Как найти изображение от интеграла – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Преобразование Лапласа и его свойства

Основные определения

1. Оригинал — это комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента , которая удовлетворяет следующим условиям:

а) f(t)=0 при t<0 ;

б) на любом конечном отрезке [a;b]in[0;+infty) функция f(t) имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

в) f(t)f(t) имеет ограниченный рост, т.е. возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные M>0 и sigmageqslant0 , что $|f(t)|<M,e^{sigma t}$ при t>0 .

Замечания 5.1

1. Величина sigma_0=infsigma называется показателем роста функции f(t) . Для любой ограниченной функции, являющейся оригиналом, можно принять sigma_0=0 .

2. Обозначим $f(+0)= limlimits_{tto+0} f(t),~ f(+infty)= limlimits_{tto+infty} f(t)$ , если пределы существуют и конечны.

3. Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов.

4. В точке t_0 разрыва первого рода функция имеет конечные односторонние пределы: $limlimits_{tto t_0+0} f(t),~ limlimits_{tto t_0-0} f(t)$ .

Пример 5.1

2. Изображение функции f(t) — функция F(p) комплексного переменного , определяемая равенством

$F(p)= intlimits_{0}^{+infty} e^{-pt}f(t),dt,.$

(5.1)

Область существования этой функции определяется областью сходимости интеграла Лапласа, стоящего в правой части равенства (5.1). Исследование интeгpaлa позволяет определить эту область и установить свойства функции F(p) . Имеет место следующее утверждение.

Утверждение 5.1. Если функция f(t) , является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно в области $operatorname{Re}p=sigma> sigma_0$ (рис. 5.1) , где sigma_0 — показатель роста оригинала. Внутри этой области, т.е. на любом замкнутом подмножестве $operatorname{Re}p=sigma geqslant a>sigma_0$ , интеграл сходится равномерно и определяет аналитическую функцию F(p) .

Рис. 5.1.

Замечания 5.2

1. Утверждение 5.1 аналогично свойствам степенных рядов, сходящихся в круге и равномерно сходящихся внутри этого круга, где сумма ряда является аналитической функцией.

2. Свойство аналитичности изображения имеет важное значение в теории и практике применения преобразования Лапласа, так как позволяет использовать в пространстве изображений методы теории аналитических функций, в частности разложения функций в ряды и теорию вычетов.

3. Совокупность всех изображений F(p) называется пространством изображений.

4. Переход, определяющий изображение F(p) по оригиналу f(t) , называется преобразованием Лапласа:

$F(p)= Lbigl[f(t)bigr]= intlimits_{0}^{+infty} e^{-pt}f(t),dt,.$

(5.2)

Запись F(p)=L[f(t)] означает, что оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) .

5. Оригинал по изображению находится с помощью обратного преобразования Лапласа по формуле обращения

$f(t)=L^{-1}bigl[F(p)bigr]= frac{1}{2pi i} intlimits_{sigma-iinfty}^{sigma+iinfty} e^{pt}F(p),dp,,$

(5.3)

где путь интегрирования — любая прямая operatorname{Re}p=sigma , параллельная мнимой оси и лежащая правее прямой $operatorname{Re}p=sigma_0$ (рис. 5.1).

Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно. Поэтому на практике пользуются методами, изложенными ранее.

Замечания 5.3

1. Для преобразования Лапласа используются различные обозначения, на пример f(t)risingdotseq F(p) и F(p)fallingdotseq f(t) , что означает: оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) и изображению F(p) соответствует оригинал f(t) . В некоторых учебниках вместо аргумента применяется , то есть F(s)=L[f(t)] и $L^{-1}[F(s)]=f(t)$ .

2. Для компактной записи оригиналов используется единичная ступенчатая функция boldsymbol{1}(t-tau)colon

$boldsymbol{1}(t-tau)= begin{cases}1,& t>tau,\ 0,& t leqslant tau,end{cases}$

(5.4)

Рис. 5.2.

где tau — точка приложения (рис. 5.2). Так как во многих практических задачах аргумент имеет смысл текущего времени, то tau также называется моментом приложения единичной ступенчатой функции. В системах автоматического регулирования и управления функция boldsymbol{1}(t-tau) рассматривается как типовой входной сигнал.

При tau=0 функция boldsymbol{1}(t-tau) является функцией Хевисайда:

$boldsymbol{1}(t)= begin{cases}1,& t>0,\ 0,& t leqslant 0.end{cases}$

(5.5)

Тогда, если функция f(t) удовлетворяет условиям “б”, “в” в определении оригинала (п. 1), но не удовлетворяет условию “а”, то функция f(t)cdot boldsymbol{1}(t) будет оригиналом, так как

$f(t)cdotboldsymbol{1}(t)= begin{cases}f(t),& t>0,\ 0,& tleqslant0. end{cases}$

Далее под заданной с помощью аналитической формулы функцией f(t) , там, где это не вызывает недоразумений, будем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда, а множитель boldsymbol{1}(t) опускать.

3. Функции F(p) , являющиеся изображениями, удовлетворяют необходимому условию: если F(p) есть изображение, то F(p)to0 при operatorname{Re}p=sigmato+infty . Поэтому функции $F_1(p)=1,~ F_2(p)=p,~ F_3(p)=sin p,~ F_4(p)= frac{p}{p-1}$ не являются изображениями. Однако в практических задачах функции типа и другие встречаются. Это требует расширения понятий оригинала и изображения.

Класс оригиналов можно расширить, включив в него функции, которые могут быть не ограничены в окрестности некоторых конечных точек, но такие, что интеграл Лапласа от них, тем не менее, сходится абсолютно в некоторой полуплоскости $operatorname{Re}p>sigma_0$ . К числу таких обобщенных оригиналов относятся степенная функция $f(t)=t^{mu}$ при mu>-1,~ln t и некоторые другие.

4. Во всякой точке t_0 , являющейся точкой разрыва функции f(t) , правая часть формулы (5.3) равна $frac{1}{2}bigl[f(t_0-0)+f(t_0+0)bigr]$ .

Примеры 5.2-5.3

Пример 5.2. Найти изображение единичной функции Хевисайда f(t)= boldsymbol{1}(t) .

Решение. Так как функция boldsymbol{1}(t) ограничена, то в качестве показателя роста можно положить sigma_0=0 . По формуле (5.2) имеем

$F(p)= L[boldsymbol{1}(t)]= intlimits_{0}^{+infty} boldsymbol{1}(t) e^{-pt},dt=left.{-frac{1}{p},e^{-pt}}right|_{0}^{+infty}= frac{1}{p},.$

так как из равенства $|e^{-pt}|= e^{operatorname{Re}(-pt)}= e^{-t operatorname{Re}p}= e^{-sigma t}$ следует, что $limlimits_{tto+infty} e^{-pt}=0$ при $operatorname{Re}p= sigma>sigma_0=0$ .

Пример 5.3. Найти изображение функции $f(t)=e^{at}$ , где — действительное число.

Решение. Показателем роста можно считать sigma_0=a . По формуле (5.2)

$F(p)= intlimits_{0}^{+infty} e^{at}e^{-pt},dt= intlimits_{0}^{+infty} e^{(a-p)t},dt= left.{frac{e^{(a-p)t}}{a-p}}right|_{0}^{+infty}=-frac{1}{a-p}=frac{1}{p-a},.$

так как из равенства $|e^{(a-p)t}|= e^{-t(operatorname{Re}p-a)}= e^{-t(sigma-a)}$ следует, что $limlimits_{tto+infty} e^{(a-p)t}=0$ при operatorname{Re}p=sigma>a .

Свойства преобразования Лапласа

Будем предполагать, что рассматриваемые далее функции f(t),f_1(t),ldots,f_n(t) являются оригиналами. Соответствующие им изображения (при $operatorname{Re}p> sigma_i,~ i=0,1,ldots,n$ ) обозначим F(p),F_1(p),ldots,F_n(p) .

1. Линейность. Если f_1(t),ldots,f_n(t) — оригиналы, то для любых комплексных чисел c_i,~ i=1,2,ldots,n , функция $textstyle{f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)}$ также является оригиналом и справедливо равенство $textstyle{L!left[ sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)right]= sumlimits_{k=1}^{n}c_k L[f_k(t)]}$

$L bigl[c_1f_1(t)+ldots+ c_nf_n(t)bigr]= c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p),quad operatorname{Re}p>max{sigma_1,ldots,sigma_n}.$

(5.6)

Заметим, что для функции $textstyle{f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)}$ существенно, что все слагаемыс являются оригиналами, так как, например, функция $f(t)=frac{e^{t}-1}{t}$ является оригиналом, а слагаемые $f_1(t)=frac{e^t}{t}$ и $f_2(t)=-frac{1}{t}$ не являются.

Справедливо и обратное утверждение: если F_1(p),ldots,F_n(p) — изображения, то

$L^{-1} bigl[c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p)bigr]= c_1f_1(t)+ldots+ c_nf_n(t).$

Здесь также важно, что слагаемые функции c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p) являются изображениями, поскольку из того, что F(p)= c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p) — изображение, не следует, что F_1(p)+ldots+ F_n(p) — изображения. Например, функция $F(p)= ln frac{p-1}{p}$ является изображением, а слагаемые F_1(p)= ln(p-1) и F_2(p)=-ln p не являются.

Примеры 5.4-5.5

Пример 5.4. Найти изображение функции $f(t)=3+2e^{-t}$ .

Решение. Из примера 5.2 имеем $L[boldsymbol{1}(t)]= frac{1}{p}$ , а из примера 5.3 при a=-1 имеем $L[e^{-t}]= frac{1}{p+1}$ . Тогда согласно свойству линейности для оригинала $f(t)=3cdotboldsymbol{1}(t)+2cdot e^{-t}$ получаем $F(p)= 3cdot frac{1}{p}+2cdot frac{1}{p+1}$ .

Пример 5.5. Найти изображение функции f(t)=cos t .

Решение. Используя формулу Эйлера (2.11), получаем $f(t)=cos t=frac{e^{it}+e^{-it}}{2}= frac{1}{2},e^{it}+frac{1}{2},e^{-it}$ .

Из примера 5.3 при a=i и a=-i следует: $L[e^{it}]= frac{1}{p-i},,~ L[e^{-it}]=frac{1}{p+i}$ . Тогда по свойству линейности

$L[cos t]= frac{1}{2}L[e^{it}]+frac{1}{2}L[e^{-it}]= frac{1}{2}cdot frac{1}{p-i}+ frac{1}{2}cdot frac{1}{p+i}= frac{p+i+p-i}{2(p^2+1)}= frac{p}{p^2+1},.$

2. Подобие (теорема подобия). Для любого a>0 из F(p)=L[f(t)] следует

$L bigl[f(at)bigr]= frac{1}{a},F! left(frac{p}{a}right)!,quad operatorname{Re}p>asigma_0,$

(5.7)

и обратно: $L^{-1} bigl[F(ap)bigr]= frac{1}{a},f! left(frac{t}{a}right)$ .

Пример 5.6

Найти изображение функции f(t)=cos at .

Решение. Из примера 5.5 следует, что $L[cos t]= frac{p}{p^2+1}$ . Тогда по теореме подобия

$L[cos at]= frac{1}{a}cdot frac{p!!not{phantom{|}},a}{(p!!not{phantom{|}}, a)^2+1}= frac{p}{p^2+a^2},.$

3. Смещение (теорема смещения). При любом комплексном из F(p)= L[f(t)] следует

$L bigl[e^{at}f(t)bigr]= F(p-a),quad operatorname{Re}(p-a)>sigma_0,$

(5.8)

то есть умножению оригинала на $e^{at}$ соответствует смещение изображения на .

