Как найти число под корнем формула – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квадра́тный ко́рень из числа $a$ (корень 2-й степени) — число $x$ , дающее $a$ при возведении в квадрат^[1]: ${displaystyle xcdot x=a.}$ Равносильное определение: квадратный корень из числа $a$ — решение уравнения ${displaystyle x^{2}=a.}$ Операция вычисления значения квадратного корня из числа $a$ называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Наиболее часто под $x$ и $a$ подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения ^[⇨] для комплексных чисел и других математических объектов, например, матриц и операторов.

У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются ${displaystyle +3}$ и ${displaystyle -3,}$ у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при $ageqslant 0$ всегда неотрицательно (а на положительных $a$ — положительно); арифметический корень из числа $a$ обозначается с помощью знака корня (радикала)^[2]^[3]: ${sqrt {a}}$ .

Пример для вещественных чисел: ${displaystyle {sqrt {16}}=4,}$ потому что ${displaystyle { 4}^{2}=16.}$

Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус^[2]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ :

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Например, √25 = 5, поскольку

25 = 5 ⋅ 5, или

5² (5 «в квадрате»)

История[править | править код]

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков. Среди таких задач^[4]:

Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
Решение квадратных уравнений.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с пометками. Диагональ отображает приближение ${sqrt {2}}$ четырьмя 60-ричными цифрами, 1 24 51 10

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 из вавилонской коллекции Йельского университета была создана между 1800 и 1600 годами до н. э. и демонстрирует √2 и √2/2 соответственно в шестидесятиричной системе счисления: 1;24,51,10 и 0;42,25,35 на квадрате, пересечённом двумя диагоналями^[5]. (1;24,51,10) по основанию 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков: ${displaystyle 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}=1{,}41421296.}$ Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод^[6], изложенный ниже^[⇨]. Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах»^[7].

Древние греки сделали важное открытие: ${sqrt {2}}$ — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально^[8].

Средневековые европейские математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень^[9] символом R_x, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году^[10]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт («Геометрии», 1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел^[11]. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел^[12].

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру^[13]. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корней^[14].

Квадратные корни из чисел[править | править код]

Рациональные числа[править | править код]

При рациональных $a$ уравнение $x^2=a$ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном $a$ , разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа $a$ , представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь для корня из рационального числа всегда является периодической (возможно, с предпериодом), что позволяет, с одной стороны, легко вычислять хорошие рациональные приближения к рациональным числам с помощью линейных рекурсий, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $|{sqrt {r}}-p/q|>{frac {1}{Cq^{2}}}$ , где $C$ зависит от $r$ ^[15]^[16]. Верно и то, что любая периодическая непрерывная дробь является квадратичной иррациональностью.

Примеры разложения корней из натуральных чисел от 2 до 10 в непрерывные дроби:

${sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, …]
$sqrt{3}$	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
${displaystyle {sqrt {4}}}$	= [2]
${sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, …]
${sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
${displaystyle {sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
${displaystyle {sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
${displaystyle {sqrt {9}}}$	= [3]
${sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, …]

Действительные (вещественные) числа[править | править код]

Для любого положительного числа $a$ существуют ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку^[17].

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа $a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала^[3]: ${sqrt a}$ .

Основные свойства вещественного квадратного корня (все подкоренные выражения считаются неотрицательными):

К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).

Комплексные числа[править | править код]

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:

${displaystyle -1=({sqrt {-1}})^{2}={sqrt {(-1)^{2}}}={sqrt {1}}=1}$ (что, конечно, неверно)

Ошибка возникла из-за того, что комплексный квадратный корень является двузначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

${displaystyle a=|a|e^{iphi }}$ ,

то (см. Формула Муавра)

${displaystyle {sqrt {a}}={sqrt {|a|}}cdot e^{i(phi +2pi k)/2}}$ ,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом, в итоге получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из $a+bi$ ; оба значения корня имеют вид ${displaystyle pm (c+di)}$ где:

${displaystyle c={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

${displaystyle d=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением ${displaystyle c+di}$ в квадрат^[18].

Пример: для квадратного корня из ${displaystyle 3+4i}$ формулы дают два значения: ${displaystyle 2+i;;-2-i.}$

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции ${displaystyle x^{alpha }}$ с $alpha=1/2$ . Арифметический квадратный корень является гладким при ${displaystyle x>0,}$ в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем^[19].

