Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств
или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера
— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между
подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает
рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно
проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить
задачу легче.
“Обитаемый остров” и
“Стиляги”
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно,
что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги»,
из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели
только фильм «Стиляги»?
Решение
Чертим два множества таким образом:
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в
пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».
Любимые мультфильмы
Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по
любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка
и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе
38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое
назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один
написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят,
среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали
мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение
В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они
пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок»
пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб
Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17
человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
«Мир музыки»
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек
купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни
одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Решение
Изобразим эти множества на кругах Эйлера.
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух
меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый
диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск
Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11
– 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:
Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.
Гарри Поттер, Рон и Гермиона
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были
прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг,
которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри
Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
Решение
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги
– Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.
Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке,
32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6
спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и
хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
Сколько ребят заняты только спортом?
Решение
Изобразим множества следующим образом:
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом,
не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.
Экстрим
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь,
кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На
скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах –
10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют
кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Решение
Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части
кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек,
а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на
скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на
скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и
на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим
теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде.
Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими
снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят.
Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только
на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 –
ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20
человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
“Обитаемый остров” и
“Стиляги”
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно,
что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги»,
из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели
только фильм «Стиляги»?
Любимые мультфильмы
Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по
любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка
и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе
38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое
назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один
написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят,
среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали
мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
«Мир музыки»
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек
купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни
одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке,
32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6
спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и
хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
Сколько ребят заняты только спортом?
Экстрим
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь,
кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На
скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах –
10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют
кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.
| Друзья Джона = { | Том, Фред, Макс, Джорж } |
| Друзья Майкла = { | Лео, Том, Фред, Эван } |
Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.
Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.
Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда:
| Общие друзья Джона и Майкла | = { Том, Фред } |
В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.
Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.
В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.
Обозначим множество друзей Джона через букву A, множество друзей Майкла — через букву B, а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C:
A = { Том, Фред, Макс, Джордж }
B = { Лео, Том, Фред, Эван }
C = { Том, Фред }
Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:
A ∩ B = C
Символ ∩ означает пересечение.
Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:
«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».
Или еще проще:
«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».
Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A, а множество друзей Майкла через букву B
A = { Макс, Джордж }
B = { Лео, Эван }
В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅
A ∩ B = ∅
Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18
A = { 1, 2, 3, 5, 7 }
B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 }
Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B
C = { 1, 2, 3 }
Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B
Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B, состоящее из чисел 1, 4, 5, 7
A = { 1, 5, 7, 9 }
B = { 1, 4, 5, 7 }
Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B
C = { 1, 5, 7 }
Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.
Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:
A = { 1, 2, 3, 7, 9 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9}
С = { 3, 4, 5, 8, 9}
Пересечением множеств A, B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A, B и C. Этими элементами являются числа 3 и 9.
Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D
D = { 3, 9}
A ∩ B ∩ C = D
Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.
К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5. Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5. Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:
{ 1, 3, 5 } ∩ { 2, 3, 5 } = { 3, 5 }
Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.
Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:
2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6]
Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.
Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6):
3, 4, 5 ∈ (2; 6)
Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8]. Найти их пересечение.
Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.
Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8]:
2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6]
4, 5, 6, 7, 8 ∈ [4; 8]
Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6], так и второму [4; 8].
Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]
[2; 6] ∩ [4; 8] = [4; 6]
Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6], на нижней — промежуток [4; 8]
Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6], принадлежат как промежутку [2; 6], так и промежутку [4; 8]. Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6]. В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле что очень удобно.
Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]
Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.
Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7]:
−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]
4, 5, 6, 7 ∈ [4; 7]
Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:
[−2; 3] ∩ [4; 7] = Ø
Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:
Пример 7. Дано множество из одного элемента { 2 }. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)
Множество, состоящее из одного элемента { 2 }, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:
Пересечением множества { 2 } и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента { 2 }, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству { 2 }, так и числовому промежутку (−3; 4)
{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }
На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.
По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.
Например, чтобы решить систему неравенств 
, мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.
В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)
Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]
А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]
Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6], который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]
[3; +∞) ∩ (−∞; 6] = [3; 6]
Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства
x ∈ [3; 6]
Пример 2. Решить неравенство 
Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.
Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1).
Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5).
Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4).
Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4). В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5).
(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)
На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5), одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.
Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:
x ∈ (−∞; −5)
Пример 3. Решить неравенство 
Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞).
Решением второго неравенства y < 4 является числовой промежуток (−∞; 4).
Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4).
В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:
(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅
Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:
Объединение множеств
Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.
На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.
Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.
A = { 1, 2, 3 }
B = { 4, 5, 6 }
Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:
A ∪ B = C
Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:
Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.
