Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):
- амплитуда,
- период,
- частота,
- циклическая частота,
- фаза,
- начальная фаза.
Рис. 1. Основные характеристики колебаний – это амплитуда, период и начальная фаза
Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.
Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.
Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.
А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.
Что такое амплитуда
Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.
Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.
В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.
Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.
К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.
Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».
С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):
Рис. 2. Амплитуда – это максимальное отклонение от горизонтальной оси либо вверх, либо вниз. Горизонтальная ось проходит через уровень нуля на оси, на которой отмечены амплитуды
Что такое период
Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.
Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.
( large T left( c right) ) – период колебаний.
Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.
Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.
Рис. 3. Период колебаний – это горизонтальное расстояние между двумя похожими точками на графике
Период – это время одного полного колебания.
На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):
Рис. 4. Удобно определять период, как расстояние между двумя соседними вершинами, либо между двумя впадинами
Что такое частота
Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).
Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».
Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:
( large nu left( frac{1}{c} right) ).
Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).
Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.
Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.
[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]
Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:
[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]
Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).
Рис. 5. На графике частота – это количество периодов, уместившихся в одну секунду
Что такое циклическая частота
Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.
Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:
( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )
Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).
Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».
Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:
[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]
Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.
Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.
Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).
И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.
Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.
Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).
Рис. 6. На графике циклическая (круговая) частота – это количество периодов, уместившихся в 2 пи секунд
Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний
Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.
Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).
(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).
Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.
Рис. 7. Угол отклонения качелей перед началом колебаний
Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.
Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.
Рис. 8. Вертикальное положение стартовой точки в момент времени t = 0 и сдвиг графика по горизонтали определяется начальной фазой
Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.
Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.
Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).
Как вычислить начальный угол по интервалу смещения
Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.
- Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
- Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.
[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]
Из графика следует, что период T = 4 сек.
- Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):
[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]
Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.
- Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.
Для этого используем формулу:
[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]
(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )
Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.
- В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.
Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:
[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]
Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».
Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).
Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».
А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».
Примечания:
- Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
- На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.
Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.
Что такое фаза колебаний
Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.
Рис. 9. Угол отклонения от равновесия – фаза, изменяется в процессе колебаний
В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).
Различия между фазой и начальной фазой
Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.
Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.
Рис. 10. Перед началом колебаний задаем начальную фазу — начальный угол отклонения от равновесия. А угол, который изменяется во время колебаний, называют фазой
Как на графике колебаний отметить фазу
На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.
На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.
Рис. 11. На графике колебаний фаза – это точка, скользящая по кривой. В различные моменты времени она находится в разных положениях на графике
А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.
Как определить фазу с помощью формулы
Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.
Время колебаний t будет величиной переменной.
Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:
[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]
Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.
Что такое разность фаз
Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.
Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.
Обозначим их:
( large varphi_{01}) – для первого процесса и,
( large varphi_{02}) – для второго процесса.
Рис. 12. Для двух колебаний можно ввести понятие разности фаз
Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:
[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} — varphi_{02} }]
Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.
Как связаны характеристики колебаний — формулы
Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.
Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.
- Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:
[large boxed{ T cdot N = t }]
( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);
( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;
( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;
- Период и частота колебаний связаны так:
[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]
(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.
- Количество и частота колебаний связаны формулой:
[large boxed{ N = nu cdot t}]
- Связь между частотой и циклической частотой колебаний:
[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]
(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.
- Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:
[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]
(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;
(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;
- Между фазой и количеством колебаний связь описана так:
[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]
- Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:
[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]
(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.
Циклическая частота колебаний, теория и онлайн калькуляторы
Циклическая частота колебаний
Определение
Мерой колебательного движения служит циклическая (или угловая, или круговая) частотой колебаний.
Это скалярная физическая величина.
Циклическая частота при гармонических колебаниях
Пусть колебания совершает материальная точка. При этом материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение.
Самыми простыми колебаниями являются гармонические колебания. Рассмотрим следующую кинематическую модель. Точка M с постоянной по модулю скоростью ($v$) движется по окружности радиуса A. В этом случае ее угловую скорость обозначим ${omega }_0$, эта скорость постоянна (рис.1).
