Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Электрическое поле заряженного шара в физике – формулы и определение с примерами
Электрическое поле заряженного шара:
Пусть электропроводящий шар радиусом 
Определим напряженность поля, создаваемого заряженным шаром (сферой) в его центре, на поверхности и за его пределами. Для этого мы сначала разделим заряд 
на несколько зарядов, равномерно распределенных по поверхности шара, т.е. 
.
Итоговая напряженность поля 
и 
любых одинаковых зарядов в центре шара на основе принципа суперпозиции равна нулю. Значит, внутри заряженной сферы напряженность поля будет равна нулю.
Найдем напряженность поля в произвольной точке 
, расположенной на расстоянии 
от поверхности шара. Выделим пару зарядов 
и 
, расположенных симметрично линии 
. Эти заряды создают напряженность на оси, направленной по оси 
. Значит, силовые линии напряженности поля в точке за пределами шара соответствуют силовым линиям положительно заряженного точечного заряда, направленным из центра шара (рис. 7.5 б)
Напряженность электрического поля на поверхности заряженного шара определяется следующей формулой:
Из-за того, что напряженность поля, созданного в точке за пределами заряженного шара, одинаковы с полем, созданным точечным зарядом, напряженность поля, созданного в точке за пределами шара, определяется по формуле:
Это означает, что напряженность поля уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 7.5 в).
Напряженность электрического поля зависит от свойств среды, в которой расположен заряд, создающий поле. Рассмотрим случай, когда между двумя противоположно заряженными пластинами помещен диэлектрик (рис. 7.6).
В диэлектрике свободных электронов очень мало. Основные электроны расположены в электронной оболочке атома. Под воздействием поля электрических зарядов пластин электронная оболочка деформируется. В результате центры положительных и отрицательных зарядов атома не накладываются друг на друга. Это явление называется поляризацией диэлектрика.
Напряженность поля 
, создаваемого поляризованными атомами (молекулами), направлена противоположно напряженности основного поля 
. В результате общая напряженность поля снижается 
. Величина, показывающая во сколько раз уменьшается напряженность поля, называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика:
В таком случае напряженность поля в точке, расположенной на расстоянии 
от точечного заряда, расположенного в диэлектрике, тоже уменьшается в ε раз:
Также сила взаимодействия точечных зарядов, расположенных в однородном диэлектрике, будет в 
раз меньше, чем сила их взаимодействия в вакууме, и сила этого взаимодействия вычисляется с помощью следующего выражения:
Диэлектрическая восприимчивость – это безразмерная величина.
- Электрические явления в физике
- Потенциал поля точечного заряда в физике
- Работа электрического поля при перемещении заряда в физике
- Энергия электрического поля
- Изменение агрегатного состояния вещества
- Электродинамика
- Электростатика
- Закон сохранения заряда в физике
Напряженность поля шара заряженного
по объему
.Введем понятие объемной плотности
заряда: 
Объемная плотность заряда показывает,
какой заряд содержится в единице объема
заряженного по всему объему тела. 
Объем шара произвольного радиуса 
.
Обозначим q – заряд
шара, q0 – заряд,
находящийся внутри объема произвольного
радиуса.
Тогда
заряд сферы радиуса r ,
будет: 
Следовательно:
.
– Напряженность поля внутри шара, равномерно заряженного по объему. 8)Расчёт электрического поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити.
Поле равномерно заряженного бесконечного
цилиндра (нити).
Бесконечный
цилиндр радиуса R
заряжен равномерно с
линейной плотностью
(
=
– заряд, приходящийся на единицу длины).
Из соображений симметрии следует, что
линии напряженности будут направлены
по радиусам круговых сечений цилиндра
с одинаковой густотой во все стороны
относительно оси цилиндра. В качестве
замкнутой поверхности мысленно построим
коаксиальный с заряженным цилиндр
радиуса r
и высотой l.
Поток вектора Е
сквозь торцы коаксиального цилиндра
равен нулю (торцы параллельны линиям
напряженности), а сквозь боковую
поверхность равен 2rlЕ.
По теореме Гаусса (81.2), при r>R
2rlЕ
= l/0,
откуда
(82.5)
Если r<R,
то замкнутая поверхность
зарядов внутри не содержит, поэтому в
этой области E=0.
Таким образом, напряженность поля вне
равномерно заряженного бесконечного
цилиндра определяется выражением
(82.5), внутри же его поле отсутствует.
(В системе СГС ответ: 
).
9)Работа сил электрического поля по перемещению заряда. Циркуляция вектора эдс.(е). Потенциальность электрического поля.
Если в электростатическом поле точечного
заряда Q из точки 1
в точку 2 вдоль произвольной траектории
перемещается другой точечный заряд Q0,
то сила, приложенная к заряду, совершает
работу. Работа силы F
на элементарном перемещении dl
равна
Так как d/cos=dr,
то
Работа при перемещении заряда Q0
из точки 1 в точку 2 не зависит
от траектории перемещения, а определяется
только положениями начальной 1 и
конечной 2 точек. Следовательно,
электростатическое поле точечного
заряда является потенциальным.
Из формулы (83.1) следует, что работа,
совершаемая при перемещении электрического
заряда во внешнем электростатическом
поле по любому замкнутому пути L,
равна нулю, т.е.
Если в качестве заряда, переносимого в
электростатическом поле, взять единичный
точечный положительный заряд, то
элементарная работа сил поля на пути
dl равна
Е dl
= El
dl, где El
= Ecos
— проекция вектора Е на направление
элементарного перемещения. Тогда формулу
можно записать в виде
(83.3)
Интеграл
называется циркуляцией вектора
напряженности. Следовательно,
циркуляция вектора напряженности
электростатического поля вдоль любого
замкнутого контура равна нулю. Силовое
поле, обладающее свойством (83.3), называется
потенциальным. Из обращения в нуль
циркуляции вектора Е следует, что
линии напряженности электростатического
поля не могут быть замкнутыми, они
начинаются и кончаются на зарядах
(соответственно на положительных или
отрицательных) или же уходят в
бесконечность.
Формула (83.3) справедлива только для
электростатического поля. В дальнейшем
будет показано, что для поля движущихся
зарядов условие (83.3) не выполняется (для
него циркуляция вектора напряженности
отлична от нуля).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Направление линий напряженности,
как мы уже говорили, позволяет определить направление вектора напряженности в
различных точках поля. Густота этих линий говорит нам о том, в каких областях
пространства напряженность больше. Поэтому, мы можем сказать, что линии
напряженности — это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке,
через которую они проходят, совпадают с направлением векторов напряженности.
