Как найти разность одночлена

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Сложение и вычитание одночленов

Поддержать сайт

Сложение и вычитание одночленов

• Подобные одночлены
• Сложение одночленов
• Вычитание одночленов

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab²   и   -7ab²  — подобные одночлены;

5a²b   и   5ab  — не подобные одночлены.

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:

5abb   и   -7b²a.

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:

5ab²   и   -7ab².

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:

5a²bc   и   -5a²bc  — противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены, надо:

1. Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
2. Привести все одночлены к стандартному виду.
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
4. Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
   1. сложить их численные множители;
   2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:

1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком  –  (минус).
2. Привести все одночлены к стандартному виду.
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
   1. сложить их численные множители,
   2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.

Сложение и вычитание одночленов

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab 2 и -7ab 2 — подобные одночлены ;

5a 2 b и 5ab — не подобные одночлены .

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:

5a 2 bc и -5a 2 bc — противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены, надо:

1. Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
2. Привести все одночлены к стандартному виду.
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
4. Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
   1. сложить их численные множители;
   2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a 2 b и -5ab.

Решение: Составим сумму одночленов:

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc.

Решение: Составим сумму одночленов:

Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:

1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком – (минус).
2. Привести все одночлены к стандартному виду.
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
   1. сложить их численные множители,
   2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и –ab 2 .

Решение: Составим разность одночленов:

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.

Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.

Одночлены

Определения и примеры

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a , 3ab 2 и −6 2 aa 2 b 3 являются одночленами.

Приведём ещё примеры одночленов:

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5 2 является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

Далее в одночлене 3a 2 5a 3 b 2 содержатся степени a 2 и a 3 , которые имеют одинаковое основание a . Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a 2 и a 3 даст в результате a 5 . Записываем a 5 рядом с числом 15

Далее в одночлене 3a 2 5a 3 b 2 содержится степень b 2 . Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

Мы привели одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a 5 b 2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

А коэффициентом одночлена −abc будет −1 , поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a 5 b 2 является 7 . Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7 . Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab 2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3 .

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya 2 к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

Далее в одночлене 5xx3ya 2 содержатся переменные x и x . Перемножим их, получим x 2 .

Далее в одночлене 5xx3ya 2 содержится переменная y , которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:

Далее в одночлене 5xx3ya 2 содержится степень a 2 , которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:

Получили одночлен 15x 2 ya 2 , который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x 2 ya 2 примет вид 15a 2 x 2 y.

Пример 2. Привести одночлен 2m 3 n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m 3 × m и n × n

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a 2 b и 2a 2 b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a 2 b оставим без изменений

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a 2 b 3 одночлен 2a 2 b 3

Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:

Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

Пример 2. Перемножить одночлены 5x 2 y 3 и 7x 3 y 2 c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

Пример 3. Перемножить одночлены −5a 2 bc и 2a 2 b 4

Пример 4. Перемножить одночлены x 2 y 5 и (−6xy 2 )

Пример 5. Найти значение выражения

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a 2 b 2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

Первый одночлен 8a 2 b 2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2 . В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:

Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a 2 , в делителе — просто a . Делим a 2 на a , получаем a , поскольку a 2 : a = a 2 − 1 = a . Записываем в частном a после 2

Далее в делимом содержится b 2 , в делителе — просто b . Делим b 2 на b , получаем b , поскольку b 2 : b = b 2 − 1 = b . Записываем в частном b после a

Значит, при делении одночлена 8a 2 b 2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab .

Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab , должно получиться 8a 2 b 2

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

К примеру, одночлен 6xy 2 нельзя разделить на одночлен 3xyz . В делителе 3xyz содержится переменная z , которая не содержится в делимом 6xy 2 .

Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy 2 , поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy 2 .

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x 2 y 2 z на 2xy , получается 2xyz . Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x 2 разделили на x , получили x , затем y 2 разделили на y , получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:

Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy . В результате должен получиться одночлен 4x 2 y 2 z

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy 2 на одночлен 3 xyz . Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy . Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3 xy ). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

Пример 2. Разделить одночлен 12a 2 b 3 c 3 на одночлен 4a 2 bc

Пример 3. Разделить одночлен x 2 y 3 z на одночлен xy 2

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x 2 нельзя, поскольку степень x , входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x 2 , входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x 2 даст в результате делимое 2x .

Конечно, мы можем выполнить деление x на x 2 , воспользовавшись свойством степени с целым показателем:

и такое частное при перемножении с делителем x 2 будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

Пример 2. Возвести одночлен −5a 3 b во вторую степень.