В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.
Вернёмся к созданному нами множеству C, куда входят все элементы множеств A и B. Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?
Если 5 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:
A = { 1, 2, 3 }
B = { 4, 5, 6 }
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Возьмем ещё один элемент из множества С, например, элемент 2. Что можно про него сказать?
Если 2 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6}
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.
Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 5, 6}
Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B. Если мы захотим объединить множества A и B, то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B.
Итак, у нас имеются следующие исходные множества:
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 2, 4, 5, 6 }
Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A
C = { 1, 2, 3, 4,
Теперь добавим элементы из множества B, которые не принадлежат множеству A. Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6. Их и добавим во множество C
C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.
Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.
| Друзья Джона = { | Том, Фред, Макс, Джорж } |
| Друзья Майкла = { | Лео, Том, Фред, Эван } |
Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.
Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.
| Все друзья Джона и Майкла | = { Том, Фред, Макс, Джордж, Лео, Эван } |
В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.
Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла
Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5]. Найти их объединение.
Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.
Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:
−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0 ∈ [−7; 0]
−3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]
Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5], который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел
−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]
Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.
Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]
[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]
Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5]. На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0], на нижней — промежуток [−3; 5]
Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5]. Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.
Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5], то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5].
Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2. Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5], то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]
Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4. Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5]. В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]
Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2. Оно принадлежит как промежутку [−7; 0], так и промежутку [−3; 5]. Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.
Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2; −1] и [4; 7].
Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2;−1] и [4; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7]. Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:
[−2; −1] ∪ [4; 7] = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }
Получили множество { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4, не вошли в полученное множество
Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см
Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.
Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15], поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.
Решение неравенств, содержащих знак ≠
Некоторые неравенства содержат знак ≠ (не равно). Например, 2x ≠ 8. Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x, при которых левая часть не равна правой части.
Решим неравенство 2x ≠ 8. Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:
Получили равносильное неравенство x ≠ 4. Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.
Подставим, например, число 5
5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4
Подставим 7
7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4
И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8, то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8. Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8.
2 × 5 ≠ 8
2 × 7 ≠ 8
Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:
Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞). Напомним, что для слова «или» используется символ ∪
x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)
В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).
Неравенства, содержащие знак ≠, также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак ≠ заменяют на знак =. Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.
Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8, как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства =, получим уравнение 2x = 8. Разделим обе части данного уравнения на 2, получим x = 4.
Видим, что при x, равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.
Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x
Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Разделим обе части получившегося неравенства на 5
Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2.
Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)
В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)
Решение совокупностей неравенств
Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.
Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.
А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.
Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:
Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.
Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞). Решением второго неравенства x ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6].
Множество значений x, при которых верно хотя бы одно из неравенств, будет принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. Так и записываем:
x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6]
В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в
совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.
Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.
Посмотрите внимательно на выражение x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]. Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.
Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.
Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]
Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞). Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть
[3; +∞) ∪ (−∞; 6] = (−∞; +∞)
Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:
x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6]
либо заменить на более короткий:
x ∈ (−∞; +∞)
Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.
Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.
8 ≥ 3
Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6
1 ≤ 6
Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5. Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6
Пример 2. Решить совокупность неравенств 
Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.
Для начала найдём множество решений первого неравенства x < −0,25. Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25).
Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).
Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.
x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)
Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)
Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть
(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)
Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:
x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)
либо заменить на более короткий:
x ∈ (−∞; +∞)
Пример 3. Решить совокупность неравенств 
Решим каждое неравенство по отдельности:
Множеством решений первого неравенства x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3).
Множеством решений второго неравенства x ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0].
Решением совокупности неравенств 
будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.
x ∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]
Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]
Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]
(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]
Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:
x ∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]
либо заменить на более короткий:
x ∈ (−∞; 0]
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите пересечение и объединение следующих множеств:
А = { 1, 2, 5 }
B = { 3, 4, 5 }
Решение:
A ∩ B = { 5 }
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Задание 2. Найдите пересечение и объединение следующих множеств:
А = { −3, −2, −1, 0, 1, 2 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Решение:
A ∩ B = { 1, 2 }
A ∪ B = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
Задание 3. Найдите пересечение и объединение следующих множеств:
А = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4 }
Решение:
A ∩ B = { 3 }
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4 }
Задание 4. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
[−2; 7) и (0; 10]
Решение:
[−2; 7) ∩ (0; 10] = (0; 7)
[−2; 7) ∪ (0; 10] = [−2; 10]
Задание 5. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
(−∞; 3] и [−2; 1)
Решение:
(−∞; 3] ∩ [−2; 1) = [−2; 1)
(−∞; 3] ∪ [−2; 1) = (−∞; 3]
Задание 6. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
(3; +∞) и [2; +∞)
Решение:
(3; +∞) ∩ [2; +∞) = (3; +∞)
(3; +∞) ∪ [2; +∞) = [2; +∞)
Задание 7. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
[−3; −1] и (−2; 4]
Решение:
[−3; −1] ∩ (−2; 4] = (−2; −1]
[−3; −1] ∪ (−2; 4] = [−3; 4]
Задание 8. Решите неравенство:
Задание 9. Решите неравенство:
Задание 10. Решите совокупность неравенств:
Задание 11. Решите совокупность неравенств:
Задание 12. Решите совокупность неравенств:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Задачи на пересечение и объединение множеств.
Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
Найдите множества AU В,
Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
А -{к,а,р,у,с,е,л,ь}.
Пусть A – это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В – множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий язык, а 23 – оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом – 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь полакомиться капустой?
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике – 12; по истории – 23. По русскому и математике – 4; по математике и истории – 9; по русскому языку и истории – 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 – испанский, 75 – немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 – в Англии; в Англии и Италии – 5; в Англии и Франции – 6; во всех трех странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?
На чтение 13 мин Просмотров 2.1к. Опубликовано 16.12.2021
Содержание
- Теория множеств
- Что такое множество в математике и как оно обозначается
- Множество натуральных чисел
- Множество целых чисел
- Множество рациональных чисел
- Операции над множествами
- Объединение
- Пересечение множеств
- Дополнение
- Универсум и отрицание
- Разность множеств
- Формулы включений и исключений
- Свойства операций над множествами
- Счетные и несчетные множества
- Исследование множеств с помощью координатной прямой
- Примеры из реальной жизни
- Геометрические фигуры
- Отрезки
- Еще пример
Теория множеств
Говоря простым языком, множество — это элементарный математический объект, который содержит определенный набор данных, предметов или чисел. Это исходное математическое понятие, которое невозможно представить другими терминами. Именно поэтому множество описывается как набор разрозненных элементов, мыслимое как единое целое. Понятие множества ввел немецкий математик Георг Кантор, который развил собственную теорию трансфинитных чисел, позволяющую оперировать вполне упорядоченными бесконечными множествами.
Георг Кантор разработал уникальную программу стандартизации всех математических знаний, согласно которой любой математический объект является тем или иным множеством. К примеру, согласно канторовской теории, любое натуральное число — это одноэлементное множество, принадлежащее надмножеству натурального ряда. Натуральный ряд, в свою очередь, считается подмножеством целого ряда, а целое множество — подмножеством действительного или вещественного ряда.
Теория Георга Кантора вызвала широкий резонанс в математических кругах. Многие современники негативно отзывались о его работах, особенно его учитель Леопольд Кронекер, который не принимал канторовского определения натурального числа. Несмотря на это, теория множеств получила признание позже, когда группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки предприняла попытку перевести весь математический аппарат на теоретико-множественный язык.
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.
Пример:
А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.
Выделяют три вида множеств:
- конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
- бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
- пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.
Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.
Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.
N = {9, 11, 13, 15……}.
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.
Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Q={-½; 0; ½, 5; 10}.
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;
0,45 = 45/100 = 9/20.
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Объединение
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:
$$ A cap B = {x|x in Bbb A и x in Bbb B } $$
Если множества не пересекаются, то $A cap B = varnothing $ — пустое множество в пересечении. Если $B subseteq A$ — подмножество, то $A cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.
Например:
Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cap B$ = {3;5}.
Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A cap B$ = {f|f-квадрат}.
Если A = ${n|n⋮3, n in Bbb N }$ — натуральные числа, кратные 3, B = ${n|n⋮5, n in Bbb N }$ — натуральные числа, кратные 5, то $A cap B = {n|n⋮15, n in Bbb N}$ — натуральные числа, кратные 15.
Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A cap B = varnothing$.
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Универсум и отрицание
Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.
В литературе универсум обозначают U.
На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:
Примеры универсумов:
- При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
- При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
- При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.
Отрицание (абсолютное дополнение) множества A — множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:
$$ bar{A} = {x|x notin A } $$
Читается «не A».
У отрицания есть любопытное свойство: $bar{bar{Α}} = Α $(два раза «нет» — это «да»).
Например:
Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $bar{A} = {1;2;6;7}$
Если U = ${x|x in Bbb R}$ — все действительные числа, A = ${x|x gt 0, x in Bbb R }$ — все положительные действительные числа, то $ bar{A} = {x|x le 0, x in Bbb R}$.
Разность множеств
Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:
$$ AB = {x|x in Bbb A , x notin B} $$
Читается «A без B».
На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:
Получается, что отрицание – частный случай разности: $ bar{A} = {x|x in Bbb U, x notin A } $= UA
«Не A» — это «универсум без A».