Пример 5.7

Найти изображение функции $f(t)=e^{at}cos bt$ .

Решение. Из примера 5.6 следует $L[cos bt]=frac{p}{p^2+a^2}$ . Тогда по теореме смещения $L[e^{at}cos bt]= frac{p-a}{(p-a)^2+b^2}$ .

Рис. 5.3.

Запаздывание оригинала

4. Запаздывание (теорема запаздывания). Для любого tau>0 из F(p)=L[f(t)] следует

$Lbigl[f(t-tau)bigr]= e^{-ptau}cdot F(p),quad operatorname{Re}p>sigma_0,$

(5.9)

где f(t-tau)=f(t-tau)cdot boldsymbol{1}(t-tau) (рис. 5.3), т.е. запаздыванию оригинала на tau>0 соответствует умножение изображения на $e^{-ptau}$ .

Примеры 5.8-5.10

Пример 5.8. Найти изображение функции f(t)=cos(t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3)= cos(t-3) .

Решение. В примере 5.5 получено $L[cos t]=frac{p}{p^2+1}$ . По теореме запаздывания при tau=3 имеем $L[cos(t-3)]= frac{e^{-3p}cdot p}{p^2+1}$ .

Пример 5.9. Найти оригиналы по изображениям: a) $F(p)=frac{(p-1)e^{-4p}}{(p-1)^2+4}$ ; б) $F(p)=frac{e^{-p}}{p^2}$ .

а) Из примера 5.7 следует, что при a=1,~b=2 изображению $frac{p-1}{(p-1)^2+4}$ соответствует оригинал e^tcos2t . Тогда по теореме запаздывания при tau=4 имеем

$f(t)= L^{-1}[F(p)]= e^{t-4}cos(t-4)cdot boldsymbol{1}(t-4).$

б) По формуле 3 из табл. 5.1 $L^{-1}!left[frac{1}{p^2}right]=t$ .По теореме запаздывания при tau=1 получаем $f(t)=L^{-1}[F(p)]= (t-1)cdot boldsymbol{1} (t-1)$ . Заметим, что для похожего, но отличного от полученного, оригинала f(t)=t-1 (его можно записать в виде (t-1)cdot boldsymbol{1}(t) ) изображение имеет вид $F(p)=frac{1}{p^2}-frac{1}{p}ne frac{e^{-p}}{p^2}$ .

рис. 5.4.

Пример 5.10. Найти изображение функции $delta_h(t)= begin{cases}frac{1}{h},& 0<tleqslant h,\ 0,& t<0,,t>h,end{cases}$ , график которой представлен на рис. 5.4.

С учетом (5.4) представим функцию delta_h(t) в виде $delta_h(t)= frac{boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-h)}{h}$ .

Из примера 5.2 имеем $L[boldsymbol{1}(t)]=frac{1}{p}$ . Применяя свойства линейности и запаздывания, получаем

$Lbigl[delta_h(t)bigr]= frac{1}{h}Lbigl[boldsymbol{1}(t)bigr]-frac{1}{h}Lbigl[boldsymbol{1}(t-h)bigr]= frac{1}{h}cdot frac{1}{p}-frac{1}{h}cdot frac{1}{p},e^{-ph}= frac{1-e^{-ph}}{ph},.$

Заметим, что, находя предел при hto0 в последнем выражении, можно получить изображение δ-функции $delta(t)= limlimits_{hto0} delta_h(t)colon$

$Lbigl[delta(t)bigr]= limlimits_{hto0} frac{1-e^{-ph}}{ph}= limlimits_{hto0} frac{p,e^{-ph}}{p}=1.$

Замечание 5.4. Дельта-функция часто встречается в инженерных приложениях как идеализация импульса конечной длительности. В теории автоматического регулирования и управления δ-функция вместе с единичной ступенчатой являются типовыми входными воздействиями.

Очевидно, изображение дельта-функции не удовлетворяет необходимому условию (п.2 замечаний 5.3). Этот факт свидетельствует о практическом требовании расширения понятия оригинала. Дельта-функция относится к обобщенным функциям и задается соотношением

$intlimits_{a}^{b} f(t)delta(t-tau),dt= begin{cases}f(tau+0),& a leqslant tau<b,\ 0,& tau<a,, taugeqslant b.end{cases}$

(5.10)

Дифференцирование оригинала

5. Если функции $f(t),f'(t),ldots,f^{(n)}(t)$ являются оригиналами и F(p)=L[f(t)] , то

$begin{aligned}& L[f'(t)]= pF(p)-f(+0),\ & L[f''(t)]= p^2F(p)-pf(+0)-f'(+0),\ & quadvdots\ & L[f^{(n)}(t)]= p^nF(p)-p^{n-1}f(+0)-ldots-f^{(n-1)}(+0), end{aligned}$

(5.11)

где $f^{i}(+0)= limlimits_{tto+0} f^{(i)}(t),~ i=0,1,2,ldots,n-1$ .

Примеры 5.11-5.12

Пример 5.11. Найти изображение f'(t) , если $f(t)=e^{-t}cos3t$ .

Решение. Из примера 5.7 следует, что при a=-1,~b=3 имеем $L[e^{-t}cos3t]= frac{p+1}{(p+1)^2+9}$ .

Найдем $f(+0)=limlimits_{tto+0}e^{-t}cos3t=1$ . Согласно (5.11) $L[f'(t)]= pcdot frac{p+1}{(p+1)^2+9}-1$ .

Пример 5.12. Найти изображение выражения x''+3x'+2x+1 с начальными условиями x(+0)=1,~x'(+0)=4 .

Решение. Пусть X(p)=L[x(t)] , тогда L[x'(t)]= pX(p)-1;~ L[x''(t)]= p^2X(p)-pcdot1-4 . В примере 5.2 получено L[boldsymbol{1}(t)]=1!!not{phantom{|}},p . Используя свойство линейности, имеем

$begin{aligned}L[x''+3x'+2x+1]&= L[x'']+3L[x']+2L[x]+L[1]=\ &=p^2X(p)-p-4+3pX(p)-3+2X(p)+frac{1}{p}=\ &=(p^2+3p+2)X(p)-p-7+frac{1}{p},.end{aligned}$

Интегрирование оригинала

Если функция f(t) является оригиналом и F(p)=L[f(t)] , то

$textstyle{L! left[intlimits_{0}^{t} f(tau),dtauright]= dfrac{F(p)}{p},quad operatorname{Re}p>sigma_0,}$

(5.12)

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .

Пример 5.13

Найти изображение интеграла $textstyle{intlimits_{0}^{t} f(tau),dtau}$ от функции f(t)=cos t .

Решение. Из примера 5.6 следует, что $L[cos t]=frac{p}{p^2+1}=F(p)$ . Тогда

$LBiggl[intlimits_{0}^{t} costau,dtauBiggr]= L[sin t]= frac{p}{p(p^2+1)}= frac{1}{p^2+1}$ , то есть $L[sin t]= frac{1}{p^2+1}$ .

Дифференцирование изображения

Если функция f(t) является оригиналом и F(p)=L[f(t)] . то

$Lbigl[(-1)^nt^nf(t)bigr]= F^{(n)}(p).$

(5.13)

Примеры 5.14-5.15

Интегрирование изображения

Если функция $frac{f(t)}{t}$ является оригиналом, то из F(p)=L[f(t)] следует

$L! left[frac{f(t)}{t}right]= intlimits_{p}^{infty} F(z),dz,.$

(5.14)

Пример 5.16

Найти изображение функции $frac{sin t}{t}$ .

Решение. Функция $frac{sin t}{t}$ является оригиналом, так как $left|frac{sin t}{t}right|<1$ (условие “в”) и точка t=0 является точкой разрыва первого рода (условие “б”). Из примера 5.13 следует $L[sin t]=frac{1}{p^2+1}=F(p)$ .

Отсюда $L! left[frac{sin t}{t}right]= intlimits_{p}^{+infty} frac{dz}{z^2+1}= Bigl.{operatorname{arctg}z}Bigr|_{p}^{+infty}=frac{pi}{2}-operatorname{arctg}p.$ .

Умножение изображений (теорема Бореля)

Из F_1(p)=L[f_1(t)] и F_2(p)=L[f_2(t)] следует

Lbigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]= F_1(p)cdot F_2(p),

(5.15)

т.е. свертке оригиналов соответствует произведение изображений. Функция f_1(t)ast f_2(t) определяется формулой

$f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} f_1(tau)f_2(t-tau),dtau= intlimits_{0}^{t} f_1(t-tau)f_2(tau),dtau$

(5.16)

и называется сверткой оригиналов f_1(t) и f_2(t) .

Пример 5.17

Найти оригинал, соответствующий изображению $F(p)= frac{p}{(p^2+1)^2}$ .

Решение. Представим F(p) в виде произведения изображений: $F(p)= F_1(p)cdot F_2(p)= frac{1}{p^2+2}cdot frac{p}{p^2+1}$ .

Из примеров 5.6 и 5.13 следует $f_1(t)=L^{-1}! left[frac{1}{p^2+2}right]=sin t,~ f_2(t)=L^{-1}! left[frac{p}{p^2+2}right]=cos t$ .

Согласно (5.15),(5.16) получаем искомый оригинал:

$begin{aligned}L^{-1}! left[frac{p}{(p^2+1)^2}right]&= f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} sintaucos(t-tau),tau= frac{1}{2} intlimits_{0}^{t} bigl[sin t+sin(2tau-t)bigr]dtau=\ &=left.{frac{1}{2}! left(sin tcdottau-frac{1}{2}cos(2tau-t)right) }right|_{0}^{t}= frac{1}{2}! left(tsin t-frac{1}{2}cos t+frac{1}{2}cos(-t)right)= frac{t}{2}sin t.end{aligned}$

Дифференцирование свертки (интеграл Дюамеля)

10. Согласно свойствам 9 и 5 найдем преобразование Лапласа от производной свертки двух функций:

$Lleft{bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'right}= pF_1(p)cdot F_2(p).$

С другой стороны,

$bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'= frac{d}{dt} intlimits_{0}^{t} f_1(tau) f_2(t-tau),dtau= f_2(0)f_1(t)+ intlimits_{0}^{t} f'_2(tau) f_1(t-tau),dtau$

или, применяя правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, имеем

$bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'= frac{d}{dt} intlimits_{0}^{t} f_1(t-tau)f_2(tau),dtau= f_1(0)f_2(t)+intlimits_{0}^{t} f'_1(tau)f_2(t-tau),dtau,.$

Здесь при дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, применялась формула Лейбница, которая для общего случая имеет вид

$frac{d}{dlambda} intlimits_{u(lambda)}^{v(lambda)}f(x,lambda),dx= f bigl(v(lambda),lambdabigr)frac{dv}{dlambda}-f bigl(u(lambda),lambdabigr)frac{du}{dlambda}+ intlimits_{u(lambda)}^{v(lambda)} frac{partial}{partiallambda}f(x,lambda),dx,.$

Объединяя полученные результаты, можно записать:

$begin{aligned}L^{-1} bigl[pF_1(p)F_2(p)bigr]&= f_1(0)f_2(0)+ f'_1ast f_2= f_2(0)f_1(t)+ f'_2ast f_1=\ &=f_1(0)f_2(0)+ intlimits_{0}^{t}f'_1(tau)f_2(t-tau),dtau= f_2(0)f_1(t)+ intlimits_{0}^{t} f'_2(tau) f_1(t-tau),dtau,.end{aligned}$

(5.17)

Формула (5.17) называется интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля применяется для решения дифференциальных уравнений.