Пример 3. Возвести одночлен − a 2 bc 3 в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a 10 b 5 c 15 , затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a 10 b 5 c 15 .

Пример 4. Представить одночлен 4x 2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4x 2 . Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4x 2

Значит, 4x 2 = (2x) 2 . Выражение (2x) 2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a 6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a 6 .

Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a 6 получается в том случае, если возвести в квадрат степень a 3 . Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a 3 .

Таким образом, если произведение 11a 3 возвести во вторую степень, то получится 121a 6

(11a 3 ) 2 = 11 2 × (a 3 ) 2 = 121a 6

Значит, 121a 6 = (11a 3 ) 2 . Выражение (11a 3 ) 2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a 3 b 2 на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

Либо степень b 2 можно не раскладывать на множители b и b

Либо степень b 2 разложить на множители b и b , а степень a 3 оставить без изменений

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a 2 b 3 c 4 на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a 2 разложим на множители aa , степень b 3 — на множители bbb , степень c 4 — на множители cccc

Сложение и вычитание одночленов: правило и примеры

Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.

Результат сложения и вычитания одночленов

Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.

Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.

Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.

То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий – уже не одночлен.

А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения – многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).

Правило сложения и вычитания одночленов

Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:

Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:

• записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
• если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
• раскрыть скобки;
• привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.

Теперь применим озвученное правило для решения задач.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Заданы одночлены 8 · x и − 3 · x . Необходимо выполнить их сложение и вычитание.

Решение

1. Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: ( 8 · x ) + ( − 3 · x ) . Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8 · x − 3 · x , а затем приведем подобные слагаемые: 8 · x − 3 · x = ( 8 − 3 ) · x = 5 · x .

Кратко решение запишем так: ( 8 · x ) + ( − 3 · x ) = 8 · x − 3 · x = 5 · x .

1. Аналогично произведем действие вычитания: ( 8 · x ) − ( − 3 · x ) = 8 · x + 3 · x = 11 · x .

Ответ: ( 8 · x ) + ( − 3 · x ) = 5 · x и ( 8 · x ) − ( − 3 · x ) = 11 · x .

Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.

Необходимо найти разность между одночленом – 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 и одночленом x · 2 3 · y 5 · z · – 3 8 · x · y .

Решение

Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: – 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 – x · 2 3 · y 5 · z · – 3 8 · x · y . Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0 – – 1 4 · x 2 · y 6 · z . Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z , оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 1 4 · x 2 · y 6 · z .

Таким образом, краткая запись решения будет такой:

– 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 – x · 2 3 · y 5 · z · – 3 8 · x · y = = 0 – – 1 4 · x 2 · y 6 · z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Ответ: – 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 – x · 2 3 · y 5 · z · – 3 8 · x · y = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.

Заданы одночлены − 9 · x · z 3 и − 13 · x · y · z . Необходимо найти их сумму.

Решение

Записываем сумму: ( − 9 · x · z 3 ) + ( − 13 · x · y · z ) . Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: ( − 9 · x · z 3 ) + ( − 13 · x · y · z ) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

Ответ: ( − 9 · x · z 3 ) + ( − 13 · x · y · z ) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.

Необходимо решить пример: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 .

Решение

Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = = ( 0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7 ) · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2

Ответ: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2 .

Заданы одночлены: 5 , − 3 · a , 15 · a , − 0 , 5 · x · z 4 , − 12 · a , − 2 и 0 , 5 · x · z 4 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Запишем сумму: ( 5 ) + ( − 3 · a ) + ( 15 · a ) + ( − 0 , 5 · x · z 4 ) + ( − 12 · a ) + ( − 2 ) + ( 0 , 5 · x · z 4 ) . В результате раскрытия скобок получим: 5 − 3 · a + 15 · a − 0 , 5 · x · z 4 − 12 · a − 2 + 0 , 5 · x · z 4 . Сгруппируем подобные слагаемые: ( 5 − 2 ) + ( − 3 · a + 15 · a − 12 · a ) + ( − 0 , 5 · x · z 4 + 0 , 5 · x · z 4 ) и приведем их: 3 + 0 + 0 = 3

Ответ: ( 5 ) + ( − 3 · a ) + ( 15 · a ) + ( − 0 , 5 · x · z 4 ) + ( − 12 · a ) + ( − 2 ) + ( 0 , 5 · x · z 4 ) = 3 .

