Как найти среднее ускорение по графику

В этой статье мы узнаем, как найти ускорение на графике скорости от времени, используя несколько примеров, и решим некоторые задачи.

Ускорение — это разность скоростей, изменяющаяся во времени; следовательно, по графику скорость-время мы можем найти ускорение, измерив наклон графика.

График скорости во времени для положительного ускорения

Давайте посмотрим, как найти ускорение по графику скорость-время. Ниже приводится график зависимости скорости от времени.

По оси x отложено время в секундах, а по оси y отложена скорость объекта в разное время. Наклон графика определяется выражением m=Δy/Δt. Здесь наклон графика скорость-время дает ускорение объекта.

а = м = ΔV/ΔT = v₂-v₁/t₂-t₁

Из приведенного выше графика ускорение будет положительным, если V₂>V₁ то есть, если скорость объекта увеличивается со временем. То же самое будет отрицательным, если V₂<V₁, то есть если скорость объекта уменьшается со временем. Это тот случай, когда объект замедляется. Так и в том случае, даже когда объект движется в противоположном направлении от направления его движения.

Подробнее о Как найти ускорение с постоянной скоростью: факты и примеры задач.

1 задачи: Рассмотрим объект круглой формы, покоящийся на вершине холма. К объекту прикладывают силу, чтобы сместить его с места. При приложении силы объект ускоряется вниз к подножию холма. Скорость объекта увеличивается до 4 м/с после прохождения расстояния 16 метров. Постройте график для того же, а затем рассчитайте ускорение объекта, учитывая начальную скорость объекта 2 м/с в определенный момент времени.

Решение: Изменение скорости объекта определяется как.

Скорость, равная 4 м/с, наблюдалась после того, как объект прошел расстояние 16 метров. Следовательно, время, затрачиваемое на перемещение 16 м и ускорение тела, равно

2м/с=16м/т

t=16м/2м/с=8с

Следовательно, скорость объекта в момент времени t = 8 секунд была 4 м/с. Теперь мы можем построить график для того же, что и ниже.

Судя по графику, скорость v₁=2 м/с при t₁=4 сек и скорость v₂=4 м/с при t₁=8 сек.

Следовательно, ускорение объекта между временными интервалами от 4 до 8 секунд равно

а = v₂-v₁/t₂-t₁ = 4-2/8-4 = 2/4 = 1/2 = 0.5 м/с²

Ускорение тела равно 0.5 м/с.².

График зависимости скорости от времени для нулевого ускорения

Приведенный ниже график показывает, что скорость объекта не меняется со временем и остается постоянной. Это означает, что между этими интервалами времени ускорения объекта не было.

Приведенный выше график показывает, что скорость объекта остается неизменной все время, поэтому мы получаем прямую линию на графике зависимости скорости от времени. Это ясно указывает на то, что в этом случае график зависимости скорости от времени не дает наклона. Поскольку наклон графика отсутствует, ускорение, равное наклону, равно нулю.

Это означает, что перемещение объекта одинаково для разных интервалов времени, следовательно, скорость постоянна.

2 задачи:Скорость объекта, движущегося по плоской поверхности, оказалась равной 0.5 м/с. Через 5 минут другой наблюдатель обнаружил, что скорость равна 0.5 м/с. Тогда каково ускорение объекта на основе наблюдения?

Решение: V₁=0.5 м/с; В₂=0.5 м/с, временной интервал t=5 минут=300 секунд.

а=в₂-v₁/t₂-t₁= 0.5-0.5/300 =0

Поскольку изменений скорости объекта не наблюдалось, ускорение объекта равно нулю.

Подробнее о ускорение.

График зависимости скорости от времени для отрицательного ускорения

Если объект замедляется со временем, то наклон графика скорость-время будет отрицательным. Это показано на приведенном ниже графике зависимости скорости от времени.

Поскольку разница между конечной и начальной рассматриваемой точкой по оси ординат отрицательна, наклон графика ускорения объекта будет отрицательным.

3 задачи: Рассмотрим объект, замедляющийся со временем, как показано на графике ниже.

Вычислите ускорение тела на пути от А до В.

