Как найти допускаемую нагрузку на стержень

По
моменту сопротивления сечения (при
заданном расчётном сопротивлении R и
известном расчётным изгибающем моменте
M_max
−максимальным из всех найденных для
конструктивного элемента).

145.Как определить допускаемую нагрузку на стержень из условия прочности при изгибе?

Определяется
из условия прочности по формуле –

, где М_max
выражена через нагрузку q, откуда
…

146.Перечислите геометрические характеристики плоских сечений и дайте их определения.

Площадь
фигуры. Статический момент площади
сечения
– величина, равная пределу распространенной
на всю площадь поперечного сечения
стержня суммы произведений элементарных
площадок на координаты их от некоторой
оси, лежащей в площади сечения. Осевой
момент инерции сечения относительно
какой-либо оси –
сумма произведений элементарных площадей
dA на квадрат их расстояний до данной
оси. Полярный
момент инерции
(до полюса), Центробежный
момент инерции
(на расстояние до осей y и z). Радиус
инерции сечения
– геометрическая характеристика,
представляющая собой такое расстояние
от оси до некоторой точки поперечного
сечения, при котором произведение
площади сечения на квадрат этого
расстояния равно осевому моменту
инерции. Момент
сопротивления сечения относительно
какой-либо оси
– отношение осевого момента инерции
относительно этой оси к расстоянию до
наиболее удаленной точки сечения. Центр
тяжести.

148.Что
называют радиусом инерции сечения?

Радиус
инерции сечения есть его геометрическая
характеристика, представляющая собой
такое расстояние от оси до некоторой
точки поперечного сечения, при котором
произведение площади сечения на квадрат
этого расстояния равно осевому моменту
инерции.

149.Что
понимают под главными осями сечения?

Центральные
оси, относительно которых центробежный
момент инерции равен нулю, называются
главными центральными осями. Если тело
имеет ось симметрии, то она будет являться
главной.

150.Что
называют жесткостью стержня при изгибе?

Величина
EIz, (Кривизна стержня прямо пропорциональна
изгибающему моменту и обратно
пропорциональна его жесткости при
изгибе. EI
= M*p,
где p
– радиус кривизны.

151.Запишите
выражение дифференциального уравнения
изогнутой оси стержня.

приближённое
дифференциальное уравнение изогнутой
оси стержня:

152.Какая
расчетная схема называется распорной?

Трехшарнирная
система, состоящая из двух дисков,
соединенных одним шарниром между собой
и двумя шарнирами – с основанием. В
обеих ее опорах при любой нагрузке
возникают две опорные реакции
(горизонтальная и вертикальная) называемые
распором.

153.Как
определить распор в трехшарнирной
расчетной схеме (арке) при действии
вертикальной нагрузки?

При
действии только вертикальной нагрузки
горизонтальные реакции в обеих опорах
равны, направлены в противоположные
стороны. При этом распор при действии
вертикальной нагрузки, направленной
вниз, всегда направлен внутрь трехшарнирной
арки или рамы. Н = М_с
балки
/ f (f – высота арки).

154.
Как определить горизонтальные опорные
реакции в трехшарнирной арке или раме
при действии произвольной нагрузки?

Сумма
моментов слева и справа от шарнира
соединяющего диски.

155.Как
определить горизонтальные опорные
реакции в трехшарнирной арке или раме
при действии произвольной нагрузки,
если её опоры расположены на разных
уровнях?

Решить
две системы уравнений: ∑M_A
= 0,
,
определяются V_B
и H_B;
∑M_B
= 0,

определяются V_А
и H_А.

156.Каков
общий принцип определения напряжений
в точках сечения при одновременном
действии изгиба и растяжения (сжатия)?

На
основании принципа независимости
действия сил нормальное напряжение в
любой точке поперечного сечения стержня
можно определить как алгебраическую
сумму трех напряжений: от изгиба в двух
взаимно-перпендикулярных плоскостях
и продольной силы.

без
последнего слагаемого при плоском
изгибе.

157.Запишите
выражение для определения максимальных
нормальных напряжений в сечении при
одновременном действии изгиба и
растяжения (сжатия)?

без
последнего слагаемого при плоском
изгибе.

158.Что
понимают под внецентренным сжатием?

Когда
сжимающая сила приложена не по оси, а с
каким-то от нее расстоянием
(эксцентриситетом).

159.Что
такое радиус инерции сечения?

Радиус
инерции сечения есть его геометрическая
характеристика, представляющая собой
такое расстояние от оси до некоторой
точки поперечного сечения, при котором
произведение площади сечения на квадрат
этого расстояния равно осевому моменту
инерции.

160.Что
называют ядром сечения?

Область
сечения, при помещении в которую
действующей сжимающей силы F, напряжения
во всем сечении всегда будут одного
знака. Строится по квадранту (не всегда).

161.Запишите
условие прочности для случая одновременного
действии на стержень изгиба и растяжения
(сжатия).