Если мы отметим точки 1 и
2 так, как показано на рисунке, то можно с уверенностью сказать, что
напряженность в точке 1 будет больше, чем напряженность в точке 2.
Если мы рассмотрим теперь
линии напряженности одноименно заряженных шариков, то они будут выглядеть
несколько иначе:
Также мы можем
рассмотреть линии напряженности положительно и отрицательно заряженного шарика:
Как вы видите, вне шарика
они не отличаются от линий напряженности точечных зарядов.
Рассмотрим еще один
важный пример: электрическое поле, создаваемое параллельными заряженными
пластинами. Одна из пластин заряжена отрицательно, а другая — положительно.
Еще раз напомним, что
линии напряженности направлены от плюса к минусу. Обратите внимание на
центральную часть электрического поля между этими пластинами: линии
напряженности здесь параллельны и расположены с одинаковой густотой. Такое
электрическое поле называется однородным. То есть однородное
электрическое поле — это поле, линии напряженности которого, параллельны друг
другу и расположены с одинаковой густотой. Если в качестве примера мы опять
рассмотрим точки 1 и 2, то можем сказать, что поле в точке 1 однородное, а в
точке 2 — неоднородное.
Вернемся теперь к вопросу
об электрическом поле заряженной сферы.
Обозначим радиус сферы за
R, а заряд сферы за Q,
предполагая, что этот заряд равномерно распределен по всей поверхности сферы.
Очевидно, что если мы расположим множество пробных зарядов вблизи поверхности сферы,
то убедимся, что вне сферы линии напряженности расположены точно так же, как и
линии напряженности точечного заряда. Тем не менее, внутри проводящей сферы
напряженность поля равна нулю. Напряженность внутри заряженного шара линейно
растет с увеличением расстояния от центра шара. О том, почему так происходит,
мы поговорим немного позже. Обозначим произвольное расстояние от центра сферы
за r. Тогда функция
зависимости напряженности заряженной сферы от r
будет такова:
Примеры решения задач.
Задача 1. Пылинка
массой 6
×
10−6 кг
неподвижно висит в однородном поле между параллельными противоположно
заряженными пластинами. Если модуль напряженности электрического поля между
пластинами составляет 300 Н/Кл, то каков заряд пылинки?
Задача 2. Шар
обладает зарядом 0,4 мкКл, который равномерно распределен по всему объёму шара.
На точечный заряд, равный 800 нКл, действует кулоновская сила, модуль которой
равен 0,2 мН. Определите, находится ли данный заряд внутри шара или нет?
Расстояние между центром шара и точечным зарядом составляет 60 см.
Подготовка к олимпиаде. Применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел
Опубликовано ср, 08/14/2019 – 10:50 пользователем fizportal.ru
Применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел
Рассмотрим применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел простой формы: плоскости, сферы, шара, нити, цилиндра
1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда $sigma$. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью $Delta S$. Пусть заряд этого участка равен $Delta q$. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда $Delta q$ к площади поверхности, по которой он распределен
$sigma = frac{Delta q}{Delta S}$.
Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью $Delta S$ содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований – атомов.
В случае равномерного распределения заряда $q$ по поверхности площадью $S$ поверхностная плотность заряда постоянна и равна $sigma = frac{q}{S} = const$.
Задача 1. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Поверхностная плотность заряда $sigma$.
Решение
Для использования этой теоремы для определения напряженности поля, необходимо рассмотреть симметрию поля, которая, очевидно связана с симметрией зарядов. Распределение зарядов не изменится, если плоскость сместить на любой вектор $vec{a}$, лежащий в самой плоскости. Поэтому при таком смещении не изменится и напряженность поля (рис.).
Следовательно, напряженность поля может зависеть только от расстояния до плоскости $h$. Любая прямая, перпендикулярная плоскости является осью симметрии, то есть при повороте плоскости на любой угол относительно любой оси, перпендикулярной плоскости, распределение зарядов не изменяется – следовательно, и вектор напряженности при таком повороте не изменится, поэтому этот вектор должен быть перпендикулярен плоскости. Наконец, заряженная плоскость является плоскостью симметрии для поля. Поэтому в симметричных точках векторы напряженности также симметричны. Выявленные свойства симметрии электрического поля позволяют выбрать поверхность, для которой можно выразить поток вектора напряженности в простой форме. Итак, в качестве такой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью $S$ параллельны ей и находятся на равных расстояниях от плоскости.
Прежде всего, заметим, что поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как во всех точках боковой поверхности векторы напряженности $vec{E}$ и нормали $vec{n}$ взаимно перпендикулярны (поэтому $cosalpha = 0$) (рис.).
Поток через верхнее основание цилиндра может быть записан в виде
$Ф_1 = E_1 cdot S$,
так модуль напряженности поля на основании цилиндра постоянен, а по направлению совпадает с вектором нормали. Такое же значение имеет поток через нижнее основание.
Таким образом, суммарный поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра равен
$Ф = E_1 cdot S + E_2 cdot S = 2E cdot S$.
С другой стороны, по теореме Гаусса
$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,
где $q$ – заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра:
$q = sigma cdot S$.
Следовательно, $E = frac{sigma}{2varepsilon_0}$.
Главная составляющая успеха – анализ симметрии поля, позволивший разумно выбрать поверхность, для использования теоремы Гаусса. Также обратите внимание, что напряженность данного поля одинакова во всех точках, следовательно, это поля является однородным. Подчеркнем, независимость напряженности поля от расстояния до плоскости $h$ никак не следует из симметрии поля, это результат нашего расчета.
Примечание.
Для плоскости, заряженной отрицательно, результат будет таким же, лишь направление вектора $vec{E}$ изменится на противоположное.
2. Поле равномерно заряженной сферы
Задача 2. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса $R$. Суммарный заряд сферы $q$.
Решение
Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление – радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис.).
Пусть радиус сферы $r$ больше радиуса оболочки $r > R$. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности $vec{E}$ через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы
$Ф = E cdot S = E cdot 4pi r^2$.