Решение: Скорость объекта в точке А в момент времени t₁= 2 секунды v₁=10 м/с и в момент времени t₂= 5 секунд v₂=4м/с. Поэтому ускорение тела равно

а = v₂-v₁/t₂-t₁ = 4-10/5-2= -6/3= -2m/s²

Поскольку скорость объекта со временем уменьшается, ускорение объекта отрицательно и равно -2 м/с.².

Подробнее о График постоянного отрицательного ускорения: что, как, примеры.

График отрицательной скорости для отрицательного ускорения

Когда объект удаляется от точки назначения по отрицательной оси, смещение объекта принимается как отрицательное по отрицательной оси Y. Если положение объекта отклоняется от направления его движения, то считается, что смещение объекта происходит в отрицательном направлении.

Выше приведен график зависимости скорости от времени для отрицательного ускорения. Видно, что скорость со временем уменьшается, наклон графика оказывается отрицательным, а значит, и ускорение отрицательное.

График отрицательной скорости во времени для положительного ускорения

Ниже приведен график зависимости отрицательной скорости от времени в секунду, который дает положительное ускорение.

Поскольку замедляющийся объект однажды начинает ускоряться обратно за счет какого-то внешнего силы, то ускорение, равное наклону График зависимости скорости от времени положителен, потому что скорость объекта продолжает расти со временем.

Подробнее о Отрицательная скорость и нулевое ускорение: как, когда, пример и проблемы.

Часто задаваемые вопросы

Q1. Из приведенного ниже графика вычислите ускорение объекта из точки О в А, из А в В и из В в С; а затем вычислить среднее ускорение объекта от O до C.

Решение: От О до А, v₁=0 при t₁=0; в₂=8 м/с при t₂= 4s

Следовательно, ускорение тела из точки О в точку А равно

а = v₂-v₁/t₂-t₁=8-0/4-0=8/4=2m/s²

От А до Б, в₁=8 м/с при t₁=4с; в₂=5 м/с при t₂= 8s

Следовательно, ускорение тела из точки А в точку В равно

а=в₂-v₁/t₂-t₁=5-8/8-4=-3/4=-0.75m/s²

От B до C, v₁=5 м/с при t₁=8с; в₂=5 м/с при t₂= 12s

Следовательно, ускорение тела из точки В в С равно

а=в₂-v₁/t₂-t₁=5-5/12-8=0/4=0

Среднее ускорение графика от O до C равно

A_{средний}= a_oa+a_ab+a_bc/3

=2-0.75+0/3=1.25/3=0.42m/s²

Следовательно, среднее ускорение тела от О до А равно 0.42 м/с.².

Почему ускорение является векторной величиной?

Ускорение имеет величину и направление.

Направление ускорения такое же, как и направление скорости после изменения; следовательно, это векторная величина.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с², то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

v2 > v1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

v2 < v1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости  Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения  (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Квантовые постулаты Бора – это два основных допущения, введённые Н.Бором для объяснения устойчивости атома и спектральных закономерностей (в рамках модели атома Резерфорда).

Планетарная модель атома Резерфорда позволила объяснить результаты опытов по рассеянию α-частиц вещества, но она не способна объяснить факт существования атома и его устойчивость.

В соответствии с планетарной моделью электроны атома должны двигаться вокруг неподвижного ядра. Двигаясь вокруг ядра с центростремительным ускорением под действием силы притяжения к ядру, электрон должен, как и всякий ускоренно движущийся электрический заряд, излучать электромагнитные волны с частотой, равной частоте обращения электрона вокруг ядра.

Энергия электрона в атоме должна при этом непрерывно уменьшаться за счёт излучения. Сам электрон должен с каждым оборотом приближаться по спирали к ядру и упасть на него под действием электрической силы притяжения. При этом атом потеряет всю электронную оболочку, а также присущие ему физические и химические свойства. Кроме того, атом должен потерять спектр излучения частоты, то есть атом должен давать излучение с непрерывным (сплошным) спектром частот.

