В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем призмы и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
- Формула вычисления объема призмы
- Примеры задач
Формула вычисления объема призмы
Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.
V = Sосн ⋅ h
- Sосн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
- h – высота призмы.
Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:
- прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
- правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
- наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 14 см2, а высота – 6 см.
Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем:
V = 14 см2 ⋅ 6 см = 84 см3.
Задание 2
Объем призмы равняется 106 см3. Найдите ее высоту, если известно, что площадь основания составляет 10 см2.
Решение:
Из формулы расчета объема следует, что высота равняется объему, разделенному на площадь основания:
h = V / Sосн = 106 см3 / 10 см2 = 10,6 см.
In geometry, a prism is a three-dimensional shaped object that has two identical polygons facing each other and is laterally connected by rectangular or parallelogram faces. These identical polygons are called the bases of the prism and can be of any shape, such as triangles, squares, rectangles, or any n-sided polygon. A prism is a significant member of the polyhedron family. Depending upon the type of the polygonal base, a prism is classified into two types: regular and irregular prisms. And depending upon the alignment of the bases, there are two types of prisms: right prisms and oblique prisms. Furthermore, based on the shape of the polygonal base a prism is classified into different types: triangular prism, rectangular prism, square prism, pentagonal prism, hexagonal prism, etc.
Rectangular Prism
A rectangular prism is a three-dimensional shape consisting of six rectangular flat faces. It is a prism with two rectangular bases and four lateral rectangular faces, twelve sides, and eight vertices. According to mathematical studies, a cuboid is any polyhedron that resembles a rectangular prism. In a rectangular prism, every angle is a right angle. It is also known as a rectangular hexahedron, a right rectangular prism, and a rectangular parallelepiped.
Volume of a Rectangular Prism
The volume of a rectangular prism is the total space enclosed within the rectangular prism. It is usually represented by the letter “V” and is measured in terms of cm3, m3, in3, etc. A rectangular prism’s volume is determined by multiplying its base area by its height.
The formula for the volume of a rectangular prism is given as follows:
Volume of a rectangular prism = Base area × Height of the prism
Since the base of the prism is a rectangle, its area is the product of its length and width. Let “h” be the height of the prism, “l” be the base length, and “b” be the base width.
Now, the formula for the volume of a rectangular prism is given as follows:
Volume of a rectangular prism = l × w × h cubic units
Solved Examples based on Volume of a rectangular prism
Problem 1: Find the height of a rectangular prism if its volume is 90 cubic inches and its base area is 15 square inches.
Solution:
Given data,
The volume of a rectangular prism = 90 cu. in
Base area = 15 sq. in
We know that,
The volume of rectangular prism formula = Base area × Height of the prism
⇒ 90 = 15 × h
⇒ h = 90/15 = 6 inches.
Hence, the height of the given prism is 6 inches.
Problem 2: Determine the volume of the rectangular prism if its base length is 10 cm, the base width is 6 cm and the height of the prism is 15 cm.
Solution:
Given data,
The height of the rectangular prism (h) = 15 cm
Base length (l) = 10 cm
Base width (w) = 6 cm
We know that,
The volume of rectangular prism formula (V) = Base area × Height of the prism
Base area = l × w
= 10 × 6 = 60 sq. cm.
V = 60 × 15 = 900 cu. cm
Hence, the volume of the rectangular prism is 900 cu. cm.
Problem 3: What is the base width of a rectangular prism if its volume is 2100 cu. cm and its height and base lengths are 25 cm and 12 cm, respectively?
Solution:
Given data,
The volume of a rectangular prism = 2100 cu. cm
The height of the rectangular prism (h) = 25 cm
Base length (l) = 12 cm
We know that,
The volume of rectangular prism formula (V) = Base area × Height of the prism
Base area = l × w
⇒ V = l × w × h
⇒ 2100= 12 × w × 25
⇒ 300w = 2100
⇒ w = 2100/300 = 7 cm
Hence, the base width of a rectangular prism is 7 cm.
Problem 4: What is the volume of a rectangular prism whose height is 20 units and whose base area is 120 square units?
Solution:
Given data,
The height of the rectangular prism (h) = 20 units
Base area = 120 square units
We know that,
The volume of rectangular prism formula (V) = Base area × Height of the prism
V = 120 × 20 = 2400 cubic units.