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/slozhenie-i-vychitanie-odnochlenov/

[/spoiler]

Одночлены — это любое число, переменная, любая степень, а также произведение чисел, переменных и степеней, с которыми можно совершать разные математические действия. Примеры одночленов: 9, 5², x, 5a; 3ab² ;  −6²aa²b³. 

Приведение одночлена к стандартному виду

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в умножении однотипных множителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему. Важно: в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Рассмотрим следующий одночлен:  3a²5a³b²
 — числа 3 и 5 перемножим и получим число 15,
— степени a² и a³ имеют одинаковое основание a,  поэтому мы можем записать результат a⁵,
— степень b² остаётся без изменений.
Получили результат: 3a²5a³b² = 15a⁵b²

Для того, чтобы далее рассматривать одночлены и действия с ними, вспомним тему «Степень с натуральным показателем«

где: a — основание степени; n — показатель степени.

Коэффициент одночлена

• Числовой сомножитель (в примере 15) называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
• Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице.
  Например, для одночлена ab коэффициентом является 1, поскольку ab это произведение единицы и ab: abc = 1×ab.
• Если перед одночленом стоит знак минуса, то коэффициент равен минус единице. Например, для одночлена —ab коэффициентом является -1, поскольку ab это произведение -1 и ab.

Степень одночлена

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных входящих в этот одночлен.  Показатель числового множителя при этом не считается.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю.  

Примеры:

• Степенью одночлена 15a⁵b² является 7: переменная a имеет степень 5, а переменная b — 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
• Степенью одночлена 7ab² является 3:  переменная a имеет показатель 1, а переменная b — 2. 
• Степень одночлена 11 равна нулю, так как это число.

Не следует путать степень одночлена и степень числа:

• Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей.
• Степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Сложение и вычитание одночленов

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Чтобы складывать и вычитать одночлены, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути представляет собой приведение подобных слагаемых.

Пример 1. Сложить одночлены 6a²b и 2a²b:
сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a²b оставим без изменений.
Получим: 6a²b + 2a²b = 8a²b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a²b³ одночлен 2a²b³
Решение: 5a²b³ − 2a²b³ = 5a²b³ −2a²b³ = 3a²b³

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 3. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности: 5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy

Пример 4. Перемножить одночлены 5x²y³ и 7x³y²c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x²y³ × 7x³y²c = (5 × 7) × (x²x³) × (y³y²) × c = 35x⁵y⁵c

Пример 5. Перемножить одночлены −5a²bc и 2a²b⁴
−5a²bc × 2a²b⁴ = (−5 × 2) × (a²a²) × (bb⁴) × c = −10a⁴b⁵c

Деление одночленов

Для того, чтобы разделит один многочлен на другой, нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Пример 6. Разделить одночлен 8a²b² на одночлен 4ab. 
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2.
Теперь делим буквенную часть:
— в делимом содержится a², в делителе — просто a. Делим a² на a, получаем a, поскольку a² : a = a^2 − 1 = a. 
— в делимом содержится b², в делителе — просто b. Делим b² на b, получаем b, поскольку b² : b = b^2 − 1 = b. Значит, при делении одночлена 8a²b² на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Если переменная есть только в одном многочлене:

Если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то  деление невозможно.

Например, одночлен 6xy² нельзя разделить на одночлен 3xyz, так как в делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy².

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

*сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число.
Так, в примере нельзя разделить одночлен 6xy² на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy.

Если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x²y²z на 2xy, получается 2xyz. 

Если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя, то деление одночлена на одночлен также невозможно.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x² нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x², входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x² даст в результате делимое 2x.

Возведение одночлена в степень

При возведении степень одночлена каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ 

Пример 7. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого одночлена: (xy)² = x²y²

Пример 8. Возвести одночлен −a²bc³ в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень: 
(−a²bc³)⁵ = (−1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = −1a¹⁰b⁵c¹⁵ = −a¹⁰b⁵c¹⁵
Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные множители одночлена.

Пример 9. Представить одночлен 121a⁶ в виде одночлена, возведённого в квадрат.
— число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат — это первый множитель.
— степень a⁶ получается, если возвести в квадрат степень a³ — это второй множитель.
Таким образом, если произведение 11a³ возвести во вторую степень, то получится  121a⁶
(11a³)² = 11² × (a³)² = 121a⁶

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 10. Разложить одночлен 3a³b² на множители
Данный одночлен можно разложить на множители:
3a³b² = 3×a×a×a× b×b =  3×a×a×a×b² = 3×a³×b×b