Пусть
непрерывно
дифференцируемая функция,
–
приближенные значения ее аргументов,
для которых
–
известные абсолютные погрешности.
Для
погрешности приближенного значения
функции
по
формуле Лагранжа получаем
,
где
Заменяя
, получаем
Оценка погрешности
соответственно:
,
где
Или
( 5) ,
где
(6)
3.2.
Погрешность суммы
Пусть
задана функция
Тогда
из (5) , (6)
,
.
Для абсолютной
погрешности получаем
.
Относительная
погрешность
.
Пусть
,
,
тогда
,
т.е. при сложении приближенных величин
относительная погрешность не возрастает.
3.3.
Погрешность разности
Пусть
задана функция
Тогда аналогично
предыдущему абсолютная погрешность
.
Для относительной
погрешности имеем формулу
.
Отсюда
следует, что если приближенные значения
и
близки
друг к другу, то относительная погрешность
их разности
может оказаться намного больше
и
.
3.4.
Погрешность произведения
Пусть
задана функция 
Тогда абсолютная
погрешность
.
Относительная
погрешность
.
3.5.
Погрешность частного
Пусть
задана функция 
Тогда абсолютная
погрешность
.
Относительная
погрешность
3.6.
Обратная задача оценки погрешности
Иногда
возникает задача определения допустимой
погрешности аргументов, при которой
погрешность значений функции будет не
более заданной величины
.
Используем
ранее полученное неравенство ( 6 )
.
Должно
быть
.
При
n=1 вопрос
решается однозначно:
При
n>1
возможны разные подходы:
1. Считать погрешности
всех аргументов одинаковыми
Тогда
получаем 
, следовательно
2.
Считать, что вклад погрешности каждого
аргумента в погрешность результата
одинаков. 
,
тогда
Если
для разных аргументов достижение
определенной точности их задания
существенно различается, то можно ввести
функцию стоимости
затрат
на задание точки
с
заданными абсолютными погрешностями
и
искать ее минимум в области
, 
4. Вычисление погрешности арифметических действий в среде Mathcad .
Настройка
среды MathCad
(системные
переменные ).
Изменение
значений системных переменных производят
во вкладке Встроенные
переменные
диалогового окна Math
Options
команды Математика
Опции.
1)
Допустимая
погрешность – значение системной
переменной TOL
(по
умолчанию TOL =10-3).
Установить
TOL:=10–5.
2)
Изменение
количества цифр в результате после
разделяющей точки
производят
во вкладке Результат
диалогового
окна Количество
десятичных позиций команды
Формат
Результат.
Установить
равным 6 (по
умолчанию равно 3) , что на 1 больше
порядка величины
TOL
– для возможности округления конечного
результата
.
Пример
4.1.Вычисление погрешности операций
сложения , вычитания , умножения и
деления.
Пусть
числа x и y заданы с абсолютными
погрешностями
x
и
y
x
: = 2.5378
x
: = 0.0001
y : = 2.536
y
: = 0.001
Тогда относительные
погрешности чисел
,
, 
,
Найдем погрешности
суммы и разности чисел
S1
: = x + y
S1
: =
x
+
y
S1
= 1.1 x 10-3
S2
: = x – y
S2
: =
x
+
y
S2
= 1.1 x 10-3
Относительная
погрешность разности в 
раз больше относительной погрешности
суммы!
Пример
4.2. Погрешность
функции многих переменных.
Пусть
x : = -3.59 y : = 0.467
z : = 563.2
По
приведенным начальным условиям считаем,
что абсолютные погрешности равны
x
: = 0.01
y
: = 0.001
z
: = 0.1
Значение
функции равно : f ( x, y, z ) = 6.64198865
f
( x, y, z ) = 1.234 x 10
-3
f
( x, y, z ) = 8.196 x 10
-3
Пример
4.3. Постановка
задачи:
Дан
ряд
.
Найти
сумму ряда S
аналитически.
Вычислить
значения частичных сумм ряда S
=
и найти величину погрешности при
значениях значениях
=
,
,
,
,
.
Построить
гистограмму зависимости верных цифр
результата от
.
Аналитическое
решение задачи:
S
=
=
,
.
ОТВЕТ:
S
=
= 44.
Введем
функцию
S(N)=
.
Тогда
абсолютную погрешность можно определить
с помощью функции
d(S(N))
=
.