Эти результаты, полученные с помощью классической механики и электродинамики, находятся в резком противоречии с опытом, который показывает, что

1. Атомы являются весьма устойчивыми системами и в невозбуждённом состоянии могут существовать неограниченно долго, не излучая при этом электромагнитные волны
2. Спектр излучения атома является линейчатым (дискретным) – образованным из отдельных линий (от латинского discretus – прерывистый, состоящий из отдельных значений)

Всё это свидетельствует о том, что законы классический физики применить к электронам в атомах нельзя, поэтому необходимы новые представления о механизме излучения и поглощения атомами электромагнитных волн. В основе современной теории атома лежитквантовая механика – теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов), а также связь величин, которые характеризуют частицы и системы, с физическими величинами, измеряемыми опытным путём.

В 1913 году датский физик Нильс Бор (1885 – 1962) ввёл идеи квантовой теории в ядерную модель атома Резерфорда и разработал теорию атома водорода, которая подтвердилась всеми известными тогда опытами. Бор сформулировал в виде постулатов основные положения новой теории, которые налагали лишь некоторые ограничения на допускаемые классической физикой движения. Однако последовательной теории атома Бор не дал. Впоследствии теория Бора была включена как частный случай в квантовую механику. В основе теории Бора лежат два постулата.

Первый постулат Бора: постулат стационарных состояний

Атомная система может находиться только в особых стационарных, или квантовых, состояниях, каждому из которых соответствует определённая энергия E_n. В стационарном состоянии атом не излучает.

Второй постулат Бора: правило частотe

Излучение света происходит при переходе атома из стационарного состояния с большей энергией E_k в стационарное состояние с меньшей энергией E_n. Энергия излученного фотона равна разности энергий стационарных состояний:

hv_kn = E_k — E_n

Частота излучения равна:

v_kn = (E_k — E_n) / h = (E_k / h) — (E_n / h)

Или, длина волны излучения λ равна:

1 / λ_kn = (1 / hc) (E_k — E_n)

Где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме.

Если E_k > E_n, то происходит излучение фотона, если E_k < E_n, то происходит поглощение фотона, при котором атом переходит из стационарного состояния с меньшей энергией в стационарное состояние с большей энергией. Таким образом, для каждого атома имеется ряд строго определённых дискретных значений энергии, которыми он может обладать. Физические величины, например энергия и импульс, которые могут принимать лишь дискретные (квантовые) значения, носят название квантованные физические величины (квантование физических величин). При этом энергетические уровни атома – это возможные значения энергии атома.

Правило квантования орбит позволяет определить радиусы стационарных орбит:

mv_nr_n = nh’

где n = 1, 2, 3…, m – масса электрона, r_n – радиус n-ой орбиты, v_n – скорость электрона на этой орбите.

Число n – положительное число, которое называется главное квантовое число.

Величина (mv_n)r_n – момент импульса электрона.

h’ – это величина, которая равна:

h’ = h/2π = 1,05445887•10^-34 Дж•с

где h – постоянная Планка.

Главное квантовое число указывает номер орбиты, по которой может обращаться электрон.

Свои постулаты Н.Бор применил для построения теории простейшей атомной системы – атома водорода, состоящего из ядра – протона, и одного электрона. Эта теория также применима для водородоподобных ионов, то есть атомов с зарядом ядра Ze и потерявших все электроны, кроме одного (например, Li²⁺, Be³⁺ и т.п.). В предположении, что электрон движется по круговой орбите, постулаты Бора позволяют найти радиусы r_n стационарных, возможных орбит электрона. На электрон действует кулоновская сила:

F_k = (1 / 4πε₀) (ε² / r_n²)

Где е – модуль заряда электрона, равный заряду ядра, ε₀ = 8,85418782 * 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная в единицах СИ.

Кулоновская сила сообщает электрону на орбите центростремительное ускорение:

a_цс = (v_n²) / r_n

Согласно второму закону Ньютона:

F_k = ma_цс

Поэтому

(mv_n²) / r_n = e² / (4πε₀r_n²)

Или

mv_n²r_n = e² / (4πε₀)

Используя правило квантования орбит mv_nr_n = nh’, можно получить выражения для возможных радиусов орбит. Исключая скорость v_n из предыдущего выражения, получим:

r_n = 4πε₀n²h’ / me² (так как h’ = h / 2π)

Таким образом, радиусы орбит электрона в атоме водорода прямо пропорциональны квадратам главного квантового числа n.