Проекция точки $M$ на диаметр окружности (точка $N$), на ось X, выполняет колебания от $N_1$ до $N_2 $и обратно. Такое колебание N ,будет гармоническим. Для описания колебания точки N необходимо записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол ${varphi }_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол изменится на величину ${omega }_0t$ и будет равен ${omega }_0t+{varphi }_0$, тогда:
[x=A{cos left({omega }_0t+{varphi }_0right) }left(1right).]
Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.
Обратимся к выражению (1). Величина $A$ – это максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О – центра окружности), называется амплитудой колебаний.
Параметр ${omega }_0$ – циклическая частота колебаний. $varphi =({omega }_0t+{varphi }_0$) – фаза колебаний; ${varphi }_0$ – начальная фаза колебаний.
Циклическую частоту гармонических колебаний можно определить как частную производную от фазы колебаний по времени:
[{omega }_0=frac{?varphi }{partial t}=dot{varphi }left(2right).]
При ${varphi }_0=0$, уравнение колебаний (1) преобразуется к виду:
[x=A{cos left({omega }_0tright) }left(3right).]
Если начальная фаза колебаний равна ${varphi }_0=frac{pi }{2}$ , то получим уравнение колебаний в виде:
[x=A{{rm s}in left({omega }_0tright) }left(4right).]
Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ – это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.
Циклическую частоту колебаний можно выразить через период (T) колебаний:
[{omega }_0=frac{2pi }{T}left(5right).]
Циклическую частоту с частотой $?$$?$ свяжем выражением:
[{omega }_0=2pi nu left(6right).]
Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:
[left[{omega }_0right]=frac{рад}{с}.]
Размерность циклической частоты:
[{dim left({omega }_0right)=frac{1}{t}, }]
где $t$ – время.
Частные случаи формул для вычисления циклической частоты
Груз на пружине (пружинный маятник – идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:
[{omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}left(7right),]
$k$ – коэффициент упругости пружины; $m$ – масса груза на пружине.
Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:
[{omega }_0=sqrt{frac{mga}{J}}left(8right),]
где $J$ – момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ – расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ – масса маятника.
Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:
[{omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(9right),]
где $l$ – длина подвеса.
Угловая частота затухающих колебаний находится как:
[omega =sqrt{{omega }^2_0-{delta }^2}left(10right),]
где $delta $ – коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний ${omega }_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, если максимальная скорость материальной точки равна ${dot{x}}_{max}=10 frac{см}{с}$, а ее максимальное ускорение ${ddot{x}}_{max}=100 frac{см}{с^2}$?
Решение: Основой решения задачи станет уравнение гармонических колебаний точки, так как из условий, очевидно, что они происходят по оси X:
[x=A{cos left({omega }_0t+{varphi }_0right) }left(1.1right).]
Скорость колебаний найдем, используя уравнение (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:
[v_x=frac{dx}{dt}=-A{omega }_0left({sin left({omega }_0t+{varphi }_0right) }right)left(1.2right).]
Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:
[v_{max}={dot{x}}_{max}=Aщ_0 left(1.3right).]
Ускорение точки вычислим как:
[a_x==frac{dv_x}{dt}=-A{{omega }_0}^2left({cos left({omega }_0t+{varphi }_0right) }right)left(1.4right),]
из (1.4):
[a_{max}={ddot{x}}_{max}=A{{omega }_0}^2(1.5).]
Из формулы (1.3) выразим амплитуду, подставим ее в (1.5), получим циклическую частоту:
[{dot{x}}_{max}=A{omega }_0to A=frac{{dot{x}}_{max}}{{omega }_0};; {ddot{x}}_{max}=A{щ_0}^2=frac{{dot{x}}_{max}}{щ_0}{щ_0}^2to щ_0=frac{{ddot{x}}_{max}}{{dot{x}}_{max}}.]
Вычислим циклическую частоту:
[щ_0=frac{100}{10}=10(frac{рад}{с}).]
