Как найти высоты треугольника по формуле герона – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Формула Герона для нахождения площади треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим еще один способ вычисления площади треугольника – с помощью формулы Герона. Она позволяет вычислить площадь треугольника, зная лишь его стороны, что может очень пригодиться, особенно в практических вычислениях. Мы выпишем и докажем формулу Герона, а также решим несколько задач на применение этой формулы.

[spoiler title=”источники:”]

http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

http://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/ploschad/formula-gerona-dlya-nahozhdeniya-ploschadi-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $S$ по длинам его сторон $a,b,c$ :

${displaystyle S={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ ,

где $p$ — полупериметр треугольника: ${displaystyle p={tfrac {1}{2}}cdot (a+b+c)}$ .

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой

h, разделяющей основание

c на

d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a² = h² + (c − d)² и b² = h² + d² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a² − b² = c² − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

${displaystyle d={frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}$

Для высоты h у нас было равенство h² = b² − d², в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

${displaystyle {begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-left({frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}right)^{2}={frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\&={frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\end{aligned}}}$

Замечая, что ${displaystyle b+c-a=2p-2a}$ , $a+b+c=2p$ , $a+b-c=2p-2c$ , ${displaystyle a-b+c=2p-2b}$ , получаем:

${displaystyle {begin{aligned}h^{2}&={frac {2(p-a)cdot 2pcdot 2(p-c)cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}end{aligned}}}$

Используя основное равенство для площади треугольника ${displaystyle S={frac {ch}{2}}}$ и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

${displaystyle {begin{aligned}S={sqrt {{frac {c^{2}}{4}}cdot {frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}end{aligned}}}$

ч.т.д.

Вариации и обобщения[править | править код]

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:

$-16S^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}={begin{vmatrix}a&b&c&0\b&a&0&c\c&0&a&b\0&c&b&aend{vmatrix}}$

Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера^[en] для вычисления гиперобъёма симплекса.

через длины высот $h_{a}$ , $h_{b}$ и $h_{c}$ и полусумму их обратных величин $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ ^[3]:

$S^{-1}=4{sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}$ ;

через углы треугольника $alpha$ , $beta$ и $gamma$ , полусумму их синусов ${displaystyle s=(sin alpha +sin beta +sin gamma )/2}$ и диаметр описанной окружности ${displaystyle D={tfrac {a}{sin alpha }}={tfrac {b}{sin beta }}={tfrac {c}{sin gamma }}}$ ^[4]:

$S=D^{2}{sqrt {s(s-sin alpha )(s-sin beta )(s-sin gamma )}}.$

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

$S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ ,

где $p={frac {a+b+c+d}{2}}$ — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель^[5]:

$S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}$

где:

${displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W)end{aligned}}}$ .

где $theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}$ — полупериметр.

Примечания[править | править код]

↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. Архивная копия от 5 сентября 2015 на Wayback Machine From MathWorld–A Wolfram Web Resource.
↑ Benyi, Arpad, “A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
↑ Mitchell, Douglas W., “A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., “A Heron-type area formula in terms of sines, ” Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] Архивная копия от 27 июня 2013 на Wayback Machine, pp. 16-17.
↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132

Литература[править | править код]

§ 258 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
Николаев Н. О площади треугольника // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron’s Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора

Источник

Расчёт высоты треугольника по сторонам

Значащих цифр:

Определение треугольника

Треугольник это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек не лежащих на одной прямой и трёх отрезков попарно соединяющих эти точки. У треугольника сумма любых двух длинн сторон должна быть меньше третьей.

Определение высоты треугольника

Высота треугольника это перпендикуляр опущенный с вершины на противоположную сторону.

Высота треугольника по сторонам

Формулу высоты выведем из формулы Герона

color{#0000FF}{p = Large{frac{a + b + c}{2}}}

color{#0000FF}{S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Где a, b, c – длины сторон треугольника, p – полупериметр

и формулы площади треугольника

color{#0000FF}{S = Largefrac{1}{2}normalsize*b*h_b}

Выведем высоту треугольника

color{#0000FF}{Largefrac{1}{2}normalsize*b*h_b = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Формулы высот треугольника

color{#0000FF}{h_b = Largefrac{2sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}}

color{#0000FF}{h_a = Largefrac{2sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}}

color{#0000FF}{h_c = Largefrac{2sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}}

Источник

Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота в разностороннем треугольнике ABC

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Описанная вокруг разностороннего треугольника окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула для нахождения высоты к основанию в равнобедренном треугольнике

Опущенная на основание равнобедренного треугольника высота

Высота в прямоугольном треугольнике

Проведенная к гипотенузе высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Источник

Как найти высоту в треугольнике

При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?

Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.

1

Найти высоту в разностороннем треугольнике

Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.

Формула Герона

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где

p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,
b, c – 2 другие стороны треугольника,
p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.

В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.

Тригонометрические функции

Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.

Взаимосвязь с радиусом

Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.

Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.

2

Найти высоту в прямоугольном треугольнике

В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:

Пифагорова теорема:

a=√(c²-b² ),
b=√(c²-a² ),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .

Тригонометрические функции:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

3

Найти высоту в равнобедренном треугольнике

Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a²-c² ).

4

Найти высоту треугольника равностороннего

В таком треугольнике отмечается равенство всех сторон, а углы составляют по 60°. Исходя из формулы для нахождения перпендикуляра на основание для равнобедренного треугольника, получаем следующее соотношение, которое справедливо для всех трех высот.

h=√3a/2 .

Источник

Формулы для нахождения высоты треугольника

Нахождение высоты треугольника

Высота в разностороннем треугольнике

Высота в равнобедренном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Как найти площадь треугольника

По формуле Герона

Через основание и высоту

Через две стороны и угол

Через сторону и два прилежащих угла

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула Герона для нахождения площади треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Расчёт высоты треугольника по сторонам

Определение треугольника

Определение высоты треугольника

Нахождение высоты треугольника

Высота в разностороннем треугольнике

Высота в равнобедренном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Как найти высоту в треугольнике

1 Найти высоту в разностороннем треугольнике

Формула Герона

Тригонометрические функции

Взаимосвязь с радиусом

2 Найти высоту в прямоугольном треугольнике

3 Найти высоту в равнобедренном треугольнике

4 Найти высоту треугольника равностороннего

Вам также может понравиться

Как найти айпад по телефону

Как найти спряжение возвратных глаголов

Как найти точки пересечения черчение

Добавить комментарий Отменить ответ

1

Найти высоту в разностороннем треугольнике

2

Найти высоту в прямоугольном треугольнике

3

Найти высоту в равнобедренном треугольнике

4

Найти высоту треугольника равностороннего