Как найти наименьший вычет

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Вычеты Добавлено: 14 дек 2013, 22:41
Мастер Зарегистрирован: 17 ноя 2013, 12:34 Сообщений: 224 Cпасибо сказано: 21 Спасибо получено: 1 раз в 1 сообщении Очков репутации: 1	Найти наименьший неотрицательный и наименьший по абсолютной величине вычет числа [math]586 pmod{ 13 }[/math] Наименьший неотрицательный 1,а вот второй вычет буде равен первому так как [math]1 < frac{ m }{ 2 }[/math] Или я неправа?
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю tan_tan “Спасибо” сказали: Xenia1996

grigoriew-grisha	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 00:12
Вернуться к началу

vorvalm	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 10:01
	tan_tan писал(а): Найти наименьший неотрицательный и наименьший по абсолютной величине вычет числа 586 Выражение “вычет числа” не имеет смысла. Вычет может быть из класса чисел [math]586equiv 1pmod{13}[/math]
Вернуться к началу

grigoriew-grisha	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 11:07
	vorvalm писал(а): tan_tan писал(а): Найти наименьший неотрицательный и наименьший по абсолютной величине вычет числа 586 Выражение “вычет числа” не имеет смысла. Вычет может быть из класса чисел [math]586equiv 1pmod{13}[/math] Ентот грамотей грамотее БСЭ! Ржунимагу!!! Вот ссылочка на БСЭ, на всякий случай повторю ее здесь: “Вычет, 1) в теории чисел. Число а называется вычетом числа b по модулю m, если разность а — b делится на m (a, b, m > 0 — целые числа). Например, число 24 есть Вычет числа 3 по модулю 7, так как 24—3 делится на 7. ”
Вернуться к началу

vorvalm	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 12:34
	“Профессионалу” негоже обращаться к БСЭ. Для этого есть учебники по Теории Чисел. А.А.Бухштаб, определение 25: “Вычетом класса называется любое из чисел, принадлежащих этому классу.” И.М.Виноградов. “Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам этого же класса.”
Вернуться к началу

vorvalm	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 14:41
	Слово ” вычет”(deduction) означает число, взятое из из какой-либо последовательности чисел.
Вернуться к началу

grigoriew-grisha	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 14:56
	vorvalm писал(а): Слово ” вычет” означает число, взятое из из какой-либо последовательности чисел. Сразу видно, “Ас Пушкин”! Специалист по большой черной гайке в левом лонжероне кукурузника, попробуй Асилить ТФКП, там тоже “вычеты” есть, но они не не являются членами последовательностей.
Вернуться к началу

vorvalm	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 15:00
	Термин “вычет” взят из учебника И.М.Виноградова “Основы теории чисел” 1981 г. Статья в БСМ датирована 1961 г. Последний раз редактировалось vorvalm 15 дек 2013, 15:06, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу

grigoriew-grisha	Заголовок сообщения: Re: Вычеты Добавлено: 15 дек 2013, 15:06
	vorvalm писал(а): Термин “вычет” взят из учебника И.М.Виноградова “Основы теории чисел” 1981 г. Дальше-то что? Разве в этом учебнике Иван Матвеевич запрещает говорить о вычете одного числа по другому? У “всерешателей”, как обычно, нелады с простейшей логикой: “я видел в зоопарке слона, поэтому жирафов не бывает”.
Вернуться к началу

Будем рассматривать
целые числа в связи с остатками от
деления их на данное целое положительное
m
– модуль.
Если 2 целых числа a
и b
имеют одинаковый остаток от деления
на m,
то говорят, что они называются
равноостаточными
или сравнимыми
по модулю
m,
и пишут a
≡ b
(mod
m),
что равносильно a
= b+mt,
где tZ,
или m(a–b)
(очевидно)

3.1. Свойства сравнений:

1. a ≡
   b (mod
   m),
   b ≡ c
   (mod
   m),
   a ≡ c(mod
   m)

2. a ≡
   b (mod
   m)
   b ≡ a(mod
   m)

3. a₁
   ≡ b₁
   (mod
   m),
   a₂
   ≡
   b₂
   (mod m),
   … , a_k
   ≡ b_k
   (mod m)
   =>

a₁+…+a_k
≡
b₁+…b_k(mod
m)

1. a+b ≡
   c (mod
   m)
   a ≡ c–b(mod
   m)

2. a ≡
   b (mod
   m)
   a+mt ≡ b+mk(mod
   m)
   (t,
   k
   Z)

3. a ≡
   b (mod
   m),
   c ≡ d (mod
   m)
   ac ≡ bd(mod
   m)

4. a ≡
   b (mod
   m)
   a^k
   ≡ b^k(mod
   m)

5. a ≡
   b
   (mod m)
   ak ≡ bk(mod
   m)

6. Если
   a
   ≡ b
   (mod m),
   (a,
   b)
   = c,
   (c,
   m)
   = 1
   (modm)

7. a ≡
   b
   (mod m)
   ak
   ≡ bk (mod
   mk)

8. a ≡
   b
   (mod m),
   a
   = a₁d,
   b
   = b₁d,
   m
   = m₁d
   a₁
   ≡ b₁(mod
   m₁)

9. a
   ≡ b
   (mod m₁),
   a
   ≡ b(mod m₂),
   …, a
   ≡ b(mod
   m_k)
   

a
≡ b
(mod НОК(m₁,…,m_k))

1. a
   ≡ b
   (mod m),
   dm
   a
   ≡ b(mod
   d)

2. da,
   dm,
   a
   ≡ b(mod
   m)
   db
   

3. a
   ≡ b
   (mod
   m)
   (a,
   m)
   = (b,
   m)

Доказательство
данных свойств не представляет сложности
и может быть проведено читателем
самостоятельно. Найти доказательства
этих свойств можно в [5].

