Как составить уравнение колебания математического маятника – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, $theta$ — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения^[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

${displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {L over g}}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника[править | править код]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса $L$ , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса^[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона ${displaystyle m{vec {a}}={vec {F}}}$ для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ( ${displaystyle ma_{tau }=F_{tau })}$ , получится выражение

${displaystyle mL{ddot {theta }}=-mgsin theta }$ ,

так как ${displaystyle a_{tau }={dot {v}}=d/dt(Ldtheta /dt)}$ , а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту ${displaystyle F_{tau }}$ даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

${displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}sin theta =0}$ ,

где неизвестная функция $theta (t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, $L$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов ${displaystyle sin theta approx theta }$ это уравнение превращается в

${displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}theta =0}$ .

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол $theta$ и его производную ${displaystyle {dot {theta }}}$ при $t=0$ .

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости ${displaystyle {dot {theta }}}$ от угла $theta$ . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Маятник висит
Малые колебания (размах 45°)
Колебания с размахом 90°
Колебания с размахом 135°
Колебания с размахом 170°
Фиксация в верхнем положении
Движение близкое к сепаратрисе
Вращение маятника

Гармонические колебания[править | править код]

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена ${displaystyle sin theta approx theta }$ , называется гармоническим уравнением:

${displaystyle {ddot {theta }}+omega _{0}^{2}theta =0}$ ,

где ${displaystyle omega _{0}={sqrt {g/L}}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» ${displaystyle x=Lsin theta approx Ltheta }$ (ось $x$ лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}$ .

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону^[2]:

${displaystyle x=Asin(omega _{0}t+alpha )}$ ,

где $A$ — амплитуда колебаний маятника, $alpha$ — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной $x$ , то при $t=0$ необходимо задать координату $x_{0}$ и скорость ${displaystyle v_{x0}}$ , что позволит найти две независимые константы $A$ , $alpha$ из соотношений ${displaystyle x_{0}=Asin alpha }$ и ${displaystyle v_{x0}=Aomega _{0}cos alpha }$ .

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

${displaystyle sin {frac {theta }{2}}=varkappa cdot operatorname {sn} (omega _{0}t;varkappa ),}$

где $operatorname {sn}$ — это синус Якоби. Для $varkappa <1$ он является периодической функцией, при малых $varkappa$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр $varkappa$ определяется выражением

${displaystyle varkappa ={frac {varepsilon +omega _{0}^{2}}{2omega _{0}^{2}}},quad varepsilon ={frac {E}{mL^{2}}}}$ .

Период колебаний нелинейного маятника составляет

${displaystyle T={frac {2pi }{Omega }},quad Omega ={frac {pi }{2}}{frac {omega _{0}}{K(varkappa )}}}$ ,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

${displaystyle T=T_{0}left{1+left({frac {1}{2}}right)^{2}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}sin ^{4}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots +left[{frac {left(2n-1right)!!}{left(2nright)!!}}right]^{2}sin ^{2n}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots right}}$

где $T_{0}=2pi {sqrt {frac {L}{g}}}$ — период малых колебаний, $theta _{0}$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

${displaystyle T=T_{0}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)right)}$ .

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года^[3]:

${displaystyle T={frac {2pi }{M{big (}cos(theta _{0}/2){big )}}}{sqrt {frac {L}{g}}}}$ ,

где ${displaystyle M(s)}$ — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и $s$ .

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты[править | править код]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

Если амплитуда колебания маятника близка к $pi$ , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения^[4].
Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также[править | править код]

Физический маятник
Маятник Фуко
Маятник Дубошинского

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Главный редактор А. М. Прохоров. Маятник // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1983. — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
↑ Adlaj S. An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 59, no. 8. — P. 1096—1097. — ISSN 1088-9477.
↑ В. В. Вечеславов. Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений // Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, № 5. — С. 1—5. Архивировано 14 февраля 2017 года.

Ссылки[править | править код]

Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР

Источник

Как написать уравнение движения математического маятника

«Физика – 11 класс»

Колебания тела можно описать, используя законы Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости F_упр пружины.
Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика.