По теореме Гаусса это поток равен $Ф = frac{q}{varepsilon_0}$. Следовательно,
$E cdot 4pi r^2 = frac{q}{varepsilon_0}$, $E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q}{r^2}$.
Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы.
Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис.)
также выражается формулой
$Ф = E cdot 4pi r^2$.
Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.
Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса $R$, имеет вид:
$E(r) = 0$, при $r < R$;
$E(r) = frac{kq}{r^2}$, при $r > R$.
Примечание.
1) Очевидно, что для сферы, заряженной отрицательно, формулы остаются справедливыми, только векторы напряженности будут направлены в противоположные стороны (к центру сферы).
2) Если вместо заряда q задана поверхностная плотность заряда $sigma$, то заряд будет равен $q = sigma S = sigma cdot 4pi R^2$, а напряженность
$E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{1}{r^2}sigma 4pi R^2 = frac{sigma R^2}{epsilon_0 r^2}$.
3. Поле равномерно заряженного шара
Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда $Delta q$ к объему $Delta V$, в котором он распределен:
$rho = frac{Delta q}{Delta V}$.
Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд $q$ равномерно распределен по объему $V$, то объемная плотность заряда постоянна и равна:
$rho = frac{q}{V} = const$.
Задача 3. Вычислить напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженным шаром радиуса $R$. Объемная плотность заряда $rho$.
Решение
Поле, создаваемое таким шаром, будет центрально-симметричным. Легко понять, что вне шара для поля получится такой же результат, что и для поля вне сферы (см. задачу 2),
$E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q}{r^2}$.
Полный заряд шара
$q = rho V = rho frac{4}{3}pi R^3$.
Тогда
$E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q}{r^2} = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{4pi R^3 rho}{3r^2} = frac{rho R^3}{3varepsilon_0 r^2}$
(при условии, что $r > R$).
Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом $r < R$ (рис.).
Поток вектора напряженности поля через поверхность этой сферы
$Ф = E cdot 4pi r^2$.
С другой стороны, по теореме Гаусса
$Ф = frac{q^/}{varepsilon_0}$,
где $q^/ = rho frac{4}{3}pi r^3$
– заряд, заключенный в сфере радиуса $r$. Следовательно,
$E cdot 4pi r^2 = frac{q^/}{varepsilon_0}, E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q^/}{r^2} = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{1}{r^2}rho frac{4}{3}pi r^3 = frac{rho cdot r}{3varepsilon_0}$.
Таким образом, внутри равномерно заряженного шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от его центра.
Функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженного шара радиуса $R$, имеет вид:
$E(r) = frac{rho}{3varepsilon_0}r$, при $r leq R$,
$E(r) = frac{rho R^3}{3varepsilon_0}frac{1}{r^2}$, при $r > R$.
Примечание.
Если вместо объемной плотности заряда $rho$ задан заряд $q$, то объемной плотности заряда будет равна
$rho = frac{q}{V} = frac{q}{frac{4}{3}pi R^3}$,
а напряженность
$E(r) = frac{r}{3varepsilon_0}frac{q}{frac{4}{3}pi R^3} = frac{q}{4pi varepsilon_0 R^3}cdot r = kfrac{q}{R^3}cdot r$, при $r leq R$,
$E(r) = frac{R^3}{3varepsilon_0}frac{1}{r^2}frac{q}{frac{4}{3}pi R^3} = frac{q}{4pi varepsilon_0}cdot frac{1}{r^2} = kfrac{q}{r^2}$, при $r > R$,
4. Поле равномерно заряженной нити
Для характеристики распределения заряда по длине используется понятие линейная плотности заряда. Линейной плотностью заряда называется отношение заряда $Delta q$ к длине $Delta l$, в которой он распределен:
$tau = frac{Delta q}{Delta l}$.
Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд $q$ равномерно распределен по длине $l$, то линейная плотность заряда постоянна и равна:
$tau = frac{q}{l} = const$.
Задача 4. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда t.
Решение
Проще всего решить задачу с помощью теоремы Гаусса. Вычислим поток напряженности через цилиндр, ось которого совпадает с заряженной нитью (рис.).
Радиус цилиндра $r$, а его высота $l$.
Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности $vec{E}$ перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. Поэтому поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен
$Ф = ES = Ecdot 2pi rl$,
поток через основания цилиндра равен нулю ($alpha = frac{pi}{2}$).
С другой стороны, по теореме Гаусса
$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,
где $q = tau cdot l$ – заряд, заключенный внутри цилиндра. Следовательно,
$E cdot 2pi rl = frac{ltau}{varepsilon_0}$,
$E = frac{tau}{2pi varepsilon_0 r} = frac{2kcdot tau}{r}$.
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра
Задача 5. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиусом $R$ равномерно заряжен по объему с плотностью $rho$. Найти напряженность электростатического поля в точке, удаленной на расстояние $r$ от оси цилиндра.
Решение
Используя симметрию распределения заряда и теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. В качестве поверхности, через которую будем определять поток вектора $vec{E}$, выберем цилиндр радиусом $r$ и высотой $h$, имеющий ту же ось симметрии, что и заданный цилиндр (рис.).
Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор $vec{E}$ совпадает с внешней нормалью к этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поток вектора $vec{E}$ через боковую поверхность цилиндра
$Ф = E_1 cdot S = E_1 cdot 2pi rh$,
поток через основания цилиндра равен нулю ($alpha = frac{pi}{2}$).
Из теоремы Гаусса следует, что
$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,
где $q = rho V = rho pi r^2h$ – заряд, заключенный внутри цилиндра.
Следовательно,
$E_1 cdot 2pi rh = frac{rho pi r^2h}{varepsilon_0}$, и $E_1 = frac{rho r}{2varepsilon_0}$.
Чтобы найти $E_2$ для $r > R$, окружим заданный цилиндр цилиндрической поверхностью радиусом $r > R$ и высотой $h$, ось симметрии которой совпадает с осью цилиндра (см. рис.).
Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор $vec{E}$ совпадает с внешней нормалью к этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поток вектора $vec{E}$ через боковую поверхность цилиндра
$Ф = E_2 cdot S = E_2 cdot 2pi rh$,
поток через основания цилиндра равен нулю ($alpha = frac{pi}{2}$).
Из теоремы Гаусса следует, что
$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,
где $q = rho V = rho pi R^2h$ – заряд, заключенный внутри цилиндра. Следовательно,
$E_2 cdot 2pi rh = frac{rho pi R^2h}{varepsilon_0}$, и $E_2 = frac{rho R^2}{2varepsilon_0 r}$.
