Как найти точку приложения трех сил

Теорема о трёх силах — теорема статики, формулирующая необходимое условие равновесия абсолютно твёрдого тела под действием трёх непараллельных сил. Формулировка теоремы следующая^[1][2]:

Если абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил, то линии их действия пересекаются в одной точке.

Под тремя непараллельными силами в данном случае понимаются три силы, как минимум две из которых непараллельны.

Теорема даёт только необходимое условие равновесия тела. Чтобы условие стало достаточным, к нему необходимо прибавить требование равенства нулю геометрической суммы всех трёх сил.

Доказательство[править | править код]

Пусть тело находится в равновесии под действием сил F₁, F₂ и F₃, точки приложения которых соответственно A, B и C (рис. 1). Предположим для определённости, что силы F₁ и F₂ непараллельны. Следовательно, линии их действия пересекаются в некоторой точке O. Перенесём обе силы вдоль линий их действия в точку O и найдём равнодействующую этих сил F₄. Указанные операции не изменят состояния равновесия тела, следовательно, тело теперь будет находиться в равновесии под действием двух сил: F₃ и F₄. Но тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы направлены по одной линии. Следовательно, линия действия силы F₃ также проходит через точку O. Теорема доказана^[1].

Пример применения теоремы[править | править код]

Рассмотрим однородную балку массы m, которая опирается на основание в точках А и В (рис. 2). Балка находится в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести mg и сил реакции опор N_A и N_B. Определить линию действия силы N_A.

Линии действия двух из трёх рассматриваемых сил известны: сила тяжести направлена вертикально вниз, сила N_B — вверх и влево, перпендикулярно балке. Найдём точку пересечения линий действия этих сил (точка O). Тогда линия действия силы N_A будет совпадать с прямой AO.

Примечания[править | править код]

Источники[править | править код]

• Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Часть I. Статика, кинематика. — М.: Высш. шк., 1966, 439 с.
• Маркеев А.П. Теоретическая механика: Учебник для университетов. — М.: ЧеРо, 1999, 572 с.

Кикоин А.К. Когда к телу приложены параллельные силы //Квант. — 1985. — № 2. — С. 23-25.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала “Квант”

Хорошо известно, как найти равнодействующую двух сил, приложенных к материальной точке (рис. 1). На векторах, изображающих эти силы, как на сторонах строят параллелограмм; диагональ со стрелкой на конце, проведенная из точки, к которой приложены силы, и есть вектор равнодействующей.

Когда две силы приложены не к материальной точке, а к телу, но так, как показано на рисунке 2, то равнодействующая определяется таким же образом. Пользуясь тем, что точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия («Физика 8», § 46), находят точку С, в которой пересекаются линии действия обеих сил.

Полагая, что силы (~vec F_1) и (~vec F_2) приложены именно к этой точке, строят параллелограмм и проводят диагональ. Правда, точка С может оказаться и вне тела, но тогда точку приложения равнодействующей можно выбрать в любом месте на линии ее действия. Действительно, какую бы точку мы не выбрали, равнодействующая сила (~vec F) сообщит телу такое же ускорение или вызовет такой же вращающий момент, как и силы (~vec F_1) и (~vec F_2), вместе взятые.

Если силы параллельны и направлены в одну сторону

Пусть к телу приложены две параллельные сонаправленные силы (рис. 3). Линии действия таких сил нигде не пересекаются, и параллелограмм на них построить нельзя. Тем не менее сложить эти силы и найти их равнодействующую можно.

Нетрудно понять, что равнодействующая направлена параллельно обеим силам и ее модуль равен арифметической сумме модулей складываемых сил. А в какой точке она приложена? Или, другими словами, к какой точке тела надо приложить силу, равную по модулю, но противоположную по направлению равнодействующей, чтобы тело находилось в равновесии?

Чтобы найти точку приложения равнодействующей двух параллельных и одинаково направленных сил, можно воспользоваться правилом моментов («Физика 8», § 48). Проведем прямую, соединяющую точки А и В (см. рис. 3). Где-то на этой прямой должна, очевидно, находиться и точка приложения равнодействующей. Пусть это будет точка О. Допустим, что через эту точку проходит закрепленная ось, перпендикулярная плоскости, содержащей обе складываемые силы (то есть перпендикулярная плоскости рисунка). Если О действительно есть точка приложения равнодействующей, то тело будет находиться в равновесии — равнодействующая уравновешивается силой реакции со стороны оси. С другой стороны, если тело с закрепленной осью находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов сил относительно этой оси должна быть равна нулю. Из рисунка 3 видно, что сила (~vec F_2), будь она единственной, поворачивала бы тело вокруг О по часовой стрелке, то есть ее момент F₂d₂ положительный, а сила (~vec F_1) если бы она была единственной, поворачивала бы тело против часовой стрелки — ее моменту F₁d₁ надо приписать отрицательный знак (здесь d₁ и d₂ — плечи сил (~vec F_1) и (~vec F_2)).

Следовательно,

(~F_2 d_2 – F_1 d_1 = 0), или (~frac{F_1}{F_2} = frac{d_2}{d_1}) .

Из подобия треугольников АОС и BOD находим, что (~frac{d_1}{d_2} = frac{r_1}{r_2}) . Поэтому окончательно получаем

(~frac{F_1}{F_2} = frac{r_2}{r_1}) .

Это значит, что равнодействующая двух параллельных, одинаково направленных сил приложена к точке, делящей отрезок, соединяющий точки приложения складываемых сил, в отношении, обратном отношению модулей сил. Ясно, что эта точка лежит ближе к большей из сил.

Если направления параллельных сил противоположны

Приложенные к телу параллельные силы могут быть направлены и в противоположные стороны (рис. 4). Теперь точка приложения равнодействующей (~vec F) не может находиться где-то между точками приложения сил (~vec F_1) и (~vec F_2). Ведь вокруг любой точки, лежащей между ними, каждая сила поворачивает тело против часовой стрелки, знаки моментов этих сил одинаковы, и их сумма не может быть равна нулю, как это требуется для равновесия.

Легко догадаться, что точка приложения равнодействующей лежит за точкой приложения большей силы, как это и показано на рисунке 4. Модуль же равнодействующей равен модулю разности модулей сил (~vec F_1) и (~vec F_2). В какой же именно точке приложена равнодействующая? На каком расстоянии r₂ от точки приложения большей силы? Воспользуемся опять правилом моментов:

(~frac{F_1}{F_2} = frac{r_2}{r_1}), или (~F_2 = F_1 frac{r_1}{r_2}) .

Вычтем из правой и левой частей последнего равенства величину F₁:

(~F_2 – F_1 = F_1 frac{r_1}{r_2} – F_1 = F_1 left( frac{r_1}{r_2} – 1 right) = F_1 frac{r_1 – r_2}{r_2}) ,

откуда

(~r_2 = frac{F_1(r_1 – r_2)}{F_2 – F_1} = frac{F_1 r}{F_2 – F_1}) . (*)

Таким образом, точка приложения равнодействующей двух противоположно направленных параллельных сил расположена тем дальше от точки приложения большей из них, чем меньше разность модулей этих сил.

Пара сил

Мы видели, что если к телу приложены параллельные силы, одинаково или противоположно направленные, то всегда можно найти модуль и направление равнодействующей этих сил и определить точку ее приложения. Если к этой точке приложить силу, равную равнодействующей по модулю, но противоположную ей по направлению, то тело будет находиться в равновесии — оно не будет двигаться поступательно и не будет вращаться.