Ответ: $щ_0=10frac{{rm рад}}{{rm с}}$
Пример 2
Задание: На длинном невесомом стержне закреплены два груза одинаковой массы. Один груз находится на середине стержня, другой на его конце (рис.2). Система совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стрежня. Какова циклическая частота колебаний? Длина стержня равна $l$.
Решение: Основой для решения задачи является формула нахождения частоты колебаний физического маятника:
[{omega }_0=sqrt{frac{mga}{J}}left(2.1right),]
где $J$ – момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ – расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ – масса маятника. Масса маятника по условию задачи состоит из масс двух одинаковых шариков (масса одного шарика $frac{m}{2}$). В нашем случае расстояние $a$ равно расстоянию между точками O и C (см. рис.2):
[a=frac{3}{4}l left(2.2right).]
Найдем момент инерции системы из двух точечных масс. Относительно центра масс (если ось вращения провести через точку C), момент инерции системы ($J_0$) равен:
[J_0=2cdot frac{m}{2}cdot frac{l^2}{16}=frac{ml^2}{16}left(2.3right).]
Момент инерции нашей системы относительно оси, проходящей через точку О найдем по теореме Штейнера:
[J=J_0+m{(frac{3}{4}l )}^2=frac{ml^2}{16}+frac{m9l^2}{16}=frac{5}{8}ml^2left(2.4right).]
Подставим правые части выражение (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо соответствующих величин:
[{omega }_0=sqrt{frac{mgfrac{3}{4}l }{frac{5}{8}ml^2}}=sqrt{frac{6g}{5l}}.]
Ответ: ${omega }_0=sqrt{frac{6g}{5l}}$
Читать дальше: амплитуда скорости груза.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Циклическая частота колебаний
Мерой колебательного движения служит циклическая (или угловая, или круговая) частотой колебаний.
Это скалярная физическая величина.
Циклическая частота при гармонических колебаниях
Пусть колебания совершает материальная точка. При этом материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение.
Самыми простыми колебаниями являются гармонические колебания. Рассмотрим следующую кинематическую модель. Точка M с постоянной по модулю скоростью ($v$) движется по окружности радиуса A. В этом случае ее угловую скорость обозначим $<omega >_0$, эта скорость постоянна (рис.1).
Проекция точки $M$ на диаметр окружности (точка $N$), на ось X, выполняет колебания от $N_1$ до $N_2 $и обратно. Такое колебание N ,будет гармоническим. Для описания колебания точки N необходимо записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол $<varphi >_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол изменится на величину $<omega >_0t$ и будет равен $<omega >_0t+<varphi >_0$, тогда:
Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.
Обратимся к выражению (1). Величина $A$ – это максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О – центра окружности), называется амплитудой колебаний.
Параметр $<omega >_0$ – циклическая частота колебаний. $varphi =(<omega >_0t+<varphi >_0$) – фаза колебаний; $<varphi >_0$ – начальная фаза колебаний.
Циклическую частоту гармонических колебаний можно определить как частную производную от фазы колебаний по времени:
При $<varphi >_0=0$, уравнение колебаний (1) преобразуется к виду:
Если начальная фаза колебаний равна $<varphi >_0=frac<pi ><2>$ , то получим уравнение колебаний в виде:
Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ – это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.
Циклическую частоту колебаний можно выразить через период (T) колебаний:
Циклическую частоту с частотой $?$$?$ свяжем выражением:
Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:
Размерность циклической частоты:
Частные случаи формул для вычисления циклической частоты
Груз на пружине (пружинный маятник – идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:
$k$ – коэффициент упругости пружины; $m$ – масса груза на пружине.
Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:
где $J$ – момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ – расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ – масса маятника.
Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:
где $l$ – длина подвеса.
Угловая частота затухающих колебаний находится как:
где $delta $ – коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний $<omega >_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.