Производная функции квадратного корня вычисляется по формуле:

${displaystyle {frac {d({sqrt {x}})}{dx}}={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}$

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, два листа которой соединяются в нуле (см. подробнее Комплексный анализ).

В элементарной геометрии[править | править код]

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того^[20].

В информатике[править | править код]

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Применение[править | править код]

Квадратные корни используются повсеместно в математике и естественных науках, например:

Алгоритмы нахождения квадратного корня[править | править код]

Разложение в ряд Тейлора[править | править код]

${displaystyle {sqrt {1+x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+textstyle {frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+dots ,}$ при ${displaystyle |x|leqslant 1}$ .

Грубая оценка[править | править код]

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем ${sqrt {S}}approx 2cdot 10^{n}.$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем ${sqrt {S}}approx 6cdot 10^{n}.$

Два и шесть используются потому, что ${displaystyle {sqrt {sqrt {1cdot 10}}}={sqrt[{4}]{10}}approx 2}$ и ${sqrt {{sqrt {10cdot 100}}}}={sqrt[ {4}]{1000}}approx 6,.$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $2^{{leftlfloor D/2rightrfloor }}$ (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

Построение для геометрического извлечения квадратного корня

Так как треугольники ${displaystyle Delta ABH}$ и ${displaystyle Delta BCH}$ подобны по признаку подобия треугольников по 2 равным углам, то ${displaystyle {frac {|AH|}{|BH|}}={frac {|BH|}{|HC|}},~}$ откуда ${displaystyle |BH|^{2}=|AH|cdot |HC|}$ и ${displaystyle |BH|={sqrt {|AH|cdot |HC|}}.}$

В частности, если ${displaystyle |AH|=1}$ , а ${displaystyle |HC|=x}$ , то $|BH|={sqrt {x}}$ ^[21].

Итерационный аналитический алгоритм[править | править код]

Данный способ был известен уже в Древнем Вавилоне. Он позволяет найти приближённое значение квадратного корня с любой точностью,

Последовательные приближения рассчитываются по формуле:
${displaystyle {begin{cases}x_{0}=a\x_{n+1}={frac {1}{2}}left(x_{n}+{frac {a}{x_{n}}}right)end{cases}}}$
тогда $lim _{{nto infty }}x_{n}={sqrt {a}}$

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для ${sqrt {5}}$ взять начальное приближение ${displaystyle x_{0}=2,}$ то получим:

${displaystyle x_{1}={frac {9}{4}}=2{,}25; x_{2}={frac {161}{72}}=2{,}23611dots ; x_{3}={frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779dots }$

В заключительном значении верны все приведённые цифры, кроме последней.

Столбиком[править | править код]

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так, 31234,567 можно представить как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления, снос производится такими группами по 2 цифры.

Записать число N (в примере — 69696) на листке.
Найти $a$ , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая, не равная нулю), а квадрат $a+1$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное $a$ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $a^{2}=2^{2}=2cdot 2=4<6$ , а $(a+1)^{2}=3^{2}=3cdot 3=9>6$ ).
Записать квадрат $a$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа $a$ и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число, равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N), умноженное на 20. Назовём это число $b$ . (На первом шаге примера это число просто есть $b=2cdot 20=40$ , на втором $b=26cdot 20=520$ ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем $c$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число $c=296$ , на втором $c=2096$ ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое $a$ , что $(b+a)cdot a$ меньше или равно $c$ , но $(b+(a+1))cdot (a+1)$ больше, чем $c$ . Записать найденное $a$ справа от N как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что $a$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как $(40+6)cdot 6=46cdot 6=276<296$ , но $(40+7)cdot 7=47cdot 7=329>296$ ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности, прекращаем процесс вычисления.
Записать число $(b+a)cdot a$ под $c$ . Провести вычитание столбиком числа $(b+a)cdot a$ из $c$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Вариации и обобщения[править | править код]

Квадратный корень из $a$ определяется как решение уравнения ${displaystyle x^{2}=a,}$ и его в принципе можно определить не только для чисел, но и всюду, где такое уравнение имеет смысл. В общей алгебре применяется следующее формальное определение:

Чаще всего рассматривают такие обобщения в алгебраических кольцах.

