Как найти точки экстремума таблица

Как найти точки экстремума таблица

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Точка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения называется точкой локального максимума (минимума) функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения если существует окрестность точки Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения для всех точек которой верно неравенство Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решенияЭкстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения то либо Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения – критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения меняет знак плюс на минус, то в точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения имеет производную f'(х) в окрестности точки Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и вторую производную Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения в самой точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения. Если Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решенияЭкстремум функции - определение и вычисление с примерами решения то точка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Найти экстремумы функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения то критические точки функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения у функции минимум. Вычислив значения функции в точках Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Площадь площадки равна Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Пусть у – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения откуда Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения– единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения значит, в точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения функция S имеет максимум. Значение функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку S непрерывна на Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и ее значения на концах Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Мы знаем объем цилиндра Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Значит, Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Находим производную этой функции:Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решенияследовательно, Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения называется любой промежуток, для которого Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения является внутренней точкой.

Точка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения называется точкой минимума (максимума) функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения если для всех Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения из некоторой окрестности точки Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения выполняется неравенство Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Точки минимума и максимума обозначают Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения точка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Для функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения точка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — точки максимума; Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Пусть функция Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения непрерывна на промежутке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — её критическая точка, Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Тогда: точка Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения отрицательная, то при переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — точка максимума. Если же при переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения убывание функции изменяется на возрастание, то Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения равна нулю, а слева и справа от Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения не является точкой экстремума.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Критические точки функции: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения При переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения производная меняет знаке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения поэтому Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения —точка максимума. При переходе через точку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения производная меняет знак с Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения поэтому Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — точка минимума (рис. 82).

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

  1. найти область определения функции;
  2. исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
  3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;
  4. исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
  5. найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
  6. найти асимптоты графика функции;
  7. построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Ось Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения он пересекает в точке с ординатой Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Критические точки: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Составим и заполним таблицу.
Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

На промежутках Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения функция возрастает, на промежутках  Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения функция убывает. Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — точка максимума,  Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения —точка минимума, Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения 

Область значений функции: Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

График функции имеет вертикальную асимптоту Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения так как Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

График этой функции изображён на рисунке 83.

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения Чётная функция может. Например, функция Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Пример №555

Существуют ли такие числа Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения при которых имеет экстремум функция Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При любых действительных значениях Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решенияЭкстремум функции - определение и вычисление с примерами решения В каждой точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решенияпроизводная данной функции неотрицательная. Функция Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решениявозрастает на Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и постройте её график.

Решение. Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

2) Функция — нечётная, поскольку Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

3) если Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения — график пересекает оси координат только в точке Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

4) Найдём производную функции:

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

График функции имеет вертикальные асимптоты Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения и Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Экстремум функции - определение и вычисление с примерами решения

  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Определитель матрицы
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Матричный метод
Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

найдите количество точек экстремумов функции

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы         график производной и отмеченные на ней точки минимумов и максимумов функции

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

найдите количество точек экстремумов функции

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

по графику производной определить минимумы и максимумы функции

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)). 
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
    – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
    – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
    – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

нахождение минимума и максимума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

схематичное изображение функции

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

поиск минимумов и максимумов

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$ $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$ ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ ${1}/{x}$
$log_{a}x$ ${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= – sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ – это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Источник

Применение
производной.

Нахождение экстремумов (
максимумов и минимумов) функции.

Краткая теория. (Разобрать, записать в тетрадь основные понятия, ответить на
вопросы по теоретической части) .

 Рисунок 1.  Рассмотрим внутренние точки области определения функции,
изображенной на рис.1, в которых производная равна нулю или не существует. В точках,
где производная равна 0, касательная параллельна оси ОХ. Это точки Х2,
Х3, Х4, Х6 и Х7.  В точке Х5
касательную провести нельзя, т.к. острый график, поэтому в этой точке
производная не существует.  На концах промежутка в точках Х1 и Х8
тоже касательные провести нельзя, так как нужна окрестность точки. На концах
промежутка экстремумов не бывает.

Определение.  Точки,
в которых производная функции равна 0 или не существует называются критическими.

На
нашем  рисунке это точки Х2, Х3,
Х4, Х5, Х6 и Х7.  Среди этих точек
могут быть точки максимума ( max ) и  минимума ( min ), которые называются точками экстремума       ( Xmax и Xmin ).  Значения функции в
этих точках называют экстремумами функции   и обозначают fmax (Xmax)  и  fmin (Xmin). 