Пример 5.18

Найти оригиналы, соответствующие изображениям: a) $F(p)= frac{p}{(p-1)(p-2)}$ ; б) $F(p)= frac{p^3}{(p^2+1)(p^2+4)}$ .

Решение. а) Заметим, что здесь нельзя непосредственно воспользоваться теоре мой Бореля, так как в произведении $F(p)=frac{p}{p-1}cdot frac{1}{p-2}$ множитель $F_1(p)= frac{p}{p-1}$ не является изображением (не выполняется необходимое условие).

Представим изображение в виде произведения $F(p)=pcdotfrac{1}{p-1}cdot frac{1}{p-2}$ . Из примера 5.3 вытекает

$f_1(t)=L^{-1}bigl[F_1(p)bigr]= L^{-1}!left[frac{1}{p-1}right]= e^t;qquad f_2(t)= L^{-1} bigl[F_2(p)bigr]= L^{-1}! left[frac{1}{p-2}right]=e^{2t}.$

Тогда по формуле (5.17) имеем

$L^{-1} bigl[F(p)bigr]= f_1(0)f_2(t)+ f'_1ast f_2= 1cdot e^{2t}+ intlimits_{0}^{t} e^{tau}cdot e^{2(t-tau)},dtau= e^{2t}+ e^{2t} intlimits_{0}^{t} e^{-tau},dtau=-e^{t}+2e^{2t}.$

Можно решить этот пример с помощью теоремы Бореля, представив изображение в виде

$F(p)= frac{p}{(p-1)(p-2)}= frac{p-1+1}{(p-1)(p-2)}= frac{1}{p-2}+ frac{1}{p-1}cdot frac{1}{p-2},.$

Тогда, используя свойство линейности и теорему Бореля, получаем

$L^{-1}bigl[F(p)bigr]= e^{2t}+e^{t}ast e^{2t}= e^{2t}+ intlimits_{0}^{t} e^{2tau}cdot e^{t-tau},dtau= e^{2t}+ e^{t} intlimits_{0}^{t} e^{tau},dtau= e^{2t}+e^{t}(e^{t}-1)= 2e^{2t}-e^{t}.$

б) Представим изображение в виде произведения:

$F(p)= frac{p^3}{(p^2+1)(p^2+4)}= pcdot frac{p}{p^2+1}cdot frac{p}{p^2+1}= pcdot F_1(p)cdot F_2(p).$

Из примера 5.6 при a=1 и a=2 следует

$L^{-1}! left[frac{p}{p^2+1}right]=cos t=f_1(t),qquad L^{-1}! left[frac{p}{p^2+ 4}right]= cos2t= f_2(t).$

Тогда по формуле (5.17) получаем

$begin{aligned}f(t)&= L^{-1} bigl[F(p)bigr]= f_1(0)f_2(t)+ f'_1ast f_2= cos2t-intlimits_{0}^{t} sintaucos[2(t-tau)],dtau=\ &=cos2t-frac{1}{2} intlimits_{0}^{t} bigl[sin(3tau-2t)+sin(2t-tau)bigr]dtau=\ &=cos2t+ left.{frac{1}{6}cos(3tau-2t)}right|_{0}^{t}-left.{frac{1}{2} cos(2t-tau)}right|_{0}^{t}= frac{4}{3}cos2t-frac{1}{3}cos t,.end{aligned}$

Теорема о связи “начальных” и “конечных” значений оригинала и изображения

Начальное значение оригинала находится по формуле

$f(+0)= limlimits_{ptoinfty} pF(p).$

(5.18)

Если существует конечный предел $limlimits_{tto+infty} f(t)= f(+infty)$ , то

$f(+infty)= limlimits_{pto0} pF(p).$

(5.19)

Из соотношений (5.18),(5.19) следует, что для нахождения начальных и конечных значений оригинала не требуется знания оригинала, а достаточно иметь соответствующее изображение. На практике соотношение (5.19) применяется, например, для нахождения установившегося значения выходного сигнала в системах автоматического регулирования.

Пример 5.19

Найти начальное и конечное значения оригинала, которому соответствует изображение $F(p)= frac{p+1}{(p+1)^2+9}$ .

Решение. Согласно (5.18) и (5.19) имеем

$f(+0)= limlimits_{ptoinfty} frac{p(p+1)}{(p+1)^2+9}=1;qquad f(+infty)= limlimits_{pto0} frac{p(p+1)}{(p+1)^2+9}=0.$

С другой стороны, из примера 5.7 следует, что

$f(t)= L^{-1}! left[frac{p+1}{(p+1)^2+9}right]=e^{-t}cos3t,,$

поэтому легко убедиться в правильности полученного результата.

Полученные решения примеров 5.2–5.17 позволяют сформировать таблицу преобразования Лапласа. Табл. 5.1 является фрагментом более полных таблиц, используемых далее при решении примеров и задач.

Нахождение изображения по оригиналу

Для нахождения изображения требуется применить свойства преобразования Лапласа Так, чтобы к функции или ее составляющим можно было применить результаты, содержащиеся в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Таблица основных преобразований Лапласа

Посмотреть

Пример 5.21

Найти изображения функций:

a) $f(t)=t,e^{2t}sin3t$ ; б) $f(t)=frac{2}{t}(1-cos t)$ ;

в) $f(t)=begin{cases}cos[4(t-2)],&t>3,\ 0,&t leqslant 2;end{cases}$ ; г) $f(t)= begin{cases}e^{-3t}cos[4(t-2)],& t>2,\ 0,& t leqslant 2;end{cases}$ ;

д) $f(t)= frac{1}{2}(t-2)^2e^{-(t-2)}boldsymbol{1}(t-2)$ ; е) $f(t)= e^{2t}+ boldsymbol{1}(t-1)+ boldsymbol{1}(t-4)sin[3(t-4)]$ ;

ж) $intlimits_{0}^{t} frac{operatorname{sh}tau}{tau},dtau$ ; з) f(t)= cos(4t-8) .

Решение

а) Согласно формуле 12 из табл. 5.1 $L bigl[e^{2t}sin3tbigr]= frac{3}{(p-2)^2+9}$ . По свойству дифференцирования изображения (формула (5.13) при n=1 ):

L bigl[(-1)tf(t)bigr]=F'(p) или L bigl[tf(t)bigr]=-F'(p) .

Поэтому $Lbigl[t,e^{2t}sin3tbigr]=-left[frac{3}{(p-2)^2+9}right]'=-frac{-2(p-2)cdot3}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}= frac{6(p-2)}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}$ .

Можно решать иначе, используя формулу 10 из табл. 5.1 при а = 3 и свойство смещения при a=2colon

$L bigl[tsin3tbigr]= frac{6p}{(p^2+9)^2}$ и $L bigl[t,e^{2t}sin3tbigr]= frac{6(p-2)}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}$ .

б) Применим свойства линейности и интегрирования изображения. Так как $L[1-cos t]=frac{1}{p}-frac{p}{p^2+1}$ в силу формул 1 и 9 из табл. 5.1 , то согласно (5.14)

$L! left[frac{2}{t}(1-cos t)right]= 2 intlimits_{p}^{+infty}! left(frac{1}{z}-frac{z}{z^2+1}right)!dz= ldots= lnfrac{p^2+1}{p^2},.$

в) По формуле 9 из табл. 5.1 $L[cos4t]= frac{p}{p^2+16}$ . Функцию fit) можно записать, используя единичную ступенчатую функцию: f(t)= cos[4(t-2)]cdot boldsymbol{1}(t-2) . Поэтому для нахождения изображения следует применить теорему запаздывания (5.9) к оригиналу cos4t при tau=2colon

$L bigl[cos[4(t-2)]bigr]= e^{-2p}cdot frac{p}{p^2+16},.$

г) Согласно теореме смещения (5.8) и с учетом результата п. “в” имеем

$L bigl[e^{-3t}cos[4(t-2)]bigr]= e^{-2(p+3)}cdot frac{p+3}{(p+3)^2+16}$ , так как a=-3 .

д) По теореме запаздывания (5.9) при tau=2 и по формуле 7 из табл. 5.1 при a=2,~ b=-1 получаем

$L! left[frac{1}{2}(t-2)^2e^{-(t-2)} boldsymbol{1}(t-2)right]= e^{-2p}cdot L! left[frac{1}{2},t^2e^{-t}right]= e^{-2p}cdot frac{1}{2}cdot frac{2!}{(p+1)^3}= frac{e^{-2p}}{(p+1)^3},.$

е) Используя свойства линейности, запаздывания и формулы 6,1,8 из табл. 5.1, получаем

$F(p)= frac{1}{p-2}+ frac{1}{p},e^{-p}+ e^{-4p}cdot frac{3}{p^2+9},.$

ж) По формуле 19 из табл. 5.1 находим $L[operatorname{sh}t]=frac{1}{p^2-1}$ . По свойству интегрирования изображения (формула (5.14)):

$L! left[frac{operatorname{sh}t}{t}right]= intlimits_{p}^{+infty} frac{dz}{z^2-1}= left.{frac{1}{2}ln frac{z-1}{z+1}}right|_{p}^{+infty}= ldots=-frac{1}{2} ln frac{p-1}{p+1}= frac{1}{2}ln frac{p+1}{p-1},.$

По свойству интегрирования оригинала (5.12): $L Biggl[intlimits_{0}^{t} frac{operatorname{sh}tau}{tau},dtauBiggr]= frac{1}{2p}ln frac{p+1}{p-1}$ .

з) Используем формулу косинуса разности и запишем оригинал в виде суммы:

f(t)= cos(4t-8)= cos4tcos8+sin4tsin8

По свойству линейности получаем:

$L bigl[cos(4t-8)bigr]= cos8cdot frac{p}{p^2+16}+ sin8cdot frac{4}{p^2+16}= frac{pcos8+4sin8}{p^2+16},.$

Заметим, что здесь f(t)=f(t)cdot boldsymbol{1}(t) и результаты пп. “в” и “з” различны так как оригиналами являются разные функции.

Нахождение изображений функций, заданных графиком

При решении прикладных задач оригинал часто задан графиком. Это может быть, например, входной сигнал, действующий на систему автоматической регулирования. В этом случае рекомендуется сначала записать аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции (5.4), привести полученное выражение к виду, удобному для применения табл. 5.1 и свойстве преобразования Лапласа.

Пример 5.22

Найти изображения функций, заданных графиками на рис. 5.5.

Решение.

рис. 5.5.

а) Представим функцию в виде f(t)=(1-t)cdot boldsymbol{1}(t-1)=-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1) .

По формуле 3 из табл.5.1 и теореме запаздывания (формула (5.9) при tau=1 )

$F(p)=-frac{1}{p^2}cdot e^{-p}.$

б) Запишем функцию в виде f(t)=(1-t) bigl[boldsymbol{1}(t)+boldsymbol{1}(t-1)bigr]=(1-t)cdot boldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1) .

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем $F(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p^2}+frac{e^{-p}}{p^2}$ .

в) Запишем изображенную функцию в виде f(t)=-tcdot boldsymbol{1}(t-1)= (-t+1-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)=-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1) .

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем $F(p)=-frac{e^{-p}}{p^2}-frac{e^{-p}}{p}$ .