Но, оказывается, есть один случай, когда равнодействующую найти нельзя. Так бывает, если к телу приложены две параллельные, противоположно направленные силы, по модулю равные друг другу. Про такие силы говорят, что они образуют пару сил. Модуль их равнодействующей равен, конечно, нулю, а из формулы (*) видно, что при F₂ — F₁ =0 расстояние r₂ до точки приложения равнодействующей равно бесконечности, то есть что такой точки попросту не существует. И в самом деле, какая же может быть точка приложения равнодействующей, которой нет?

Достаточно, однако, взглянуть на рисунок 5, чтобы понять, что под действием пары сил тело не будет находиться в равновесии — оно будет вращаться. Значит, у пары сил есть некоторый вращающий момент. Но относительно какой оси?

Нетрудно показать, что суммарный момент сил, составляющих пару, одинаков для любой оси, перпендикулярной плоскости, в которой лежат обе эти силы (перпендикулярной плоскости рисунка). Действительно, возьмем любую точку О и проведем через нее ось вращения. Момент M₁ силы (~vec F_1) относительно этой оси равен F₁d₁, момент M₂ силы (~vec F_2) относительно этой же оси равен F₂d₂. Суммарный момент М обеих сил равен M₁ + M₂ :

(~M = F_1 d_1 + F_2 d_2) .

Так как F₁ = F₂ = F, то

(~M = F (d_1 + d_2) = Fd) ,

где d — расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называемое плечом пары сил. Значит, момент пары сил равен произведению модуля одной из сил на плечо пары. Так и говорят — момент пары сил — и не указывают относительно какой оси.

Как же все-таки «ведет» себя тело, к которому приложена пара сил? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что центр масс тела (о нем говорится в § 44 «Физики 8») движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса тела и к нему приложены все действующие на тело силы (это утверждение называется в физике теоремой о движении центра масс). Но если сумма сил равна нулю, то центр масс не может тронуться с места (если, конечно, он покоился до приложения сил). Когда на тело действует пара сил, сумма сил как раз и равна нулю, и она не может привести в движение центр масс. Тело, однако, вращается. Значит, вращается оно вокруг оси, проходящей через центр масс (ведь все точки на оси вращения находятся в покое). Оси вращения, проходящие через центры масс тел, тем и замечательны, что на них не действуют никакие силы.

Содержание:

Система параллельных сил:

Если на тело действуют параллельные силы, не лежащие в одной плоскости (рис. 123), то, выбрав координатные оси так, чтобы ось z была параллельна заданным силам, а плоскость хОу им перпендикулярна, по выражению (49) будем иметь:

Проекции главного вектора

Рис. 123.

Вычисляя по формулам (49а) главный вектор и главный момент , замечаем, что главный вектор Р при выборе центра приведения в точке О расположен на оси z, а главный момент М в плоскости хОу; поэтому . Отсюда следует, что пространственная система параллельных сил никогда не приводится к динаме, а приводится к равнодействующей, если , или к паре, если , или взаимно уравновешивается, если .

В последнем случае мы будем иметь три уравнения равновесия:

Сложение параллельных сил можно произвести иначе. Пусть на тело (рис. 124) действуют параллельных сил.

Рис. 124.

Складывая сначала силы находим их равнодействующую ; далее полученную равнодействующую складываем с силой и получаем их равнодействующую , которую складываем со следующей силой , и т. д. Произведя последовательное сложение всех параллельных сил, получим их общую равнодействующую:

которая имеет определенную линию действия.

Если повернем все силы на один и тот же угол, то найдем для них новую равнодействующую, по величине равную первой, но имеющую другую линию действия. Точка пересечения линий действия равнодействующих называется центром параллельных сил.

Следовательно, центром параллельных сил называется та точка С приложения их равнодействующей, которая не меняет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол.

Если известны координаты точек приложения составляющих сил, то координаты центра параллельных сил найдутся по формулам, аналогичным формуле (54), выражающим равенство моментов равнодействующей и составляющих относительно координатных осей, т. е.:

Для получения последнего равенства следует все силы повернуть на 90″ параллельно оси Ох или Оу.

Координаты центра параллельных сил будут:

или в векторной форме

где — радиус-вектор, определяющий положение центра параллельных сил;

— радиус-вектор точки.

Центр тяжести

На каждую частицу твердого тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует сила тяжести , направленная вертикально вниз. Считая, что силы тяжести всех частиц тела параллельны между собой, найдем координаты центра всех параллельных сил тяжести, который называется центром тяжести тела и определяется по формуле (58):

где называется весом тела.

Если тело однородное, то отношение веса частицы к ее объему постоянно, т.е.:

Заменяя в равенстве (58) через , имеем:

или

Формулы (59) и (59a) определяют координаты центра тяжести объема.

Выражения называются статическими моментами объема относительно плоскостей yOz, xOz и хОу.

Рассуждая аналогично, можно найти также координаты центра тяжести площади:

и линии:

В последних равенствах F—величина всей площади, L — длина всей линии, а V—величина объема. Величины и   называются статическими моментами плоской фигуры относительно осей у и х.

Из равенства (60) следует, что если известно положение центра тяжести плоской фигуры, то ее статические моменты относительно осей могут быть найдены также по формулам:

Статический момент плоской фигуры относительно оси х или у может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, если ось проходит через центр тяжести фигуры. В самом деле из равенств (60) следует, что если , то и ; при ; .

При нахождении центра тяжести плоской фигуры вместо равенства (60) иногда применяют графический способ, основанный на построении двух веревочных многоугольников. Пусть, например, требуется определить положение центра тяжести фигуры, показанной на рисунке 125. Для этого разбиваем всю фигуру на такие площади, положение центров тяжести которых нам известно (в данном примере на три прямоугольника).

Приложим в центрах тяжести этих площадей вертикальные силы , пропорциональные площадям и . Построив затем веревочный многоугольник, находим на чертеже положение линии действия равнодействующей сил .

Так как положение центра параллельных сил, а также центра тяжести не изменяется при повороте всех сил на один и тот же угол, то, повернув все силы вокруг например, на 90°, вновь строим веревочный многоугольник и находим положение линии действия равнодействующей для повернутых сил.

Пересечение линий действия равнодействующих, найденных для двух случаев, и определит положение точки С —центра тяжести всей фигуры.

При построении веревочного многоугольника для сил, повернутых на 90°, можно было бы, не строя многоугольника сил,

Рис. 125.

построить веревочный многоугольник, стороны которого были бы перпендикулярны соответствующим сторонам имеющегося веревочного многоугольника.

При заданных размерах фигуры (рис. 125) положение точки С можно определить также аналитически. Для этого, разбив фигуру, как и при графическом построении, на три прямоугольника и выбрав координатные оси, перепишем равенства (60) в следующем виде:

После подстановки численных значений будем иметь:

В некоторых случаях при определении положения центра тяжести плоской фигуры или плоской кривой удобно бывает одно из равенств (60) или (61) представить в иной форме, которая была предложена Паппом.

Пусть требуется, например, определить величину для фигуры, показанной на рисунке 126.

Рис. 126. 

Будем вращать контур этой фигуры вокруг оси у, тогда мы получим некоторую замкнутую поверхность. Тело, ограниченное такой поверхностью, называется телом вращения.

Для определения объема тела вращения, разобьем всю площадь F фигуры на элементарные площадки .

