Как найти сторону треугольника внутри окружности

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через h_a , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rh_a , где b и с есть две стороны треугольника, h_a – высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R – радиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту h_a: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение h_a a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой – радиус r.

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

http://www.calc.ru/Treugolnik-Sootnosheniya-Mezhdu-Storonami-Treugolnika-I-Radi.html

[/spoiler]

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:
   

   [ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]

2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   

   [ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]

3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   

   [ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
   

   [ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]

2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   

   [ R = frac{abc}{4S} ]

3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр:

   [ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

   [ S = pr ]

2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр:

   [ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание:

   [ S = frac{1}2 ah ]

4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

   [ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]

5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними:

   [ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

   [ P = a + b + c ]

2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности:
   

   [ P = frac{2S}{r} ]

3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними:

   [ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

   [ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]

2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:
   

   [ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

   [ l = frac{AB}{2} ]

2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угла между ними:
   

   [ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

   [ h = frac{2S}{a} ]

2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

   [ h = b cdot sin alpha ]

3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием:

   [ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

1.  Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2.  O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!

Сегодня я хочу рассказать про треугольники, вписанные в окружность. Чаще всего окружности бывают вписанными в треугольник или описанными вокруг треугольника, но иногда могут встречаться в задачах и другие многоугольники. Задачи про окружности и треугольники могут встречаться не только на ЕГЭ, но и в любых других задачах.

Окружность считается вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность будет описанной вокруг многоугольника, если она будет содержать все вершины многоугольника. В данной статье более подробно рассмотрим вариант второй – когда окружность описана вокруг треугольника.

А рассказать я хочу о том, как можно быстро и правильно нарисовать рисунок к тем задачам, которые касаются описанных окружностей. Если треугольник вписан в окружность, то окружность описана вокруг него.

Секрет первый: всегда начинать построение рисунка нужно с окружности. Если делать рисунок наоборот, начать рисовать треугольник, то будет очень сложно подобрать описанную вокруг него окружность. Желательно знать, где у этой окружности центр. Если мы имеем дело с электронными графическими редакторами и не знаем, как не только нарисовать окружность, но и точно определить ее центр – то лучше всего «скачать» готовую окружность вместе с отмеченным центром. Если же мы рисуем на бумаге циркулем, без помощи электроники – там все гораздо проще найти центр. Например, центр окружности обычно выбирается на пересечении двух линий листа в клеточку, да и игла самого циркуля часто оставляет на бумаге след.

После этого будем рисовать треугольник (ну или другой многоугольник, который нам нужен). Если окружность описана вокруг треугольника – это значит, что нам надо выбрать три точки на самой окружности. Секрет второй: если мы нарисовали окружность, а затем на ней выбрали любые три точки – вершины нашего треугольника, то наш треугольник всегда будет вписан в эту окружность. Эти точки нужно выбирать таким образом, чтобы полученная фигура максимально соответствовала всем условиям задачи. Приведем пример. Пусть надо решить задачу:

• Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 50, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Хотя в условии задачи первым делом упоминается треугольник, а не окружность, мы все равно начнем построении с окружности:

Затем смотрим внимательно – окружность вписана в треугольник, или наоборот: треугольник вписан в окружность. Главное – ничего не перепутать. В нашем случае, в условии сказано: «описанная окружность». А это значит, что треугольник вписан в окружность, то есть надо находить три точки на самой окружности. Кроме того, треугольник равнобедренный, а это значит, что нужно мысленно провести диаметр окружности так, чтобы одна половина окружности оказалась слева, вторая справа:

Тогда одна из вершин треугольника будет строго наверху этого мысленного диаметра, а две другие – симметрично друг другу – одна в «левой» половине окружности, вторая – в «правой». Кроме того, окружность надо делить не просто на три части, но нужно соблюсти соотношение этих частей как 5:5:6, потому что соотношение сторон треугольника равно соотношению дуг окружности, на которую он ее разделяет. Можно, конечно, разделить «на глаз», но для тех, у кого есть и время, и желание построить «точь-в-точь», я расскажу, как это сделать.