Необходимым условием существования экстремумов является
равенство нулю производной или если производная не существует, то есть необходимое
условие – это наличие критических точек. (Это теорема Ферма), но этого условия
еще не достаточно. Чтобы функция имела экстремум в некоторой точке, надо, чтобы
при переходе через эту точку производная меняла свой знак, то есть надо, чтобы
возрастание менялось на убывание, или убывание на возрастание. Если такой смены
нет, то в этой критической точке не будет экстремума.

Если
знак производной меняется с  (+ ) на (- ) – это точка max, если знак производной меняется с  (- )
на (+ ) – это точка min.

На
рис.1:  Точка Х2 является точкой max, т.к. при переходе через
эту точку возрастание сменилось убыванием ( f ´(x) поменяла знак с  (+ ) на (- )). Такими же будут
точки  Х4   и Х6.             В
точках Х3   и  Х5   при переходе  f ´(x) поменяла знак с  (- ) на (+ ). Это точки min.

В  критической точке Х7  не произошло
смены знака производной (функция возрастала до этой точке и возрастает после
этой точки). Здесь никакого экстремума нет. Это  точка перегиба. Не будет существовать экстремумов и в точках, в которых график функции
будут разрываться. На нашем рисунке такого случая нет.

Вывод. Для существования
экстремумов необходимо выполнение двух условий:

1.       Существование критических точек.

2.       Смена знака производной при переходе через критическую точку.

Ответить на
вопросы.

1.    
Что такое критические точки,  как их
находят?

2.    
Какие бывают точки экстремума?

3.    
Что такое экстремумы функции?

4.    
 Какие существуют экстремумы функции?

5.    
Что является необходимым условием существования
экстремума?

6.    
Что является достаточным условием
существования экстремума?

7.    
В каком случае функция будет иметь
максимум?

8.    
В каком случае функция будет иметь
минимум?

Нахождение экстремумов
функции осуществляют по следующему плану:

1.      Найти
область определения функции.

2.      Найти
производную.

3.      Найти
критические точки ( приравнять производную к нулю).

4.      На
числовой прямой отметить найденные критические точки, выделить           
полученные числовые промежутки и проверить знак производной в каждом из них.

5.      Записать,
где получились точки максимума или минимума, (а может быть и перегиба, если
знак производной не менялся при переходе через точку, или разрыва).

6.      Вычислить
значение  экстремумов функции (значение самой функции в точках экстремума.

7.      Для
наглядности или когда надо построить график заданной функции, заносятся все
полученные данные в таблицу.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти
критические точки функции f(x)
=x3
-7x2
-5x +6 (в
ответ записать большее значение).          Решение.

(В данном примере надо выполнить
только три первых пункта плана.)

1.      D(
f ) = (- ∞; + ∞).

2.      Найдем
производную f ´(x)
=(x3 -7x2
-5x +6)´ =3х2 – 14х -5

3.      3х2
– 14х -5= 0      D= (-14)2 – 4·3·(-5) = 196
+ 60 = 256 = 162

X1
= (14+16)/(2·3) = 5      X2
= (14 – 16)/(2·3) = – 1/3     Ответ: 5

Пример 2. Исследовать
функцию f(x)
=2x3  –
24x на
экстремумы ( сделать таблицу, в ответ записать а) точку минимума; б) максимум
функции).  

 Решение.

(В этом задании надо
выполнить все пункты плана.)

1.      D(
f ) = (- ∞; + ∞).

2.      Найдем
производную f ´(x)
=(2x3 – 24x)´=
6х2 – 24

3.      
6х2
– 24=0 Здесь неполное
квадратное уравнение, вынесем за скобки общий множитель  6 (х2
– 4)=0;    х2 – 4=0;     х2 = 4;     х1 =2 и х2=
– 2  это критические
точки.   

4.      
 Знаки в
промежутках определяют,  выбирая любые числа из каждого промежутка и подставляя
в производную. Например, из промежутка ( -∞; -2)
можно взять число         х= – 3.        6· (-3)2 -24 = 6· 9 -24=30
> 0  (если квадратичная функция, знаки чередуются).       

5.      
     Xmax
= -2     Xmin = 2

   6. fmax
(-2)
=2·(-2)3  – 24·(-2)=32  

    
 fmin
(2)
=2·(2)3  – 24·(2)= – 32

7.

