировать измеряемый контур прямоугольником с известной длиной сторон и площадью, равной площади измеряемого контура.

Постройте центр данной окружности с помощью двусторонней линейки, если известно, что ширина линейки меньше диаметра окружности.

Решение

Проводите две параллельные прямые, которые пересекают окружность, достраиваете полученную трапецию до треугольника (угла), затем соединяете вершину угла и точку пересечения диагоналей трапеции.
Потом повторяете построение для получения второго диаметра.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Следовательно, если вписать в окружность прямоугольный треугольник, то его гипотенуза будет диаметром этой окружности. В качестве трафарета для этого способа подойдет любой прямой угол — школьный или строительный угольник, или просто лист бумаги. Поместите вершину прямого угла в любую точку окружности и сделайте отметки там, где стороны угла пересекают границу круга. Это конечные точки диаметра. Тем же способом найдите второй диаметр. В точке их пересечения находится центр окружности.

См. также Нахождение центра круглой заготовки

1. Диаметр – это своего рода биссектриса окружности. Выбрать любую точку на окружности и циркулем отметить еще две точки на окружности, равноудаленные от выбранной. Затем найти точку, равноудаленную от двух точек. Соединить исходную и конечную точки – это диаметр.

2. Провести любую хорду и построить срединный перпендикуляр к ней. Это диаметр.

Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.

Варианты

Следует построить отрезок, соединяющий центр данной окружности и данную точку. Далее построить срединный перпендикуляр. После этого начертить окружность (или ее часть) с радиусом, равным половине отрезка. Точка пересечения построенной окружности и заданной есть точка касания. Через две известные точки проводится прямая – касательная. Разумеется, таких касательных – две.

Источник (Наука и жизнь, 2-2004)

Как известно, числа и е входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике. Значит, они отражают какие-то общие законы природы. Какие именно? Определения этих чисел через ряды, несмотря на их правильность и строгость, все же оставляют чувство неудовлетворенности. Они абстрактны и не передают связи рассматриваемых чисел с окружающим миром посредством повседневного опыта.

1. Число пи отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению. С изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента.

…

Следствие 2. Предназначение тригонометрических функций – выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве.

…

Разберем еще одну нетривиальную ситуацию, встречающуюся в теории вероятностей. Она касается важной формулы вероятности появления случайной ошибки (или нормального закона распределения вероятностей), в которую входит число пи. По этой формуле можно, например, вычислить вероятность падения монеты на герб 50 раз при 100 подбрасываниях. Итак, откуда взялось в ней число пи? Ведь никакие круги или окружности там вроде бы не просматриваются. А суть в том, что монета падает случайным образом в сферически симметричном пространстве, по всем направлениям которого и должны равноправно учитываться случайные колебания. Математики так и делают, интегрируя по кругу и вычисляя так называемый интеграл Пуассона, который равен $sqrt{2pi}$ и входит в указанную формулу вероятности.

…

Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн, что знали еще древние греки. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей. Так образуется знаменитый девятый вал. Он – пик «периода второго ранга». Некоторые ученые предполагают, что по закону троек происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей. … Можно и дальше продолжать подгонку циклов геологических эпох, периодов и эр под целые степени тройки или же числа 3,14. И всегда можно принять желаемое за действительное с той или иной точностью.

Начнем, пожалуй, со стандартного явления распространения электромагнитных волн в вакууме. (Причем вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума.)

Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция $e^{iβt}=cos βt + isin βt $, где β – частота гармонических колебаний. Здесь записана одна из самых знаменитых математических формул – формула Эйлера.

…

Ясно, что незатухающая волна демонстрирует соблюдение закона сохранения энергии для электромагнитной волны в вакууме. Такая ситуация имеет место при «упругом» взаимодействии волны со средой без потерь ее энергии. Формально это можно выразить так: если перенести начало отсчета по оси времени, энергия волны сохранится, так как у гармонической волны останутся те же амплитуда и частота, то есть энергетические единицы, а изменится лишь ее фаза, часть периода, отстоящая от нового начала отсчета. Но фаза на энергию не влияет именно по причине однородности времени при смещении начала отсчета. Итак, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) законен в силу однородности времени t. Теперь, наверно, в принципе понятно, почему однородность по времени приводит к закону сохранения энергии.

Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером ее может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси Ох запишется как $e^{iх}=cos х + isin х$. Ясно, что и в этом случае трансляция вдоль х не изменит ни косинусоиды, ни синусоиды, если пространство однородно вдоль этой оси. Опять-таки изменится лишь их фаза. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения количества движения (импульса), то есть массы, умноженной на скорость. Пусть теперь пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неодинаковой и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой (или волной с данным импульсом).

Итак, можно сформулировать второй основной тезис:

2. Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии – через однородность времени, импульса – через однородность пространства.

…

Следствие 1. При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине.

Сформулированный принцип математически выглядит так: ∆I ~ I∆t, где, допустим, I – сигнал, а ∆t – малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ∆I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим lnI ~ kt. Или: I ~ $e^{kt}$ – закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k). Таким образом, закон пропорциональности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е.

По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д. Особо отметим универсальный психофизический закон Вебера – Фехнера (почему-то игнорируемый в образовательных программах школ и вузов). Он гласит: «Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения».

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению).

Согласно закону: 1) малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения; 2) в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов. Возьмем для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться по силе в ~ 10¹°, а ухом – в ~ 10¹² раз. Живая природа приспособилась к таким диапазонам. Она защищается, логарифмируя (путем биологического ограничения) поступающие раздражители, иначе рецепторы погибли бы. На законе Вебера – Фехнера основана широко применяемая логарифмическая (децибельная) шкала силы звука, в согласии с которой работают регуляторы громкости аудиоаппаратуры: их смещение пропорционально воспринимаемой громкости, но не силе звука!

…

Следствие 3. При реализации следствия 2 происходит «смыкание» в единой формуле чисел пи и е посредством исторической формулы Эйлера в ее первоначальном виде $е^{ipi} = -1$.

В таком виде Эйлер впервые опубликовал свою экспоненту с мнимым показателем степени. Нетрудно выразить ее через косинус и синус в левой части. Тогда геометрической моделью этой формулы будет движение по окружности с постоянной по абсолютному значению скоростью, которое есть сумма двух гармонических колебаний. По физической сущности в формуле и ее модели отражаются все три фундаментальных свойства пространства-времени – их однородность и изотропность, а тем самым все три закона сохранения.