6. Дополнительные задачи
Задача 6. Докажите, что система свободных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия. (Теорема Иршноу.)
Решение
Предположим противное, то есть какой-либо из зарядов, для определенности положительный, находится в состоянии устойчивого равновесия. По определению устойчивого равновесия, при выведении заряда из этого положения в любом направлении на сколь угодно малую величину, возникает сила, направленная к положению равновесия.
Окружим заряд, замкнутой поверхностью, например, сферой, так, чтобы внутрь ее не попадали другие заряды (рис.).
Очевидно, что для устойчивости необходимо, чтобы поле, создаваемое всеми прочими зарядами кроме рассматриваемого, на поверхности сферы было направлено к положению равновесия (только в этом случае возникает сила, возвращающая заряд в положение равновесия). Отсюда находим, что поток вектора $vec{E}$ через замкнутую поверхность отрицателен.
Но это противоречит теореме Гаусса, согласно которой данный поток, создаваемый зарядами вне сферы, равен нулю. Таким образом, теорема доказана.
Задача 7. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда $sigma$, длина ребра куба $l$.
Решение
Для определенности рассмотрим силу, действующую на верхнюю грань куба. Разобьем эту грань на малые площадки $Delta S_i$ и представим силу, действующую на грань, как сумму $vec{F_i}$ сил, действующих на каждую площадку $Delta S_i$:
$vec{F} = sum vec{F_i}$.
Обозначим через $vec{E_i}$ напряженность электрического поля, создаваемого в области нахождения площадки $Delta S_i$ зарядами всех граней, кроме самой верхней грани (рис.).
Тогда сила
$vec{F_i} = q^/ cdot vec{E_i} = sigma cdot Delta S_i cdot vec{E_i}$,
ее проекция на нормаль к грани $vec{n}$ равна
$F_{in} = sigma cdot Delta S_i cdot E_i^/ cdot cosalpha_i$,
а суммарная сила, действующая на верхнюю грань вдоль нормали $vec{n}$:
$F_n = sum F_{in} = sigma cdot sum{E_i^/ Delta S_i cdot cosalpha_i} = sigma cdot Ф^/$, (1)
где $sum{E_i^/ Delta S_i cdot cosalpha_i} = Ф^/$ – поток вектора $vec{E}$ через верхнюю грань куба, создаваемый зарядами всех других граней.
В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем куб, размеры которого на бесконечно малую величину превышают размеры рассматриваемого куба, то есть их грани практически совпадают. Тогда поток через верхнюю грань куба внешнего куба равен
$Ф = Ф^/ + Ф^{//}$,
где
$Ф^{//} = E^{//} cdot S_1 = frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot S_1 = frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2$
поток, создаваемый заряженной верхней гранью куба.
Тогда
$Ф = Ф^/ + frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2$, (2)
Воспользуемся теоремой Гаусса для всего куба
$Ф_0 = 6Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,
где $q = sigma cdot 6l^2$ – заряд куба.
Тогда
$6Ф = frac{6l^2 cdot sigma}{varepsilon_0}$. (3)
Выразим $Ф^/$ из (2), а $Ф$ из (3)
$Ф^/ = Ф – frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2 = frac{sigma}{varepsilon_0} cdot l^2 – frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2 = frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2$.
Учитывая уравнение (1), окончательно находим:
$F_n = frac{sigma^2 cdot l^2}{2varepsilon_0}$.
Задача 8. Грани куба с ребром $a$ однородно заряжены с поверхностной плотностью $sigma$. В центр куба помещен заряд $Q$. С какой силой этот заряд взаимодействует с каждой из граней?
Решение
По теореме Гаусса вычислим $Ф$ – поток вектора напряженности, создаваемой зарядом $Q$, через поверхность куба. Он равен $frac{Q}{varepsilon_0}$. С другой стороны
$Ф = 6 cdot displaystylesum_{Delta S} frac{Q}{r^2} cdot Delta S cdot cosalpha$.
В этом выражении $Delta S$ – площадь малого элемента поверхности куба, $r$ – длина вектора, соединяющего заряд $Q$ с этим элементом, $alpha$ – угол, который составляет этот вектор с нормалью к элементу $Delta S$. Суммирование идет по одной из граней куба. Заметим, что сила $F$, действующая на грань куба, задается выражением:
$F = sigma cdot displaystylesum_{Delta S} frac{Q}{r^2} cdot Delta S cdot cosalpha$
Следовательно,
$F = sigma cdot frac{Ф}{6} = frac{sigma Q}{6varepsilon_0}$.
Электростатика: элементы учебной физики
Лекция 5. Напряжённость электрического поля
Продолжение. См. № 17,
18, 19, 20/07
В.В.МАЙЕР,
ГОУ ВПО ГГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов,
Республика Удмуртия
varaksina_ei@list.ru
Электростатика: элементы учебной
физики
Понятие электрического поля оказалось
плодотворным потому, что удалось ввести
количественные характеристики, которые
позволяют решать конкретные физические задачи. К
ним в первую очередь относятся напряжённость и
потенциал электрического поля.
Экспериментальные исследования
учащихся должны показать, что напряжённость
реально может быть измерена и что эта величина
действительно характеризует электрическое поле.
Относительно новое для школьников – один и тот
же прибор, электростатический динамометр, при
соответствующей градуировке может быть
использован в качестве измерителя и силы, и
напряжённости. Однако это вовсе не значит, что
этим прибором можно измерить любую
электростатическую величину: ни при какой
градуировке электростатического динамометра не
удастся получить прибор, измеряющий, скажем,
потенциал электрического поля.
Принципиально важно
экспериментальное обоснование принципа
суперпозиции электрических полей. Такое
обоснование можно было бы осуществить уже при
введении понятия электрического поля, но
предпочтительнее сделать это, когда учащиеся
будут ознакомлены с понятием напряжённости.
5.1. Напряжённость электрического
поля. Силовой характеристикой
электрического поля является вектор
напряжённости электрического поля E,
равный отношению вектора силы, действующей в
данной точке поля на пробный положительный
заряд, к величине этого заряда:
( 5.1)
Напряжённость в системе единиц СИ
выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).