без
последнего слагаемого при плоском
изгибе.

162.Сформулировать
принцип независимости действия сил.

Состояние
любой расчетной схемы при действии на
нее группы внешних сил (нагрузок и
воздействий) можно представить как
сумму состояний, полученных от каждой
силы (нагрузки или воздействия) в
отдельности.

Нормальное
напряжение в любой точке поперечного
сечения стержня можно определить как
алгебраическую сумму трех напряжений:
от изгиба в двух взаимно-перпендикулярных
плоскостях и продольной силы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Решение.

Рассмотрим равновесие узла А. На него действует плоская сходящаяся система сил, для которой можно записать два уравнения равновесия

Из первого уравнения выразими подставим во второе уравнение

Отсюда выразим усилия в стержнях системы через силу P

Оба стержня растянуты. Запишем условия прочности и жесткости для стержня АВ

Длины стержней найдем по теореме синусов

Подставим (3) в (4)

Из этих соотношений найдем два значения для силы P

Аналогично, записывая условия прочности и жесткости для стержня АС,

найдем еще два значения для силы P

Из полученных четырех значений в качестве допускаемой нагрузки следует принять наименьшее значение

Проверим выполнения условий прочности и жесткости. Для стержня АВ:

Для стержня АС:

Все условия выполняются.

Ответ:

Решение этой задачи в среде Mathcad можно посмотреть ЗДЕСЬ

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ￿ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.

Определить грузоподъемность (допускаемую нагрузку [F]) шарнирно-стержневой системы для двух случаев:

1. Если материал стержней пластичный (сталь – 3, [σ]=160 МПа),
2. Если материал стержней хрупкий (чугун — [σ_р]=20 МПа, [σ_с]=80МПа).

Сначала необходимо найти усилия в стержнях, оставляя нагрузку в общем (буквенном) виде. Начинаем с использования метода сечений: делаем сквозной (замкнутый) разрез и рассматриваем равновесие средней части (неизвестные усилия при этом предполагаем положительными, т.е. растягивающими):

∑х = Н = 0,       (1)

∑у = R+N₁— F–N₂=0,    (2)

∑М(А)= N₁·1 — F·2 – N₂·3=0, (3)

В этих трёх уравнениях статики содержатся 4 неизвестных, следовательно, задача один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости придётся составить одно дополнительное уравнение, но уже не статическое, а геометрическое, которое выражало бы условие совместности деформаций всех упругих элементов системы. С этой целью следует рассмотреть систему в деформированном состоянии с тем, чтобы «связать» друг с другом абсолютные деформации первого и второго стержней. Картина возможной деформации системы:

Очевидно, что ВВ₁ – удлинение первого стержня (∆ℓ₁), а СС₁ – укорочение второго (∆ℓ₂). Из подобия треугольников

или

По формуле Гука:

(знак «плюс» соответствует деформации удлинения), а

(знак «минус» соответствует деформации укорочения). После подстановки получим необходимое нам дополнительное уравнение:

      (4)

Т.к. ℓ₁=2ℓ, ℓ₂=ℓ, А₁= 2см², А₂= 4см², то

,

откуда N₂=-12N₁. Подставляя это соотношение в уравнение (3), имеем: N₁·1- F·2 — (-12N₁) 3=0, откуда

(растяжение), и тогда

(сжатие).

Напряжения в стержнях будут:

Для определения допускаемой нагрузки используем условия прочности при растяжении-сжатии.

Случай 1. Оба стержня из пластичного материала, который одинаково сопротивляется как растяжению, так и сжатию. Для него достаточно одного условия прочности:

|_maxσ| ≤ [σ].

Наибольшим по абсолютной величине оказывается напряжение во втором стержне. Его и вводим в условие прочности. Допускаемая нагрузка (или грузоподъёмность) – это такая величина нагрузки, при которой напряжение в точности равно допускаемому значению (т.е. в условии прочности необходимо оставить знак равенства)

Случай 2. Оба стержня из хрупкого материала. В этом случае требуется выполнение двух условий прочности: а) по растяжению: _maxσ_р ≤ [σ_р],

б) по сжатию |_maxσ_с| ≤ [σ_с].

Начинать можно с любого из них. Например, из первого условия:

найдём одно значение допускаемой нагрузки (по растяжению):

Если принять это значение за допускаемую нагрузку, то во втором стержне возникает напряжение

Это напряжение превышает допускаемое значение по сжатию: |σ_II| =120МПа > [σ_р]=80МПа, следовательно, нагрузка [F_р] не является допускаемой для всей конструкции. Поэтому будем определять допускаемую нагрузку из второго условия прочности: Остается лишь убедиться, что при такой нагрузке в первом стержне условие прочности будет выполнено.

что меньше допускаемого по растяжению напряжения [σ_р]=20МПа. Итак, для варианта стержней из хрупкого материала допускаемая нагрузка [F]=49,333 кН.