Tексты
программ:
Гистограмма
Результаты
вычислительного эксперимента:
Значение
частичной Величина абсолютной
Количество
суммы
ряда погрешности
верных цифр
S(10)=38.439560439
d(10)=5.56
S(100)=43.3009269
d(100)=0.699
2
S(1000)=43.9282153
d(1000)=0.072
3
S(10000)=43.992802
d(10000)=0.0072
4
S(100000)=43.9992802159957
d(100000)=0.00072
5
Вывод:
Как
видно из приведенного вычислительного
эксперимента, увеличение числа членов
ряда в 10 раз по сравнению с предыдущим
случаем увеличивает число верных цифр
в ответе на 1.
Соседние файлы в папке MMM
- #
- #
- #
16.02.2016436.7 Кб50PZ-1 MathCAD.mcd
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 08.10.2013 Сообщений: 27 |
|
|
1 |
|
Абсолютная и относительная погрешности04.04.2015, 18:14. Показов 6502. Ответов 2
Доброго времени, можете объяснить как посчитать абсолютную и относительную погрешности, например, приближенного значения числа e. А как это в маткаде сделать, не знаю
0 |
|
320 / 288 / 104 Регистрация: 12.04.2011 Сообщений: 924 |
|
|
06.04.2015, 11:25 |
2 |
|
РешениеВзгляните. Изображения
2 |
Сообщение было отмечено Angelina5838 как решение
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 08.10.2013 Сообщений: 27 |
|
|
11.04.2015, 18:07 [ТС] |
3 |
|
proft, Спасибо большое
0 |
Вычисления с приближенными числами. Практическая оценка погрешности результатов вычислений
Страницы работы
Фрагмент текста работы
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ В СИСТЕМЕ
MATHCAD
 |
Лабораторная
работа 1
Вычисления с приближенными
числами
Цель: научиться практически
оценивать погрешности результатов вычислений.
Краткие теоретические
сведения
Перед выполнением
работы изучите материал гл. 1, ответьте на вопросы и выполните задания
для самоконтроля.
Рассмотрим пример
определения погрешности.
Пример. Погрешности арифметических
действий.
Пусть числа х
и у заданы с абсолютными погрешностями 
и 
:
Тогда
относительные погрешности чисел:
Найдем
погрешности суммы и разности чисел:
Задания
1. Величина подъемной силы крыла самолета оценивается по формуле 
, где с – коэффициент, зависящий от
формы крыла; 
– угол атаки, отсчитываемый от
направления нулевой подъемной силы; 
–
плотность атмосферы на заданной высоте; v –
скорость натекания воздуха на крыло; 
–
площадь проекции крыла на горизонтальную плоскость. Требуется вычислить 
и 
при
заданных значениях с, , , v,и заданных абсолютных и
относительных погрешностях этих величин. Результат запишите с сохранением
только верных значащих цифр. Исходные данные приведены в таблице (для нечетных
вариантов задано 
и 
, для четных 
и 
):
|
Вариант |
с |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
1 |
0,005 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,99 |
0,01 |
200 |
3 |
20 |
0,001 |
|
2 |
0,004 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,98 |
0,01 |
170 |
0,01 |
20 |
0,04 |
|
3 |
0,005 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,99 |
0,01 |
200 |
2 |
20 |
0,001 |
|
4 |
0,004 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,98 |
0,01 |
190 |
0,01 |
20 |
0,02 |
|
5 |
0,005 |
0,001 |
12 |
0,01 |
0,99 |
0,01 |
200 |
3 |
20 |
0,001 |
|
6 |
0,004 |
0,001 |
10 |
0,01 |
0,98 |
0,01 |
195 |
0,01 |
20 |
0,04 |
|
7 |
0,005 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,99 |
0,01 |
200 |
2 |
15 |
0,001 |
|
8 |
0,004 |
0,001 |
12 |
0,01 |
0,98 |
0,01 |
205 |
0,01 |
15 |
0,02 |
|
9 |
0,005 |
0,001 |
10 |
0,01 |
0,99 |
0,01 |
200 |
3 |
15 |
0,001 |
|
10 |
0,004 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,96 |
0,01 |
210 |
0,01 |
20 |
0,04 |
|
11 |
0,005 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
200 |
3 |
20 |
0,001 |
|
12 |
0,004 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
215 |
0,01 |
20 |
0,02 |
|
13 |
0,005 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
200 |
2 |
20 |
0,001 |
|
14 |
0,004 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
220 |
0,01 |
20 |
0,04 |
|
15 |
0,005 |
0,001 |
12 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
200 |
3 |
20 |
0,001 |
|
16 |
0,004 |
0,001 |
10 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
225 |
0,01 |
20 |
0,02 |
|
17 |
0,005 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
200 |
2 |
15 |