5.2. Напряжённость электрического
поля точечного заряда. Во многих задачах
электростатики размерами заряженных тел по
сравнению с расстояниями до точек наблюдения
можно пренебречь. В таких случаях говорят о
точечных зарядах. Понятно, что на самом деле
никаких точечных зарядов или заряженных точек в
природе не существует, — это просто удобная
абстракция.
Закон Кулона, как вы знаете, справедлив
именно для точечных зарядов. Непосредственно из
закона Кулона следует, что модуль вектора
напряжённости электрического поля точечного
заряда Q:
(5.2)
где R – расстояние до точки
наблюдения, q – пробный положительный заряд.
5.3. Силовые линии
электростатического поля. Фарадей, который
ввёл понятие электрического поля, внутренним
взором видел заряды, окружённые полями.
Изображать их он стал линиями, вдоль которых на
пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые
линии электростатического поля часто
называют линиями напряжённости, т.к. вектор
напряжённости электрического поля в любой точке
такой линии касателен к ней. Вместо пробного
заряда для построения силовых линий удобнее
использовать электрический диполь.
Введя в электрическое поле
положительный пробный заряд на нити, по его
отклонению от положения равновесия определим
направление напряжённости поля. Уберём заряд и
вместо него в ту же точку внесём диполь. При
этом обнаружим, что он повернулся своим
положительным полюсом в направлении вектора
напряжённости электрического поля. Используя
диполь, нетрудно экспериментально доказать, что
электрическое поле можно характеризовать
силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой
точке которых напряжённость поля является
касательной к ним.
Для этого создадим произвольное
электрическое поле, введём в него диполь и
отметим положение его положительного и
отрицательного полюсов. Переместим диполь так,
чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с
точкой, в которой находился положительный.
Многократно повторяя эту операцию, получим
совокупность точек. Соединив эти точки плавной
линией, получим силовую линию исследуемого
электростатического поля.
Опыт показывает, что через каждую
точку поля проходит только одна силовая линия.
Если бы было не так, то в точке пересечения двух
силовых линий одного поля на заряд действовали
бы разные силы.
Повторяя описанные выше действия,
построим семейство силовых линий так, чтобы их
начальные точки находились на поверхности
заряженного тела на равных расстояниях друг от
друга. Обнаружим, что силовые линии
располагаются с различной густотой. Внесём в
поле пробный заряд на нити в области с
максимальной и минимальной густотой силовых
линий и обнаружим, что в этих областях
напряжённость электрического поля
соответственно максимальна и минимальна.
Силовые линии сгущаются возле зарядов,
т.е. там, где модуль вектора напряжённости
электрического поля больше. Значит, густота
силовых линий определяется напряжённостью поля.
Семейство силовых линий в принципе может
полностью охарактеризовать электрическое поле.
Проделанные опыты показывают, что
силовые линии начинаются или заканчиваются на
зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё.
В электростатическом поле замкнутых силовых
линий нет.
5.4. Принцип суперпозиции
напряжённостей электростатических полей.
Из принципа суперпозиции полей следует, что сила,
действующая на пробный заряд со стороны других
зарядов, равна геометрической сумме всех
действующих на заряд сил по отдельности. Но если
это так, то напряжённости электрических полей,
равные отношениям сил к величине пробного
заряда, складываются подобно силам.
Таким образом, для электрических полей
справедлив принцип суперпозиции в
следующей формулировке: напряжённость
результирующего электрического поля есть
геометрическая (векторная) сумма напряжённостей
полей, создаваемых отдельными зарядами:
E = E1 + E2 + E3 + …
(5.3)
Применение принципа суперпозиции для
напряжённостей позволяет существенно облегчить
решение многих задач электростатики.
5.5. Поток вектора напряжённости
электрического поля. Представим себе
точечный положительный заряд Q, находящийся
в центре сферической поверхности 1 радиусом r.
В точках этой поверхности напряжённость
электрического поля 
Так как площадь
поверхности сферы S = 4
r2, то её
произведение на напряжённость электрического
поля не зависит ни от чего, кроме заряда:
(5.4)
поэтому характеризует электрическое
поле в целом. Эта величина получила название потока
вектора напряжённости электрического поля.
Поток напряжённости через
концентрические сферические поверхности 1 и
2 одинаков. Так как он характеризует поле
заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и
для произвольной замкнутой поверхности 3. Но
для неё вектор напряжённости уже не является
нормалью к элементу поверхности. Поэтому для
определения потока вектора E через
элемент поверхности вместо площади этого
элемента следует брать площадь его проекции на
плоскость, перпендикулярную вектору E.
Условимся поток считать положительным, если
вектор напряжённости выходит из замкнутой
поверхности, и отрицательным, если он входит в
неё. Если заряд находится вне замкнутой
поверхности 4, то поток напряжённости через
неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь
области поток по модулю равен выходящему.
5.6. Теорема Гаусса. Мысленно
переместим заряд из центра сферической
поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно,
поток вектора напряжённости электрического поля
от этого не изменится, т.к., по самому определению,
он один и тот же для любой замкнутой поверхности,
окружающей заряд. Разместим внутри этой
поверхности не один, а несколько в общем случае
различных зарядов. По принципу суперпозиции
электрические поля этих зарядов не влияют друг
на друга, значит, потоки, созданные каждым
зарядом по отдельности, остаются неизменными.
Результирующий поток, очевидно, равен сумме
потоков от всех зарядов.
Это и есть теорема Гаусса: поток
вектора напряжённости через произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме зарядов, расположенных внутри этой
поверхности, делённой на электрическую
постоянную:
(5.5)
Если алгебраическая сумма зарядов
внутри замкнутой поверхности равна нулю, то
поток напряжённости электрического поля через
эту поверхность также равен нулю. Это понятно,
поскольку положительные заряды внутри
поверхности создают положительный поток, а
отрицательные – равный ему по модулю
отрицательный.
5.7. Поверхностная плотность
заряда. Если проводящему телу сообщить
заряд, то он будет распределён по его
поверхности. В общем случае на участках
поверхности одинаковой площади окажутся разные
заряды. Отношение заряда 
Q к площади поверхности S, на которой
он распределён, называется поверхностной
плотностью заряда
(5.6)
Поверхностная плотность заряда
выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
5.8. Напряжённость электрического
поля заряженного шара. Используя теорему
Гаусса, нетрудно определить напряжённость
электрического поля, созданного заряженным
проводящим шаром. Действительно, если на
поверхности сферы радиусом r > R, центр
которой совпадает с центром шара, равномерно
распределён заряд Q, то поток вектора E
через сферическую поверхность радиусом r,
согласно теореме Гаусса, равен:
Отсюда напряжённость электрического
поля на расстоянии r от центра заряженной сферы
равна
(5.7)
Сравнивая (5.7) с (5.2), приходим к выводу,
что напряжённость электрического поля
заряженного шара равна напряжённости такого же
точечного заряда, расположенного в центре шара.