В проекции на ось ОХ уравнение движения можно записать так:

где а_х и F_{x упр} – проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F_{x ynp} прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия.
Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки. Следовательно,

F_{x yпp} = -kх

Разделив левую и правую части уравнения на массу, получим уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости:

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Так как масса и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Уравнение движения математического маятника

При колебаниях маятника на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l.
Положение маятника в любой момент времени определяется одной величиной — углом альфа (α) отклонения нити от вертикали.
Пусть угол α>0, если маятник отклонен вправо от положения равновесия,
и α 0) составляющая силы тяжести F_t направлена влево и ее проекция отрицательна: F_t 0.

Проекция ускорения маятника на касательную к его траектории а_t характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Поступая налогично выводу форулы для маятника, колеблющегося под действием силы упругости,
получим уравнение движения для математического маятника (нитяного маятника):

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

где
l – длина нити маятника,
g – ускорение свободного падения,
х – смещение маятника.

Вывод:

Движение маятника на пружине и колебания маятника на нити происходят одинаковым образом, хотя силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу.
Ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).
Колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Источник: «Физика – 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса – Класс!ная физика

§ 1.3. Уравнение движения математического маятника

Рассмотрим простой маятник — шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Можно пренебречь и ее массой по сравнению с массой шарика. Таким образом, вместо реального маятника — шарика определенного размера на нити, которая, конечно, немного деформируется при движении и имеет массу, мы вправе рассматривать простую модель: материальную точку, подвешенную на нерастяжимой невесомой нити. Такая модель маятника называется математическим маятником в отличие от реального маятника, называемого физическим. Маленький шарик на длинной тонкой нити должен вести себя практически так же, как и математический маятник. Выведем маятник из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести = m, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити _у, направленная вдоль нити (рис. 1.8).

Конечно, при движении маятника на него еще действует сила трения. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой.

Силу тяжести удобно разложить на две составляющие: тангенциальную _τ, направленную по касательной к траектории перпендикулярно к нити, и нормальную _n, направленную вдоль нити. Сила упругости нити _у и составляющая силы тяжести _п перпендикулярны к скорости маятника и сообщают ему нормальное ускорение. Действие этих сил не меняет скорости маятника по модулю, а приводит лишь к изменению направления скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника.

Тангенциальная составляющая _τ силы тяжести создает тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю. Она всегда направлена к положению равновесия, и именно она вызывает колебания маятника.

При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он всегда движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l. Поэтому положение шарика в любой момент определяется одной величиной — углом α отклонения нити от вертикали (см. рис. 1.8). Будем считать угол α положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево.

Уравнение для тангенциальной составляющей ускорения

Тангенциальная проекция силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол α, выражается так:

(Мы считаем значение проекции положительным, если составляющая силы направлена слева направо.) Знак «-» в уравнении (1.3.1) стоит из-за того, что _τ и α имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (α > 0) составляющая _τ силы тяжести направлена влево и ее проекция отрицательна: _τ 0.

Согласно второму закону Ньютона

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим:

До сих пор считалось, что углы отклонения нити от вертикали могут быть любыми, в дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если выражать угол α в радианах, sin α ≈ α. Следовательно,

Смещение шарика маятника от положения равновесия можно характеризовать не только углом, но и величиной, измеряемой длиной дуги ОА (см. рис. 1.8), взятой со знаком «+», если шарик смещается от положения равновесия вправо, и со знаком «-», если он смещается влево. Очевидно, что

где s — длина дуги ОА.

Подставив в уравнение (1.3.4) это значение α, получим:

приходим к окончательному виду уравнения движения маятника при малых углах отклонения от положения равновесия:

Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (1.2.6) движения шарика, прикрепленного к пружине. Здесь только вместо проекции ускорения а_x стоит тангенциальное ускорение а_τ и вместо координаты х — величина s. Да и зависит уже не от жесткости пружины и массы груза, а от ускорения свободного падения и длины нити. Но по-прежнему ускорение прямо пропорционально смещению (определяемому дугой) шарика от положения равновесия. Если бы мы в случае маятника обозначили тангенциальное ускорение через а_x, а дугу через х, то оба уравнения (1.2.6) и (1.3.8) были бы неразличимы.

Важное заключение. Мы пришли к замечательному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и маятник, одинаковы. Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения груза на пружине и шарика маятника от положения равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это сила упругости, а во втором — составляющая силы тяжести.