Примеры задач с решением
Задание: Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, если максимальная скорость материальной точки равна $<dot>_=10 frac<см><с>$, а ее максимальное ускорение $<ddot>_=100 frac<см><с^2>$?
Решение: Основой решения задачи станет уравнение гармонических колебаний точки, так как из условий, очевидно, что они происходят по оси X:
Скорость колебаний найдем, используя уравнение (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:
Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:
Ускорение точки вычислим как:
Из формулы (1.3) выразим амплитуду, подставим ее в (1.5), получим циклическую частоту:
Вычислим циклическую частоту:
Задание: На длинном невесомом стержне закреплены два груза одинаковой массы. Один груз находится на середине стержня, другой на его конце (рис.2). Система совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стрежня. Какова циклическая частота колебаний? Длина стержня равна $l$.
Решение: Основой для решения задачи является формула нахождения частоты колебаний физического маятника:
где $J$ – момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ – расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ – масса маятника. Масса маятника по условию задачи состоит из масс двух одинаковых шариков (масса одного шарика $frac<2>$). В нашем случае расстояние $a$ равно расстоянию между точками O и C (см. рис.2):
Найдем момент инерции системы из двух точечных масс. Относительно центра масс (если ось вращения провести через точку C), момент инерции системы ($J_0$) равен:
Момент инерции нашей системы относительно оси, проходящей через точку О найдем по теореме Штейнера:
Подставим правые части выражение (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо соответствующих величин:
Циклическая частота колебаний – формула
Любые колебательные процессы в Природе (в том числе и непериодические) могут быть представлены в виде бесконечной суммы простых гармонических колебаний. Поэтому в первую очередь изучаются гармонические колебания. Рассмотрим такую характеристику этих колебаний, как циклическая частота.
Период и частота гармонических колебаний
Впервые гармоническими колебаниями заинтересовались еще античные философы, изучая вопросы музыкальной гармонии. Поэтому простейшие колебания, происходящие по закону круговых функций (синуса или косинуса), называются гармоническими.
Формула гармонических колебаний:
Рис. 1. График гармонических колебаний.
Как можно видеть из графика колебаний (а также из изучения круговых функций в математическом анализе), функции эти регулярно повторяют свои значения. Более того, регулярно повторяется форма графика колебаний. Это свойство функции называется периодичностью. То есть, функция, обладающая периодичностью, имеет равные значения на промежутках, равных своему периоду.
Период обозначается латинской буквой $T$. Однако, физический и математический подход к измерению периода немного различен.
В математике в качестве аргумента круговой функции рассматривается угол поворота вектора, образующего ее, и этот угол удобно измерять в радианах (каждый радиан равен дуге, имеющей длину радиуса). В радианах измеряется и период круговой функции. Для простого синуса или косинуса $T = 2pi$.
Рис. 2. Период синуса и косинуса.
В физике угол поворота менее важен, нередко такой угол даже невозможно указать (например, для колебаний пружинного маятника). Поэтому в физике период измеряется в единицах времени – секундах. Дополнительно это дает возможность ввести специальную характеристику, позволяющую определить «скорость» колебаний – частоту (обозначается греческой буквой $nu$ («ню»).
Если период показывает, за сколько времени совершается одно колебание, то частота показывает, сколько колебаний совершается за одну секунду:
Частота измеряется в колебаниях в секунду или Герцах (Гц). Один герц – это одно колебание в секунду.
Круговая частота
Как видим, физический и математический подход к описанию периода функций несколько отличаются, и возникает вопрос их связи.
Из приведенной выше формулы гармонических колебаний можно видеть, что она имеет период:
В эту формулу входит параметр $omega$, который обратно пропорционален периоду. При сравнении этой формулы с формулой частоты можно получить:
Или, после упрощений:
Таким образом, параметр $omega$ в $2pi$ раз больше частоты колебаний. Поскольку в одном круге $2pi$ радиан, то параметр $omega$ называется «круговой» или «циклической» частотой.