5.9. Напряжённость электрического поля
заряженной плоскости. Рассмотрим
бесконечную плоскость, заряженную равномерно с
поверхностной плотностью заряда 
. Электрическое поле такой
поверхности однородно, причём силовые линии
перпендикулярны поверхности. Чтобы найти
напряжённость поля, воспользуемся теоремой
Гаусса. Для этого построим замкнутую
цилиндрическую поверхность, ось которой
параллельна силовым линиям поля, а основания
площадью S находятся по разные стороны от
поверхности. Поток напряжённости через боковую
поверхность цилиндра равен нулю, т.к. силовые
линии её не пересекают. Поэтому полный поток
напряжённости через выбранную поверхность равен
сумме потоков через основания цилиндра: N = 2 • ЕS.
Полный заряд внутри цилиндра равен Q = S. Согласно
теореме Гаусса, 
Отсюда напряжённость электрического поля
(5.8)
Итак, напряжённость электрического
поля заряженной плоскости равна поверхностной
плотности заряда, делённой на удвоенное значение
электрической постоянной.
5.10. Напряжённость электрического
поля разноимённо заряженных параллельных
плоскостей. Пусть некоторая плоскость
заряжена равномерно с плотностью заряда . Параллельно этой
плоскости расположим вторую, с такой же
плотностью заряда противоположного знака.
Найдём напряжённость электрического поля в этом
случае.
Каждая плоскость создаёт поле
напряжённостью E’ = /(2
0).
Согласно принципу суперпозиции, напряжённость
результирующего электрического поля равна сумме
напряжённостей этих полей. Так как между
плоскостями напряжённости полей имеют
одинаковое направление, то результирующая
напряжённость Е = 2E’:
(5.9)
Следовательно, напряжённость
электрического поля между параллельными
плоскостями, несущими равные по модулю
разноимённые заряды, равна поверхностной
плотности заряда одной из плоскостей, делённой
на электрическую постоянную. Вне плоскостей
векторы напряжённостей направлены
противоположно и, поскольку их модули равны, поле
вообще отсутствует. Обратите внимание, что не
важно, проводят плоскости электричество или нет.
Исследование 5.1. Напряжённость
электрического поля
Проблема. Возможна ли в доступном
учебном эксперименте количественная оценка
напряжённости электрического поля, создаваемого
зарядами на наэлектризованных телах? 
Задание. Используя
электростатический динамометр, разработайте
методику введения понятия напряжённости
электрического поля и предложите прибор для
измерения напряжённостей.
Вариант выполнения. Проводящему
шару сообщите заряд, для определённости
положительный. На пробный шарик
электростатического динамометра (см.
исследование 3.4) также нанесите некоторый заряд.
Введите динамометр в электрическое поле
заряженного шара и разверните так, чтобы его
показания стали максимальны. Это означает, что
пробный шарик электростатического динамометра
отклоняется в ту же сторону, куда направлена
сила, действующая на него со стороны
электрического поля.
Прикоснитесь к пробному шарику таким
же незаряженным шариком и уберите его: пробный
заряд уменьшится в два раза, показания
динамометра для того же расстояния до точки
наблюдения тоже уменьшаются в два раза.
Повторяя опыт с разными зарядами,
убедитесь, что отношение силы f, действующей
на пробный заряд q, к величине этого заряда в
данной точке поля остаётся постоянным, а при
переходе от одной точки к другой, вообще говоря,
меняется. Значит, это отношение может
характеризовать электрическое поле. Оно и
получило название напряжённости
электрического поля. Шкалу
электростатического динамометра, которым вы
пользовались для измерения силы
электростатического взаимодействия, можно
отградуировать в единицах напряжённости. Тогда
допустимо считать этот прибор измерителем
напряжённости электрического поля.
Градуировку нетрудно осуществить в единицах
Н/Кл, если предварительно измерить величину
пробного заряда (см. исследование 3.6).
Учащиеся должны понять, каким образом
один и тот же прибор превратился из измерителя
силы в измеритель напряжённости.
Исследование 5.2. Зависимость
напряжённости электрического поля от радиуса
заряженного шара
Задание. Разработайте
демонстрационный эксперимент, который может
служить обоснованием справедливости теоремы
Гаусса для электростатических полей.
Вариант выполнения.
Зарядите стоящий на диэлектрической
подставке небольшой проводящий шар. К нему
подведите измеритель напряжённости
электрического поля, пробный шарик которого
несёт такой же по знаку заряд, как заряд,
создающий исследуемое поле. Запомните
отклонение стрелки измерителя.
Первый шар с зарядом опустите в
полость второго проводящего шара значительно
большего диаметра, установленного на
диэлектрической подставке. Приближайте этот
второй шар к пробному шарику измерителя
напряжённости. Оказывается, когда центр второго
шара совпадает с точкой, в которой находился
центр первого шара, стрелка измерителя
отклоняется на первоначальное число делений.
Отсюда следует, что независимо от
радиуса заряженного шара на одном и том же
расстоянии от его центра напряжённость
электрического поля одна и та же. Тем самым
теорема Гаусса получила подтверждение в
демонстрационном эксперименте.
Понятно, что теорема Гаусса носит
общий характер и, строго говоря, не нуждается в
обоснованиях, подобных здесь рассмотренному. Но
в дидактических целях такое обоснование
совершенно необходимо, поскольку оно
способствует укреплению в сознании учащихся
неразрывной связи физической теории с
объективной реальностью.
Исследование 5.3. Суперпозиция
электрических полей
Информация. Чтобы убедиться в
справедливости принципа суперпозиции
электрических полей, нужно уметь определять не
только модули сил, действующих на заряды, но и их
направления. Делать это с помощью
электростатического динамометра неудобно. Кроме
того, он не позволяет графически изображать
векторы сил. Если на нити подвесить лёгкое
заряженное тело, то силу, действующую на него в
электрическом поле, можно оценить по отклонению
тела из положения равновесия. Но для измерения
этого отклонения воспользоваться линейкой не
удастся: приближение её к заряженному телу
вызывает изменение его положения. Чтобы
устранить эту трудность, можно спроецировать
заряженное тело на горизонтальную плоскость.