Наименьший радиус орбит при n = 1, то есть радиус первой орбиты в атоме водорода равен:

r₁ = 4πε₀h’ / me² = 0,528 * 10^-10 м = 0,528 Å

Радиус первой орбиты в атоме водорода носит название первый Боровский радиус и служит единицей длины в атомной физике.

Полная энергия Е электрона в атоме водорода, согласно механике Ньютона, равна сумме кинетической энергии Е_k и потенциальной энергии П взаимодействия электрона с ядром:

E = Е_k — П = (mv_n² / 2) — (e² / 4πε₀r_n)

Потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна:

П = — (e² / 4πε₀r_n)

Так как нулевой уровень отсчёта берётся на бесконечности (рис. 1.3), а по мере приближения электрона к ядру его потенциальная энергия уменьшается. Взаимодействующие частицы – ядро и электрон – имеют заряды противоположных знаков.

Рис. 1.3. Потенциальная энергия электрона в атоме.

Подставляя значение скорости

v_n² = — e² / 4πε₀mr_n

в выражение полной энергии, получим:

E = (m / 2) (e² / 4πε₀mr_n) — (e² / 4πε₀r_n)

Подставляя в эту формулу выражение для радиусов орбит, получим энергетические уровни электрона в атоме водорода (значения энергий стационарных состояний атома):

E_n = -(1 /(4πε₀)²) me⁴ / 2h’²n² = — (me⁴ / 8h²ε₀²) * (1 / n²), n = 1,2,3…

Энергия Е_n электрона в атоме водорода зависит от главного квантового числа n, которое определяет энергетические уровни электрона в атоме водорода.

Основное энергетическое состояние атома (нормальное состояние атома) – это энергетический уровень при n = 1.

Значение энергии, соответствующее первому (низшему) энергетическому уровню в атоме водорода равно:

E₁ = -(1 /(4πε₀)²) me⁴ / 2h’²λ = -2,485 * 10^-19 Дж = -13,53 эВ

В этом состоянии атом может находиться сколько угодно долго. Для того чтобы ионизировать атом водорода, ему нужно сообщить энергию 13,53 эВ, которая называется энергия ионизации.

Энергетические уровни при n > 1 – это возбуждённые энергетические состояния (возбуждённые состояния атома). Возбуждённое состояние атома является менее устойчивым, чем основное состояние. Время жизни атома в этом состоянии имеет порядок 10^-8 секунд. За это время электрон успевает совершить около ста миллионов оборотов вокруг ядра.

При переходе электрона с удалённой от ядра стационарной k-орбиты на ближайшую n-ую орбиту атом излучает фотон, энергия которогоhv_nk согласно второму постулату Бора определяется:

hv_kn = E_k — E_n = -(1 / (4πε₀)²) * (me⁴ / 2h’²) * [(1 / n²) — (1 / k²)] = (me⁴ / 8h²ε₀²) * [(1 / n²) — (1 / k²)]

Частота излучения атома водорода:

v_kn = (1 / (4πε₀)²) * (me⁴ / h’³) * [(1 / n²) — (1 / k²)] = R[(1 / n²) — (1 / k²)]

Где

R = (me⁴ / (4πε₀)²) * 4πh’³) = (me⁴ / 8h³ε₀²) = 3,288 * 10¹⁵ c^-1— постоянная Ридберга

Постоянная Ридберга определяется через постоянную Планка, массу и заряд электрона.

Длина волны излучения определяется соотношением:

1 / λ_nk = v_nk / c = (me⁴ / 8ε₀²h³c) * [(1 / n²) — (1 / k²)] = R_c[(1 / n²) — (1 / k²)]

Где

R_c = R / c = 1,0974 * 10⁷ м^-1 — также постоянная Ридберга

с = 3*10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

Теоретическое значение R совпадает с экспериментальным значением, полученным из спектроскопических измерений.