Если кольцо есть область целостности, то квадратных корней из ненулевого элемента может быть либо два, либо ни одного. В самом деле, если имеются два корня $a,b,$ то ${displaystyle a^{2}=b^{2},}$ откуда: ${displaystyle (a-b)(a+b)=0}$ , то есть, в силу отсутствия делителей нуля, ${displaystyle a=pm b}$ . В более общем случае, когда в кольце имеются делители нуля или оно некоммутативно, число корней может быть любым.

В теории чисел рассматривается конечное кольцо вычетов по модулю $m$ : если сравнение ${displaystyle x^{2}equiv a{pmod {m}}}$ имеет решение, то целое число $a$ называется квадратичным вычетом (в противном случае — квадратичным невычетом). Решение указанного сравнения вполне аналогично извлечению квадратного корня в кольце вычетов^[22].

Корни для кватернионов имеют много общего с комплексными, но есть и существенные особенности. Квадратный кватернионный корень обычно имеет 2 значения, но если подкоренное выражение — отрицательное вещественное число, то значений бесконечно много. Например, квадратные корни из $-1$ образуют трёхмерную сферу, определяемую формулой^[23]:

${ai+bj+ckmid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1},.$

Для кольца квадратных матриц доказано, что если матрица положительно определена, то положительно определённый квадратный корень из матрицы существует и единственен^[24]. Для матриц других типов корней может быть сколько угодно (в том числе ни одного).

Квадратные корни вводятся также для функций^[25], операторов^[26] и других математических объектов.

См. также[править | править код]

Быстрый инверсный квадратный корень
Вложенные радикалы
День квадратного корня
Кубический корень

Примечания[править | править код]

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах), 1982.
↑ ¹ ² Элементарная математика, 1976, с. 49.
↑ ¹ ² Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1970, с. 33.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 42—46.
↑ Analysis of YBC 7289 (англ.). ubc.ca. Дата обращения: 19 января 2015. Архивировано 12 марта 2020 года.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 47.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 169—171.
↑ Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — С. 23. — (Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9).
↑ Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
↑ Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2. Архивировано 20 ноября 2012 года.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 296—298.
↑ История математики, 1970—1972, Том III, С. 56—59.
↑ История математики, 1970—1972, Том III, С. 62.
↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I. — С. 58—66.
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ Хинчин, 1960.
↑ Фихтенгольц, 4.
↑ Cooke, 2008.
↑ Фихтенгольц, 2.
↑ Курант, Роббинс, 2000.
↑ Курант, Роббинс, 2000, с. 148.
↑ Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — С. 71. — 180 с. Архивировано 4 ноября 2011 года.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: * Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.

Литература[править | править код]

Воеводин В. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2006.
Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва: Просвещение, 1984.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970—1972.
Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — Москва: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд.. — Москва: Наука, 1970. — 720 с.
Курант Р., Роббинс Г. ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей // Что такое математика?. — Москва: МЦНМО, 2000.
Понятов А. Откуда вырос арифметический корень? // Наука и жизнь. — 2022. — № 8. — С. 81—89.
Фихтенгольц Г. М. Введение, § 4 // [Мат. анализ на EqWorld Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 1.
Фихтенгольц Г. М. Глава 2, § 1 // [Мат. анализ на EqWorld Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 1.
Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва: Мир, 1970.
Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва: Мир, 1983.
Хинчин А. Я. §§ 4, 10 // Цепные дроби. — Москва: ГИФМЛ, 1960.
Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses (англ.). — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3.

Ссылки[править | править код]

Алгоритмы вычисления квадратного корня (англ.). Дата обращения: 12 октября 2006. Архивировано 19 ноября 2010 года.
Соловьев Ю. Старый алгоритм. Дата обращения: 6 ноября 2006. Архивировано 3 марта 2016 года.

Источник

Загрузить PDF

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

1
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число.^[1] Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
- Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
- Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
2
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.^[2] Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  - √(25 х 16)
  - √25 х √16
  - 5 х 4 = 20
3
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  - √147
  - = √(49 х 3)
  - = √49 х √3
  - = 7√3
4
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  - Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 – мы были правы.
5
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
  - √88
  - = √(2 х 44)
  - = √ (2 х 4 х 11)
  - = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  - = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Реклама

При помощи деления в столбик

1
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как “7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.
- Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде “7 80, 14”. Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
2
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
- В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2² < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа – это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
- В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
4
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере второй парой чисел является “80”. Запишите “80” после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите “4_×_=” снизу справа.
5
Заполните прочерки справа. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 – слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа – это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
6
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
- В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
7
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите “54_×_=” снизу справа.
8
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 – 4941 = 173.
9

Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Реклама

Понимание процесса

1

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
2

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C – третьей и так далее.
3

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S_a первую пару цифр в значении S, через S_b – вторую пару цифр и так далее.
4

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
5
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S_a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
6
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C – цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
- Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запомните, что 10A+B – это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A – десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² – это площадь всего квадрата, 100A² – площадь большого внутреннего квадрата, B² – площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B – площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
7

Вычтите A² из S_a. Для учета множителя 100 снесите одну пару цифр (S_b) из S: вам нужно, чтобы “SaSb” было равным общей площади квадрата, и из нее вычтите 100A² (площадь большого квадрата). В результате получите число N1, стоящее слева в шаге 4 (N = 380 в нашем примере). N1 = 2×10A×B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь малого квадрата).
8

Выражение N1 = 2×10A×B + B² можно записать как N1 = (2×10A + B) × B. В нашем примере вам известно значение N1 (=380) и A(=2) и необходимо вычислить B. Скорее всего, B не является целым числом, поэтому необходимо найти наибольшее целое B, удовлетворяющее условию: (2×10A + B) × B ≤ N1. При этом B+1 будет слишком большим, поэтому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
9

Решите уравнение. Для решения умножьте A на 2, переведите результат в десятки (что эквивалентно умножению на 10), поместите B в положение единиц, и умножьте это число на B. Это число (2×10A + B) × B и это выражение абсолютно идентичны записи “N_×_=” (где N=2×A) сверху справа в шаге 4. А в шаге 5 вы находите наибольшее целое B, которое ставится на место прочерков и соответствует неравенству: (2×10A + B) × B ≤ N1.
10

Вычтите площадь (2×10A + B) × B из общей площади (слева в шаге 6). Так вы получите площадь S-(10A+B)², которая еще не учитывалась (и которая поможет вычислить следующие цифры).
11

Для вычисления следующей цифры C повторите процесс. Слева снесите следующую пару цифр (Sc) из S для получения N2 и найдите наибольшее C, удовлетворяющее условию (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (что эквивалентно двукратному написанию числа из пары цифр “A B” с соответствующим “_×_=”, и нахождению наибольшего числа, которое можно подставить вместо прочерков).

Реклама

Советы

Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
Данный метод верен для любых чисел.
Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.

Предупреждения

Не забудьте разделить число на пары, начиная с дробной части числа. Например, разделяя 79520789182,47897 как “79 52 07 89 18 2,4 78 97″, вы получите бессмысленное число.

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 928 113 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

Запомните!
$!$

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется
извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

$знак квадратного корня и подкоренное выражение$

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

$подкоренное выражение из чисел$
$подкоренное выражение из букв$

Запомните!
$!$

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

√−9
= … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
√64 = 8
√−1,44

= … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
√256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!
$!$

Квадратный корень из нуля равен нулю.

√0 = 0

Квадратный корень из единицы

Запомните!
$!$

Квадратный корень из единицы равен единице.

√1 = 1

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

√81 = 9
√64 = 8
√100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно!
$Галка$

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
вычислить для целого числа квадратный корень;
полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из
правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

√16 = 4

√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
√0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,4²» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

$умножение 0,4 на 0,4 в столбик$

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен

√2

или

√3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7 ≈ 2,646

Ваши комментарии

Важно!
$Галка$

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

$Пришелец пожимает плечами$

Оставить комментарий:

14 июля 2016 в 18:32

Temur Uldashev
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Temur Uldashev
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Всем доброго времени суток! Прошу помочь с примером который я не могу решить, по теме «Квадратные корни. Задачи на вычесление» пример выглядит так:
??28-16?3 ( то есть выражение 28-16?3 еще под двумя корнями, не только 28, а все выражение!)

0
Спасибо $thanks$
Ответить

15 июля 2016 в 0:04
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

?(28 ? 16?3) = 4 ? 2?3.
Скобки не знешь?

0
Спасибо $thanks$
Ответить

15 июля 2016 в 6:53
Ответ для Temur Uldashev

Temur Uldashev
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Temur Uldashev
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Затупил. Но и вы не правильно подсказали. Я уже решил ответ ?3-1

0
Спасибо $thanks$
Ответить

16 июля 2016 в 22:58
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

Чушь не пори.
Спасибо скажи, что тебе подсказали.