0,001 |
|
18 |
0,004 |
0,001 |
12 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
210 |
0,01 |
15 |
0,04 |
|
19 |
0,005 |
0,001 |
10 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
200 |
3 |
15 |
0,001 |
|
20 |
0,004 |
0,001 |
15 |
0,01 |
0,95 |
0,01 |
200 |
0,01 |
20 |
0,02 |
или
или
2. Найдите абсолютную и относительную погрешности вычисления функции при
заданных значениях аргумента. Функции и приближенные значения аргументов
приведены в таблице:
ПРАКТИЧЕСКИ ВЕЗДЕ РИСУНКИ
ВМЕСТО ФОРМУЛ
|
Вариант |
Функция |
Аргументы |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
j0 » 3,147 ± 0,001
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
Окончание таблицы
|
Вариант |
Функция |
Аргументы |
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
3. Получите формулы для оценки абсолютной погрешности функции двумя
способами: а) используя формулы для абсолютных погрешностей арифметических
операций; б) используя формулу для абсолютной погрешности функции многих
переменных. Функции приведены в таблице:
|
Вариант |
Функция |
Вариант |
Функция |
Вариант |
Функция |
Вариант |
Функция |
|
1 |
|
6 |
|
11 |
|
16 |
|
|
2 |
|
7 |
|
12 |
|
17 |
|
|
3 |
|
8 |
|
13 |
|
18 |
|
Окончание таблицы
|
Вариант |
Функция |
Вариант |
Функция |
Вариант |
Функция |
Вариант |
Функция |
|
4 |
|
9 |
|
14 |
|
19 |
|
|
5 |
|
10 |
|
15 |
|
20 |
|
Пояснения. В качестве примера получим формулы для определения
абсолютной погрешности функции: 
.
а) с помощью формул для абсолютных погрешностей
арифметических операций:
, 
,
,
.
б) используя формулу для абсолютной погрешности
функции многих переменных:
, 
, 
.
.
Содержание отчета
Отчет о выполнении работы
состоит из двух частей: теоретической и практической. В первой части отчета
необходимо дать краткое описание использованных методов (привести рабочую
формулу, геометрическую интерпретацию). Во второй части отчета должны быть
представлены результаты выполнения практических заданий с текстами программ,
анализ результатов и выводы.
Лабораторная работа 2
Численные
методы решения нелинейных уравнений
Цель: изучить численные методы
решения нелинейных уравнений с одним неизвестным; научиться программировать
алгоритмы итерационных методов уточнения корней; сравнить скорость сходимости
различных методов.
Краткие теоретические сведения
Перед
выполнением работы рекомендуется внимательно изучить материал гл. 2, а также
ответьте на вопросы и выполните задания для самоконтроля. Расчетные программы заданий
2–6 могут быть составлены на любом алгоритмическом языке (Бейсик, Паскаль, Си,
Фортран).
Рассмотрим примеры
решения нелинейных уравнений методами
бисекций, простой итерации, Ньютона.
Пример 1. Локализация
корней.
Рассмотрим
уравнение
Построим в системе
MathCAD его графики на различных интервалах:
|
|
|
Получили два
отрезка локализации:
|
|
|
Тогда в первом
случае простой корень будет на отрезке [–0,6; –0,4], а во втором
– кратный корень на отрезке [–0,2; 0,2].
Пример 2. Решение уравнения методом бисекции.
Рассмотрим уравнения 
из
первого примера. Вводим данное уравнение в систему MathCAD.
|
|
|
|
Введем начальные значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Простой корень, найденный с точностью |
за 30 итераций, равен –0,490 072 638Пример 3. Решение уравнения методом Ньютона.
Используем то же уравнение, что и в предыдущих
примерах:
Метод Ньютона в системе MathCAD будет выглядеть
следующим образом:
Введем начальные значения:
|
|
|
|
|
Простой корень, найденный с точностью |
|
|
|
|
|
При другом начальном приближении корень найден за 3 итерации с той же точностью |
Пример
4. Чувствительность метода Ньютона к выбору начального
приближения.
Рассмотрим
уравнение 
.
Очевидно,
что корень равен 1,3 по методу Ньютона:
|
|
|
|
|
Задания
1. Графическим методом
определите наличие, приблизительное расположение
Похожие материалы
- Численные методы решения нелинейных уравнений. Решение уравнения методом хорд. Простой корень
- Использование фурье-преобразования в системах оптической обработки информации
- Построение формальных систем с изменяющейся логикой отношений. Модальный оператор. Множественное наследование с наследованием не всех свойств
Информация о работе
Тип:
Отчеты по лабораторным работам