Энергия обычно измеряется в электронвольтах (эВ). Электронвольт– это значение энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов в 1 В:

1 эВ = 1,6 * 10^-19 Кл * 1В = 1,6 * 10^-19 Дж

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

vcp = s / t

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

vx = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

vx = v0x ± axt

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v0
bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x < 0 и х₀ = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Свободное падение тел – это падение тел на Землю в вакууме при отсутствии помех. Движение тела под действием силы тяжести при отсутствии сопротивления воздуха можно считать свободным падением. Например, в свободном падении находится спортсмен, прыгающий в воду с вышки или мяч, выпущенный из руки.

В 1583 году итальянский учёный Галилео Галилей (1564-1642) установил, что при отсутствии сопротивления воздуха все тела, независимо от их массы, падают на землю с одинаковым ускорением g, которое направлено вертикально вниз. Это ускорение называется ускорение свободного падения. При свободном падении тела с небольшой высоты h от поверхности Земли (причём h намного меньше радиуса Земли R_З, где радиус Земли R_З ~ 6000 км) сила притяжения остаётся практически постоянной, поэтому ускорение свободного падения также остаётся постоянным.

Это заключение подтверждает опыт с падением тел в стеклянной трубке, из которой выкачан воздух (рис. 1.24). Кусочек свинца, лёгкое пёрышко и дробинка достигают дна трубки одновременно. Следовательно, они падают с одинаковым ускорением.

Свободное падение можно рассматривать как частный случай равноускоренного движения. Ускорение свободного падения зависит от высоты над уровнем моря и от географической широты места. Оно изменяется примерно от 9,83 м/с² на полюсе и до 9,78 м/с² на экваторе. На широте Москвы ускорение свободного падения принимается равным g = 9,8 м/с². Поэтому в большинстве случаев при решении задач по физике ускорение свободного падения принимается равным 9,8 м/с².

Различие в значении ускорения объясняется суточным вращением Земли и формой Земли – Земля сплюснута у полюсов, поэтому полюсный радиус Земли меньше экваториального радиуса.

Рис. 1.24. Свободное падение тел.

Зависимость ускорения свободного падения от высоты над уровнем моря можно получить, применяя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Модуль ускорения свободного падения равен:

g = G(M /(R + h)²)

где G – гравитационная постоянная (или постоянная всемирного тяготения), G = (6,673 ± 0,003)*10^-11 н*м² / кг² М – масса Земли, M = 5,9736*10²⁴ кг R – радиус Земли, средний радиус Земли R_З.СР = 6371 км, h – высота тела над уровнем моря (над поверхностью Земли).

Из этого уравнения видно, что при подъёме тела ускорение свободного падения уменьшается. Это становится заметным при подъёме на высоту более 300 км.

В некоторых районах земного шара ускорение свободного падения может отличаться от значения ускорения на данной широте. Такие отклонения наблюдаются в местах, где имеются залежи полезных ископаемых.

Движение тел по вертикали (вверх или вниз) вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха является прямолинейным равноускоренным движением. При описании такого движения выбирают координатную ось OY, направленную вверх или вниз. Независимо от направления оси OY вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз.

Формулы для вычисления координат (или высот) и скоростей примут следующий вид.

Скорость тела в любой момент времени

v_y = ± v_oy ± g_yt

Перемещение тела

s_y = ± v_oyt ± (g_yt²) / 2

Координаты тела (высота тела)

y = h = h₀ ± v_oyt ± (g_yt²) / 2

Скорость тела в любой точке пути

v_y² = v_oy² + 2g_y(h — h₀)

Если ось OY направлена вниз, то проекция ускорения свободного падения g_y на эту ось положительна. Если ось OY направлена вверх, то проекция g_y отрицательна. Например, мяч, подброшенный вертикально вверх, до верхней точки подъёма движется равнозамедленно, а его движение вниз будет равноускоренным.

Проекции начальной v_oy и конечной v_y скоростей положительны, если направление скоростей совпадает с направлением оси OY, и отрицательны, если направления оси OY и скоростей противоположны.