0
Спасибо $thanks$
Ответить

21 июля 2016 в 13:24
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

Что не верно у меня, митрофанушка?

0
Спасибо $thanks$
Ответить

23 ноября 2015 в 15:15

Ксюша Новикова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ксюша Новикова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибо $thanks$
Ответить

16 сентября 2016 в 14:23
Ответ для Ксюша Новикова

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

1,38 · ?361 = 1,38 · 19 = 26,22

0
Спасибо $thanks$
Ответить

16 сентября 2015 в 16:11

Макс Простов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Макс Простов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

Расположите в порядке возрастания Корни:3V16, 7V19, 8V13 срочно)))))

0
Спасибо $thanks$
Ответить

9 сентября 2016 в 9:41
Ответ для Макс Простов

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

?16 = 4
?19 ? 4,35
?13 ? 3,61

3 · 4 = 12
7 · 4,35 = 30,45
8 · 3,61 = 28,88

Ответ: 3?16, 8?13, 7?19

0
Спасибо $thanks$
Ответить

Источник

Как вычислить квадратный корень? Объясните совсем тупому в математике

Мудрец

(15311),
закрыт

1 год назад

fulsxd

Мыслитель

(8677)

1 год назад

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.
X Источник информации Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

zxsaint

Профи

(641)

1 год назад

Нужно найти такое число, после деления на которое число под корнем равняется этому самому числу, например, корень из 16, если 16 поделить на 4, то получится 4, значит 4 равняется 16 в корне

“kma

Просветленный

(34757)

1 год назад

Корни – это “возврат в прошлое” умножения. После того как мы запомнили таблицу умножения (2*2=4), (6*6=36), мы можем “повернуть время вспять” и поставить (4=2*2), (81=9*9).
Квадратные корни – это и есть такой “возврат в прошлое”: √4=2, √49=7

А конкретные формулы Вам придётся просто запомнить.

Владимир Алексеев

Оракул

(50243)

1 год назад

это очень просто
если число длинное – отбрасывай цифры, пока не останется 1-2
потом вспоминаешь ближайший квадрат и квадратом чего он является.
потом уточняем по формуле
x=(x+Q/x)/2
Q из чего извлекаешь
x корень
пример
q=2 x=1
уточняем
x=(1+2/1)/2
получили 1.5
х=(1.5+2/1.5)./2= (1.5+1.333)/2 =1.4166

Андрей

Искусственный Интеллект

(192286)

1 год назад

” Подъезжает Фурманов к уездному городу. Едет по полю. Смотрит – огромный котлован вырыт. А на дне котлована Петька сидит и смехом заливается.
– Ты чего так ржешь?! -спрашивает Фурманов у Петьки
– Да как же! Задали нам с Василием Ивановичем вопросы на экзамене. Мне велели квадратный корень найти. Вот я его уже неделю ищу. Видишь – какой котлован вырыл?

– Ну а смеяться-то чего так?
– Да я-то квадратный корень может и найду. А вот Василию Ивановичу задачка посложней вышла. Ему сказали:
– Раздели-ка ты, Василий Иванович, одночлен на многочлен. Вот он уже неделю сидит, водку пьет и все думает: «Делить? Или не делить!»”
Вопросом навеяло

Рустам Искендеров

Искусственный Интеллект

(133392)

1 год назад

Нас этому учили в средней школе (50-60-е гг.). Оно было и в старых изданиях “Краткого справочника по элементарной математике” Выгодского (советую отыскать). Удивительно, встречал современных учителей математики, которые этого не знают.
Не всегда же калькулятор оказывается под рукой. Впрочем, в моём телефоне калькулятор не извлекает квадратного корня. Я пользуюсь методом последовательного подхода. Например. Нужно извлечь корень из 13. Беру 3,6 и возвожу в квадрат: 12,96. Надо брать побольше. 3,61*3,61= 13,0321. Надо поменьше: 3,605*3,605= 12,996 и т. д. Метод работает отлично.

Дарт Сидиус

Мудрец

(11059)

1 год назад

Использовать разложение в степенной ряд. Можно вывести, зная общую формулу для ряда Тейлора и владея производными. Результат можно получать со сколь угодной точностью — учитывая слагаемые всё более высших порядков.

Источник

In everyday situations, the challenge of calculating the square root of a number is faced. What if one doesn’t have access to a calculator or any other gadget? It can be done with old-fashioned paper and pencil in a long division style. Yes, there are a variety of ways to do so. Let’s start with discussing Square root and its properties first.