г) Представим функцию в виде

$begin{aligned}f(t)&= (t-1)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (3-t)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-3)bigr]=\ &=(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-2(t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3). end{aligned}$

По формулам 3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем $F(p)= frac{e^{-p}}{p^2}-frac{2e^{-2p}}{p^2}+frac{e^{-3p}}{p^2}$ .

д) Запишем функцию в форме

$begin{aligned}f(t)&= t bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]+ bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (3-t)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-3)bigr]=\[2pt] &=tcdotboldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2),+\ &quad+(2-t)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ boldsymbol{1}(t-2)-(3-t)cdot boldsymbol{1}(t-3)=\[2pt] &=tcdot boldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-(t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3). end{aligned}$

По формулам З из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) $F(p)=frac{1}{p^2}-frac{e^{-p}}{p^2}-frac{e^{-2p}}{p^2}+frac{e^{-3p}}{p^2}$ .

е) Представим изображенную функцию в виде

$begin{aligned}f(t)&= (1-t) bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]-1cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-2)=\[2pt] &=(1-t)cdotboldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdotboldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+ boldsymbol{1}(t-2)+ (t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-2)=\[2pt] &=(1-t)cdotboldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdotboldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+ (t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2).end{aligned}$

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) $F(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p^2}+frac{1}{p^2},e^{-p}-frac{1}{p},e^{-p}+frac{1}{p^2},e^{-2p}$ .

ж) Запишем функцию в форме f(t)= sin tcdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-pi)bigr]= sin tcdotboldsymbol{1}(t)+ sin(t-pi)cdot boldsymbol{1}(t-pi) .

По формуле 8 из табл. 5.1 и по теореме запаздывания $F(p)= frac{1}{p^2+1}+ frac{e^{pi p}}{p^2+1}$ .

з) Представим функцию в виде $f(t)= e^{-t} bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]= e^{-t}cdotboldsymbol{1}(t)-frac{e^{-(t-1)}}{e}cdot boldsymbol{1}(t-1).$ .

По формуле 6 из табл. 5.1 при a=-1 и (5.9) при tau=1 имеем

$F(p)= frac{1}{p+1}-frac{1}{e}cdot frac{e^{-p}}{p+1}= frac{1}{p+1}bigl(1-e^{-p-1}bigr).$

и) Представим функцию в виде f(t)=1cdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]-1cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]= boldsymbol{1}(t)-2cdot boldsymbol{1}(t-1)+boldsymbol{1}(t-2). .

Используя формулы 2 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9), получаем $F(p)=frac{1}{p}-frac{2}{p}e^{-p}+ frac{1}{p},e^{-2p}$ .

Нахождение изображений периодических функций

Во многих приложениях используются оригиналы, являющиеся периодическими функциями.

Пусть f(t) — оригинал с периодом (рис. 5.6,в), образованный повторением функции f_0(t) (рис. 5.6,б):

$f_0(t)= begin{cases}0,& tleqslant 0,\ f(t),& 0<tleqslant T,\ 0,& t>T.end{cases}$ рис. 5.6,

Для нахождения изображения F(p) периодической функции f(t) следует:
1. Найти изображение функции f_0(t)colon, F_0(p)=Lbigl[f_0(t)bigr] .
2. Найти изображение F(p) по формуле

$F(p)= frac{F_0(p)}{1-e^{-Tp}}$

(5.20)

Пример 5.23.

Найти изображения функций, представленных на рис. 5.7.
Решение

рис. 5.7.

а) По графику (рис. 5.7,в) получаем

$f_0(t)= tcdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]= 1cdot boldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1).$

Поэтому $F_0(p)= frac{1}{p^2}-frac{1}{p^2},e^{-p}-frac{1}{p},e^{-p}$ .

Поскольку T=1 , по формуле (5.20) находим

$F(p)= frac{dfrac{1}{p^2}(1-e^{-p}-pe^{-p})}{1-e^{-p}}= frac{e^p(1-e^{-p}-pe^{-p})}{p^2(e^p-1)}= frac{e^p-1-p}{p^2(e^p-1)},.$

б) По графику (рис. 5.7,б) имеем $f_0(t)= boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-tau)$ , тогда $F_0(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p},e^{-ptau}$ . По формуле (5.20) при T=2tau имеем

$F(p)= frac{1}{p}(1-e^{-ptau})frac{1}{1-e^{-2tau p}}= frac{1}{p(1+e^{-ptau})},.$

в) Функция, изображенная на рис. 5.7,в , имеет период T=2c . Запишем аналитическое выражение для f_0(t) и соответствующее изображение F_0(p)colon

$begin{aligned}&f_0(t)= h bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-c)bigr]-h bigl[boldsymbol{1}(t-c)-boldsymbol{1}(t-2c)bigr]= hcdotboldsymbol{1}(t)-2hcdot boldsymbol{1}(t-c)+hcdot boldsymbol{1}(t-2c),\ &F_0(p)= frac{h}{p}-frac{2h}{p},e^{-pc}+frac{h}{p},e^{-2pc}.end{aligned}$

По формуле (5.20) получаем $F(p)=frac{h(1+e^{-2pc}-2e^{-pc})}{p(1-e^{2pc})}$ .

г) Для функции, изображенной на рис. 5.7,г, изображением для f_0(t) является $F_0(p)= frac{1}{p^2+1}(1+e^{-pi p})$ (см. пример 5.22 п.”ж”). Тогда по формуле (5.20) при T=pi получаем $F(p)= frac{1+e^{-pi p}}{(p^2+1)(1-e^{-pi p})}$ .

Нахождение оригинала по изображению

Непосредственное применение формулы обращения (5.3) затруднительно, поэтому для нахождения оригинала применяются теоремы разложения и правила преобразования изображения к виду, представленному в табл. 5.1.

Применение теорем разложения

Теорема 5.1 (первая теорема разложения). Если функция F(p) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням $frac{1}{p}$ имеет вид $textstyle{F(p)= sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{a_n}{p^{n+1}}}$ , то функция (5.21) является оригиналом, соответствующим изображению F(p) .

$f(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} a_n frac{t^n}{n!},quad tgeqslant0$

(5.21)

Теорема 5.2 (вторая теорема разложения). Если изображение F(p) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек p_1,p_2,ldots,p_n лежащих в конечной части плоскости, то

$f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} bigl[e^{pt}F(p)bigr].$

(5.22)

Замечания 5.5

1. Формула (5.21) может быть записана в виде $textstyle{L^{-1}! left[sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{a_n}{p^{n+1}}right]= sumlimits_{n=0}^{infty}a_nL^{-1}! left[dfrac{1}{p^{n+1}}right]}$ . Задача нахождения оригинала при выполнении условий теоремы сводится к нахождению коэффициентов разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

2. Формула (5.22) принимает наиболее простой вид в случае F(p)=R(p) — рационального изображения, т.е. $F(p)= R(p)= frac{P_m(p)}{Q_n(p)}$ , где P_m(p),,Q_n(p) — многочлены степеней /пил соответственно, не имеющие общих корней. Если все полюсы p_1,p_2,ldots,p_n функции F(p) простые, то по формуле (4.24) получаем $mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}$ , а формула (5.22) принимает вид

$f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}.$

(5.23)

3. Если при выполнении условий п.2 коэффициенты многочлена Q_n(p) — лействительные числа, то его комплексные корни, как известно, являются по парно сопряженными. Нахождение суммы вычетов в таких точках можно заме нить нахождением действительной части вычета в одной из них. Действительио, вычет в точке $overline{p}_k$ , используя свойства сопряженных чисел, можно записать следующим образом:

$mathop{operatorname{res}}limits_{p=overline{p}_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= frac{P_m(overline{p}_k)}{Q'_n(overline{p}_k)},e^{overline{p}_kt}= frac{overline{P_m(p_k)}}{overline{Q'_n(p_k)}},e^{overline{p_kt}}= overline{frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}}.$

Это означает, что вычет в точке $overline{p}_k$ есть число, сопряженное вычету в точке p_k , а сумма таких чисел равна их удвоенной действительной части:

$mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=overline{p}_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= 2 operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}.$

Пример 5.24

Найти оригиналы для функций:

a) $F_1(p)=frac{1}{p}exp frac{1}{p^2},quad F_2(p)=frac{1}{p}cos frac{1}{p},quad F_2(p)= frac{1}{sqrt{p}}sin frac{1}{sqrt{p}}$ ;

б) $F_1(p)=frac{p}{p^2+4p+5},quad F_2(p)=frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)},quad F_3(p)=frac{p^2+p+1}{(p-1)(p+1)^2}$ .

Решение. В случае “а” для решения задачи используем теорему 5.1, а в случае “б” — теорему 5.2.

а) Используем типовые разложения

$e^z=sumlimits_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!},qquad cos z=sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},qquad sin z=sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},.$

Для заданных изображений получаем:

$begin{aligned}F_1(p)&= frac{1}{p} sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{p^{2n}n!}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{p^{2n+1}n!},quad a_{2n}=frac{1}{n!},;\[2pt] F_2(p)&= frac{1}{p} sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{p^{2n}(2n)!}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{p^{2n+1}(2n)!},quad a_{2n}= frac{(-1)^n}{(2n)!},;\[2pt] F_3(p)&= frac{1}{sqrt{p}} sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{sqrt{p^{2n+1}}(2n+1)!}= sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n+1)!p^{n+1}},quad a_n= frac{(-1)^n}{(2n+1)!},.end{aligned}$

Согласно первой теореме разложения

$f_1(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{n!}frac{t^{2n}}{(2n)!},,qquad f_2(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nt^{2n}}{[(2n)!]^2},,qquad f_3(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nt^n}{(2n+1)!n!},.$

б) Представим F_1(p) в виде

$F_1(p)= frac{p}{p^2+4p+5}= frac{P_1(p)}{Q_2(p)}= frac{p}{bigl[p-(-2+i)bigr] bigl[p-(-2-i)bigr]},.$

где p_1=-2+i,~ p_2=-2-i — простые полюсы функции F(p) . По второй теореме разложения

$begin{aligned}f_1(t)&= sumlimits_{k=1}^{2}frac{P_1(p_k)}{Q'_2(p_k)},e^{p_kt}= sumlimits_{k=1}^{2} frac{p_k}{2p_k+4},e^{p_kt}= frac{-2+i}{-4+2i+4},e^{(-2+i)t}+ frac{-2-i}{-4-2i+4},e^{(-2-i)t}=\ &=e^{-2t}! left(frac{-2+i}{2i},e^{it}+frac{2+i}{2i},e^{-it}right)= e^{-2t}! left(frac{e^{it}+e^{-it}}{2}-2cdotfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}right)= e^{-2t} bigl[cos t-2sin tbigr]. end{aligned}$

Тот же результат можно получить, пользуясь пп. 2 и 3 замечаний 5.5:

$begin{aligned}f_1(t)&= 2 operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=-2+i} frac{p,e^{pt}}{p^2+4p+5}= left.{2 operatorname{Re} frac{p,e^{pt}}{2p+4}}right|_{-2+i}= 2 operatorname{Re} frac{-2+i}{2i},e^{(-2+i)t}=\ &=2 operatorname{Re}! left[e^{-2t}, frac{1+2i}{2},e^{it}right]= operatorname{Re} bigl[e^{-2t}(1+2i)(cos t+isin t)bigr]= e^{-2t}(cos t-2sin t). end{aligned}$

Функция F_2(p) имеет четыре простых полюса: p_1=-1,~ p_2=2,~ p_3=2i .