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a_r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение (нормальное ускорение) a_n или а_ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a_ЦС=v² / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

то

360^о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958^о = 57^о18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a_ЦС = (4π²R) / T² = 4π²Rn²

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

или

Где v_τ, v₀ – величины скоростей в момент времени t₀ + Δt и t₀соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение — это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел.

Например, автомобиль движется по дороге. В автомобиле находятся люди. Люди движутся вместе с автомобилем по дороге. То есть люди перемещаются в пространстве относительно дороги. Но относительно самого автомобиля люди не движутся. В этом проявляется относительность механического движения. Далее кратко рассмотрим основные виды механического движения.

Поступательное движение – это движение тела, при котором все его точки движутся одинаково.

Например, всё тот же автомобиль совершает по дороге поступательное движение. Точнее, поступательное движение совершает только кузов автомобиля, в то время как его колёса совершают вращательное движение.

Вращательное движение – это движение тела вокруг некоторой оси. При таком движении все точки тела совершают движение по окружностям, центром которых является эта ось.

Упоминавшиеся нами колёса совершают вращательное движение вокруг своих осей, и в то же время колёса совершают поступательное движение вместе с кузовом автомобиля. То есть относительно оси колесо совершает вращательное движение, а относительно дороги – поступательное.

Колебательное движение – это периодическое движение, которое совершается поочерёдно в двух противоположных направлениях.

Например, колебательное движение совершает маятник в часах.

Поступательное и вращательное движения – самые простые виды механического движения.

Относительность механического движения

Все тела во Вселенной движутся, поэтому не существует тел, которые находятся в абсолютном покое. По той же причине определить движется тело или нет, можно только относительно какого-либо другого тела.

Например, автомобиль движется по дороге. Дорога находится на планете Земля. Дорога неподвижна. Поэтому можно измерить скорость автомобиля относительно неподвижной дороги. Но дорога неподвижна относительно Земли. Однако сама Земля вращается вокруг Солнца. Следовательно, дорога вместе с автомобилем также вращается вокруг Солнца. Следовательно, автомобиль совершает не только поступательное движение, но и вращательное (относительно Солнца). А вот относительно Земли автомобиль совершает только поступательное движение. В этом проявляется относительность механического движения.

Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта.

Материальная точка

Во многих случаях размером тела можно пренебречь, так как размеры этого тела малы по сравнению с расстоянием, которое походит это тело, или по сравнению с расстоянием между этим телом и другими телами. Такое тело для упрощения расчетов условно можно считать материальной точкой, имеющей массу этого тела.

Материальная точка – это тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Многократно упоминавшийся нами автомобиль можно принять за материальную точку относительно Земли. Но если человек перемещается внутри этого автомобиля, то пренебрегать размерами автомобиля уже нельзя.

Как правило, решая задачи по физике, рассматривают движение тела как движение материальной точки, и оперируют такими понятиями, как скорость материальной точки, ускорение материальной точки, импульс материальной точки, инерция материальной точки и т.п.

Система отсчёта

Материальная точка движется относительно других тел. Тело, по отношению к которому рассматривается данное механическое движение, называется телом отсчёта. Тело отсчёта выбирают произвольно в зависимости от решаемых задач.

С телом отсчёта связывается система координат, которая представляет из себя точку отсчёта (начало координат). Система координат имеет 1, 2 или 3 оси в зависимости от условий движения. Положение точки на линии (1 ось), плоскости (2 оси) или в пространстве (3 оси) определяют соответственно одной, двумя или тремя координатами. Для определения положения тела в пространстве в любой момент времени также необходимо задать начало отсчёта времени.

Система отсчёта – это система координат, тело отсчета, с которым связана система координат, и прибор для измерения времени. Относительно системы отсчёта и рассматривается движение тела. У одного и того же тела относительно разных тел отсчёта в разных системах координат могут быть совершенно различные координаты.

Траектория движения также зависит от выбора системы отсчёта.

Виды систем отсчёта могут быть различными, например, неподвижная система отсчёта, подвижная система отсчёта, инерциальная система отсчёта, неинерциальная система отсчёта.