Физический смысл частоты – это количество колебаний, происходящих в системе за единицу времени, а физический смысл круговой частоты – это количество радиан, проходящих функцией, описывающей систему, за единицу времени.
Рис. 3. Круговая (циклическая) частота.
Таким образом, удобный и наглядный параметр частоты может быть легко преобразован для вида, удобного в математических преобразованиях.
Что мы узнали?
Круговая (циклическая) частота – это важный параметр гармонического колебания, удобный в математической обработке функций. Круговая частота обозначает количество радиан, прошедших гармонической функцией за единицу времени. Она прямо пропорциональна обычной частоте.
Характеристики колебаний
Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):
- амплитуда,
- период,
- частота,
- циклическая частота,
- фаза,
- начальная фаза.
Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.
Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.
Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.
А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.
Что такое амплитуда
Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.
Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.
В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.
Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.
К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_ <0>) обозначают амплитуду колебаний этой величины.
Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».
С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):
Что такое период
Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.
Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.
( large T left( c right) ) – период колебаний.
Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.
Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.
Период – это время одного полного колебания.
На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):
Что такое частота
Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).
Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».
Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:
( large nu left( frac<1> right) ).
Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^ <-1>right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac<1> = c^ <-1>).
Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.
Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.
Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:
Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).
Что такое циклическая частота
Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.
Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:
( large displaystyle omega left( frac<text<рад>> right) )
Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).
Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».
Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:
Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.
Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.
Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac<1> ) и вычислить частоту ( large nu ).
И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.
Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.
Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).
Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний
Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.
Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_ <0>).
(large varphi_ <0>left(text <рад>right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).
Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.
Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_ <0>) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.
Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_ <0>) принимаем равной нулю.
Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_ <0>) будет отличаться от нулевого значения.
Определим угол (large varphi_ <0>) с помощью графика колебаний.
Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_ <0>) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_ <0>).
Как вычислить начальный угол по интервалу смещения
Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.
- Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
- Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.
[large T = 5 – 1 = 4 left( text <сек>right)]
Из графика следует, что период T = 4 сек.
- Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac<Delta t >):
Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.
- Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.
Для этого используем формулу:
(large displaystyle frac<1> <4>cdot 2pi = frac<pi > <2>=varphi_ <0>)
Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac<pi > <2>) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.
- В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.
Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:
Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac<pi > <2>) имеет знак «плюс».
Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_ <0>= 0 ).
Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».
А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_ <0>) записываем со знаком «-».
Примечания:
- Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
- На графике колебаний начальная фаза ( varphi_<0>) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.
Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.
Что такое фаза колебаний
Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.
В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).
Различия между фазой и начальной фазой
Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.
Первый угол называют начальной ( varphi_<0>) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.
Как на графике колебаний отметить фазу
На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.
На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.
А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.
Как определить фазу с помощью формулы
Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_<0>) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.
Время колебаний t будет величиной переменной.
Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:
Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.
Что такое разность фаз
Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.
Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.
( large varphi_<01>) – для первого процесса и,
( large varphi_<02>) – для второго процесса.
Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:
Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.
Как связаны характеристики колебаний — формулы
Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.
Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.
- Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:
( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);
( large N left( text <шт>right) ) – количество полных колебаний;
( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;
- Период и частота колебаний связаны так:
(large nu left( text <Гц>right) ) – частота колебаний.
- Количество и частота колебаний связаны формулой:
- Связь между частотой и циклической частотой колебаний:
(large displaystyle omega left( frac<text<рад>> right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.
- Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:
(large varphi_ <0>left( text <рад>right) ) — начальная фаза;
(large varphi left( text <рад>right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;
- Между фазой и количеством колебаний связь описана так:
- Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:
(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.
[spoiler title=”источники:”]
http://kupuk.net/uroki/fizika/ciklicheskaia-chastota-kolebanii-formyla/
[/spoiler]
Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний.
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ, числоколебаний в 1 с. Обозначается.
Если T -периодот колебаний, то= 1/T; измеряется в герцах (Гц).Угловая
частотаколебаний= 2= 2/T
рад/с.