Hence, the volume of a rectangular prism is 2400 cubic units.
Problem 5: What is the base length of a rectangular prism if its volume is 150 cu. cm and its height and base widths are 10 cm and 3 cm, respectively?
Solution:
Given data,
The volume of a rectangular prism = 150 cu. cm
The height of the rectangular prism (h) = 10 cm
Base width (w) = 3 cm
We know that,
The volume of rectangular prism formula (V) = Base area × Height of the prism
Base area = l × w
⇒ V = l × w × h
⇒ 150 = l × 3 × 10
⇒ 30l = 150
⇒ l = 150/30 = 5 cm
Hence, the base length of a rectangular prism is 5 cm.
Problem 6: What is the volume of a rectangular prism whose height is 20 units and whose base length and width are 15 units and 12 units, respectively?
Solution:
Given data,
The height of the rectangular prism (h) = 20 units
Base length (l) = 15 units
Base width (w) = 12 units
We know that,
The volume of a rectangular prism = l × w × h cubic units
V = 15 × 12 × 20 = 3600 cubic units.
Hence, the volume of a rectangular prism is 3600 cubic units.
Problem 7: Determine the volume of a rectangular prism if its height is 10 cm and its base length and width are 8 cm and 6 cm, respectively.
Solution:
Given data,
The height of the rectangular prism (h) = 10 cm
Base length (l) = 8 cm
Base width (w) = 6 cm
We know that,
The volume of a rectangular prism = l × w × h cubic units
V = 8 × 6 × 10 = 480 cu. cm
Hence, the volume of a rectangular prism is 480 cu. cm.
FAQs based on Rectangular Prism
Question 1: What is the Volume of a Rectangular Prism?
Answer:
Volume of rectangular prism is the amount of substance that it can hold or it is the space occupied by it in 3-D space. So,volume of rectangular prism is calculated by multiplying its area of base with its height. Formula for finding the volume of a rectangular prism is,
Volume (V) = height of the prism × base area.
It is calculated in cubic units such as cm3, m3, in3, etc.
Question 2: What changes occur to the Volume of the Rectangular Prism if its height is doubled?
Answer:
Volume of a rectangular prism is the product of its three dimensions, i.e,
volume = length × width × height.
If the height of rectangular prism is doubled, its volume will be V2 = l × w × (2h) = 2 × lwh = 2 × V1. So, it is safe to say that the volume of the rectangular prism gets doubled when its height is doubled.
Question 3: What happens to the Volume of the Rectangular Prism if its height is halved?
Answer:
Volume of a rectangular prism is the product of its three dimensions, i.e,
volume = length × width × height.
If the height of rectangular prism is halved, its volume will be V2 = l × w × (h/2) = (lwh)/2 = V1/2. So, it is safe to say that the volume of the rectangular prism gets halved when its height is halved.
Question 4: What Happens to the Volume of Rectangular Prism if the Length, Width, and Height of Prism are Doubled?
Answer:
Volume of a rectangular prism is the product of its three dimensions, i.e,
volume = length × width × height.
If the length, breadth,and height of rectangular prism are doubled, its volume will be V2 = (2l) × (2w) × (2h) = 8 × lwh = 8 × V1. Hence, volume of the rectangular prism gets eight times when its all three dimension are doubled.
Формула прямоугольной призмы
Одна вторая (×) площадь основания (×) высота призмы.
(S =frac{1}{2} S_{осн}h), (S_{осн}=aH)
Площадь основания:
Высота призмы:
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.
Такие параллелограммы в призме называются боковыми.
Онлайн-калькулятор объема призмы
Призмы разделяют на некоторые типы:
- Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
- Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
- Пентапризма — пятиугольная призма.
Деление, в общем, продолжается до бесконечности.
Виды призм
Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.
Формула объема призмы
Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.
V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.
Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.
Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.
Решение
a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10
Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,
где ll — высота равнобедренного треугольника.
Отсюда:
l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}
l=25−9l=sqrt{25-9}
l=4l=4
Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:
S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12
В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:
S=SоснS=S_{text{осн}}
Тогда объем призмы найдется по формуле:
V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3
Ответ
120 см3.120text{ см}^3.