Так как вычет в простом полюсе находится по формуле $mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} F(p)= limlimits_{pto p_k} F(p)(p-p_k)$ , то по второй теореме разложения

$begin{aligned}f_2(t)&= sumlimits_{k=1}^{4} mathop{operatorname{res}}limits_{p_k} bigl[F(p)e^{pt}bigr]= limlimits_{pto-1} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-2)(p^2+4)}+ limlimits_{pto2} frac{(p+2)e^{pt}}{(p+1)(p^2+4)},+\ &qquad + limlimits_{pto2i} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-1)(p+1)(p+2i)}+ limlimits_{pto-2i} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-1)(p+1)(p-2i)}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}+frac{2+2i}{8-24i},e^{2it}+ frac{2-2i}{8+24i},e^{-t}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}+frac{-32+64i}{640},e^{2it}+ frac{-32-64i}{640},e^{-t}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}-frac{64}{640}cdot frac{e^{2it}+e^{-2it}}{2}-frac{128}{640}cdot frac{e^{2it}-e^{-2it}}{2i}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}-frac{1}{10}cos2t-frac{1}{5}sin2t,.end{aligned}$

Функция F_3(p) имеет два полюса: простой p_1=1 и полюс второго порядка p_2=-1 .

По второй теореме разложения $f_3(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p_1=1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p_2=-1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}$ . Находим вычеты

$begin{aligned}mathop{operatorname{res}}limits_{p_1=1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}&= limlimits_{pto1} frac{(p^2+p+1)(p-1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}= limlimits_{pto1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p+1)^2}= frac{3}{4},e^{t},\[2pt] mathop{operatorname{res}}limits_{p_2=-1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}&= limlimits_{pto-1} frac{d}{dp}! left[frac{(p^2+p+1)e^{pt}(p+1)^2}{(p-1)(p+1)^2}right]= ldots= frac{1}{4},e^{-t}-frac{t}{2},e^{-t}, end{aligned}$

получаем окончательный ответ $f_3(t)= frac{3}{4},e^{t}+frac{1}{4},e^{-t}-frac{t}{2},e^{-t}$ .

Применение таблицы и свойств преобразования Лапласа

Приведем ряд известных приемов нахождения оригинала.

1. Если изображение отличается от табличного на постоянный множитель, то его следует умножить и одновременно поделить на этот множитель, а затем воспользоваться свойством линейности.

Пример 5.25

2. Изображение, заданное в виде дроби $frac{apm b}{c}$ , разлагается на сумму дробей.

Пример 5.26

Найти оригинал для функций: а) $F(p)= frac{3p}{(p+5)^2}$ ; б) $F(p)= frac{3p-2}{(p+5)^2}$ ; в) $F(p)= frac{p^3+2p+2}{p^3(p+1)}$ .

Решение. Представим дроби в виде суммы двух слагаемых, а затем воспользуемся свойством линейности и формулами из табл. 5.1:

а) $F(p)= frac{3(p+5)-15}{(p+5)^2}= 3cdotfrac{1}{p+5}-15cdot frac{1}{(p+5)^2}quad Rightarrowquad f(t)=3e^{-5t}-15te^{-5t}$ ;

б) $F(p)= 3cdot frac{p}{(p+5)^2}-frac{2}{1!}cdot frac{1!}{(p+5)^2}quad Rightarrowquad f(t)= 3(1-5t)e^{-5t}-2te^{-5t}= e^{-5t}(3-17t)$ .

в) представим F(p) в виде $F(p)= frac{p^3+2p+2}{p^3(p+1)}= frac{p^3+2(p+ 1)}{p^3(p+1)}= frac{2}{p^3}+ frac{1}{p+1}$ . По формулам 4,6 из табл. 5.1 находим $f(t)= t^2+e^{-t}$ .

3. Если знаменатель дроби содержит квадратный трехчлен, то в нем выде ляется полный квадрат: ap^2+bp+c= a(ppmalpha)^2pmomega^2 . При этом числитель дроби представляется в виде многочлена от .

Пример 5.27

Найти оригиналы для функций: a) $F(p)=frac{3}{p^2+4p+7}$ ; б) $F(p)= frac{3p+2}{2p^2-8p+6}$ .

Решение. а) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и воспользуемся табл. 5.1 (по формуле 12 из табл. 5.1 при a=-2,~ b=sqrt{3} ):

$F(p)= frac{3}{(p+2)^2-4+7}= frac{3}{(p+2)^2+3}= sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{(p+2)^2+(sqrt{3})^2}quad Rightarrowquad f(t)=sqrt{3},e^{-2t}sin(t sqrt{3}).$

б) Используем представление

$F(p)= frac{3p+2}{2(p^2-4p+3)}= frac{1,!5p+1}{(p-2)^2-1}= frac{1,!5(p-2)+3}{(p-2)^2-1}+ frac{1}{(p-2)^2-1}= 1,!5cdotfrac{p-2}{(p-2)^2-1}+4cdot frac{1}{(p-2)^2-1},.$

По формулам 19,20 из табл. 5.1 и по теореме смещения (формула (5.8))

$f(t)=frac{3}{2},e^{2t}operatorname{ch}t+ 4e^{2t}operatorname{sh}t= frac{3}{2},e^{2t},frac{e^t+e^{-t}}{2}+ 4e^{2t},frac{e^t-e^{-t}}{2}= frac{11}{4},e^{3t}-frac{5}{4},e^{t}.$

Можно решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24):

$begin{gathered}F(p)= frac{3p+2}{2(p^2-4p+3)}= frac{3p+2}{2(p-1)(p-3)}\ Downarrow\ f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=3} F(p)e^{pt}= frac{5e^t}{2cdot(-2)}+ frac{11e^{3t}}{2cdot2}= frac{11}{4},e^{3t}-frac{5}{4},e^{t}.end{gathered}$

4. Если оригинал представляет собой правильную рациональную дробь, то следует разложить ее на простейшие дроби и для каждой из полученных дробей найти оригинал.

Примеры 5.28-5.29

Пример 5.28. Найти оригиналы для функций:

а) $F(p)=frac{3p^2+3p-13}{p(p^4+4p+13)}$ ; б) $F(p)=frac{p}{(p+2)^2(p-1)}$ ; в) $F(p)=frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}$ ; г) $F(p)=frac{3p}{2p^2-2p-4}$ .

Решение. а) Представим F(p) в виде $F(p)=frac{3p^2+3p-13}{p(p^4+4p+13)} = frac{A}{p}+ frac{Bp+C}{p^2+4p+13}$ , где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Отсюда следует равенство 3p^2+3p-13= Ap^2+4Ap+13A+Bp^2+Cp .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов:

$begin{cases}A+B=3,\ 4A+C=3,\ 13A=-13.end{cases}$ Решая ее, получаем A=-1,~B=4,~C=7 и

$F(p)=-frac{1}{p}+frac{4p+7}{p^2+4p+13}=-frac{1}{p}+ frac{4(p+2)-1}{(p+2)^2+9}=-frac{1}{p}+4cdot frac{p+2}{(p+2)^2+3^2}-frac{1}{3}cdot frac{3}{(p+2)^2+3^2},.$

По формулам 1,12,13 из табл. 5.1 $f(t)=-1+4e^{-2t}cos3t-frac{1}{3},e^{-2t}sin3t$ .

б) Представим F(p) в виде $F(p)= frac{p}{(p+2)^2(p-1)}= frac{A}{p-1}+ frac{B}{p+2}+ frac{C}{(p+2)^2}$ , где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Отсюда A(p+2)^2+ B(p-1)(p+2)+ C(p-1)=p .

Подставляя последовательно p=1,~p=-2,~ p=0 , получаем $A=frac{1}{9},~ B=frac{2}{3},~ C=-frac{1}{9}$ и поэтому

$F(p)=frac{1}{9}cdot frac{1}{p-1}-frac{1}{9}cdot frac{1}{p+2}+ frac{2}{3}cdot frac{1}{(p+2)^2},.$

По формулам 6,7 из табл. 5.1 находим $frac{1}{9},e^{t}-frac{1}{9},e^{-2t}+ frac{2}{3},t,e^{-2t}.$ .

в) Представим изображение в виде $F(p)=frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}= frac{A}{p-1}+ frac{B}{p+2}+ frac{C}{p-3}$ . Отсюда

A(p+2)(p-3)+ B(p-1)(p-3)+ C(p-1)(p+2)= p^2+4.

При p=1,~p=-2,~p=3 получаем $A=-frac{5}{6},~ B=frac{8}{15},~ C=frac{13}{10}$ , поэтому

$F(p)=-frac{5}{6}cdot frac{1}{p-1}+ frac{8}{15}cdot frac{1}{p+2}+ frac{13}{10}cdot frac{1}{p-3},.$

По свойству линейности и по формуле 6 из табл. 5.1 получаем

$f(t)=-frac{5}{6},e^{t}+ frac{8}{15},e^{-2t}+ frac{13}{10},e^{3t}.$

Можно решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24):

$begin{gathered}F(p)= frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}\ Downarrow\ begin{aligned}f(t)&= mathop{operatorname{res}}limits_{p=1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=-2} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=3} F(p)e^{pt}=\ &= frac{5e^t}{3cdot(-2)}+ frac{8e^{-2t}}{(-3)cdot(-5)}+ frac{13e^{3t}}{2cdot5}=-frac{5}{6},e^t+ frac{8}{15},e^{-2t}+ frac{13}{10},e^{3t}.end{aligned}end{gathered}$

г) Представим F(p) в виде $F(p)= frac{3p}{2p^2-2p-4}= frac{3p}{2(p-2)(p+1)}= frac{A}{p-2}+ frac{B}{p+1}$ , где A,,B — неопределенные коэффициенты.

Из равенства $A(p+1)+B(p-2)=frac{3p}{2}$ при p=-1,~p=2 получаем $A=1,~ B=frac{1}{2}$ , поэтому $F(p)=frac{1}{p-2}+ frac{1}{2}cdot frac{1}{p+1}$ .

По формуле 6 из табл. 5.1 имеем $f(t)=e^{2t}+frac{1}{2},e^{-t}$ .

Можно также решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24 и п. “в” данного примера):

$begin{gathered}F(p)= frac{3p}{2(p^2-p-2)}= frac{3p}{2(p+1)(p-2)}\ Downarrow\ f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=-1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=2} F(p)e^{pt}= frac{-3e^{-t}}{2cdot(-3)}+ frac{6e^{2t}}{2cdot3}= e^{2t}+frac{1}{2},e^{-t}. end{gathered}$

Пример 5.29. Найти оригиналы для функций: a) $F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}$ ; б) $F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}$ .

Решение. а) Решим пример различными способами.

Первый способ. Воспользуемся разложением дроби на элементарные:

$F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}= frac{2}{p}+ frac{1}{p^2}-frac{2}{p-1}+ frac{1}{(p-1)^2},.$

По формулам 2,3,6,7 из табл. 5.1 получаем f(t)=2+t-2e^t+te^t .