ПЕРИОД колебаний, наименьший промежуток
времени, через который совершающая
колебания системавозвращается в то же состояние, в котором
она находилась в начальный момент,
выбранный произвольно. Период -величина,
обратная частоте колебаний.Понятие”период” применимо, например, в
случае гармонических колебаний, однако
часто применяется и для слабо затухающих
колебаний.
Круговая или
циклическая частотаω
При изменении аргумента косинуса, либо
синуса на 2π эти функции возвращаются
к прежнему значению. Найдем промежуток
времени T, в течение которого фаза
гармонической функции изменяется на
2π .
ω(t + T) + α = ωt + α + 2π, или ωT = 2π.
.
Время T одного полного колебания
называется периодом колебания. Частотой
ν называют величину, обратную
периоду
.
Единица измерения частоты – герц (Гц),
1 Гц = 1 с-1.
Так как
,
то
.
Круговая, или циклическая частоты ω в
2π раз больше частоты колебаний ν.
Круговая частота – это скорость изменения
фазы со временем. Действительно:
.
АМПЛИТУДА (от латинского amplitudo –
величина),
наибольшее отклонение от равновесного
значения величины, колеблющейся по
определенному, в том числе гармоническому,
закону; смотри такжеГармонические
колебания.
ФАЗА КОЛЕБАНИЙ аргумент функцииcos (ωt + φ), описывающей гармонический
колебательный процесс (ω — круговая
частота, t — время, φ — начальная
фаза колебаний, т. е. фаза колебаний вначальный
момент времениt = 0)
Смещение, скорость, ускорение колеблющейся системы частиц.
Энергия гармонических колебаний.
Гармонические колебания
Важным частным случаем периодических
колебаний являются гармонические
колебания, т.е. такие изменения физической
величины, которые идут по закону
где
.
Из курса математики известно, что
функция вида (1) меняется в пределах от
А до -А , и что наименьший положительный
период у нее
.
Поэтому гармоническое колебание вида
(1) происходит с амплитудой А и периодом
.
Не следует путать циклическую частоту
и
частоту колебаний
.
Между ними простая связь. Так как
,
а
,
то
.
Величина
называется
фазой колебания. При t=0 фаза равна
,
потому
называют
начальной фазой.
Отметим, что при одном и том же t:
где
–
начальная фаза .Видно, что начальная
фаза для одного и того же колебания
есть величина, определенная с точнотью
до
.
Поэтому из множества возможных значений
начальной фазы выбирается обычно
значение начальной фазы наименьшее по
модулю или наименьшее положительное.
Но делать это необязательно. Например,
дано колебание
,
то его удобно записать в виде
и
работать в дальнейшем с последним видом
записи этого колебания.
Можно показать, что колебания вида:
где
и
могут
быть любого знака, с помощью простых
тригонометрических преобразований
всегда приводится к виду (1), причем
,
,
а
не
равна
,
вообще говоря. Таким образом, колебания
вида (2) являются гармоническими с
амплитудой
и
циклической частотой
.
Не приводя общего доказательства,
проиллюстрируем это на конкретном
примере.
Пусть требуется показать, что колебание
будет гармоническим и найти амплитуду
,
циклическую частоту
,
период
и
начальную фазу
.
Действительно,
–
Видим, что колебание величины S удалось
записать в виде (1). При этом
,
.
Попробуйте самостоятельно убедится,
что
.
Естественно, что запись гармонических
колебаний в форме (2) ничем не хуже записи
в форме (1), и переходить в конкретной
задаче от записи в данной форме к записи
в другой форме обычно нет необходимости.
Нужно только уметь сразу находить
амплитуду, циклическую частоту и период,
имея перед собой любую форму записи
гармонического колебания.
Иногда полезно знать характер изменения
первой и второй производных по времени
от величины S, которая совершает
гармонические колебания (колеблется
по гармоническому закону). Если
,
то дифференцирование S по времени t дает
,
.
Видно, что S’ и S” колеблются тоже по
гармоническому закону с той же циклической
частотой
,
что и величина S, и амплитудами
и
,
соответственно. Приведем пример.