3.2. Полная система вычетов.

Совокупность
чисел, сравнимых с a
по модулю m
называется классом
чисел по
модулю m
(или классом эквивалентности). Все числа
одного класса имеют вид mt
+ r
при
фиксированном r.

При заданном m,
r
может принимать значения от 0 до m—1,
т.е. всего существует m
классов чисел по модулю m,
и любое целое число попадет в один из
классов по модулю m.
Таким образом,

Z
= [0]_m[1]_m…[m—1]_m,
где [r]_m={xZ:
x≡r(mod
m)}

Любое число класса
[r]_m
называется вычетом
по модулю m
по отношению ко всем числам того же
класса. Число, равное остатку r,
называется наименьшим
неотрицательным вычетом.

Вычет, наименьший
по абсолютной величине, называется
абсолютно
наименьшим вычетом.

Пример

Возьмем модуль
m=5.
И пусть a=8.
Разделим a
на m
с остатком:

8=5·1+3.

Остаток r=3.
Значит 8[3]₅,
и наименьший неотрицательный вычет
числа 8 по модулю 5 есть 3.

Абсолютно наименьший
вычет можно отыскать, вычислив r—m=3—5=—2,
и сравнив абсолютные величины |—2| и
|3|. |—2|<|3|, значит —2 – абсолютно
наименьший вычет числа 8 по модулю 5.

Взяв от каждого
класса по одному вычету, получим полную
систему вычетов
по модулю m.
Если все эти числа будут являться
наименьшими неотрицательными вычетами
по модулю m,
то такая система вычетов называется
полной
системой наименьших неотрицательных
вычетов, и
обозначается Z_m.

{0; 1;…; m—1}
= Z_m
– полная система наименьших неотрицательных
вычетов.

{–;…;
0;…;
}
(если m–нечетное
число) ;

{ —,…,—1,
0, 1,…,
}
или {—,…,
—1, 0, 1,…,
}
(если m
четное число) – полная система абсолютно
наименьших вычетов.

Пример

Если m=11,
то полная система наименьших
неотрицательных вычетов есть {0; 1; 2; 3;
4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, а полная система абсолютно
наименьших вычетов – {–5; –4; –3; –2; –1;
0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Утверждение
1

Любые m
чисел, попарно несравнимые по модулю
m,
образуют полную систему вычетов по
этому модулю.

Доказательство:

Действительно, в
силу несравнимости эти числа принадлежат
к разным классам, а т.к. их m
штук, то в каждый существующий класс
попадает ровно одно число.



Утверждение
2

Если (a,
m)
= 1, и x
пробегает полную систему вычетов по
модулю m,
то ax+b,
где b
– любое число из Z,
тоже пробегает полную систему вычетов
по модулю m.

Доказательство:

Чисел ax+b
будет ровно m
штук. Остается доказать, что любые 2
числа ax₁+b
и ax₂+b
несравнимы по модулю m,
если x₁x₂(mod
m)

Доказательство
от противного. Предположим, что ax₁+b
≡ ax₂+b
(mod
m)

в силу 4-го св-ва сравнений, ax₁
≡ ax₂
(mod
m)

в силу св-ва сравнений №9 и того, что
(a,
m)
= 1, имеем x₁
≡ x₂(mod
m).
Получили противоречие с тем, что
x₁x₂(mod
m).
Следовательно, предположение неверно,
а значит верно обратное. То есть ax₁+b
и ax₂+b
несравнимы по модулю m,
если x₁x₂(mod
m),
что и требовалось доказать.



Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Макеты страниц

Если кто-то из родителей трудоустроен, то в бухгалтерии за него начинают платить меньше налогов, а сэкономленную разницу прибавляют к зарплате. Благодаря вычету родители троих детей могут получить по 9048 рублей в год и даже больше.

Кому положен

Детский вычет положен родителям, усыновителям, опекунам и попечителям с момента рождения ребенка. Претендовать на вычет могут оба родителя, главное условие — работать и платить с зарплаты НДФЛ.

Детский вычет можно получить даже при сдаче в аренду квартиры, гаража или другого имущества, но только если платите с этих доходов 13% НДФЛ.

Сколько дают

Размер вычета зависит от количества детей: чем больше детей, тем больше вычет.