Второй способ. Применим вторую теорему разложения, учитывая, что p_1=0 и p_2=1 — полюсы второго порядка функции F(p)colon

$begin{aligned} f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=0}F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=1}F(p)e^{pt}= limlimits_{pto0} frac{d}{dp}! left[frac{p^2e^{pt}}{p^2(p-1)^2}right]+ limlimits_{pto1} frac{d}{dp}! left[frac{(p-1)^2e^{pt}}{p^2(p-1)^2}right]= ldots= t+2+te^t-2e^t.end{aligned}$

Третий способ. Обозначим $F_1(p)= frac{1}{(p-1)^2}$ . Тогда f_1(t)=t,e^t . Рассмотрим функцию $F_2(p)= frac{1}{p}F_1(p)$ . По свойству интегрирования оригинала (формула (5.12)) получаем

$f_2(t)= intlimits_{0}^{t}tau,e^{tau},dtau= Bigl.{tau,e^{tau}}Bigr|_{0}^{t}-Bigl.{e^{tau}}Bigr|_{0}^{t}= t,e^t-e^t+1.$

Заметим, что $F(p)= frac{1}{p}F_2(p)$ . Применяя еще раз свойство интегрирования оригинала, имеем

$f(t)= intlimits_{0}^{t}(tau,e^{tau}-e^{tau}+1)dtau= ldots= t,e^t-2e^t+2+t.$

Четвертый способ. Представим изображение в виде произведения

$F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}= frac{1}{p^2}cdot frac{1}{(p-1)^2}= F_1(p)cdot F_2(p)$ , где $F_1(p)=frac{1}{p^2},~~ F_2(p)=frac{1}{(p-1)^2}$ .

По формулам 3 и 7 из табл. 5.1 f_1(t)=t,~ f_2(t)=t,e^t . Далее по теореме Бореля (формула (5.15))

$f(t)= f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t}tau,e^{tau}(t-tau)dtau= ldots= t,e^t-2e^t+2+t.$

б) Решим пример также несколькими способами.

Первый способ. Воспользуемся разложением дроби на элементарные:

$F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}= frac{p[p^2+4-(p^2+1)]}{3(p^2+1)(p^2+4)}= frac{1}{3}cdot frac{p}{p^2+1}-frac{1}{3}cdot frac{p}{p^2+4},.$

По формуле 9 из табл. 5.1 получаем $f(t)= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t$ .

Второй способ. Применим вторую теорему разложения с учетом пп. 2,3 замечаний 5.5:

$f(t)= 2operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=i} frac{p,e^{pt}}{(p^2+1)(p^2+4)}+ 2operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=2i} frac{p,e^{pt}}{(p^2+1)(p^2+4)}= ldots= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.$

Третий способ. Представим изображение в виде произведения:

$F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}= frac{p}{p^2+4}cdot frac{1}{p^2+1}= F_1(p)cdot F_2(p).$

Отсюда $f_1(t)= L^{-1}! left[frac{p}{p^2+4}right]=cos2t,~ f_2(t)= L^{-1}! left[frac{1}{p^2+1}right]= sin t$ . По теореме Бореля

$f(t)=f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} cos2tausin(t-tau)dtau= ldots= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.$

Четвертый способ. Используем формулу 37 из табл. 5.1. При a=1,~b=2 получаем

$f(t)=frac{cos2t-cos t}{1-4}= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Символы со сходным начертанием: L · Ⅼ · Լ · լ · ւ

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $f(x)$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение[править | править код]

Прямое преобразование Лапласа[править | править код]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной $f(t)$ называется функция $F(s)$ комплексной переменной $s=sigma +iomega$ ^[1], такая что:

$F(s)={mathcal {L}}left{f(t)right}=int limits _{0}^{infty }e^{{-st}}f(t),dt.$

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию $f(t)$ называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию $F(s)$ называют изображением функции $f(t)$ .

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: ${displaystyle f(t)risingdotseq F(s)}$ и ${displaystyle F(s)fallingdotseq f(t)}$ , причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа[править | править код]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного $F(s)$ называется функция $f(t)$ вещественной переменной, такая что:

${displaystyle f(t)={mathcal {L}}^{-1}{F(s)}={frac {1}{2pi i}}lim _{omega rightarrow infty }int limits _{sigma _{1}-iomega }^{sigma _{1}+iomega }e^{st}F(s),ds,}$

где $sigma _{1}$ — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича^[2].

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции $f(x)$ участвуют значения $x<0$ .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

$F(s)={mathcal {L}}{f(x)}=int limits _{{-infty }}^{{+infty }}e^{{-sx}}f(x),dx.$

Дискретное преобразование Лапласа[править | править код]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают $D$ -преобразование и $Z$ -преобразование.

$D$ -преобразование

Пусть $x_{d}(t)=sum limits _{{n=0}}^{infty }x(nT)cdot delta (t-nT)$ — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени $nT$ , где $n$ — целое число, а $T$ — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

${mathcal {D}}{x_{d}(t)}=sum limits _{{n=0}}^{infty }x(nT)cdot e^{{-snT}}.$

$Z$ -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

$z=e^{{sT}},$

получим $Z$ -преобразование:

${mathcal {Z}}{x_{d}(t)}=sum limits _{{n=0}}^{infty }x(nT)cdot z^{{-n}}.$

Свойства и теоремы[править | править код]

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при $sigma =sigma _{0}$ , то есть существует предел

$lim _{{bto infty }}int limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-sigma _{0}x}},dx=int limits _{0}^{infty }|f(x)|e^{{-sigma _{0}x}},dx,$

то он сходится абсолютно и равномерно для $sigma geqslant sigma _{0}$ и $F(s)$ — аналитическая функция при $sigma geqslant sigma _{0}$ ( $sigma ={mathrm {Re}},s$ — вещественная часть комплексной переменной $s$ ). Точная нижняя грань $sigma _{a}$ множества чисел $sigma$ , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции $f(x)$ .

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа ${mathcal {L}}{f(x)}$ существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

$sigma geqslant 0$ : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл $int limits _{0}^{infty }|f(x)|,dx$ ;
$sigma >sigma _{a}$ : преобразование Лапласа существует, если интеграл $int limits _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|,dx$ существует для каждого конечного $x_{1}>0$ и $|f(x)|leqslant Ke^{{sigma _{a}x}}$ для $x>x_{2}geqslant 0$ ;
$sigma >0$ или $sigma >sigma _{a}$ (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции $f'(x)$ (производная от $f(x)$ ) для $sigma >sigma _{a}$ .

Примечание: это достаточные условия существования.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

Если изображение $F(s)$ — аналитическая функция для $sigma geqslant sigma _{a}$ и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём ${mathcal {L}}^{{-1}}{F(s)}=0$ для $tleqslant 0$ .
Пусть $F(s)=varphi [F_{1}(s),;F_{2}(s),;ldots ,;F_{n}(s)]$ , так что $varphi (z_{1},;z_{2},;ldots ,;z_{n})$ аналитична относительно каждого $z_{k}$ и равна нулю для $z_{1}=z_{2}=ldots =z_{n}=0$ , и $F_{k}(s)={mathcal {L}}{f_{k}(x)};;(sigma >sigma _{{ak}}colon k=1,;2,;ldots ,;n)$ , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

${mathcal {L}}{f(x)*g(x)}={mathcal {L}}{f(x)}cdot {mathcal {L}}{g(x)}.$

Доказательство

Для свёртки

${displaystyle (f*g)(x)=int _{0}^{infty }dy,f(x-y)g(y)}$

Преобразование Лапласа:

${displaystyle {mathcal {L}}left{(f*g)(x)right}=int _{0}^{infty }dx,e^{-sx}int _{0}^{infty }dy,f(x-y)g(y)}$

Для новой переменной ${displaystyle t=x-y,;x=t+y}$

${displaystyle {mathcal {L}}left{(f*g)(x)right}=int _{0}^{infty }dt,e^{-s(t+y)}int _{0}^{infty }dy,f(t)g(y)=int _{0}^{infty }dt,e^{-st}f(t)int _{0}^{infty }dy,e^{-sy}g(y)={mathcal {L}}left{f(x)right}cdot {mathcal {L}}left{g(x)right}}$

■

Умножение изображений

$f(x)g(0)+int limits _{0}^{x}f(x-tau )g'(tau ),dtau =sF(s)G(s).$

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

${mathcal {L}}{f'(x)}=scdot F(s)-f(0^{+}).$

В более общем случае (производная $n$ -го порядка):

${displaystyle {mathcal {L}}{f^{(n)}(x)}=s^{n}cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n-1)}(0^{+}).}$

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

${mathcal {L}}left{int limits _{0}^{x}f(t),dtright}={frac {F(s)}{s}}.$

Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

${mathcal {L}}^{{-1}}{F'(s)}=-xf(x).$

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

${mathcal {L}}^{{-1}}left{int limits _{s}^{{+infty }}F(s),dsright}={frac {f(x)}{x}}.$

Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

${mathcal {L}}{e^{{ax}}f(x)}=F(s-a);$

${mathcal {L}}^{{-1}}{F(s-a)}=e^{{ax}}f(x).$

Запаздывание оригинала:

${mathcal {L}}{f(t-a)H(t-a)}=e^{{-as}}F(s);$

${mathcal {L}}^{{-1}}{e^{{-as}}F(s)}=f(x-a)H(x-a).$

где $H(x)$ — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

$f(infty )=lim _{{sto 0}}sF(s)$ , если все полюсы функции ${displaystyle sF(s)}$ находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Другие свойства

Линейность:

${mathcal {L}}{af(x)+bg(x)}=aF(s)+bG(s).$

Умножение на число:

${mathcal {L}}{f(ax)}={frac {1}{a}}Fleft({frac {s}{a}}right).$

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править | править код]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область $x(t)={mathcal {L}}^{{-1}}{X(s)}$	Частотная область $X(s)={mathcal {L}}{x(t)}$	Область сходимости для причинных систем
1	дельта-функция	$delta (t)$	$1$	$forall s$
1a	запаздывающая дельта-функция	$delta (t-tau )$	$e^{{-tau s}}$
2	запаздывание $n$ -го порядка с частотным сдвигом	${frac {(t-tau )^{n}}{n!}}e^{{-alpha (t-tau )}}cdot H(t-tau )$	${frac {e^{{-tau s}}}{(s+alpha )^{{n+1}}}}$	${displaystyle s>0}$
2a	степенная $n$ -го порядка	${frac {t^{n}}{n!}}cdot H(t)$	${frac {1}{s^{{n+1}}}}$	${displaystyle s>0}$
2a.1	степенная $q$ -го порядка	${frac {t^{q}}{Gamma (q+1)}}cdot H(t)$	${frac {1}{s^{{q+1}}}}$	${displaystyle s>0}$
2a.2	функция Хевисайда	$H(t)$	${frac {1}{s}}$	${displaystyle s>0}$
2b	функция Хевисайда с запаздыванием	$H(t-tau )$	${frac {e^{{-tau s}}}{s}}$	${displaystyle s>0}$
2c	«ступенька скорости»	$tcdot H(t)$	${frac {1}{s^{2}}}$	${displaystyle s>0}$
2d	$n$ -го порядка с частотным сдвигом	${frac {t^{n}}{n!}}e^{{-alpha t}}cdot H(t)$	${frac {1}{(s+alpha )^{{n+1}}}}$	${displaystyle s>-alpha }$
2d.1	экспоненциальное затухание	$e^{{-alpha t}}cdot H(t)$	${frac {1}{s+alpha }}$	$s>-alpha$
3	экспоненциальное приближение	$(1-e^{{-alpha t}})cdot H(t)$	${frac {alpha }{s(s+alpha )}}$	$s>0$
4	синус	$sin(omega t)cdot H(t)$	${frac {omega }{s^{2}+omega ^{2}}}$	$s>0$
5	косинус	$cos(omega t)cdot H(t)$	${frac {s}{s^{2}+omega ^{2}}}$	$s>0$
6	гиперболический синус	${mathrm {sh}},(alpha t)cdot H(t)$	${frac {alpha }{s^{2}-alpha ^{2}}}$	$s>\|alpha \|$
7	гиперболический косинус	${mathrm {ch}},(alpha t)cdot H(t)$	${frac {s}{s^{2}-alpha ^{2}}}$	$s>\|alpha \|$
8	экспоненциально затухающий синус	$e^{{-alpha t}}sin(omega t)cdot H(t)$	${frac {omega }{(s+alpha )^{2}+omega ^{2}}}$	$s>-alpha$
9	экспоненциально затухающий косинус	$e^{{-alpha t}}cos(omega t)cdot H(t)$	${frac {s+alpha }{(s+alpha )^{2}+omega ^{2}}}$	$s>-alpha$
10	корень $n$ -го порядка	${sqrt[ {n}]{t}}cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}cdot Gamma left(1+{frac {1}{n}}right)$	${displaystyle s>0}$
11	натуральный логарифм	$ln left({frac {t}{t_{0}}}right)cdot H(t)$	$-{frac {t_{0}}{s}}[ln(t_{0}s)+gamma ]$	${displaystyle s>0}$
12	функция Бесселя первого рода порядка $n$	$J_{n}(omega t)cdot H(t)$	${frac {omega ^{n}left(s+{sqrt {s^{2}+omega ^{2}}}right)^{{-n}}}{{sqrt {s^{2}+omega ^{2}}}}}$	$s>0$ $(n>-1)$
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $n$	$I_{n}(omega t)cdot H(t)$	${frac {omega ^{n}left(s+{sqrt {s^{2}-omega ^{2}}}right)^{{-n}}}{{sqrt {s^{2}-omega ^{2}}}}}$	$s>\|omega \|$
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$Y_{0}(alpha t)cdot H(t)$	$-{frac {2{mathrm {arsh}}(s/alpha )}{pi {sqrt {s^{2}+alpha ^{2}}}}}$	$s>0$
15	модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$K_{0}(alpha t)cdot H(t)$
16	функция ошибок	${mathrm {erf}}(t)cdot H(t)$	${frac {e^{{s^{2}/4}}{mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	${displaystyle s>0}$
Примечания к таблице: $H(t)$ — функция Хевисайда; $delta (t)$ — дельта-функция; $Gamma (z)$ — гамма-функция; $gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони; $t$ — вещественная переменная; $s$ — комплексная переменная; $alpha$ , $beta$ , $tau$ и $omega$ — вещественные числа; $n$ — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция $h(t)$ равна нулю для любого момента времени $t<0$ .

Применения преобразования Лапласа[править | править код]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.^[3]
Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

По заданному входному воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
По д.у. составляют передаточную функцию.
Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
Определяют оригинал.^[4]

Связь с другими преобразованиями[править | править код]

Фундаментальные связи[править | править код]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона[править | править код]

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

${mathcal {L}}_{K}{f(x)}=sF(s).$

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа ${mathcal {L}}_{B}$ связано с односторонним с помощью следующей формулы:

${mathcal {L}}_{B}{f(x);;s}={mathcal {L}}{f(x);;s}+{mathcal {L}}{f(-x);;-s}.$

Преобразование Фурье[править | править код]

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом $s=iomega$ :

$F(omega )={mathcal {F}}{f(x)}={mathcal {L}}{f(x)}{Big |}_{{s=iomega }}=F(s){Big |}_{{s=iomega }}=int limits _{{-infty }}^{{+infty }}e^{{-iomega x}}f(x),dx.$

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель ${frac {1}{{sqrt {2pi }}}}$ , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина[править | править код]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

$G(s)={mathcal {M}}left{g(theta )right}=int limits _{0}^{infty }theta ^{s}{frac {g(theta )}{theta }},dtheta$

положим $theta =e^{{-x}}$ , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование[править | править код]

$Z$ -преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

$zequiv e^{{sT}},$

где $T=1/f_{s}$ — период дискретизации, а $f_{s}$ — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

$X_{q}(s)=X(z){Big |}_{{z=e^{{sT}}}}.$

Преобразование Бореля[править | править код]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

См. также[править | править код]

Первая теорема разложения
Вторая теорема разложения
Преобразование Фурье
D с чертой-преобразование
Дифференциальные уравнения

Примечания[править | править код]

↑ В отечественной литературе обозначается также через $scriptstyle {p}$ . См., например,
Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
↑ Жевержеев В. Ф., Кальницкий Л. А., Сапогов Н. А. Специальный курс высшей математики для втузов. — М., Высшая школа, 1970. — с. 231
↑ Ващенко-Захарченко М. Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1862.
↑ Архитектура системы автоматического управления группой малых беспилотных летательных аппаратов // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2018-03-20. — ISSN 2071-8632. — doi:10.14357/20718632180109.

Литература[править | править код]

Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

Ссылки[править | править код]

Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org) Архивная копия от 12 августа 2018 на Wayback Machine
Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru

Источник

Свойства преобразования Лапласа
- - Линейность
  - Пример №78.4.
  - Подобие
  - Смещение (затухание)
  - Пример №78.5.
  - Запаздывание
  - Пример №78.6.
  - Пример №78.7.
  - Пример №78.8.
  - Дифференцирование оригинала
  - Пример №78.9.
  - Дифференцирование изображения
  - Пример №78.10.
  - Интегрирование оригинала
  - Интегрирование изображения
  - Пример №78.11.
  - Умножение изображений
  - Пример №78.12.
  - Пример №78.13.
  - Умножение оригиналов
  - Резюме
- Таблица оригиналов и изображений

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если Свойства преобразования Лапласа , и — постоянные числа, то .

Используя свойства интеграла, находим

Свойства преобразования Лапласа

Пример №78.4.

Найти изображения функций Свойства преобразования Лапласа ( — любое число), .

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Свойства преобразования Лапласа

т.е.

Свойства преобразования Лапласа

Аналогично получаем формулу

Свойства преобразования Лапласа

Далее, Свойства преобразования Лапласа , т. е.

Свойства преобразования Лапласа

Наконец, Свойства преобразования Лапласа , т.е.

Свойства преобразования Лапласа

Аналогично получаем формулу

Свойства преобразования Лапласа

Подобие

Если Свойства преобразования Лапласа , то , т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

Свойства преобразования Лапласа

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Например, пусть Свойства преобразования Лапласа . Тогда

Свойства преобразования Лапласа

Смещение (затухание)

Если Свойства преобразования Лапласа , то , т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной .

В силу формулы (78.1) имеем

Свойства преобразования Лапласа

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Свойства преобразования Лапласа

Пример №78.5.

Найти оригинал по его изображению

Свойства преобразования Лапласа

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

Свойства преобразования Лапласа

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

Если Свойства преобразования Лапласа , то , т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив Свойства преобразования Лапласа , получим

Свойства преобразования Лапласа

Поясним термин «запаздывание». Графики функции Свойства преобразования Лапласа и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией Свойства преобразования Лапласа , начинается с опозданием на время .

Свойства преобразования Лапласа

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

Функция Свойства преобразования Лапласа называется обобщенной единичной функцией (см. рис 305).

Так как Свойства преобразования Лапласа , то .

Запаздывающую функцию

Свойства преобразования Лапласа

можно записать так: Свойства преобразования Лапласа .

Пример №78.6.

Найти изображение Свойства преобразования Лапласа .

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция Свойства преобразования Лапласа должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию Свойства преобразования Лапласа как

Свойства преобразования Лапласа

т. е. Свойства преобразования Лапласа (см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Свойства преобразования Лапласа

Если же понимать функцию Свойства преобразования Лапласа как

Свойства преобразования Лапласа

т. е. Свойства преобразования Лапласа (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим .

Свойства преобразования Лапласа

Пример №78.7.

Найти изображение функции

Свойства преобразования Лапласа

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции Свойства преобразования Лапласа и обобщенной единичной функции . Поэтому .

Пример №78.8.

Найти изображение функции

Свойства преобразования Лапласа

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда Свойства преобразования Лапласа и :

Свойства преобразования Лапласа

т.е.

Свойства преобразования Лапласа

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Свойства преобразования Лапласа

Изображение функции Свойства преобразования Лапласа будет равно

Свойства преобразования Лапласа

Замечания.

Изображение периодического оригинала с периодом, равным , есть .
Свойство опережения
применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если Свойства преобразования Лапласа и функции являются оригиналами, то

Свойства преобразования Лапласа

По определению изображения находим

Свойства преобразования Лапласа

Итак, Свойства преобразования Лапласа . Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной :

Свойства преобразования Лапласа

Аналогично найдем изображение третьей производной Свойства преобразования Лапласа :

Свойства преобразования Лапласа

Применяя формулу (78.11) Свойства преобразования Лапласа раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)—(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если Свойства преобразования Лапласа , то ; если , то , и, наконец, если , то , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на .

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример №78.9.

Найти изображение выражения

Свойства преобразования Лапласа

если Свойства преобразования Лапласа .

Решение:

Пусть Свойства преобразования Лапласа . Тогда, согласно формулам (78.11) — (78.13), имеем

Свойства преобразования Лапласа

Следовательно,

Свойства преобразования Лапласа

Дифференцирование изображения

Если Свойства преобразования Лапласа , то

Свойства преобразования Лапласа

т. e. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на Свойства преобразования Лапласа .

Согласно теореме 78.1 существования изображения, Свойства преобразования Лапласа является аналитической функцией в полуплоскости . Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру Свойства преобразования Лапласа (обоснование законности этой операции опустим), получим

Свойства преобразования Лапласа

т.е. Свойства преобразования Лапласа . Тогда , и вообще .

Пример №78.10.

Найти изображения функций Свойства преобразования Лапласа

Решение:

Так как Свойства преобразования Лапласа , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем , т. е.

Свойства преобразования Лапласа

Далее находим Свойства преобразования Лапласа , т.е. . Продолжая дифференцирование, получим

Свойства преобразования Лапласа

С учетом свойства смещения получаем

Свойства преобразования Лапласа

Согласно формуле (78.5), Свойства преобразования Лапласа . Следовательно,

Свойства преобразования Лапласа

т. e. Свойства преобразования Лапласа , или

Свойства преобразования Лапласа

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

Свойства преобразования Лапласа

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Свойства преобразования Лапласа

Интегрирование оригинала

Если Свойства преобразования Лапласа , то , т. е. интегрированию оригинала от 0 до соответствует деление его изображения на .

Функция Свойства преобразования Лапласа является оригиналом (можно проверить).

Пусть Свойства преобразования Лапласа . Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

Свойства преобразования Лапласа

(так как Свойства преобразования Лапласа ). А так как

Свойства преобразования Лапласа

то Свойства преобразования Лапласа . Отсюда , т. е. .

Интегрирование изображения

Если Свойства преобразования Лапласа и интеграл сходится, то , т. e. интегрированию изображения от до соответствует деление его оригинала на .

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Свойства преобразования Лапласа

Пример №78.11.

Найти изображение функции Свойства преобразования Лапласа ; найти изображение интегрального синуса .

Решение:

Так как Свойства преобразования Лапласа , то , т.е. . Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем .

Умножение изображений

Если Свойства преобразования Лапласа , то

Свойства преобразования Лапласа

Можно показать, что функция Свойства преобразования Лапласа является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Свойства преобразования Лапласа

Область Свойства преобразования Лапласа интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая Свойства преобразования Лапласа , получим

Свойства преобразования Лапласа

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции Свойства преобразования Лапласа и и обозначается символом , т. е.

Свойства преобразования Лапласа

Можно убедиться (положив Свойства преобразования Лапласа ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. .