Пусть координата x тела, совершающего
гармонические колебания вдоль оси x,
изменяется по закону
,
где х в сантиметрах, время t в секундах.
Требуется записать закон изменения
скорости и ускорения тела и найти их
максимальные значения. Для ответа на
поставленный вопрос заметим, что первая
производная по времени от величины х
есть проекция скорости тела на ось х,
а вторая производная х есть проекция
ускорения на ось х:
,
.
Продифференцировав выражение для х по
времени, получим
,
.
Максимальные значения скорости и
ускорения :
.
Соседние файлы в предмете Физика
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Параметры гармонического колебания
Любой колебательный процесс — это изменения некоторого параметра около среднего значения. Колебания бывают периодическими (маятник) и непериодическими (флаг на ветру). Если построить график колебательного процесса, то среднее значение на нём будет представлено горизонтальной прямой, а значение колеблющегося параметра — кривой, постоянно возвращающейся к среднему. При этом для непериодического колебания возвраты будут хаотичными, а для периодического — строго через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток называется периодом колебания $T$.
Рис. 1. Периодические и непериодические колебания.
Простейшим периодическим колебанием является колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса). Оно называется гармоническим. Поскольку в высшей математике доказывается, что любое колебание (в том числе непериодическое) можно представить в виду бесконечной суммы гармонических колебаний, то в первую очередь изучаются именно они. А по определению любое гармоническое колебание можно представить в виде функции:
$$A=A_0sin Bigg ( {2piover T} t +varphi_0 Bigg ),$$
где:
- $A_0$ — амплитуда колебания, максимальное отклонение мгновенного значения функции от нуля;
- $T$ — период колебаний;
- $t$ — свободная переменная — момент времени, для которого находится мгновенное значение амплитуды;
- $varphi_0$ — начальная фаза колебаний.
Коэффициент ${2piover T}=omega$ при свободной переменной $t$ называется угловой частотой. Его физический смысл состоит в том, что это угол, проходимый гармонической функцией за единицу времени. Значение выражения ${2piover T} t +varphi_0=varphi$, которое является аргументом функции синуса, называется полной фазой колебания.
Рис. 2. Фаза колебания.
Характеристики колебаний
Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):
- амплитуда,
- период,
- частота,
- циклическая частота,
- фаза,
- начальная фаза.
Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.
Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.
Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.
А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.
Фаза гармонического колебания
Из формулы гармонического колебания можно понять физический смысл фазы. Поскольку аргументом функции $sin(x)$ является угол поворота единичного вектора на координатной плоскости, выраженный в радианах, и его период равен $2pi$, то фаза — это часть периода колебания, соответствующая моменту $t$. Она еще выражается в радианах и тоже имеет период $2pi$.
Из формулы также можно видеть, что если $t=0$, то $varphi=varphi_0$ (полная фаза в начальный момент равна начальной фазе).
Примечания
- ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. ГОСТ даёт определение: «Фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению»
- Хотя нет принципиальной причины не сделать противоположный выбор, что иногда и делается некоторыми авторами.
- Таким образом, обычно, в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида Asin(ωt){displaystyle Asin(omega t)} считается равной −π2{displaystyle -pi /2} (синус отстает от косинуса по фазе
). - Хотя в части случаев с наложением условий на скорость изменения и т.п., несколько ограничивающих произвольность функции.
- Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и мыслится, что будучи описана более точно такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.
Разность фаз
Для одного колебательного процесса фаза не играет большой роли. В самом деле, если брать разные моменты времени за начальные, мы можем получать любое значение фазы, колебательный процесс при этом никак не изменится. Однако, когда речь идет о нескольких колебательных процессах, то значение фазы существенно возрастает. Именно фазой определяется разница мгновенных значений двух колебаний.
Рис. 3. Графики колебаний с различными фазами.