Задание. Разработайте и выполните
эксперимент, доказывающий справедливость
принципа суперпозиции электрических полей.
Вариант выполнения. К стеклянному
баллону маленькой лампочки приклейте тонкую
нить с лёгким проводящим шариком небольшого
радиуса на конце. Нанесите на шарик пробный
заряд. Лампочку закрепите над листом бумаги и
включите её. На листе бумаги цифрой 0
отметьте положение тени от шарика, находящегося
в положении равновесия. Приблизьте к пробному
заряду заряд Q1 и цифрой 1 отметьте
на листе положение тени отклонившегося шарика.
Уберите заряд Q1 и вместо него вблизи
пробного шарика расположите заряд Q2.
При этом тень от шарика займёт новое положение 2.
Верните заряд Q1 в
первоначальное положение. Теперь пробный шарик
находится в поле сразу двух зарядов и
отклоняется от положения равновесия так, что его
тень занимает положение 3. Проанализируйте
результат эксперимента. Очевидно, при смещении
шарика из положения равновесия его тень
смещается на величину, пропорциональную силе,
действующей на шарик в новом положении
равновесия (см. исследование 3.5). При малых
отклонениях пробного шарика эту силу
приближённо можно считать равной силе,
действующей на шарик в исходном положении. Длины
отрезков, соединяющих точку 0 с точками 1,
2 и 3, пропорциональны модулям
соответствующих сил. Соединив указанные точки
векторами, вы обнаружите, что вектор
результирующей силы, действующей на пробный
заряд, примерно равен сумме векторов сил,
действующих на него со стороны каждого заряда по
отдельности. Понятно, что точные измерения,
выполненные с более совершенными приборами,
вместо приближённого дадут точное равенство.
Поразительно единство природы: силы,
созданные электрическими полями, складываются
так же, как механические! Но если это так, то
напряжённости электрических полей, равные
отношениям сил к величине пробного заряда,
складываются подобно силам. Оставив шары
неподвижными, изменяйте их заряды в одинаковое
число раз (см. п. 2.6). При этом вы обнаружите, что
направление напряжённости результирующего поля
остаётся неизменным.
Таким образом, принцип суперпозиции
электростатических полей экспериментально
обоснован.
Исследование 5.4. Демонстрация
принципа суперпозиции напряжённостей
Проблема. Индивидуальный опыт,
выполненный в результате предыдущего
исследования, не позволяет убедиться в
справедливости принципа суперпозиции
напряжённостей электростатических полей всему
классу непосредственно на уроке. Как решить эту
проблему?
Задание. Учитывая возможности
кодоскопа, разработайте демонстрационный
вариант эксперимента, обосновывающего
справедливость принципа суперпозиции, и
методику проведения его на уроке.
Вариант выполнения. Из толстой
алюминиевой проволоки в изоляции выгните
специальный штатив высотой примерно 30 см и
поставьте его на конденсор кодоскопа. К верхнему
концу штатива привяжите конец тонкой нейлоновой
нити длиной примерно 20 см. На нижнем конце нити
закрепите шарик диаметром около 3 мм из тонкой
алюминиевой фольги. На конденсор кодоскопа на
стойках высотой 10 см, изготовленных из
полиэтиленовых трубок, поставьте пенопластовые
шары диаметром 15–20 мм, обёрнутые тонкой фольгой.
Основания стоек лучше сделать из прозрачного
оргстекла.
Уберите с конденсора стойки с шарами,
включите осветитель кодоскопа и на классной
доске получите изображение висящего на нити
пробного шарика. Одноимёнными зарядами зарядите
пробный шарик и два шара на стойках. На доске
мелом отметьте положение пробного шарика.
Поставьте на конденсор один из заряженных шаров,
отметьте его положение и положение пробного
шарика. Уберите первый заряженный шар и в
произвольное место поставьте второй, отметив на
доске новое положение пробного шарика. Верните в
первоначальное положение первый шар, обозначьте
результирующее положение пробного шарика, мелом
на доске нарисуйте соответствующие векторы сил и
предложите учащимся сделать вывод из
продемонстрированного опыта.
Исследование 5.5. Плотность заряда
на поверхности проводника 
Задание. Докажите, что плотность
заряда на поверхности проводника, вообще говоря,
различна.
Вариант выполнения. Зарядите
расположенный на изолирующей подставке
проводник цилиндрической формы с остриём и
коническим углублением. Пробным шариком на
изолирующей ручке, предварительно заземлённым,
коснитесь цилиндрической поверхности
проводника и поместите его внутрь полого шара,
соединённого с электрометром. Если угол
отклонения стрелки мал, повторите перенос заряда
несколько раз. Запомните показания электрометра,
разрядите его и пробный шарик. Попробуйте снять
заряд из конического углубления в поверхности
проводника, и вы убедитесь, что там он
практически отсутствует. Повторите опыт, касаясь
пробным шариком теперь уже точки поверхности,
расположенной на острие проводника. В этом
случае угол отклонения стрелки электрометра
будет значительно больше, чем в первом опыте. Так
как вблизи острия пробный шарик заряжается до
большей величины, то в этой области плотность
распределения заряда по поверхности проводника
больше.
Зарядите металлический диск,
закреплённый за изолирующую ручку в штативе.
Проведя опыты, аналогичные описанным, покажите,
что плотность заряда во всех точках плоской
поверхности диска вдали от его края одинакова, а
на краю возрастает.
Исследование 5.6. Напряжённость
электрического поля вблизи заряженного
проводника
Задание. Поставьте опыт,
показывающий, что напряжённость электрического
поля вблизи заряженного проводника определяется
поверхностной плотностью заряда.
Вариант выполнения. Вблизи
проводника сложной формы расположите
электростатический динамометр и перемещайте его
так, чтобы расстояние до поверхности проводника
оставалось постоянным, а сила действовала на
шарик динамометра по нормали к поверхности. Опыт
должен показать, что там, где на поверхности
проводника плотность заряда больше, вблизи этой
поверхности больше и напряжённость
электрического поля (см. исследование 5.5).
Проанализируйте полученные результаты и
сделайте соответствующие выводы.