На детей с инвалидностью вычет еще больше. Родители и усыновители не платят налог с 12 тысяч рублей, а опекуны и попечители — с 6 тысяч рублей. Этот вычет суммируется с обычным детским вычетом. Например, если ребенок с инвалидностью родился первым или вторым, каждый родитель получит два вычета: на 1400 и 12 тысяч рублей.

Обратите внимание: 1400, 3 тысячи, 6 тысяч и 12 тысяч рублей — это суммы вычета, а не сумма, которую получите на руки. Вычет как бы вычитается из налогооблагаемой базы, и выплачивается только налог с остатка — 13%. Например, если вы имеете право на ежемесячный вычет 12 тысяч рублей, выплата составит 12 000 × 13% = 1560 Р.

Вычет предоставляют до тех пор, пока ваш доход с начала года не превысит 350 тысяч рублей. Вычет отменят с того месяца, в котором доход превысил лимит. С нового года лимит обнуляется и можно снова получать детский вычет.

Как получить

Налоговый вычет на детей можно получить прямо на работе. Для этого нужно прийти в бухгалтерию, написать заявление и приложить к нему документы:

1. Копию свидетельства о рождении или усыновлении ребенка.
2. Копию паспорта с отметкой о браке или свидетельство о регистрации брака, если родители женаты.
3. Справку из образовательного учреждения о том, что ребенок обучается на дневном отделении, если он студент.
4. Справку об инвалидности, если у ребенка инвалидность.
5. Справку о рождении ребенка по форме 2 и копию страницы паспорта о семейном положении для двойного вычета одинокому родителю. Такая справка нужна, если сведения об отце внесены в свидетельство со слов матери. Если же отец в свидетельстве не упомянут изначально, справка не понадобится.
6. Свидетельство о смерти второго родителя или выписка из решения суда о признании родителя безвестно отсутствующим, если второй родитель умер или пропал без вести.
7. Документы опекунов и попечителей, подтверждающие их право на воспитание ребенка.

Вычет продлевается автоматически каждый год, писать новое заявление не нужно. Но оно понадобится, когда у вас родится еще один ребенок или изменится жизненная ситуация: поменяете работу или, например, создадите новую семью и будете обеспечивать неродных детей.

Если за год вы меняли работу, принесите в бухгалтерию справку о доходах и суммах налога физического лица с предыдущей работы. Бухгалтер учтет ваши прошлые доходы за этот год и проверит, превысили вы лимит в 350 тысяч или нет.

Подводные камни

Возраст детей. Вычет положен до тех пор, пока ребенку не исполнится 18 лет. Причем, если ребенку исполнится 18 в середине года, право на вычет будет действовать до конца года. На детей, которые платно или бесплатно продолжат учебу на очном отделении, вычет продлят на весь срок обучения — максимум до наступления 24 лет.

Работа по совместительству. Вычет дадут только по одному месту работы, даже если трудитесь по совместительству у нескольких работодателей. У какого работодателя получать вычет — выбираете сами.

Например, если отец ребенка не живет с матерью, но платит алименты, то может рассчитывать на получение детского вычета. Подтвердить свое участие в обеспечении ребенка можно письменным заявлением второго родителя, который проживает с ребенком, соглашением об уплате алиментов, исполнительным листом или квитанциями с понятным назначением платежа.

Как получить больше

Вычет на ребенка в двойном размере единственному родителю. Право на двойной вычет имеет единственный родитель, если другой родитель умер, пропал без вести или если в свидетельстве о рождении ребенка нет записи об отце или он внесен со слов матери.

Родитель, который развелся или не оформил отношения, тоже может претендовать на двойной вычет. Для этого второму родителю, который работает и платит с зарплаты НДФЛ, нужно отказался от вычета в пользу первого. Но для этого второму родителю придется каждый месяц брать с работы справку о доходах и суммах налога физического лица.

Если ребенок — инвалид, удваиваются оба вычета на него.

Оксана — единственный родитель ребенка-инвалида шести лет. Ребенок у Оксаны один. Ей положен вычет в размере (1400 + 12 000) × 2 = 26 800 Р. Зарплата Оксаны — 40 000 Р в месяц. Вычет 26 800 Р ей будет предоставляться с января по август — за это время она заработает 320 000 Р. Начиная с сентября ее доходы превысят 350 000 Р, и вычет на ребенка-инвалида в этом году больше не предоставляется.

Вычет за предыдущие годы. Если вы раньше не подавали заявление на вычет или работодатель давал вычет, но не на всех детей, вы можете вернуть уплаченный налог за три последних года. В личном кабинете на сайте nalog.ru заполните декларацию 3-НДФЛ и загрузите следующие документы:

1. Копии и оригиналы документов, дающих право на вычет.
2. Справку с работы о доходах и суммах налога физического лица за прошлые годы — раньше она называлась 2-НДФЛ. Справку можно скачать в личном кабинете на nalog.ru.
3. Заявление о возврате налога. Его можно подать и позже, отдельно от декларации.

Налоговая возьмет три месяца на проверку. Статус проверки можно отслеживать в личном кабинете. Если возврат одобрят, деньги придут на банковский счет в течение месяца.