Как найти длину радиуса вектора с координатами

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

Возьмем
в пространстве произвольную точку М(х,
у, z).
Первая координата х
– абсцисса ‒ это проекция т. М на ось
ОХ. Вторая у
– ордината – это проекция т. М на ось
ОУ. Третья z
– аппликата – на ось OZ.

М

α

N

Проекция
т. М на α

Чтобы
найти проекцию точки на прямую, нужно
через точку провести плоскость
перпендикулярно этой прямой.

Определение:
Вектор, соединяющий начало координат
т. О
с произвольной точкой пространства
называется радиус-
вектор этой точки.

Радиус-
вектор т. М – ОМ.

Найдем
координаты радиус-вектора ОМ:

ОА=
xi,
ОВ= yj,
ОС= zk.

OM=
OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z).

Вывод:
координаты радиус-вектора точки совпадают
с координатами самой точки ОМ= (x,
y,
z).

Вектор
ОМ является диагональю параллелепипеда,
по свойству диагоналей d²=
a²+
b²+
c²
. Отсюда
следует, что │ОМ│²=
x²+
y²+
z².
Извлекая, квадратный корень получаем
длину

_.

Возьмем
две произвольные точки т. А(x₁,
y₁,
z₁)
и т. В (x₂,
y₂,
z₂).
Соединим АВ.

Вспомогательные
векторы: ОА= (x₁,
y₁,
z₁),
ОВ= (x₂,
y₂,
z₂).

АВ=
ОВ
– ОА=
(x₂,
y₂,
z₂)-
(x₁,
y₁,
z₁)=
(x₂–
x₁,
, y₂–
y₁,
z₂–
z₁).

Вывод:
чтобы найти координаты вектора нужно
из координат конца вектора вычесть
соответствующие координаты начала
вектора.

АВ=
(x₂–
x₁,
, y₂–
y₁,
z₂–
z₁).

Пример.
Даны 3 точки
т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его
длину │АВ│, m=
AB-
2BC.

Проекция вектора на ось.

Определение:
Проекцией
вектора на ось
называется число, модуль которого равен
проекции на эту ось отрезка, задающего
вектор, причем число берется со знаком
«+», если координата конца вектора больше
координаты начала вектора, и со знаком
«-», если координата начала больше
координаты конца.

Через
т. А и т. В проведем плоскости перпендикулярные
оси l,
и найдем точки пересечения плоскости
с осью.

Перенесем
вектор АВ в точку А₁.
А₁В₁(проекция)=АВ.
Из прямоугольного треугольника следует,
что проекция АВ на ось l
будет равна:

│АВ│·
cos
φ=
пр_l
AB.

пр_l
AB=│АВ│·
cos
φ,
где φ
– это угол между вектором и осью.

Возможны
3 случая:

1)
φ-
острый, пр_l
AB>
0, т.к. cos
φ>
0.

2)
φ-
тупой, пр_l
AB<
0, т.к. cos
φ<
0.

3)
φ=
90°, пр_l
AB=
0, т.к. cos
φ=
0.

Теоремы о проекциях.

Теорема
1. пр_l(а
+ b)=
пр_l
a
+ пр_l
b.

Теорема
2. пр_l
(λа)=
λ пр_l
а.

Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.

пр_OY
АВ= y₁–
y₂,
пр_OX
АВ= x₁–
x₂,
пр_OZ
АВ= z₁–
z₂.

Вывод:
проекции вектора на координатные оси
совпадают с координатами вектора.

Условие коллинеарности двух векторов.

Возьмем
два коллинеарных вектора а=
(а_х,
а_у,
а_z)
║b=
(b_x,
b_y,
b_z).

b=
λa.

В
координатной форме:

Сравнивая
соответствующие координаты первые,
вторые и третьи получим:

.

Условие
коллинеарности:
Для коллинеарности двух векторов
необходимо и достаточно, чтобы их
соответствующие координаты были
пропорциональны.

Замечание:
если одна из координат вектора равна
0, то у коллинеарного вектора соответствующая
координата тоже равна 0.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Найти длину радиус вектора

Онлайн калькулятор. Модуль вектора. Длина вектора

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти длину вектора для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление модуля вектора и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора) по двум точкам

Размерность вектора:

Форма представления вектора:

Инструкция использования калькулятора для вычисления длины вектора

Ввод даных в калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора)

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел..

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления длины вектора (модуля вектора)

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Вычисления длины вектора (модуля вектора)

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение длины вектора, примеры и решения

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2

А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :

26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;

( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.

Нахождение длины вектора, примеры и решения

Длина вектора – основные формулы

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → – 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → – орты прямоугольной системы координат.

Дано разложение вектора a → = 4 · i → – 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , – 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( – 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x – a x ; b y – a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2

А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 + ( b z – a z ) 2

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B – 3 , 1 .

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 : A B → = ( – 3 – 1 ) 2 + ( 1 – 3 ) 2 = 20 – 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( – 3 – 1 ; 1 – 3 ) = ( – 4 ; 1 – 3 ) ; A B → = ( – 4 ) 2 + ( 1 – 3 ) 2 = 20 – 2 3 . –

Ответ: A B → = 20 – 2 3 .

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 + ( b z – a z ) 2 = ( 5 – 0 ) 2 + ( 2 – 1 ) 2 + ( λ 2 – 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 – 2 ) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :

26 + ( λ 2 – 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 – 2 ) 2 = 30 ( λ 2 – 2 ) 2 = 4 λ 2 – 2 = 2 и л и λ 2 – 2 = – 2 λ 1 = – 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = – 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 – 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 – 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 или A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 + ( b z – a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;

( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

[ overrightarrow = left< AB_; AB_ right> ]

[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/dlina_vectora/

[/spoiler]

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой со стрелкой: или набираемой жирным шрифтом: ) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии[править | править код]

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат[править | править код]

Двумерное пространство[править | править код]

Трёхмерное пространство[править | править код]

n-мерное пространство[править | править код]

• Декартовы координаты:

Радиус-вектор в кинематике[править | править код]

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть функция , определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

,

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат , то для цилиндрической системы имеем не
, а выражение: ; ускорение в последнем случае: .

Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву и другим 200 предметам можно здесь всего за 10 минут.

Длина вектора

Как найти?

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула длины вектора на плоскости:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула длины вектора в пространстве:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти длину вектора по его координатам $ overline{a} = (4;-3) $

Решение

Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи: $$|overline{a}| = sqrt{4^2+(-3)^2} = sqrt{16+9} = sqrt{25} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Длина вектора $|overline{a}| = 5 $

Пример 2

Найти длину вектора по координатам $ overline{a}=(4;2;4) $

Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё: $|overline{a}|=sqrt{4^2+2^2+4^2}=sqrt{36}=6 $

Ответ

Длина вектора $|overline{a}|=6 $

Пример 3

Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $

Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат: $ overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $ Теперь когда координаты вектора $ overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу: $|overline{AB}|=sqrt{(-3)^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13} $

Ответ

$|overline{AB}|=sqrt{13} $

В статье мы ответили на вопрос:”Как найти длину вектора?” с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.