X

( -∞; -2)

-2

(-2; 2)

2

(2 ; +∞)

f ´ (x)

+

0

–

0

+

f (x)

↑

32

↓

-32

↑

max

min


Ответ:  
а)  2               б)  32.

Пример 3. Исследовать
функцию f(x)
= Х +(1/х) на экстремумы ( сделать таблицу, в ответ
записать  а) критические точки; б)  точку максимума; в) минимум функции).

Решение.

(В этом задании надо
выполнить все пункты плана.)

1.     
D( f
) = (- ∞; 0)  U (0; + ∞).      ( так
как  в выражении 1/х   х≠0)

2.     
Найдем
производную f ´(x)
=( Х +(1/х))´= 1 – (1 / х2) = (х2 -1) / х2   

3.       (х2
-1) = 0     х2 =1      x1
= -1   x2
=1  при х=0 производная не существует.  
Критических точек 3.
Это  -1;
0; 1.                               

4.          

Здесь функция не квадратичная
функция и знаки надо проверять в каждом  промежутке.  Например, из промежутке  
( -1; 0) можно взять х= – 0,5.    1 – (1 / х2) =
1 – (1 /( – 0,5)2) = 1 –( 1/0,25)= 
1 – 16 =-15 <0 ( поставили на рисунке знак минус.). Так проверяем знак в
каждом промежутке в этом задании.

5. В этом примере две
точки экстремума   Xmax = -1     Xmin
= 1

6.
fmax
(-1)
=  -1
+(1/-1)= -2

    
 fmin
(1)
= 1 +(1/1) = 2

7.

X

( -∞; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0 ; 1)

1

(1 ; +∞)

f ´ (x)

+

0

—

Не существует

–

0

+

f (x)

↑

    
– 2

↓

↓

2

↑

max

разрыв

min

Ответ:  а)  -1;  0;  1.          б)  –
1.         в)  2.

Решить самостоятельно.

1.     Найти
критические точки функции f(x)
= -2x3
+6x2
+ 48x – 16 (в
ответ записать меньшее значение).  

2.     Исследовать
функцию f(x)
=x3
– 27x + 20 на
экстремумы ( без таблицы, в ответ записать а) точку минимума; б) минимум
функции).  

3.      Исследовать
функцию f(x)
=3x4 –
4x3
+ 5 на
экстремумы ( сделать таблицу, в ответ записать  а) наименьшую критическую
точку; б) точку экстремума; в) экстремум функции; г) что происходит с функцией
в критической точке х=0 ?).  

Ответы на вопросы.

1.    Производная
равна нулю или не существует.

2.    Точки
минимума и максимума.

3.    Значение
функции в точках экстремума.

4.    Максимум
функции и минимум функции.

5.    Существование
критических точек.

6.    Смена
знака производной в этой точке.

7.    Максимум,
если знак меняется с ( + ) на ( – ).

8.    Минимум,
если знак меняется с ( – ) на ( + ).

Ответы на задачи.

1.    Критические
точки   х= -2 и х=4;      меньшее  -2

2.      а)
Точка минимума х=  3

б) 
минимум функции f(x)
=  -34

3.    а)
наименьшая критическая точка х = 0

б) 
точка экстремума    х=1

в) экстремум
функции    f(1) = -1

г)
что происходит с функцией в т. х=0?   Перегиб графика.

Источник

Как найти точки минимума и максимума функции

Содержание:

  • Минимум и максимум функции

    • Точка минимума, минимум функции
    • Точка максимума, максимум функции
  • Исследование функций на экстремумы
  • Примеры задач

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом: 

  • (y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
  • (x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
  • (y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Точка минимума, минимум функции

Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))

Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.

Точка максимума, максимум функции

Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))

Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)

Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.

Точки максимума и минимума на графике:

Точка экстремума

Источник: school-collection.edu.ru

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

  1. Найти область определения функции — D(y).

  2. Определить производную — f ‘(x).

  3. Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).

  4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).

  5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума  (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).

  6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Примеры задач

Задача 1

Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)

Решение задачи по алгоритму:

1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.

2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .

3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:

Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)

4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 – точка максимума, а x=2 – минимума.

5) Найдем значение экстремумов функции.

(f(0)=0-3times0=0)

(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)

Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) – минимум функции, (2;-4) – максимум.

Задача 2

Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).

1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)

2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})

3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.

Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.

Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).

Задача 3

Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.

1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.

2) (f'(x)=5x^4+6x)

3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.

Утверждение доказано

Источник

Добавить комментарий