При вращении фигуры вокруг оси у каждая элементарная площадка опишет элементарное круговое кольцо, объем которого равен .

Следовательно, объем тела вращения определится по формуле:

Но так как на основании первого равенства (60) , то окончательно получим:

т. е. объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в плоскости этой фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

В этом заключается первая теория Паппа.

В качестве примера определим положение центра тяжести площади половины круга радиуса R (рис. 127).

Будем вращать эту площадь вокруг оси у, совпадающей с диаметром, тогда тело вращения будет представлять шар, объем которого равен . Площадь плоской фигуры равна половине площади круга, т. е. .

Подставляя значения V и F в равенство (63), будем иметь:

Аналогично можно иногда найти и положение центра тяжести плоской кривой. Пусть центр тяжести С плоской кривой (рис. 128) находится от оси у на расстоянии .

Рис. 127.             Рис. 128.     

Будем вращать эту кривую вокруг оси у, тогда мы получим некоторую поверхность вращения, величину площади которой обозначим через F. Для определения площади F разобьем кривую на элементарные участки .

При вращении кривой вокруг оси у каждый элемент опишет элементарную кольцеобразную поверхность, площадь которой равна: а площадь всей поверхности вращения

С другой стороны, из первого равенства (61) следует, что , поэтому т. е. площадь поверхности, полученной вращением плоской кривой вокруг оси,расположенной в плоскости этой кривой, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести. В этом заключается вторая теорема Паппа.

Рис. 129.

Применим эту теорему для определения центра тяжести дуги полуокружности радиуса R (рис. 129). Будем вращать эту дугу вокруг оси у, совпадающей с диаметром, тогда поверхность вращения, представляющая поверхность шара, будет Длина плоской кривой . Подставляя значения F и L в равенство , получим:

Правила нахождения центра тяжести

При нахождении центров тяжести тел следует помнить следующие правила:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.
2. Если тело имеет две плоскости симметрии, то его центр тяжести находится на линии пересечения этих плоскостей.
3. Если тело имеет три плоскости симметрии, то его центр тяжести находится в точке пересечения этих плоскостей.
4. Если тело можно разбить на такие части , положения центров тяжести которых нам известно, то координаты центра тяжести тела найдутся по формулам (57), (59), (60), (61).

Чтобы получить вполне точные формулы для определения координат центра тяжести в упомянутых случаях, мы должны перейти к пределу в предположении, что число элементов неограниченно возрастает при стремлении величины каждого элемента к нулю.

При решении многих задач полезно пользоваться справочной таблицей положений центров тяжести.

Задача №1

Определить положение центра тяжести тела, состоящего из однородных стержней (рис. 130). Размеры указаны в сантиметрах.

Рис. 130.

Решение. Обозначим стержни, из которых состоит тело, через , их длины через , а координаты центра тяжести каждого стержня через

Тогда координаты центра тяжести всего тела по формуле (61) будут: так как тело имеет плоскость симметрии, параллельную плоскости zOx,

Задача №2

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (рис. 134). Размеры указаны в сантиметрах.

Рис. 134.

Решение. Разобьем площадь пластинки на три площади (два прямоугольника и

один треугольник), положения центров тяжести которых нам известны.

Обозначив эти площади соответственно через , на основании равенств (60) получим:

Задача №3

В нижнюю часть прямоугольника вписана окружность (рис. 135). Найти статические моменты заштрихованной площади относительно осей х и у.

Рис. 134.

Решение. Искомые статические моменты определятся по формулам (62) путем вычитания из статического момента площади прямоугольника статического момента площади круга:

 

Задача №4

Определить координаты центра тяжести однородного тела, все ребра которого параллельны соответствующим координатным осям (рис. 136). Размеры на чертеже проставлены в сантиметрах.

Рис. 136.

Указание: разбиваем все тело каким-либо способом на три прямоугольных параллелепипеда, положения центров тяжести которых нам известны, и по формулам (59а) определяем координаты центра тяжести тела.

Ответ:  

Задача №5

Найти положение центра тяжести дуги окружности, радиус которой R, длина  и хорда .

Решение. Проведем ось через центр дуги и середину ее хорды; тогда центр тяжести дуги будет находиться на оси , которая является ее осью симметрии.

Рис. 137.

Разобьем дугу на бесконечное множество элементов и обозначим абсциссу середины каждого элемента через х. Тогда абсцисса центра тяжести всей дуги может быть найдена по первой формуле (61):

Из подобия заштрихованных ков (рис. 137) находим: , или   и, следовательно: 

Задача №6

Найти координаты центра тяжести заштрихованной фигуры, контур которой ограничен полуокружностями диаметром 20 см и 10 см (рис. 138). 

Рис. 138.

Решение. Будем считать, что заданная фигура состоит из трех частей I, II  и III, из которых площади I и III ограничены осью и полуокружностями диаметром 10 см, а площадь II ограничена той же осью и полуокружностью диаметром 20 см. Так как на самом деле площади I не существует, то ее следует брать со знаком минус.

Обозначая площадь I, II и III  через , координаты их центров тяжести через и пользуясь равенством (64), имеем:

Применяя формулы (60), получим:

• Заказать решение задач по теоретической механике

Координаты центра параллельных сил

Центром параллельных сил называют точку на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, вокруг которой поворачивается эта линия действия, если все силы поворачиваются вокруг точек их приложения, оставаясь параллельными между собой

Центр параллельных сил. Система параллельных сил, приложенных к твердому телу и направленных в одну сторону, не может находиться в равновесии или приводиться к паре сил—такая система приводится к равнодействующей. Пусть параллельные силы , , , . . ., (рис. 70), составляющие данную систему, не лежат в одной плоскости.

Для получения равнодействующей применим метод последовательного сложения. Сначала сложим две силы и по известному правилу сложения двух параллельных сил. Равнодействующую этих сил обозначим и приложим в точке C₁₂, находящейся на прямой, соединяющей точки приложения А и В слагаемых сил, и определяемой из пропорции

     (11)

Рис. 70

Затем проведем плоскость через линии действия сил и  и найдем равнодействующую трех сил R123, которую мы приложим, руководствуясь тем же правилом, в точке . Поступая далее таким же образом, мы найдем равнодействующую всей системы и точку C ее приложения.

Предположим, что все параллельные силы повернулись в какую-либо сторону на некоторый угол. Очевидно, что тогда и равнодействующая двух первых сил повернется в ту же сторону и на тот же угол, так как равнодействующая параллельных сил параллельна своим составляющим. Точка C₁₂ останется на прежнем месте, так как модули сил F₁ и F₂ и их точки приложения А и В не изменились, а следовательно, не изменилась и пропорция (11). Не изменится также и модуль равнодействующей, равный, как известно, сумме модулей составляющих сил. Но если величина и точка приложения силы не изменились, а сила повернулась, став параллельной , то, следовательно, не изменится и точка приложения равнодействующей трех сил системы. Рассуждая таким образом и дальше, мы убедимся, что и точка C останется на прежнем месте, а линия действия равнодействующей  повернется вокруг этой точки, оставаясь параллельной линиям действия сил системы.

Точка приложения равнодействующей не является строго фиксированной, так как равнодействующую всегда можно перенести в другую точку ее линии действия, поэтому мы определим центр параллельных сил как точку на прямой действия равнодействующей системы параллельных сил, вокруг которой поворачивается эта прямая, если все параллельные силы поворачиваются вокруг точек их приложения, оставаясь параллельными между собой.