На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!
Тест по теме «Объем призмы»
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Призма — объемная геометрическая фигура с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Призму называют по форме ее основания; так призмы с треугольным основанием называют «треугольной призмой». Чтобы найти объем призмы, нужно просто вычислить площадь ее основания и умножить его на ее высоту; тем не менее вычисление площади основания может быть нетривиальной задачей. Вот как можно вычислить объем различных призм.
-
1
Запишите формулу для нахождения объема треугольной призмы. Формула проста: V = площадь основания призмы х высота призмы. Вы можете найти площадь основания по формуле для нахождения площади треугольника — 1/2 умножить на сторону и умножить на высоту.
-
2
Найдите площадь основания. Чтобы вычислить объем треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь треугольника, лежащего в основании. Найдите площадь основания призмы (в данном случае треугольника) путем умножения 1/2 на сторону треугольника и на его высоту.[1]
- Например, если высота треугольника равна 5 см, а его сторона равна 4 см, то площадь основания равна 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см2.
-
3
Найдите высоту. Допустим, высота треугольной призмы равна 7 см.
-
4
Умножьте площадь основания (треугольника) на высоту призмы. После того, как вы умножите площадь на высоту, вы получите объем треугольной призмы.
- Для нашего примера: 10 см2 x 7 см = 70 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. При расчете объема следует всегда использовать кубические единицы измерения, так как работа ведется с трехмерными объектами. Окончательный ответ 70 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема куба. Формула проста: V = (длина ребра) 3 Куб представляет собой призму, у которой все ребра равны.[2]
-
2
Найдите длину ребра куба. Все ребра равны, поэтому неважно, какое ребро рассматривать.
- Например: длина ребра = 3 см.
-
3
Возведите длину в куб. Для возведения в куб просто дважды умножьте число на само себя. Например, куб «А» — это «А x А x А». Поскольку все длины ребер куба равны, вам не нужно вычислять площадь основания и умножать его на высоту. Перемножение любых двух ребер куба даст вам площади основания, а любое третье ребро может представлять высоту. Вам не нужно задумываться над перемножением длины, ширины и высоты, так как в кубе этими величинами может быть любое ребро.
- Например: 3 см3 = 3 см * 3 см * 3 см = 27 см3.
-
4
Запишите ответ в кубических единицах. Не забудьте записать окончательный ответ в кубических единицах. В нашем случае окончательный ответ: 27 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема прямоугольной призмы. Формула: V = длина * ширина * высота Прямоугольная призма — призма с прямоугольным основанием.
-
2
Найдите длину. Длина прямоугольной призмы — длинная сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: длина = 10 см.
-
3
Найдите ширину. Ширина прямоугольной призмы — короткая сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: ширина = 8 см.
-
4
Найдите высоту. Высота прямоугольной призмы — любая грань, перперндикулярная основанию (грань, поднимающаяся вверх). Вы можете представить себе высоту прямоугольной призмы как грань, которая простирается вверх от основания до верхнего плоского прямоугольник и делает фигуру трехмерной.
- Например: высота = 5 см.
-
5
Перемножьте длину, ширину и высоту. Вы можете умножить их в любом порядке и получите тот же результат. С помощью этого метода вы, по сути, вычисляете площадь прямоугольного основания (10 х 8 ), а затем умножаете его на высоту (5). Поэтому для нахождения объема этой призмы можно умножить длины ребер в любом порядке.
- Например: 10 см * 8 см * 5 см = 400 см3.
-
6
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 400 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции1 + основание трапеции2) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).[3]
-
2
Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.
- Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
- 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см2.
-
3
Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
-
4
Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.
- 70 см2 x 12 см = 840 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.[4]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
-
2
Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:
- А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
- А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см2.
-
3
Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
-
4
Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см2) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.
- 105 см2 x 10 см = 1050 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см3.
Реклама
Советы
- Постарайтесь не путать «основание призмы» с «основанием фигуры». Основание призмы — это двухмерная фигура, которая образует основание всей призмы (как правило, ее верхняя и нижняя грань). Но эта двухмерная фигура может иметь свое собственное основание — сторону, на которую опускается перпендикуляр и которая помогает вычислить площадь двухмерной фигуры.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 188 494 раза.