What is a Square Root?

A square root is a value, which gives the original number that multiplication of itself. e.g., 6 multiplied by itself gives 36 (i.e. 6 × 6 = 36), therefore, 6 is the square root of 36 or in other words, 36 is the square number of 6.

Suppose, a is the square root of b, then it is represented as,

a = √b or

a²= b

Let the square of 2 is 4 so the square root of 4 will be 2 i.e.

√4 = 2

The following are square roots of the first 50 digits as:

Square Root	Value	Square Root	Value
√1	1	√26	5.0990
√2	1.4142	√27	5.1962
√3	1.7321	√28	5.2915
√4	2	√29	5.3852
√5	2.2361	√30	5.4772
√6	2.4495	√31	5.5678
√7	2.6458	√32	5.6569
√8	2.8284	√33	5.7446
√9	3	√34	5.8310
√10	3.1623	√35	5.9161
√11	3.3166	√36	6
√12	3.4641	√37	6.0828
√13	3.6056	√38	6.1644
√14	3.7417	√39	6.2450
√15	3.8730	√40	6.3246
√16	4	√41	6.4031
√17	4.1231	√42	6.4807
√18	4.2426	√43	6.5574
√19	4.3589	√44	6.6332
√20	4.4721	√45	6.7082
√21	4.5826	√46	6.7823
√22	4.6904	√47	6.8557
√23	4.7958	√48	6.9282
√24	4.8990	√49	7
√25	5	√50	7.0711

Hence, the square root of the square of a positive number gives the original number. However, the square root of a negative number represents a complex number.

Properties of Square Root

A perfect square root always exists if a number is a perfect square.
The square root of 4 is 2 and the square root of 16 is 4. So we can conclude that the square root of an even perfect square is even.
The square root of 9 is 3 and the square root of 81 is 9. So we can conclude that the square root of an odd perfect square is odd.
A perfect square cannot be negative and hence the square root of a negative number is not defined.
From the above point, it can be concluded that numbers ending with (having unit’s digit) 1, 4, 5, 6, or 9 will have a square root.
If a number of ends with an even number of zeros (0’s), then it can have a square root.
If the unit digit of a number is 2, 3, 7, or 8 then a perfect square root is not possible.
If a number of ends with 2, 3, 7, or 8 (in the unit digit), then the perfect square root does not exist.
The two square root values can be multiplied. For example, √5 can be multiplied by √2, then the result should be √10.
Two same square roots are multiplied to give a non-square root number. When √5 is multiplied by √5 we get 5 as a result.

Perfect Square

A number that can be expressed as the product of two identical integers is called a perfect square. Perfect squares are numbers that can be made by squaring any whole number.

e.g.:

9 is a perfect square because it is the product of two equal integers, 3 × 3 = 9.

However, 10 is not a perfect square because it cannot be expressed as the product of two equal integers. (5 × 2 = 10).

Thus, a perfect square is an integer that is the square of an integer; in other words, it is the product of some integer with itself.

The numbers that are perfect squares are mentioned below, and finding the square roots of those numbers is easy. Here are few examples of square roots:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

As a result, the complete squares are 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, and 100.

Methods to find Square Root of a number

To determine if a given number is a perfect square or an imperfect square, we must first determine if it is a perfect square or an imperfect square. If the number is a perfect square, such as 4, 9, 16, etc., we will use the prime factorization process to factorize it. We must use the long division approach to find the root if the number is an incomplete square, such as 2, 3, 5, and so on.

Repeated Subtraction Method
Prime Factorization Method
Division Method

1. Repeated Subtraction Method

The sum of the first n odd natural numbers is known to be n². We’ll do this to calculate the square root of an integer by subtracting it several times. Let’s consider an example and see how this approach works. Let’s say you ought to find the square root of 25, which is √25. The steps are as follows:

Let’s consider the following examples to understand the repeated subtraction method to determine the square roots.

Example 1: Determine the square root of 25 using the repeated subtraction method.
Solution:

Since, 25 is an odd number. Therefore, the steps to find the square root of 25 is:

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16- 7 = 9

9 – 9 = 0

Here it takes five steps to get the 0.

Hence, the square root of 25 is 5.

Example 2: Determine the square root of 16 using the repeated subtraction method.
Solution:

Since, 16 is an even number. Therefore, the steps to find the square root of 16 is:

16 – 4 = 12

12 – 4 = 8

8 – 4 = 4

Here it takes four steps to get the 0.