Центром тяжести твердого тела называют центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела

Центр тяжести и его координаты

Примером центра параллельных сил может явиться центр подъемных сил корабля или центр давления насыпи на плоскую стенку. Но особенно часто приходится определять центр параллельных сил тяжести, которые, по сути дела, не являются параллельными, но могут с большой точностью быть приняты за параллельные. Под действием силы тяжести каждая материальная частица тела, находящаяся вблизи Земли, притягивается к Земле и вектор силы тяжести направлен «вниз» по отвесу к центру Земли. Таким образом, силы тяжести двух частиц не являются параллельными, так как их линии действия пересекаются в центре Земли. Однако громадные размеры Земли и сравнительно небольшие размеры материальных тел, центры тяжести которых приходится определять, позволяют считать силы тяжести частиц одного тела параллельными. Например, направления сил тяжести двух частиц, находящихся на корме и на носу океанского лайнера длиной 300 м, составляют между собой угол в десять секунд дуги, который невозможно даже отметить на чертеже ввиду его малости. C очень большой точностью можно принимать силы тяжести различных частиц одного и того же тела за параллельные, а общий вес тела считать приложенным в центре этих параллельных сил тяжести, называемом центром тяжести тела.

Как бы ни поворачивали тело и ни изменяли его положение по отношению к Земле, силы тяжести его отдельных частиц останутся вертикальными и параллельными между собой. Относительно тела они будут поворачиваться вокруг своих точек приложения, сохраняя величину и параллельность. При этом линия действия равнодействующей параллельных сил будет проходить через одну и ту же точку— центр тяжести. Отсюда следует, что центр тяжести твердого тела не изменяет своего положения относительно этого тела при изменении положения самого тела. Положение центра тяжести в теле зависит только от формы тела и от распределения в нем материальных частиц.

Координаты центра тяжести определяются равенствами

Отыскивать центр тяжести какого-либо тела методом последовательного сложения векторов сил тяжести его частиц не представляется целесообразным из-за громоздкости вычислений. Мы выведем общие формулы, позволяющие сравнительно легко определять координаты центра параллельных сил (или центра тяжести тела).

Разобьем мысленно тело на такие части, центры тяжести которых можно было бы сравнительно легко определить. Заменим каждую такую часть точкой (которую мы будем называть изображающей точкой), совпадающей с центром тяжести этой части и имеющей вес, равный весу этой части тела. Таким образом, изображающая точка характеризуется своим весом и положением в исследуемом теле, а все твердое тело заменено нами системой изображающих точек. Положим, что изображающих точек в теле получилось п. Веса этих точек будем обозначать буквой G с индексом, указывающим принадлежность к той или иной точке: G_l, G₂, G₃, …. G_n. Построим систему координат, неразрывно связанную с данным телом, направив ось Oz по вертикали вверх (рис. 71, а), и обозначим координаты изображающих точек через х, у и z с индексами, соответствующими точкам. Равнодействующая всех сил тяжести системы изображающих точек равна весу G всего тела, приложенному в его центре тяжести, координаты которого обозначим x_c, у_с и z_c.

Mx=yZ — zY, My = zX—xZ, Mz = xY — yX.     (23)

Выразим по первой из этих формул моменты относительно оси х сил тяжести всех частей тела, т. е. сил, приложенных к изображающим точкам. Проекции этих сил на ось у равны нулю, а на ось z — весам соответствующих частей тела с отрицательным знаком:

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим

Выразим теперь по той же формуле (23) момент равнодействующей относительно оси Ох:

M_x(G) = -y_cG.

В левой части этого равенства записан момент равнодействующей G относительно оси х, а в левой части предыдущего равенства—сумма моментов всех составляющих относительно той же оси. Эти две величины равны ,между собой, следовательно, равны и правые части равенства, т. е.

Из этого соотношения находим ординату центра тяжести:

Если воспользоваться вторым из равенств (23)

My = zХ—xZ

и определить сумму моментов сил тяжести, приложенных к изображающим точкам, относительно оси у, приравняв ее моменту равнодействующей относительно той же оси, то аналогично предыдущему получим абсциссу центра тяжести

Для определения аппликаты z_c центра тяжести тела повернем это тело вместе с осями координат на 90° вокруг оси х в направлении вращения стрелок часов, тогда место оси у займет ось z, а ось у будет направлена по вертикали вниз. В результате этого поворота все силы тяжести повернутся на один и тот же угол 90°, а центр параллельных сил (или в нашем случае—центр тяжести тела) не изменит своего местоположения как относительно тела, так и относительно неразрывно связанных с ним координатных осей (рис. 71,б).

Силы тяжести расположатся теперь параллельно оси у, и их проекции Y на эту ось будут положительны и равны модулям сил тяжести. Найдем моменты сил тяжести относительно оси х при новом положении тела:

Суммируя отдельно левые и правые части этих равенств, найдем

Определив момент равнодействующей относительно той же оси, получим

М_x(G) = -Z_cG

и, приравнивая момент равнодействующей сумме моментов составляющих, найдем аппликату центра тяжести:

Напишем теперь вместе выведенные нами формулы:

Эти формулы определяют положение центра тяжести.

Суммы произведений сил на координаты точек их приложения, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами, а в знаменателях всех формул мы имеем вес всего тела.

Координаты х, у и z всякой точки равны проекциям на оси координат радиуса-вектора точки относительно начала координат. Следовательно, три аналитических равенства (45) можно заменить одним векторным равенством

Центр тяжести линий, плоских фигур и тел

Если тело имеет плоскость симметрии (или ось симметрии, или центр симметрии), то центр тяжести тела лежит на этой плоскости (оси или в центре) симметрии

Если тело однородное, то, представляя, вес тела как произведение его объема V на вес γ единицы объема, а вес  γ отдельных его частей — как произведение γ на их объем, получим:
          (46)

В таком смысле можно говорить о центре тяжести объема, понимая под этим центр тяжести однородного тела данной геометрической формы.

В том же смысле говорят о центре тяжести поверхностей и фигур, понимая под этим центр тяжести однородных пластин равной толщины. Его можно определить по аналогичным формулам:

          (47)

где S_k (при k=1, 2, 3, …. n) — площади отдельных частей пластины, S—площадь всей пластины.

В том же смысле говорят и о центре тяжести линий, понимая под линией тонкую однородную нить:
          (48)
Если тело, хотя бы и неоднородное, имеет плоскость симметрии, т. е. каждой частице тела по одну сторону этой плоскости соответствует симметрично расположенная частица такого же веса по другую сторону плоскости, то центр тяжести такого тела лежит на плоскости симметрии. В самом деле, если каждой частице по одну сторону плоскости соответствует такая же по весу и симметрично расположенная частица по другую сторону, то равнодействующая сила тяжести этих двух частиц приложена к точке, лежащей в плоскости симметрии. По той же причине в плоскости симметрии лежат, и точки приложения равнодействующих весов других взятых попарно симметричных частиц. Складывая эти равнодействующие, найдем и их равнодействующую, которая приложена в той же плоскости, а точка приложения этой равнодействующей лежит в центре тяжести тела.

Для случая, если тело имеет ось симметрии или центр симметрии, можно доказать аналогичные теоремы. Из этих теорем можно вывести следующие следствия:

1. центр тяжести однородного прямого стержня (или отрезка прямой) лежит в его середине;
2. центр тяжести параллелограмма (однородной тонкой пластины, имеющей форму параллелограмма) лежит в точке пересечения его диагоналей, являющейся центром симметрии параллелограмма;
3. центры тяжести однородного правильного многоугольника, круга, эллипса, шара лежат в их геометрических центрах.