Уравнение движения (1.2.6), как и уравнение (1.3.8), выглядит внешне очень просто: ускорение прямо пропорционально координате. Но решить его, т. е. определить, как меняется координата колеблющегося тела с течением времени, не просто. До сих пор в механике мы в основном рассматривали движение с постоянным ускорением. При колебаниях же ускорение меняется со временем, так как меняется сила, действующая на тело.

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник – классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

где $alpha $ – начальная фаза колебаний; $<varphi >_0$ – амплитуда колебаний; $<omega >_0$ – циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора – это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ – кинетическая энергия маятника; $E_p$ – потенциальная энергия маятника; $v$ – скорость движения маятника; $x$ – линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол – смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<omega >_0x_m$ – максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=frac<2g>$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87 frac<м><с^2>$

[spoiler title=”источники:”]

http://ansevik.ru/fizika-11/3.html

http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_149_formuly_matematicheskogo_majatnika.php

[/spoiler]

Источник

Формулы математического маятника в физике

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Определение

Математический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого
сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Формулы математического маятника, рисунок 1

Уравнение движения математического маятника

[ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),]

где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

[varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }]

где $alpha $ – начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая частота.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

[ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).]

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).]

Уравнение энергии для математического маятника

[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),]

[varphi =frac{x}{l}left(6right).]

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

[E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;]

Максимальная величина кинетической энергии:

[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),]

где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ – максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Пример 1

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы математического маятника, пример 1

[frac{mv^2}{2}=mgh left(1.1right).]

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

[h=frac{v^2}{2g}.]

Ответ. $h=frac{v^2}{2g}$

Пример 2

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(2.1right).]

Выразим из нее ускорение:

[g=frac{4{pi }^2l}{T^2} .]

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

[g=frac{4{pi }^2cdot 1}{2^2}={pi }^2approx 9,87 left(frac{м}{с^2}right).]

Ответ. $g=9,87 frac{м}{с^2}$

Читать дальше: формулы пружинного маятника.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Лекция
9

Теория
колебаний.

Колебания
бываю различной природы

Механические,
электромагнитные, звуковые.

Последовательные
периодические изменения параметров
системы называются колебаниями.

Время,
за которое система возвращается в
начальное состояние после вывода ее из
положения равновесия, называется
периодом -Т.

Количество
колебаний, совершаемых за единицу
времени, называется частотой.

–
частота [Гц]

Колебания,
подчиняющиеся тригонометрическим
законам, называются гармоническими.

Математический маятник

Сейчас уже невозможно
проверить легенду о том, как Галилей,
стоя на молитве в соборе, внимательно
наблюдал за качанием бронзовых люстр.
Наблюдал и определял время, затраченное
люстрой на движение туда и обратно. Это
время потом назвали периодом колебаний.
Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить
период колебаний люстр, подвешенных на
цепях разной длины, он использовал
частоту биения своего пульса.

Маятники используют
для регулировки хода часов, поскольку
любой маятник имеет вполне определённый
период колебаний. Маятник находит также
важное применение в геологической
разведке. Известно, что в разных местах
земного шара значения g различны. Различны
они потому, что Земля — не вполне
правильный шар. Кроме того, в тех местах,
где залегают плотные породы, например,
некоторые металлические руды, значение
g аномально высоко. Точные измерения g
с помощью математического маятника
иногда позволяют обнаружить такие
месторождения.

Уравнение движения
математического маятника

Математическим
маятником называется тяжёлая материальная
точка, которая двигается или по
вертикальной окружности (плоский
математический маятник), или по сфере
(сферический маятник). В первом приближении
математическим маятником можно считать
груз малых размеров, подвешенный на
нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение
плоского математического маятника по
окружности радиуса l с центром в точке
О (рис. 1). Будем определять положение
точки М (маятника) углом отклонения φ
радиуса ОМ от вертикали. Направляя
касательную M t в сторону положительного
отсчёта угла φ , составим естественное
уравнение движения. Это уравнение
образуется из уравнения движения

mа
= F + N, (1)

где F — действующая
на точку активная сила, а N — реакция
связи.

Рис.1

Уравнение (1) мы
получили по второму закону Ньютона,
который является основным законом
динамики и гласит, что производная по
времени от количества движения
материальной точки равна действующей
на неё силе, т. е.

(2).

Считая массу
постоянной, можно представить предыдущее
уравнение в виде

или

где W есть ускорение
точки.

Итак, уравнение
(1) в проекции на ось t даст нам одно из
естественных уравнений движения точки
по заданной неподвижной гладкой кривой:

или
.