Если бы треугольник был равносторонний, мы бы разделили окружность на три одинаковые части. Это делалось бы так: сначала мы бы построили один радиус окружности, желательно на нашем «мысленном» диаметре, и построили бы два угла с вершиной в точке О – центре окружности. У этих углов был бы общий луч, или сторона – это тот радиус, который мы уже построили. Градусная мера была бы у каждого угла – 120 градусов, потому что 120 – это 360/3. Но это было бы в том случае, если бы у треугольника были равными все три стороны. А у нас две равные части, но третья чуть больше каждой из них.

Напомню, что мы хотим построить график не примерно точный, а максимально точный, нам даже придется воспользоваться транспортиром. Конкретно для нашей задачи: начнем строить вторую точку (потому что первая точка будет на самом верху нашего «мнимого» диаметра, который разделил бы наш круг строго пополам по вертикали). Вторая и третья точки будут ей симметричны друг другу и располагаться по разные стороны нашего «мнимого» диаметра. Напомню, что угол в 90 градусов отделил бы 0,25 от окружности в 360 градусов; нам же нужно разделить окружность так, чтобы одна точка ее делила в соотношении 50:160 (потому что 160 – это сумма соотношений сторон нашего треугольника: 50+50+60=160, ведь именно в этом отношении вершины треугольника разделят нашу окружность). Получается 0,3125, это 50/160.

Теперь составляем пропорцию: 1/360=0,3125/х, откуда х=360*0,3125=112,5. Это значит, что нам надо строить угол в 112,5 градусов.

Вот что должно получиться:

У нас получились не только три точки – вершины треугольника А, В и С, но и сами радиусы окружности – ОА, ОВ и ОС. В нашей ситуации 112,5 – это углы АОВ и ВОС. Можно вычислить также и угол АОС: 360-112,5-115,5=135 градусов. А это значит, что соотношение углов АОВ и АОС – это 112,5 к 135, или 225:270, или 45:54, или 5:6. Именно таким по условию задачи и является отношение боковой стороны треугольника к основанию, ведь 5:6 равно 50:60.

Но продолжим решать нашу задачу. Мы пока только очень точно построили нужные нам точки. Конечно, в реальности, возможно, и не нужна такая точность, но желательно иметь на графике такие фигуры, которые очень похожи на те, о которых говорится в условии задачи. Но если есть и время, и желание, и отменный педантизм – то вполне можно построить не просто очень похожие фигуры, а именно точь-в-точь такие, о которых говорится в условии задачи.

Теперь построим треугольник АВС:

Теперь несколько слов о решении этой конкретной задачи. Всего несколько слов, потому что главная цель этой статьи была в том, чтобы показать, что треугольник, вписанный в окружность, лучше всего начинать рисовать с окружности. Повторюсь, потому что эта информация очень важна. Если бы мы вначале нарисовали треугольник, было бы гораздо сложнее подобрать ту окружность, которая проходила бы через все его вершины. Но если мы вначале построим окружность, затем на этой окружности выберем три нужные нам точки – которые будут вершинами треугольника – то при таком построении окружность будет всегда будет описана вокруг этого треугольника, а треугольник будет в нее вписан. Аналогичную задачу, связанную с окружностью, вписанной в треугольник, мы рассмотрим в одной из следующий статей.

Кстати, о нашем треугольнике. Поскольку известны все три стороны треугольника, то сначала вычислим его площадь по формуле Герона:

Вначале вычислим полупериметр треугольника: ½(50+50+60)= ½*160=80;

затем вычислим площадь этого треугольника по формуле Герона:

Это можно вычислить даже без калькулятора. Под корнем – квадрат числа 30, умноженный на 1600 (потому что 1600 – это 80*20), а 1600 – это 40 в квадрате. Следовательно, при извлечении корня мы получим: 40*30 = 1200 (условных единиц – потому что нам не известны единицы при исходных цифрах, про них ничего не сказано в условии задачи).

Далее нужно воспользоваться той формулой, которая связывает площадь треугольника и радиус описанной окружности:

Здесь a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь, R – радиус описанной окружности. Можно записать эту формулу по-другому: abc=4SR. Поскольку у нас известно всё, кроме радиуса, то запишем эту формулу по-другому:

Теперь у нас есть все данные для вычислений. В числителе: 50*50*60=150000, в знаменателе: 4*1200=4800. Делим 150000 на 4800, получаем 31,25 (условных единиц). Именно условных единиц, ведь в задании не было никаких конкретных единиц измерения.