В виде примеров ограничимся определением центров тяжести дуги окружности и площади треугольника, так как учащиеся будут иметь возможность и даже необходимость определять центры тяжести различных тел на упражнениях по интегральному исчислению. Построим оси координат, как показано на чертеже (рис. 72), и разобьем дугу на n элементарных отрезков Δl_k. Центр тяжести дуги лежит на оси симметрии (y_c= 0). Абсциссу центра тяжести найдем по (48):

Приняв элементарные отрезки дуги за прямолинейные, разложим один из них на Δx_k и Δy_k. Если радиус, проведенный на середину этого отрезка, составляет с осью Ox угол a_k, то, как видно из чертежа,

откуда 

x_kΔl_k= r∆y_k.

Составим такие выражения для всех отрезков и просуммируем их:

где h—длина хорды. Подставив найденное выражение в (48), определим центр тяжести дуги.

Учитывая, что h = 2r sin α и l = 2ar, этой формуле можно дать следующий вид:

В частности, для полуокружности 

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан на расстоянии от основания, равном одной трети высоты

Разобьем площадь треугольника (рис. 73) прямыми, параллельными основанию, на очень большое число узких полосок, которые можно рассматривать как отрезки прямых линий. Центр тяжести каждого отрезка лежит на его середине, а потому и центр тяжести всей площади треугольника лежит где-то на медиане, соединяющей вершину треугольника с серединой его основания. Разбив площадь треугольника прямыми, параллельными какой-либо другой стороне, и рассуждая аналогично, мы придем к заключению, что центр тяжести треугольника должен лежать и на другой медиане. Следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Как известно из планиметрии, медианы пересекаются на расстоянии одной трети от основания и двух третей от вершины.

Рис. 73

Для определения координат центра тяжести тел и фигур сложной формы эти тела и фигуры заменяют системой точек и определяют координаты по формулам (45)

Для нахождения координат центра тяжести тела (или фигуры), имеющего сложную форму, нужно мысленно разбить это тело (или эту фигуру) на такие простейшие формы (если, конечно, это возможно), для которых положение центра тяжести и вес могут быть легко определены. В центре тяжести каждой такой части тела считают приложенным вес этой  части. Будем называть, как мы это уже сделали выше, центры тяжести частей с приложенными в них весами этих частей изображающими точками. Для нахождения координат центра тяжести тела сложной формы остается лишь найти центр тяжести всех изображающих точек по формулам (45). Однако на практике эти подсчеты содержат большие трудности. Так, например, некоторые тела (пароходы, самолеты, автомобили и т. п.) приходится иногда заменять тысячами изображающих точек. В этих случаях может оказаться удобным подсчет по таблице, приведенной нами при решении следующей задачи.

Задача №7

Определить координаты центра тяжести контура прямоугольного параллелепипеда (рис. 74), ребра которого суть однородные бруски длиной: OA =8 дм; ОВ = 4 дм; OC = 6 дм; веса брусков, выраженные в ньютонах: OA =250; OB, ОС и CD по 75; CG = 200, AF= 125; AG и GE — по 50; BD, BF, DE и EF — по 25.

Рис. 74

Решение. Заменим стержни изображающими точками. Каждая из них имеет координаты середины того стержня который она изображает, и его вес.

Заполняем таблицу:

№ п.п.	Название	Gk	xk	yk	zk	Gkxk	Gkyk	Gkzk
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	OB OC CD BD BF OA CG DE AG AF EG EF	75 75 75 25 25 250 200 25 50 125 50 25	0 3 6 3 0 0 6 6 3 0 6 3	0 0 0 0 4 4 4 4 8 8 8 8	2 0 2 4 4 0 0 4 0 2 2 4	0 225 450 75 0 0 1200 150 150 0 300 75	0 0 0 0 100 1000 800 100 400 1000 400 200	150 0 150 100 100 0 0 100 0 250 100 100
		1000				2625	4000	1050

Суммируя третий столбец и подсчитав суммы трех последних, определяем вес системы и статические моменты, и нам остается лишь поделить статические моменты на вес системы.

Ответ. x_c=2,625 дм; y_c = 4,000 дм; z_c= 1,050 дм.

Если в теле или фигуре имеются полости или отверстия, то для определения центра тяжести пользуются теми же приемами и формулами, считая при этом объемы и площади вырезанных частей отрицательными. Этот метод иногда называют методом отрицательных масс.

Поясним применение этого метода решением задачи.

Задача №8

В диске радиуса r сделан эксцентрический вырез в виде круга, построенного на Радиусе как на диаметре. Найти центр тяжести оставшейся части диска (рис. 75).

Рис. 75

Решение. Оставшаяся часть диска имеет ось симметрии. Начало координат возьмем в центре диска и ось симметрии примем за ось Ох. Искомый центр тяжести лежит на оси симметрии, следовательно, у_c = 0. Найдем абсциссу центра тяжести. Для решения задачи воспользуемся методом отрицательных масс и представим оставшуюся часть диска двумя изображающими точками. Первая — это точка, лежащая в центре диска и имеющая массу, равную массе диска (считаем, что вырез в диске не сделан). Так как диск однородный, то за массу диска можно принять его площадь. Следовательно,

Вторая точка — это точка, лежащая в центре выреза, имеющая массу, равную массе вырезанной части диска, но взятую с обратным знаком. Опять вместо массы вырезанной части возьмем площадь. Имеем

От присоединения этой «отрицательной площади» к площади первого диска и получается фигура, изображенная на рис. 75.

Абсциссу центра тяжести оставшейся части диска находим по формуле

Ответ.  

Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости, равен произведению площади фигуры на длину дуги, описанной ее центром тяжести

Теоремы Паппы

При определении центров тяжести часто оказываются полезными две следующие теоремы. Пусть даны какая-либо плоская фигура, ее центр тяжести C (рис. 76) и ось zz, не пересекающая фигуры, но лежащая в ее плоскости. Разобьем площадь S фигуры на n элементарных частей ΔS_k. Поворачивая фигуру вокруг оси zz, получим тело вращения, которое можно представить как состоящее из элементарных колец, объемом 2πx_kΔS_k каждое.

Тогда объем тела

но  —статический момент площади, а потому

V=2πx_CΔS       (49)

Если объем тела и площадь образующей фигуры известны, то по (49) легко найти положение центра тяжести фигуры.

Рис. 76

Задача №9

Найти центр тяжести площади полуокружности. 
Решение. Объем шара , площадь полукруга , подставляя в (49), получаем

Ответ. х_c = 0,4244r.

Легко доказать аналогично и вторую теорему: площадь поверхности, описанной при вращении плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей эту кривую, равна произведению длины кривой на длину траектории, описанной ее центром тяжести.

S = 2πx_Cl.    (50)

Задача №10

Найти центр тяжести дуги полуокружности.

Решение. Поверхность шара S = 4πr², длина полуокружности l= πr. Подставляя в (50), получаем уже известный нам результат

Ответ. х_с = 0,6366r.

3)ТЕОРЕМА
О ТРЕХ СИЛАХ –
Если твердое тело находится в равновесии
под действием трех непараллельных сил,
лежащих в одной плоскости, то линии
действия этих сил пересекаются в одной
точке.