Если частоты колебаний неодинаковы, то каждый момент времени фазы будут различны, их разность также будет изменяться. Если же частоты колебаний одинаковы, то несмотря на изменение со временем фазы каждого колебания, разность фаз этих двух колебаний будет постоянной. Это может приводить к интересным ситуациям.
Например, если мы возьмем два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами, но у первого начальная фаза будет равна нулю, а у второго — $pi$, то эти два колебания никогда не будут иметь одинаковых ненулевых значений. Более того, если эти колебания сложить, то их сумма всегда будет равна нулю. Говорят, что такие процессы происходят в противофазе.
Что такое фаза колебаний
Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.
В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).
Различия между фазой и начальной фазой
Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.
Первый угол называют начальной ( varphi_) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.
Как на графике колебаний отметить фазу
На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.
На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.
А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.
Как определить фазу с помощью формулы
Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.
Время колебаний t будет величиной переменной.
Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:
Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.
Значение начальной фазы колебательного процесса
Точка начальной фазы колебаний характеризует значение параметра функции в нулевой момент времени. Учитывая, что для того, чтобы система начала колебаться, она должна быть выведена из положения равновесия, начальная фаза колебаний характеризует именно это начальное отклонение, которое хорошо видно на графике функции.
Для нитяного или пружинного маятника зачастую начальная фаза колебаний также характеризует точку максимального отклонения.
Но наибольшее значение начальная фаза колебаний принимает для случая, когда происходит два и более колебательных процесса одинаковой частоты. При одинаковой частоте разность фаз колебаний в этих процессах будет постоянна. Следовательно, именно от начальной фазы зависит взаимное значение колебаний.
Например, если в обоих колебательных процессах, происходящих с равной частотой, начальные фазы будут равны, то нулевые и амплитудные значения обоих процессов будут всегда достигаться одновременно. Говорят, что процессы происходят синфазно.
Если начальная фаза в одном процессе будет равна нулю, а в другом — $pi$, то в этом случае нулевые значения будут достигаться процессами одновременно, а вот амплитудные — нет. Более того, в момент, когда амплитуда одного процесса будет максимально положительной, амплитуда другого процесса будет максимально отрицательной. Говорят, что эти два процесса происходят в противофазе.
При других начальных фазах такие процессы будут меняться «с отставанием» или «с опережением», в зависимости от конкретных значений. И, поскольку их частота одинакова, то отставание или опережение будет постоянно. Нулевые и амплитудные значения никогда не будут достигнуты одновременно.
Рис. 3. Разность фаз колебаний.
Примечания
- ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. ГОСТ даёт определение: «Фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению»
- Хотя нет принципиальной причины не сделать противоположный выбор, что иногда и делается некоторыми авторами.
- Таким образом, обычно, в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида Asin(ωt){displaystyle Asin(omega t)} считается равной −π2{displaystyle -pi /2} (синус отстает от косинуса по фазе
). - Хотя в части случаев с наложением условий на скорость изменения и т.п., несколько ограничивающих произвольность функции.
- Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и мыслится, что будучи описана более точно такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.
Примечания
- ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий. ГОСТ даёт определение: «Фаза (синусоидального электрического) тока — аргумент синусоидального электрического тока, отсчитываемый от точки перехода значения тока через нуль к положительному значению»
- Хотя нет принципиальной причины не сделать противоположный выбор, что иногда и делается некоторыми авторами.
- Таким образом, обычно, в соответствии с этим соглашением начальная фаза колебания вида Asin(ωt){displaystyle Asin(omega t)} считается равной −π2{displaystyle -pi /2} (синус отстает от косинуса по фазе
). - Хотя в части случаев с наложением условий на скорость изменения и т.п., несколько ограничивающих произвольность функции.
- Существуют системы, формализм действия к которым применять неудобно и даже такие, к которым он по сути неприменим, однако в современном понимании такие системы делятся на два класса: 1) не фундаментальные (то есть описываемые неточно, и мыслится, что будучи описана более точно такая система может быть — в принципе — описана через действие), 2) относящиеся к далеко не общепризнанным теоретическим построениям.
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