• Ответ: 31,25.

Кстати, эту же задачу можно решить и вторым способом. Второй способ будет не самый быстрый и не самый правильный, но им можно воспользоваться в крайнем случае, если вдруг позабылась формула взаимосвязи радиуса описанной окружности и площади треугольника.

Вначале, как и при первом способе, вычислим площадь треугольника по площади Герона – это будет 1200 у.е., подробности вычисления есть в этой статье.

Затем рисуем высоту ВН (перпендикуляр к стороне АС):

Площадь треугольника АВС – это половина произведения стороны АС и высоты ВН. поскольку вся площадь треугольника АВС – это 1200, то то значит, что ВН*АС=1200*2=2400. АС известно и рано 60, это значит, что ВН = 2400/60=40 (у.е.). Это значит, что R+ОН = 40, то есть: ОН = 40-R.

Но у нас есть также прямоугольный треугольник АОН, в котором АО, или R, это гипотенуза; один катет – это ОН (мы уже знаем, что ОН равно 40 – R), второй катет – АН – равен 30, потому что в равнобедренном треугольнике АВС высота ВН также является и медианой, и биссектрисой. Нам в данной ситуации важно именно то, что ВН – это медиана, а это значит, что АН = 30.

Итак, мы имеем систему из двух уравнений. Пусть ОН – это х, а АО – это R.

Поскольку в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то вот каким будет одно из двух уравнений нашей системы:

Второе уравнение системы простое: х=40-R, это мы уже недавно вычислили.

Подставим в первое уравнение 40-R вместо х. Вот что получится:

Раскроем скобки:

Дальнейшее ясно: 80R=900+1600, откуда R=(900+1600)/80, или R=2500/80.

И снова мы получаем 31,25!

• Ответ: 31,25.

На этом пока всё, подписывайтесь на мой канал и до новых встреч!

как найти стороны треугольника если дан радиус описанной окружности

Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны и равны диаметру описанной окружности. Отсюда любая сторона треугольника равна удвоенному радиусу описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла. Третий угол треугольника найти элементарно, зная два других, из теоремы о сумме углов треугольника.

P.S.
Блин, обязательно кто-нибудь опередит.. .
Теорему синусов в школе проходят, но о последнем равенстве в большинстве случаев почему-то умалчивается.

Есть такая теорема, которая называется теорема синусов.

Али в школе не проходили?
И теорему о сумме углов в треугольнике тоже не проходили, походу?

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Зная радиус описанной окружности, можно найти сразу не только сторону равностороннего треугольника, но и радиус вписанной в него окружности, так как они напрямую связаны друг с другом. Сторона треугольника будет равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трех, а радиус вписанной окружности – его половине. (рис.100) a=√3 R r=R/2

Чтобы вычислить периметр и площадь равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, необходимо подставить полученное выражение для стороны в соответствующие формулы. P=3a=3√3 R S=(√3 a^2)/4=(3√3 R^2)/4

Высоты, медианы и биссектрисы являются одними и теми же отрезками в равностороннем треугольнике, и вычислить их можно по единой формуле, где искомая величина равна корню из трех, умноженному на сторону и деленному на два. Подставив вместо стороны произведение радиуса и корня из трех, получаем, что высота равна трем радиусам, деленным на два. (рис.99) h=m=l=(√3 a)/2=(√3 √3 R)/2=3R/2

Чтобы найти среднюю линию равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, необходимо разделить произведение радиуса и корня из трех на два. (рис.97.3) M=(√3 R)/2

Калькулятор расчета стороны правильного многоугольника через радиусы окружностей

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета длины стороны правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

• Расчет длины стороны
  • Через радиус вписанной окружности
  • Через радиус описанной окружности

  Расчет длины стороны

  

  Инструкция по использованию: введите радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности, укажите количество вершин правильного многоугольника (n), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена длина стороны фигуры (a).

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже….

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра. Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя углами?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

1. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
2. Диаметр любой описанной окр-сти равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:
3. Зная радиус описанной окружности и значения углов, можно найти значение площади, не прибегая к использованию длин сторон, по следующей формуле:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

• площадь,
• градусная мера каждого угла,
• длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке. Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым натуральным числом, скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника:

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.