Для
доказательства теоремы рассмотрим
сначала какие-нибудь две из действующих
на тело сил, например

Т.к. по
условиям теоремы эти силы лежат в одной
плоскости и не параллельны, то их линии
действия пересекаются в некоторой точке
А. (РИС. 22) Приложим силы

в этой точке и заменим их равнодействующей

.
Тогда, на тело будут действовать две
силы: сила

и сила
приложенная
в какой-то точке В тела. Если тело при
этом находиться в равновесии, то силы


и

должны быть направлены по одной прямой,
т.е. вдоль АВ. Следовательно, линия
действия силы

тоже проходит через точку А, что и
требовалось доказать.

Билет – 6 «момент силы относительно точки».

Точку,
относительно которой берется момент,
называют ЦЕНТРОМ МОМЕНТА, а момент силы
относительно этой точки – МОМЕНТОМ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА. МОМЕНТОМ СИЛЫ

ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА О – называется
приложенный в центре О вектор



, модуль которого равен произведению
модуля F
силы на её плечо h
и который направлен перпендикулярно
плоскости, проходящей через центр О и
силу, в ту сторону, откуда сила видна
стремящейся повернуть тело вокруг
центра О против хода часовой стрелки
(рис. 31).

Билет-7 «Аналитические выражения момента силы относительно координатных осей»

Возьмем
три взаимно перпендикулярные координаты
оси x,
y,
z,
которым соответствуют орты I,
j,
k.

Момент
М₀
силы Р относительно начала координат,
выражается формулой

М₀=r
× P

Где
r-радиус-вектор
точки А приложения силы относительно
начала координат.

Разложим
вектор М₀
на составляющие по осям координат:

М₀₌i×M_x+j×M_y+k×M_z

Из
векторной алгебры известно, что векторное
произведение r×P
можно представить определителем:

i j k

r×P=
x y z

X Y Z

Приравнивая
значения М₀
и
определителя, разложенного по элементам
первой строки, получаем

i×M_x+j×M_y+k×M_z=i×(y×Z-z×Y)+j×(z×X-x×Z)+k×(x×Y-y×X)

Сопоставляя
левые и правые части этого равенства,
находим проекции момента М₀
на оси координат, равные моментам силы
Р относительно этих осей

M_x=y×Z-z×Y;
M_y=z×X-x×Z;
M_z=x×Y-y×X.

Билет-8 «Сложение параллельных сил. Пара сил. Момент пары.»

Сложение
параллельных сил параллельные направленные
в одну сторону силы

приложенные
в точках А и В.

Согласно
1-й и 2-й аксиомам статики перейдем от
данной системы параллельных сил к
эквивалентной системе сходящихся сил

.
Для этого приложим в точка А и В две
уравновешивающие силы

направленные
вдоль прямой АВ и сложим их с силами

по
правилу параллелограмма. Полученные
силы

перенесем
в точку О, где пересекаются их линии
действия и разложим на первоначальные
составляющие. Силы

отбросим
(по 2-й аксиоме статики) и останутся две
направленные по одной прямой силы

.
Эти силы переносим в точку С и заменяем
равнодействующей

модуль
которой равен:

Для
определения положения точки С рассмотрим
треугольники ОаК, ОАС, ОСВ, Оbm. Из подобия

т.к.

.
Далее учитывая свойства пропорций,
уравнение (3.1.1) и то, что

BC+AC=AB

получаем

Рассмотрим
случай сложения параллельных сдал
направленных в разные стороны.

Пусть

.

Выберем
на продолжении прямой АВ точку С и
приложим к ней уравновешенные силы

которые
параллельны

.
Положение точки С и модули сил выберем
таким образом, чтобы удовлетворялись
соотношения

Складываем
силы

и

,
согласно (3.1.1) и (3.1.4), получим их
равнодействующую

равную
по модулю

,
то есть модулю

и
приложенную в точке А. То есть силы

и

оказались
уравновешенными и их можно отбросить.

В
итоге силы

заменяются
одной силой

,
которая и является их равнодействующей.
Точка приложения С равнодействующей и
ее модуль определяются формулами
(3.1.5), (3.1.6).

С
помощью формул (3.1.1.) – (3.1.6) можно решать
задачу о разложении силы на две ей
параллельные. Задача будет определенной
при задании дополнительных условий.

Пара
сил. Момент пары.Система
двух равных по модулю, параллельных и
противоположно направленных сил

и

называется
парой сил. Система не находится в
равновесии, но и не имеет равнодействующей.

Плоскость,
проходящая через линии действия сил
называют плоскостью действия пары.
Расстояние d между линиями действия сил
пары называют плечом пары.

Действие
пары сил на твердое тело сводится к
вращательному эффекту и зависит от:

1)
модуля F и длины плеча d;2) положения
плоскости пары;3) направления поворота
в этой плоскости.Для характеристики
этого вращательного эффекта вводится
понятие момент пары.

Моментом
пары называется величина, равная взятому
с соответствующим знаком произведению
модуля одной из сил пары на ее плечо.

Момент
пары условимся считать положительным
(+), если пара стремится повернуть тело
против хода часовой стрелки, и отрицательным
(-) – когда по ходу часовой стрелки.

Обозначение
момента пары m или М без индекса имеет
свой смысл, так как момент пары нельзя
смешивать с моментом силы относительно
центра и этот центр указывается в индексе
(например:

).
Момент же пары определяется только
силами и плечом.

Действие
пары сил, как уже указывалось выше,
характеризуется тремя условиями. При
характеристике пар необходимо задавать
все три значения. Но мы знаем, что
вектор-нормаль к плоскости задает
значения второго и третьего условия.
Если мы теперь пронормируем вектор-нормаль
значением момента пары, то все три
условия будут выполнены. Эти соображения
и позволили рассматривать момент пары
как вектор. Будем изображать момент
пары вектором

или

,
модуль которого равен модулю момента
пары, и который направлен перпендикулярно
плоскости действия пары, в ту сторону
откуда поворот пары виден происходящим
против хода часовой стрелки.

Если
рассматривать только пары лежащие в
одной плоскости, то вместо вектора
момента пары, можно стрелкой указывать
только направлением поворота.Вектор

на
рис. 25 условно изображен выходящим из
точек В и D, однако он может изображаться
выходящим из середины АВ или CD или из
произвольной точки плоскости действия
пары, так как

БИЛЕТ
– 9

«ТЕОРЕМЫ
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР».

ТЕОРЕМА
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР: Две
пары сил, имеющие одинаковые моменты,
эквивалентны друг другу. Это следует
из того, что указанными операциями, т.е.
путем изменения плеча и перемещения
пары в плоскости действия или переноса
в параллельную плоскость, пары с
одинаковыми моментами могут быть
преобразованы одна в другую.

БИЛЕТ
– 10

«СЛОЖЕНИЕ
ПАР»

ТЕОРЕМА
О СЛОЖЕНИИ ПАР:
система пар, действующих на абсолютно
твердое тело, эквивалентна одной паре
с моментом, равным геометрической сумме
моментов слагаемых пар

Рассмотрим
сначала две пары с моментами

и

, лежащие в плоскостях I
и II
(рис.35). Возьмем на линии пересечения
плоскостей отрезок АВ = d
и изобразим пару с моментом

силами

и

, а пару с моментом

– силами

и

. Сложив силы, приложенные в точках А и
В, убеждаемся, что пары

и



и

действительно эквивалентны одной паре


,

. Найдем момент

этой пары. Так как

=
+

, то

*

=

*

+

*

или

=

+

БИЛЕТ-11

Для
любой системы сил, приложенных к твёрдому
телу, можно найти эквивалентную систему
сил, состоящую из силы, приложенной в
заданной точке (центре приведения),
и пары
сил.
Эта сила называется главным
вектором системы
сил, а момент, создаваемый парой
сил — главным
моментом относительно
выбранного центра приведения. Главный
вектор равен векторной сумме всех сил
системы и не зависит от выбранного
центра приведения. Главный момент равен
сумме моментов всех сил системы
относительно центра приведения.