Hence, the square root of 16 is 4.

Example 3: Find the square root of 49 using the repeated subtraction method.

Solution:

Since, 49 is an odd number. Therefore, the steps to find the square root of 49 is:

49 – 1 = 48

48 – 3 = 45

45 – 5 = 40

40 – 7 = 33

33 – 9 = 24

24 – 11 = 13

13 -13 = 0

Here it takes seven steps to get the 0.

Hence, the square root of 49 is 7.

2. Prime Factorization Method

The prime factorization method involves expressing numbers as a function of their prime factors. The square root of the number is given by the product of one element from each pair of equal prime factors. This approach can also be used to determine whether a given number is a perfect square or not. This method, however, cannot be used to find the square root of non-perfect square decimal numbers.

e.g.: The prime factors of 126 will be 2, 3 and 7 as 2 × 3 × 3 × 7 = 126 and 2, 3, 7 are prime numbers.

16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2²× 2²= √16 = 4

25 = 5 × 5 = 5² = √25 = 5

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = √64 = 8

3. Division Method

When the integers are sufficiently large, it is easy to obtain the square root of a perfect square by utilizing the long division approach, because getting their square roots through factorization becomes lengthy and complicated. To overcome this problem, a new method for finding the square root is developed. This method basically uses the division operation by a divisor whose square is either less than or equal to the dividend.

Following are the steps to for division method:

Step 1: Take the number whose square root is to find. Place a bar over every pair of the digit of the number starting from that in the unit’s place (rightmost side).

Step 2: Let’s divide the leftmost number by the largest number whose square is less than or equal to the number under the leftmost bar. Take this number as the divisor and the quotient. The number under the leftmost bar is considered to be the dividend.

Step 3: Divide and get the number. Bring down the number under the next bar to the right of the remainder.

Step 4: Double the divisor (or add the divisor to itself). To the right of this divisor find a suitable number which together with the divisor forms a new divisor for the new dividend. The new number in the quotient will have the same number as selected in the divisor. The condition is the same as being either less or equal to that of the dividend.

Step 5: Continue this process till we get zero as the remainder. The quotient thus obtained will be the square root of the number.

Let’s consider the following examples to understand the division method to determine the square roots.

Example 1: Find the square root of 144 using the division method.

Solution:

The steps to determine the square root of 144 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1.

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give as,

Step 3: Now it is required to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x.

Step 4: Therefore, check when 2x multiplies by x give a number of less than or equal to 44. Take x = 1, 2, 3, and so on and check.

In this case,

21 × 1 = 21

22 × 2 = 44

So we choose x = 2 as the new digit to be put in the divisor and in the quotient.

The remainder here is 0 and hence 12 is the square root of 144.

Example 2: Find the square root of 196 using the division method.

Solution:

The steps to determine the square root of 196 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1.

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give.

Step 3: Now we need to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x.

Step 4: We need to check when 2x multiplies by x give a number less than or equal to 96. Take x = 1, 2, 3 and so on and check.

In this case,

21 × 1 = 21

22 × 2 = 44

23 × 3 = 69

24 × 4 = 96

So, choose x = 4 as the new digit to be put in divisor and in the quotient.

The remainder here is 0 and hence 14 is the square root of 196.

Example 2: Find the square root of 225 using the division method.

Solution:

The steps to determine the square root of 225 are:

Step 1: Start the division from the leftmost side. Here 1 is the number whose square is 1.

Step 2: Putting it in the divisor and the quotient and then doubling it will give.

Step 3: Now we need to find a number for the blanks in divisor and quotient. Let that number be x.

Step 4: We need to check when 2x multiplies by x gives a number which is either less than or equal to 125. Take x = 1, 2, 3 and so on and check.

In this case,

21 × 1 = 21

22 × 2 = 44

23 × 3 = 69

24 × 4 = 96

25 × 5 = 125

So we choose x = 5 as the new digit to be put in divisor and in the quotient.

The remainder here is 0 and hence 15 is the square root of 225.

4. Square Roots of Complex Numbers

To calculate the square root of a complex number, let’s suppose that the root is ea + ib. Then compare it to the original number to get the values of a and b, yielding the square root.

Let a + ib is a complex number, therefore to find the square root of a + ib following formula can be used

$sqrt{a+ib} = pm(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ifrac{b}{|b|}(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

Let’s consider the following examples to understand the determination of the square roots of complex numbers.