В нашем случае
получим в проекции на ось t,
где m есть
масса маятника.

Так как

или
,
отсюда находим

.
Сокращая
на m будем окончательно иметь:

(4).

Рассмотрим сначала
случай малых колебаний. Пусть в начальный
момент маятник отклонён от вертикали
на угол φ и опущен без начальной скорости.
Тогда начальные условия будут:

при t = 0,
(5).

Из интеграла
энергии:

(6),
где
V — потенциальная энергия, а h — постоянная
интегрирования, следует, что при этих
условиях в любой момент времени угол φ_< φ₀. Значение постоянной h
определяется по начальным данным.
Допустим, что угол φ₀ мал (φ₀
<< 1); тогда угол φ будет также мал, и
можно приближённо положить sin φ -» φ. При
этом уравнение (4) примет вид

(7).

1)
Колебания груза за счет сжатой пружины

Закон
Гука: сила, действующая со стороны
пружины, пропорциональна деформации
(сжатию).

F = – kx

Второй
закон Ньютона

Подставляя
выражение для ускорения через производную

Алгебраические
преобразования

Каноническое
уравнение колебаний

x
– смещение груза относительно положения
равновесия;

-собственная
частота колебаний

2)Математический
маятник(груз точечный, нить жесткая,
отклонения малы)

Координатное
описание с использованием равновесия
сил

Векторная
запись

Запись
в проекциях на оси

Представление
через вращательное движение

Угловая
скорость

Угловое
ускорение

Закон
вращательного движения

(произведение
момента инерции на угловое ускорение
равняется моменту силы)

Расписывая
момент инерции, угловое ускорение и
момент силы, перепишем

при

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
13.03.20163.54 Mб24Фелдман Л. Основы анализа поверхности.djvu
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Математический маятник. Период колебаний математического маятника

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).

Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести (vec F) и сила упругости (vec F_{ynp}) нити взаимно компенсируются.

Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы (vec F) и (vec F_{ynp}) не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести (vec F_tau), действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение (vec a_tau) (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести (vec F_tau) является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая (vec F_n) силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости (vec F_{ynp}). Равнодействующая сил (vec F_n) и (vec F_{ynp}) сообщает маятнику нормальное ускорение (~a_n), которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.

Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей (~F_tau = F sin alpha). В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая (vec F_tau) направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы (vec F_tau) увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.

Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l, а массу маятника — m.

Из рисунка 13.11 видно, что (~F_tau = F sin alpha), где (alpha =frac{S}{l}.) При малых углах (~(alpha <10^circ)) отклонения маятника (sin alpha approx alpha,) поэтому

(F_tau = -Ffrac{S}{l} = -mgfrac{S}{l}.)

Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона (m vec a = m vec g + F_{ynp}.) Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника

(~F_tau = ma_tau .)

Из этих уравнений получим

(a_tau = -frac{g}{l}S) — динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде[a_tau+frac{g}{l}S = 0]. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний (~a_x + omega^2x = 0) (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.

Обозначим (frac{g}{l} = omega^2.) Откуда (omega = sqrt frac{g}{l}) — циклическая частота колебаний маятника.

Период колебаний маятника (T = frac{2 pi}{omega}.) Следовательно,

(T = 2 pi sqrt{ frac{l}{g} })

Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.

Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.

Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением (vec a) то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле

(T = 2 pi sqrt{ frac{l}{g’} })

где (~g’) — “эффективное” ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения (vec g) и вектора, противоположного вектору (vec a), т.е. его можно рассчитать по формуле

(vec g’ = vec g + (- vec a).)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 374-376.

Источник

Характер движения маятника[править | править код]

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

Гармонические колебания[править | править код]

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Факты[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Как написать уравнение движения математического маятника

§ 1.3. Уравнение движения математического маятника

Уравнение для тангенциальной составляющей ускорения

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Уравнение движения математического маятника

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Уравнение энергии для математического маятника

Примеры задач с решением

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Уравнение движения математического маятника

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Уравнение энергии для математического маятника

Примеры задач с решением

Математический маятник

Математический маятник. Период колебаний математического маятника

Литература

Вам также может понравиться

Как найти перпендикуляр квадрата

Светлое пятно на джинсах как исправить

Как найти миллион решений

Добавить комментарий Отменить ответ