О
сн
теор статики (теорема Пуансо): Всякую
пространственную систему сил в общем
случае можно заменить эквивалентной
системой, состоящей из одной силы,
прило­женной в какой-либо точке тела
(центре приведения) и равной глав­ному
вектору данной системы сил, и одной пары
сил, момент которой равен главному
моменту всех сил относительно выбранного
центра приведения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Законы сложения сил в механике

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1 ).

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника: от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0 : ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Разложение вектора силы по направлениям

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

• направления 2 -х составляющих сил;
• модуль и направление одной из составляющих сил;
• модули 2 -х составляющих сил.

Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а ).

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную – F 1 → (рисунок 5 в ). В итоге получаем искомую силу F → .

Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б ). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β – F 3 cos γ = F x = 4 – 3 3 2 ≈ – 0 , 6 Н .

Точно также для проекций на ось O Y : – F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 – 2 3 2 ≈ – 0 , 2 Н .

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н .

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):

t g φ = F y F x = 3 – 2 3 4 – 3 3 ≈ 0 , 4 .

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С . На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С . Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н ;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н .

Ответ: F 1 → = 557 Н ; F 2 → = 1155 Н .

Как найти равнодействующую трех векторов

Скорость автомобиля массой 1000 кг, движущегося вдоль оси Ox, изменяется со временем в соответствии с графиком (см. рисунок). Систему отсчета считать инерциальной. Чему равна равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль? (Ответ дайте в ньютонах.)

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, связана с ускорением и массой тела соотношением Из графика определим ускорение, которое остается постоянным на протяжении всего интервала времени:

Таким образом, равнодействующая всех сил равна

а если бы ускорение было отрицательно, то и равнодействующая была бы отрицательной?

Скорость, сила, ускорение — все это векторные величины. Правильно говорить не про их знак, а про знак проекции этих векторов на некоторую ось. Если проекция скорости уменьшается, то ускорение направлено против оси, а значит, так же направлена и равнодействующая. Следовательно, проекции этих величин отрицательны. По графику модуля скорости о знаке проекций судить нельзя. Действительно, имея только график, приведенный в условии, мы не можем сказать, ускоряется тело вдоль оси или против. Проекция ускорения может быть тут как положительной, так и отрицательной.

“Систему отсчета считать инерциальной.” Возможно ошибаюсь, ребят, но, вроде, в ИСО равнодействующая всех сил равна нулю.

ИСО — это система отсчета, в которой тело, на которое не действует никаких внешних сил, двигается равномерно и прямолинейно или покоится.

Равнодействующая сил, конечно, же может и отличаться от нуля, это, согласно второму закону Ньютона, приведет к появлению ускорения.

т.е. в инерциальной системе отсчёта нет силы трения?

и ещё: вы говорите, что тело в ИСО движется равномерно, а в условии задачи дано равноускоренное движение. так бывает?

Я не так говорю, не вырывайте слова и контекста. Я даю определение ИСО: это система отсчета, в которой тело, НА КОТОРОЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ ВНЕШНИЕ СИЛЫ, двигается равномерно и прямолинейно, либо покоится. А вот если СИЛЫ ДЕЙСТВУЮТ, то это приводит к появлению ускорения, о чем нам и говорит второй закон Ньютона.

Наличие силы трения определяется свойством поверхностей, а не выбором системы отсчета. И в данной задаче, она, конечно, присутствует и направлена по скорости движения автомобиля, иначе бы он просто не мог бы разгоняться. Но чему она равна, мы найти из данного графика не можем, так как есть и другие силы, например, сила сопротивления воздуха. Что мы может тут определить, так это равнодействующую всех сил. Именно ей определяется ускорение.

Пыталась найти ускорение как тангенс угла наклона касательной, то есть производную от v по t. Тут угол – 45 град, тангенс = 1, ускорение, стало быть, так же 1 м/с^2.

Подскажите пожалуйста, где в моих рассуждениях ошибка?

Ошибка в том, что тангенс надо считать, учитывая масштаб графика по осям. То есть Вы должны определить катеты прямоугольного треугольника, используя числа на осях, а потом поделить один катет на другой.

Кстати, простое доказательство, почему Ваше решение не верно. Сожмем картинку с графиком по вертикали в два раза. Угол на рисунке изменится, а ускорение, конечно, же останется прежним.

а почему считают ускорение до 8с. а не до 18, если найдем ускорение по всей длине то получается 10-0/18=1,8 и получается другой ответ!

Делить нужно на 20. Масштаб по горизонтальной оси: в одной клеточке 4 с

На тело, находящееся на горизонтальной плоскости, действуют три горизонтальные силы (см. рисунок, вид сверху). Каков модуль равнодействующей этих сил, если (Ответ дайте в ньютонах и округлите до десятых.)

На рисунке обозначена равнодействующая векторов и

Поскольку модуль вектора силы равен 1 Н, заключаем, что масштаб рисунка такой, что сторона одного квадрата сетки соответствует модулю силы 1 Н. Таким образом, модуль равнодействующей равен по теореме Пифагора

А как определили эту равнодействующую трёх сил, я понять не могу?!

Чтобы найти равнодействующую, необходимо сложить вектора всех сил (например, по правилу треугольника или параллелограмма складываем вектора по два).

Если сложить вектор и вектор , получится вектор, направленный вверх длиной в одну клеточку. Теперь осталось прибавить к нему вектор . В результате и получается то, что показано красной стрелкой.

векторы F1 и F3 никак нельзя сложить правилом треугольника! дак как эту задачц решить тут решения совсем непонятные!

Когда Вы складываете параллельные вектора, у Вас просто получается “вырожденный треугольник”. Правила все те же, к концу первого вектора прикладываем начало второго. Сумма векторов — это вектор, который начинается в начале первого и заканчивается в конце второго. То есть в данном случае у Вас получится вектор, направленный вверх и длиной в одну клеточку.

Две силы 3 H и 4 H приложены к одной точке тела, угол между векторами сил равен 90°. Чему равен модуль равнодействующей сил? (Ответ дайте в ньютонах.)

Силы и их равнодействующая указаны на рисунке. По теореме Пифагора, модуль равнодействующей сил равен

Под действием одной силы F₁ тело движется с ускорением 4 м/с 2 . Под действием другой силы F₂, направленной противоположно силе F₁, ускорение тела равно 3 м/с 2 . С каким ускорением тело будет двигаться при одновременном действии сил F₁ и F₂? Ответ дайте в метрах на секунду в квадрате.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на него: Силы и по условию, направлены противоположно, поэтому при их одновременном действии тело будет двигаться с ускорением

Тело подвешено на двух нитях и находится в равновесии. Угол между нитями равен 90°, а силы натяжения нитей равны 3 H и 4 H. Чему равна сила тяжести, действующая на тело? (Ответ дайте в ньютонах.)