Example 1: Find the square root of 6 – 8i.

Solution:

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

$sqrt{a+ib} = pm(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ifrac{b}{|b|}(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

For the given case, substitute a = 6 and b = (-8) in the above formula,

$begin{aligned}sqrt{6-8i}&=pmsqrt{dfrac{sqrt{6^2+(-8)^2}+6}{2}}+idfrac{-8}{|-8|}sqrt{dfrac{sqrt{6^2+(-8)^2}-6}{2}}\&=pmsqrt{dfrac{sqrt{100}+6}{2}}-ileft(dfrac{8}{8}right)sqrt{dfrac{sqrt{100}-6}{2}}\&=pmsqrt{dfrac{10+6}{2}}-isqrt{dfrac{10-6}{2}}\&=pmleft(sqrt{8}-i(sqrt{2}right)\&=pm(2sqrt{2}-isqrt{2})end{aligned}$

which is the required solution.

Example 2: Find the square root of 9 + 40i.

Solution :

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

$sqrt{a+ib} = pm(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ifrac{b}{|b|}(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

For the given case, substitute a = 9 and b = 40 in the above formula,

$begin{aligned}sqrt{9+40i}&=pmleft(sqrt{dfrac{sqrt{9^2+{40}^2}+9}{2}}+idfrac{40}{|40|}sqrt{dfrac{sqrt{9^2+(40)^2}-9}{2}}right)\&=pmleft(sqrt{dfrac{sqrt{81+{1600}}+9}{2}}+ileft(dfrac{40}{40}right)sqrt{dfrac{sqrt{81+1600}-9}{2}}right)\&=pmleft(sqrt{dfrac{sqrt{1681}+9}{2}}+isqrt{dfrac{sqrt{1681}-9}{2}}right)\&=pmleft(sqrt{dfrac{50}{2}}+isqrt{dfrac{32}{2}}right)\&=pm(5+4i)end{aligned}$

which is the required solution.

Example 3: Find the square root of 3 + 4i.

Solution :

Let’s use the following formula to determine the square root of the given complex number as:

$sqrt{a+ib} = pm(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ifrac{b}{|b|}(sqrt{frac{sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}))$

For the given case, substitute a = 3 and b = 4 in the above formula,

$begin{aligned}sqrt{3+4i}&=pmleft(sqrt{dfrac{sqrt{3^2+{4}^2}+3}{2}}+idfrac{4}{|4|}sqrt{dfrac{sqrt{3^2+4^2}-3}{2}}right)\&=pmleft(sqrt{dfrac{sqrt{9+16}+3}{2}}+ileft(dfrac{4}{4}right)sqrt{dfrac{sqrt{9+16}-3}{2}}right)\&=pmleft(sqrt{dfrac{sqrt{25}+3}{2}}+isqrt{dfrac{sqrt{25}-3}{2}}right)\&=pmleft(sqrt{dfrac{5+3}{2}}+isqrt{dfrac{5-3}{2}}right)\&=pm(sqrt{4}+isqrt{1})\&=pm(2+i)end{aligned}$

which is the required solution.

Источник

История[править | править код]

Квадратные корни из чисел[править | править код]

Рациональные числа[править | править код]

Действительные (вещественные) числа[править | править код]

Комплексные числа[править | править код]

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

В элементарной геометрии[править | править код]

В информатике[править | править код]

Применение[править | править код]

Алгоритмы нахождения квадратного корня[править | править код]

Разложение в ряд Тейлора[править | править код]

Грубая оценка[править | править код]

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

Итерационный аналитический алгоритм[править | править код]

Столбиком[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

При помощи деления в столбик

Понимание процесса

Советы

Предупреждения

Похожие статьи

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из единицы

Как найти квадратный корень из числа

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Разбор примера

Квадратные корни из чисел √2, √3, √5, √6, и т.п.

Ваши комментарии

Как вычислить квадратный корень? Объясните совсем тупому в математике

What is a Square Root?

Properties of Square Root

Perfect Square

Methods to find Square Root of a number

1. Repeated Subtraction Method

2. Prime Factorization Method

3. Division Method

4. Square Roots of Complex Numbers

Вам также может понравиться

Как найти источник файла в интернете

Как можно найти автомобиль по гос номеру

Как во всем документе ворд найти слово

Добавить комментарий Отменить ответ

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.