Исследование 5.7. Электрическое
поле вблизи заряженных плоскостей
Задание. Прямым экспериментом
подтвердите, что равномерно заряженная
плоскость даёт электрическое поле по обе стороны
от неё, а две параллельно установленные
плоскости, несущие равные заряды
противоположных знаков, создают электрическое
поле только в области между ними.
Вариант выполнения. На нитях
подвесьте два одинаковых обёрнутых алюминиевой
фольгой пенопластовых шарика так, чтобы они
касались металлического диска с противоположных
сторон. Зарядите диск от пьезоэлектрического или
иного источника. При этом шарики отойдут от диска
на равные расстояния, свидетельствуя о том, что
электрическое поле существует по обе стороны от
заряженного диска.
Точно такой же диск зарядите равным по
модулю и противоположным по знаку зарядом.
Постепенно приближайте второй диск к первому
так, чтобы они оставались параллельными. Вы
заметите, что отклонение шарика, находящегося
вне дисков, уменьшается, а находящегося между
дисками – увеличивается. Наконец, первый шарик
касается диска, показывая, что поле вне дисков
практически исчезло, а второй шарик отклоняется
на угол, примерно в два раза превышающий
первоначальный.
Исследование 5.8. Точное
подтверждение закона Кулона
Информация.
На диэлектрической стойке закрепите
металлический шар и заключите его между двумя
проводящими полусферами, одна из которых имеет
отверстие. Через отверстие проводником на
изолированной нити соедините шар с полусферами.
Зарядите полусферы. За нить удалите проводник.
Разомкнув шар и полусферы, разведите полусферы в
стороны, разрядите их, а к шару подсоедините
чувствительный электрометр: никакого заряда на
шаре вы не обнаружите. Значит, эксперимент ещё
раз показывает, что на проводнике, находящемся
внутри другого проводника, заряда нет.
Это справедливо потому, что справедлив
закон Кулона. Действительно, внутри проводящей
равномерно заряженной сферы выберем
произвольную точку А и вертикальными
конусами вырежем на сфере площадки S1 и S2. Из геометрии
известно, что 
Но
эти площадки имеют заряды, пропорциональные их
величинам: 
Небольшие площадки создают в точке А поля
напряжённостями 
и 
отношение
которых
Значит, поскольку напряжённости полей,
созданных любыми подобными парами площадок на
сфере, равны по модулю и противоположно
направлены, результирующая напряжённость поля,
созданного в точке А всей заряженной сферой,
должна быть равна нулю.
Это и показывает эксперимент. Если бы
на опыте был обнаружен хотя бы слабый заряд на
внутреннем шаре, то оказалась бы неверной
формула для напряжённости поля точечного заряда
(5.2) и, следовательно, в законе Кулона (3.1) сила
взаимодействия между зарядами не была бы обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Так как заряд можно измерить с гораздо более
высокой точностью, чем силу взаимодействия между
зарядами, а из закона Кулона следует, что поле
внутри тела отсутствует независимо от его формы,
то рассмотренный эксперимент корректнее
доказывает справедливость закона Кулона, чем
ранее описанные опыты. 
Задание. Разработайте и поставьте
доступный вариант рассмотренного эксперимента,
с максимальной убедительностью показывающий,
что внутри заряженного полого проводника
электрическое поле отсутствует.
Вариант выполнения. Чтобы
обнаружить электрическое поле, можно
воспользоваться явлением электростатической
индукции. Внесём в поле два соприкасающихся
проводящих тела на изолированных ручках. В них
произойдёт перераспределение зарядов. Не удаляя
из поля, разъединим эти тела – на них останутся
заряды противоположных знаков. Эти заряды можно
измерить электрометром, находящимся вне
исследуемого поля.
Эксперимент можно поставить так. На
подставке из диэлектрика закрепите полый
металлический шар. Проводником в хорошей
изоляции соедините его с одним из кондукторов
электрофорной машины. К шару приблизьте второй
кондуктор и приведите машину в действие. При этом
возникнут мощные искровые разряды длиной до 10 см.
Аккуратно введите внутрь шара одинаковые
металлические пластинки на ручках из оргстекла.
Приведите пластинки в соприкосновение, затем
разъедините, аккуратно достаньте из полости шара
и по очереди введите в шар электрометра. Вы
обнаружите, что никакого заряда на пластинках
нет! Значит, внутри проводящего шара
электрическое поле отсутствует, несмотря на то,
что шар в целом несёт значительный заряд,
сообщаемый ему работающей электрофорной
машиной. Повторите опыт, прикоснувшись пробным
шариком изнутри к металлу заряженного шара, – вы
вновь не обнаружите никакого заряда. Таким
образом, весь электрический заряд сосредоточен
на поверхности проводящего тела. Объясняется
этот результат тем, что справедлив закон Кулона.
В свою очередь, этот экспериментальный факт с
высокой точностью подтверждает справедливость
закона Кулона.
Вопросы для самоконтроля
1. В чём суть методики введения и
формирования понятия напряжённости
электрического поля?
2. Сравните метод построения силовых
линий посредством диполя с методом визуализации
электростатического поля мелким порошком,
взвешенным в жидком диэлектрике.
3. Изложите методику демонстрации на
уроке принципа суперпозиции электростатических
полей.
4. Каким экспериментом можно
подтвердить справедливость теоремы Гаусса?
5. Как зависят плотность заряда и
напряжённость электрического поля от формы
проводника?
6. Предложите демонстрационный опыт,
прямо показывающий зависимость плотности заряда
от площади проводника.
7. В чём дидактическая ценность
опыта с обнаружением электрического поля вблизи
одной и двух параллельных заряженных проводящих
пластин?
8. Нужно ли в школе рассматривать
метод точного подтверждения закона Кулона?
Литература
Бутиков Е.И., Кондратьев А.С.
Физика: Учеб. пособие: В 3-х кн. Кн. 2.
Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.
Демонстрационный эксперимент по
физике в старших классах средней школы: Т. 2.
Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред.
А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.
Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик
Э.Е. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл.
изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.:
Просвещение, 1997.
Учебное оборудование для кабинетов физики
общеобразовательных учреждений: Под ред.
Г.Г.Никифорова. — М.: Дрофа, 2005. (Cм. также «Физика»
(«ПС») № 10/2005; № 4/2007.)
Продолжение см. в № 22/07