Всего на тело действует три силы: сила тяжести и силы натяжения двух нитей. Поскольку тело находится в равновесии, равнодействующая всех трех сил должна равняться нулю, а значит, модуль силы тяжести равен

в условии написано,что нужно найти вес тела.

а в решении модуль силы тяжести.

Как вес может измеряться в Ньютонах.

В условии ошибка(

Вы путаете понятия массы и веса. Весом тела называется сила (а потому вес измеряется в Ньютонах), с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Как следует из определения, эта сила приложена даже не к телу, а к опоре. Невесомость — это состояние, когда у тела пропадает не масса, а вес, то есть тело перестает давить на другие тела.

Согласен, в решении была допущена некоторая вольность в определениях, сейчас она поправлена.

Понятие “вес тела” введен в учебную физику крайне неудачно. Если в бытовом понятии вес обозначает массу то в школьной физике, как вы правильно заметили весом тела называется сила (а потому вес измеряется в Ньютонах), с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Заметим, что речь идет об одной опоре и об одной нити. Если опор или нитей несколько несколько, понятие веса исчезает.

Привожу пример. Пусть в жидкости на нити подвешено тело. Оно растягивает нить и давит на жидкость с силой равной минус сила Архимеда. Почему же, говоря о весе тела в жидкости, мы не складываем эти силы, как Вы делаете в своем решении?

Я зарегистрировался на Вашем сайте, но не заметил, что же изменилось в нашем общении. Прошу извинить мою тупость, но я, будучи человеком старым, недостаточно свободно ориентируюсь на сайте.

Действительно, понятие веса тела весьма расплывчато, когда тело имеет несколько опор. Обычно вес в этом случае определяют как сумму взаимодействий со всеми опорами. При этом воздействие на газообразные и жидкие среды, как правило, исключается. Это как раз подпадает под описанный Вами пример, с подвешенным в воде грузиком.

Здесь сразу вспоминается детская задачка: “Что весит больше: килограмм пуха или килограмм свинца?” Если решать эту задачу по-честному, то нужно несомненно учитывать силу Архимеда. А под весом скорее всего мы будем понимать то, что нам будут показывать весы, то есть силу, с которой пух и свинец давят, скажем, на чашку весов. То есть здесь сила взаимодействие с воздухом как бы из понятия веса исключается.

С другой стороны, если считать, что мы откачали весь воздух и кладем на весы тело, к которому привязана веревочка. То сила тяжести будет уравновешиваться суммой силы реакции опоры и силой натяжения нити. Если мы понимаем вес как силу действия на опоры, препятствующие падению, то вес тут будет равен этой сумме силы растяжения нити и силы давления на чашку весов, то есть совпадать по величине с силой тяжести. Опять возникает вопрос: чем нитка лучше или хуже силы Архимеда?

В целом тут можно договориться до того, что понятие веса имеет смысл только в пустом пространстве, где есть только одна опора и тело. Как тут быть, это вопрос терминологии, которая, к сожалению, у каждого здесь своя, поскольку не столь уж это и важный вопрос 🙂 И если силой Архимеда в воздухе во всех обычных случаях можно пренебречь, а значит, на величину веса она особо повлиять не может, то для тела в жидкости это уже критично.

Если уж быть совсем честным, то разделение сил на виды весьма условно. Представим себе ящик, который тащат по горизонтальной поверхности. Обычно говорят, что на ящик действуют две силы со стороны поверхности: сила реакции опоры, направленная вертикально, и сила трения, направленная горизонтально. Но ведь это две силы, действующие между одними и теми же телами, почему же мы просто не рисуем одну силу, являющуюся их векторной суммой (так, кстати, иногда и делается). Тут, это, наверное, вопрос удобства 🙂

Так что я немного в замешательстве, что делать с данной конкретной задачей. Проще всего, наверное, переформулировать ее и задавать вопрос про величину силы тяжести.

Не переживайте, все в порядке. При регистрации Вы должны были указать e-mail. Если теперь зайти на сайт под своим аккаунтом, то при попытке оставить комментарий в окне “Ваш e-mail” должен сразу появляться тот самый адрес. После этого система будет автоматически подписывать Ваши сообщения.

Формула модуля равнодействующей силы

На тело могут оказывать действие не одна, а некоторая совокупность сил. Суммарное действие этих сил характеризуют, используя понятие равнодействующей силы.

Формула равнодействующей всех сил

Пусть на тело воздействуют в один и тот же момент времени N сил. Ускорение тела при этом равно сумме векторов ускорений, которые возникли бы при наличии каждой силы отдельно. Сила является векторной величиной. Следовательно, силы, действующие на тело, нужно складывать в соответствии с правилом сложения векторов. Равнодействующей силой ($overline$) называют векторную сумму всех сил, которые оказывают действие на тело в рассматриваемый момент времени:

Формула (1) – это формула равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Равнодействующая сила является искусственной величиной, которую вводят для удобства проведения вычислений. Равнодействующая сила направлена также как вектор ускорения тела.

Складывают векторы, используя правило треугольника (рис.1)

правило параллелограмма (рис.2).

или многоугольника (рис.3):

Второй закон Ньютона и формула модуля равнодействующей

Основной закон динамики поступательного движения в механике можно считать формулой для нахождения модуля равнодействующей силы, приложенной к телу и вызывающей ускорение этого тела:

$overline=0$, если силы, приложенные к телу, взаимно компенсируют друг друга. Тогда в инерциальной системе отсчета тело скорость движения тела.

При изображении сил, действующих на тело, на рисунке, в случае равноускоренного движения, равнодействующую силу, изображают длиннее, чем сумму сил, которые противоположно ей направлены. Если тело перемещается с постоянной скоростью или покоится, длины векторов сил (равнодействующей и сумме остальных сил), одинаковы и направлены они в противоположные стороны.

Когда находят равнодействующую сил, на рисунке изображают все учитываемые в задаче силы. Суммируют эти силы в соответствии с правилами сложения векторов.

Примеры задач с решением

Задание. К материальной точке приложены силы, направленные под углом $alpha =60<>^circ $ друг к другу (рис.4). Чему равен модуль равнодействующей этих сил, если $F_1=40 $Н; $F_2=20 $Н?

Решение. Силы на рис. 1 сложим, используя правило параллелограмма. Длину равнодействующей силы $overline$ найдем, применяя теорему косинусов:

Вычислим модуль равнодействующей силы:

[F=sqrt<<40>^2+<20>^2+2cdot 40cdot 20<cos (60<>^circ ) >>approx 52,92 left(Нright).]

Ответ. $F=52,92$ Н

Задание. Как изменяется модуль равнодействующей силы со временем, если материальная точка массы $m$ перемещается в соответствии с законом: $s=A<cos (omega t)(м) >$, где $s$ – путь пройденный точкой; $A=const;; omega =const?$ Чему равна максимальная величина этой силы?

Решение. По второму закону Ньютона равнодействующая сил, действующих на материальную точку равна:

Следовательно, модуль силы можно найти как:

Ускорение точки будем искать, используя связь между ним и перемещением точки:

Первая производная от $s$ по времени равна:

Подставим полученный в (2.5) результат, в формулу модуля для равнодействующей силы (2.2) запишем как:

Так как косинус может быть меньше или равен единицы, то максимальное значение модуля силы, действующей на точку, составит:

[spoiler title=”источники:”]

http://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=206

http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_134_formula_modulja_ravnodejstvujushhej_sily.php

[/spoiler]