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.

Свойства преобразования Лапласа

Пример №78.12.

Найти оригинал функций

Свойства преобразования Лапласа

Решение:

Так как Свойства преобразования Лапласа и то

Свойства преобразования Лапласа

т.е.

Свойства преобразования Лапласа

Аналогично получаем

Свойства преобразования Лапласа

Следствие 78.2. Если Свойства преобразования Лапласа и также является оригиналом, то

Свойства преобразования Лапласа

Запишем произведение Свойства преобразования Лапласа в виде

Свойства преобразования Лапласа

или

Свойства преобразования Лапласа

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Свойства преобразования Лапласа и . Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или

Свойства преобразования Лапласа

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Свойства преобразования Лапласа

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример №78.13.

Найти оригинал, соответствующий изображению

Свойства преобразования Лапласа

Решение:

Так как

Свойства преобразования Лапласа

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Свойства преобразования Лапласа

Умножение оригиналов

Если Свойства преобразования Лапласа и , то

Свойства преобразования Лапласа

где путь интегрирования — вертикальная прямая Свойства преобразования Лапласа (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Резюме

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

Линейность: .
Подобие: .
Смещение: .
Запаздывание: .
Дифференцирование оригинала:
Дифференцирование изображения
Интегрирование оригинала: .
Интегрирование изображения: .
Умножение изображений: .
Умножение оригиналов: .

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Таблица оригиналов и изображений

Свойства преобразования Лапласа

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Источник

ОРИГИНАЛ И ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ
ПО ЛАПЛАСУ.

Функцией-
оригиналом – называют функцию действительного
аргумента

удовлетворяющую
условиям:

1)
для всех отрицательных значений аргумента
функция тождественно равна нулю, т.е.

2)
функция при возрастает
не быстрее показательной
функции,
т.е. существ.уют такие постоянные что

3)
на любом конечном отрезке положительной
полуоси функция
и
ее производные достаточно высокого
порядка непрерывны или имеют конечное
число разрывов 1-го рода.

Простейшей
функцией – оригиналом является единичная
функция Хевисайда

(1)

Если
функция не
удовлетворяет условию то
произведение уже
ему удовлетворяет, т.е. будет оригиналом.

Для
простоты записи множитель опускается,
например, пишут вместо вместо и
т.д.

Изображением
функции по
Лапласу (преобразованием по Лапласу) называют
функцию комплексной переменной определяемую
соотношением

(2)

Интеграл
(1.2) называют интегралом Лапласа.

Функция определяется
в полуплоскости и
является в этой области аналитической
функцией.

То,
что функция комплексной переменной является
изображением по Лапласу функции
действительного аргумента обозначается или

Изображение
элементарных функций получается
непосредственно с помощью интеграла
(2).

Пример
1 Найти изображение по Лапласу функции

РЕШЕНИЕ

Таким
образом, получаем

Преобразование,
основанное на интеграле Лапласа (2),
обладает линейными свойсгыами.

1.
Преобразование суммы функций равно
сумме преобразований этих функций

2
Постоянный множитель можно выносить
за знак преобразования:

Из
этих двух свойств следует, что линейной
комбинации оригиналов соответствует
линейная комбинация их преобразований:

(3)

Пример
2. Найти изображение функции

РЕШЕНИЕ

Используем
формулу (2) для функции Тогда

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА

1.
Теорема подобияЕсли то
для любого постоянногоа > 0

(4)

Пример
3. НайдемИз
примера2 _.По
Формуле (4)

2.Дифференцирование
оригиналаЕсли то

(5)

Методом
индукции на основании формулы (5) получены
формулы изображения высших производных:

(6)

(7)

(8)

Пример
4. ОпределимТак
как

то
по формуле (5) получим:

3.
Дифференцирование изображения.Если то
т.е.
дифференцирование изображения сводится
к умножению на оригинала.
В общем случае,

(9)

Пример
5. Определить изображения функций

РЕШЕНИЕ

Так
как

В
общем случае

4.
Интегрирование оригинала.Интегрирование
оригинала сводится к делению изображения
на р:

(10)

Пример
6. Найти изображение функци

РЕШЕНИЕ
Так как то
по формуле (10)

5.
Интегрирование изображения.Интефирование
изображения равносильно делению
на tоригинала
(если существует конечный предел

(11)

Пример
7. Найдем изображение функции

Так
как то
по формуле (11) получаем

6.
Теорема смещенияПри
умножении оригинала на изображение
получается смещение аргумента на

(12)

Пример
8. В примерах 3, 4, 5 найдены изображения
функций По
формуле (12) находим:

7.
Теорема запаздывания.“Включение”
оригинала с запаздыванием на равносильно
умножению изображения на

(13)

В
данной формуле важно подчеркнуть, что
функция поэтому
она умножена на единичную функцию
Хевисайда с запаздыванием .График
единичной функции Хевисайда с запаздывающим
аргументом показан на рисунке 1.

Изображение

ТАБЛИЦА
ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ.

СВЁРТКА ОРИГИНАЛОВ И ЕЁ
ПРИМЕНЕНИЕ. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ.

Свертка
односторонних функций, ее свойства.
Теорема Бореля

Сверткой
функций и ,
заданных на ,
называется функция, равная интегралу , ;
она обозначается ,
т.е.

, .
(21)

Свойства
свертки

1.
Симметрия, т.е. .

В
самом деле, изменяя порядок интегрирования
и полагая ,
получаем равенство

2.
Если и –
оригиналы, то и их свертка также является
оригиналом с показателем роста, равным
наибольшему из показателей роста
функций
и .
Рекомендуем доказать самостоятельно
это утверждение или же посмотреть в
[3].

ПРИМЕР
32. Найти свертку функций и .

Решение. ,
здесь ко второму интегралу применено
интегрирование по частям.

Теорема
Бореля

Если
функции  и  –
оригиналы и ,  и , ,
то произведение изображений  является
изображением свертки соответствующих
оригиналов для :

.
(22)

В
самом деле, по определению изображения
имеем

Замечаем,
что справа стоит двойной интеграл с
областью интегрирования ,
изображенной на рисунке. Изменяя в этом
интеграле порядок интегрирования,
получаем

Замена
переменной интегрирования позволяет
записать

Поскольку
внутренний интеграл не зависит от ,
а внешний от ,
то двойной интеграл равен произведению
двух интегралов, т.е.

Теорема
Бореля применяется для нахождения
оригинала в случае, когда изображение
представлено в виде двух множителей,
для каждого из которых оригинал
устанавливается.

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Пусть
имеем линейное неоднородное уравнение
с постоянными коэффициентами:

где
функция удовлетворяет условиям,
налагаемым на оригиналы.

Уравнение
(38) надо решить при нулевых начальных
условиях

Применяя
к обеим частям уравнения (38) преобразование
Лапласа и учитывая начальные условия,
найдем согласно (12):

откуда

Из
равенства (40), пользуясь известными
приемами операционного исчисления,
рассмотренными выше, найдем по
изображению оригинал ,
который и будет являться искомым решением
уравнения (38) при .

Если
уравнение (40) требуется решить при
ненулевых начальных условиях

то
после применения к (40) преобразования
Лапласа найдем согласно (11):

или

где известная
целая рациональная функция от .

откуда
определим оригинал , являющийся искомым
решением уравнения (38).

Нетрудно
видеть, что в случае однородного уравнения

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

оставим
систему уравнений:

Решив
ее, получаем

Итак X(p)= ,
откуда

x(t)=—
решение данного дифференциального
уравнения.

Системы
линейных дифференциальных
уравнений с постоянными
коэффициентами можно решать
операционными методами совершенно
так же, как и отдельные
уравнения; все отличие
заключается лишь в том,
что вместо одного изображающего
уравнения приходим к системе
таких уравнений, причем
система эта в отношении
изображений искомых функций
будет линейно алгебраической.
При этом никаких предварительных
преобразований исходной системы
дифференциальных уравнений
производить не требуется [3,
с. 134].

Источник

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в
некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^{-pt}dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

$$f(t)=frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^{-3tau}dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

$$F(p)=frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$

Задача 6. Найти оригинал изображения

$$F(p)=frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

$$F^*(p)=frac{1}{e^{4p}-625}.$$

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x’+x=4e^t, x(0)=2.$$

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

$$x”+2x’+2x=te^{-t}, quad x(0)=0, x'(0)=0.$$

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$$x’=x-y,\
y’=x+y,\
x(0)=2, y(0)=1.$$

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

$$x”’+x”-2x’-5x=5e^t, quad x(0)=0, x'(0)=1, x”(0)=2.$$

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

$$frac{dx}{dt}=x-2y,\
frac{dy}{dt}=x+3y,\
x(0)=0, y(0)=1. $$

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

$$x”’+x’=tg t, quad x(0)=x'(0)=x”(0)=0.$$

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

$$
x’=-y+z,\
y’=z, quad x(0)=1, \
z’=-x+z;\
y(0)=z(0)=1/2.
$$

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Подробнее о решении заданий с преобразованием Лапласа

Дополнительная информация

Онлайн-помощь по математическому анализу
Дифференциальные уравнения – задачи с решениями
Как решать ДУ с помощью операционного исчисления

Источник

Преобразование Лапласа и его свойства

Основные определения

Свойства преобразования Лапласа

Запаздывание оригинала

Дифференцирование оригинала

Интегрирование оригинала

Дифференцирование изображения

Интегрирование изображения

Умножение изображений (теорема Бореля)

Дифференцирование свертки (интеграл Дюамеля)

Теорема о связи “начальных” и “конечных” значений оригинала и изображения

Нахождение изображения по оригиналу

Нахождение изображений функций, заданных графиком

Нахождение изображений периодических функций

Нахождение оригинала по изображению

Применение таблицы и свойств преобразования Лапласа

Определение[править | править код]

Прямое преобразование Лапласа[править | править код]

Обратное преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Дискретное преобразование Лапласа[править | править код]

Свойства и теоремы[править | править код]

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править | править код]

Применения преобразования Лапласа[править | править код]

Связь с другими преобразованиями[править | править код]

Фундаментальные связи[править | править код]

Преобразование Лапласа — Карсона[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Преобразование Фурье[править | править код]

Преобразование Меллина[править | править код]

Z-преобразование[править | править код]

Преобразование Бореля[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Свойства преобразования Лапласа

Линейность

Пример №78.4.

Подобие

Смещение (затухание)

Пример №78.5.

Запаздывание

Пример №78.6.

Пример №78.7.

Пример №78.8.

Дифференцирование оригинала

Пример №78.9.

Дифференцирование изображения

Пример №78.10.

Интегрирование оригинала

Интегрирование изображения

Пример №78.11.

Умножение изображений

Пример №78.12.

Пример №78.13.

Умножение оригиналов

Резюме

Таблица оригиналов и изображений

ОРИГИНАЛ И ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО ЛАПЛАСУ.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ТАБЛИЦА ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ.

СВЁРТКА ОРИГИНАЛОВ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ.

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Как найти изображение функции

Как найти оригинал функции

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Как решить интегральное уравнение

Как найти свертку функций

Помощь с решением заданий

Дополнительная информация

Вам также может понравиться

Как найти оборудование в гранд смете

Если потеряли вещь как найти заговор

Как исправить ошибку дискорда update failed

Добавить комментарий Отменить ответ

ОРИГИНАЛ И ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ
ПО ЛАПЛАСУ.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА

ТАБЛИЦА
ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ.

СВЁРТКА ОРИГИНАЛОВ И ЕЁ
ПРИМЕНЕНИЕ. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ.

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.