Формулы включений и исключений
Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.
Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A cap B)$.
Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A cup B)$?
Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:
$$n(A cup B) = n(A)+ n(B)-n(A cap B)$$
Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.
Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A cap B cap C)$; значит, его нужно «вернуть».
Получаем:
$$ n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$
$$ -(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )+n(A cap B cap C) $$
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
- умножения S ∩ D = D ∩ S;
- сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
- умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
- сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
- умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
- умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
- сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
Транзитивность — законы включения:
- если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
- если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
- S ∩ S = S;
- S ∪ S = S.
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.
Исследование множеств с помощью координатной прямой
Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча. Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$. Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) cup {36,6} cup (36,6, +∞)$.
Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым. Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой. Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как
$(−∞, 36,6] cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) cup [36,6, +∞)$.
Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей).
Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ {14} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] cup (14, 51]$, $(5, 14) cup [14, 51]$. Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества ${51}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) cup {51}$.
Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ {−6} ∪ (−6, 0) ∪ {0} ∪ (0, 7) ∪ {7} ∪ (7, +∞)$.
С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.
На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения — полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки — сплошной точкой, невхождение – полой.
Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.
Пример 1
Найти пересечение и объединение множеств $A = [-3, 4)$ и $B = [0, 7)$ .
Для решения применим графический метод:
Рисунок 1. Графическое решение задачи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видно, что объединение множеств представляет собой диапазон от крайней левой точки $-3$ включительно до крайней правой $7$ исключая ее. Пересечение множеств начинается от числа $0$. Оно входит в оба множества и ограничивает пересечение слева. Правой границей пересечения является $4$, но оно не входит в первое множество, поэтому здесь граница интервала будет открытой.
Ответ:
$A cap B = [0, 4); A cup B = [-3, 7); $
Примеры из реальной жизни
Геометрические фигуры
Допустим, существует множество X, которое содержит прямоугольники с разными длинами сторон. Также существует множество Y, содержащее ромбы с разными углами. Из курса геометрии мы знаем, что ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны все углы. В множествах X и Y могут встретиться ромбы с углами по 90 градусов или прямоугольники с одинаковыми сторонами. Фигура, у которой все углы прямые, а все стороны равны — это квадрат. Соответственно, пересечением множеств ромбов X и прямоугольников Y является множество квадратов Z.
Отрезки
Пусть у нас есть два отрезка, которые задаются координатами X = [1, 3] и Y = [2, 4]. Пересечением данных множеств будет отрезок [2, 3], так как именно эти числа входят в диапазон значений обоих отрезков на числовой оси.
Еще пример
Давайте попробуем узнать пересечение пятиэлементных множеств простых и четных чисел. Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу. Четное число — число, которое делится на 2 без остатка. Итак, наши множества S = {2, 3, 5, 7, 11} и E = {2, 4, 6, 8, 10}. Введем эти данные в онлайн-калькулятор и получим результат в виде P = {2}.
Задача 1
Сколько элементов в каждом множестве? Дайте название каждому множеству. Сколько элементов в их пересечении?
Ответ:В первом множестве восемь элементов, во втором – семь. Первое множество – это множество круглых вещей, второе множество – множество синих предметов. Элементами пересечения являются: синий шар и синий мяч; элементов пересечения – два.
Задача 2
Соотнесите данные предметы по описанию. Укажите стрелками их место. Есть ли предметы, которые можно отнести и к первому и ко второму кругу?
Ответ:Круглые: торт, солнце, яблоко, смайлик, Земля; съедобные: торт, яблоко, хлеб, банан. Пересечением являются: торт и яблоко.
Задача 3
Изобразите в каждом кругу предметы, соответствующие их описанию. Какой элемент может являться элементом пересечения этих множеств? Изобразите его.
Ответ:Элементами первого множества будут являться любые предметы красного цвета, например: красный квадрат, треугольник, красная машинка и т.д. Элементами второго множества будут являться флажки любого цвета. Их пересечением будет являться флажок красного цвета.
Задача 4
Придумайте и впишите пропущенные названия множеств.
Ответ:Множество красных тюльпанов пересекаются с множеством жёлтых тюльпанов.
Задача 5
Исправь ошибку. Объясни «почему?».
Ответ: В множестве «На небе» лишним является пингвин, а в множестве «На земле» лишний элемент – солнце, так как пингвины не умеют летать, а солнце находится на небе.
Похожие статьи:
#образование #учёба #МАТЕМАТИКА #ЗАДАЧИ #начальная школа #ПОМОЩЬ
Мы старались для тебя! Если были полезны, отблагодари нас комментарием и лайком.
Подписывайся, чтобы не пропустить наши новые статьи.
