В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:
S(G)=∫abf(x)dx для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],
S(G)=-∫abf(x)dx для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Пусть функции y=f1(x) и y=f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f1(x)≤f2(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f1(x) и y=f2(x) будет иметь вид S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx.
Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, x=g1(y) и x=g2(y): S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y)dy.
Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.
В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G1 равна площади фигуры G2. Это значит, что
Поэтому, S(G)=S(G2)-S(G1)=∫abf2(x)dx-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx.
Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.
Во втором случае справедливо равенство: S(G)=S(G2)+S(G1)=∫abf2(x)dx+-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx
Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Если обе функции неположительные, получаем: S(G)=S(G2)-S(G1)=-∫abf2(x)dx–∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx . Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y=f1(x) и y=f2(x) пересекают ось Ox.
Точки пересечения мы обозначим как xi, i=1, 2,…, n-1. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей xi-1; xi, i=1, 2,…, n, где α=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Фигуру G можно представить объединением фигур Gi, i=1, 2,…, n. Очевидно, что на своем интервале Gi попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S(Gi)=∫xi-1xi(f2(x)-f1(x))dx, i=1, 2,…, n
Следовательно,
S(G)=∑i=1nS(Gi)=∑i=1n∫xixif2(x)-f1(x))dx==∫x0xn(f2(x)-f(x))dx=∫abf2(x)-f1(x)dx
Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.
Проиллюстрируем на графике общий случай.
Формулу S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx можно считать доказанной.
А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.
Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y=-x2+6x-5 и прямыми линиями y=-13x-12, x=1, x=4.
Решение
Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.
На отрезке [1;4] график параболы y=-x2+6x-5 расположен выше прямой y=-13x-12. В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
S(G)=∫14-x2+6x-5–13x-12dx==∫14-x2+193x-92dx=-13×3+196×2-92×14==-13·43+196·42-92·4–13·13+196·12-92·1==-643+1523-18+13-196+92=13
Ответ: S(G)=13
Рассмотрим более сложный пример.
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x+2, y=x, x=7.
Решение
В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x=7. Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.
Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.
Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы y=x+2. Для нахождения абсциссы используем равенства:
y=x+2ОДЗ: x≥-2×2=x+22×2-x-2=0D=(-1)2-4·1·(-2)=9×1=1+92=2∈ОДЗx2=1-92=-1∉ОДЗ
Получается, что абсциссой точки пересечения является x=2.
Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y=x+2 , y=x пересекаются в точке (2;2), поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.
На интервале [2;7] график функции y=x расположен выше графика функции y=x+2 . Применим формулу для вычисления площади:
S(G)=∫27(x-x+2)dx=x22-23·(x+2)3227==722-23·(7+2)32-222-23·2+232==492-18-2+163=596
Ответ: S(G)=596
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=1x и y=-x2+4x-2.
Решение
Нанесем линии на график.
Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1x и -x2+4x-2. При условии, что x не равно нулю, равенство 1x=-x2+4x-2становится эквивалентным уравнению третьей степени -x3+4×2-2x-1=0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».
Корнем этого уравнения является х=1: -13+4·12-2·1-1=0.
Разделив выражение -x3+4×2-2x-1 на двучлен x-1, получаем: -x3+4×2-2x-1⇔-(x-1)(x2-3x-1)=0
Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x2-3x-1=0:
x2-3x-1=0D=(-3)2-4·1·(-1)=13×1=3+132≈3.3 ; x2=3-132≈-0.3
Мы нашли интервал x∈1; 3+132, на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:
S(G)=∫13+132-x2+4x-2-1xdx=-x33+2×2-2x-ln x13+132==-3+13233+2·3+1322-2·3+132-ln3+132—133+2·12-2·1-ln 1=7+133-ln3+132
Ответ: S(G)=7+133-ln3+132
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.
Решение
Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.
Обозначим точки пересечения линий.
Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.
x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1 и y=0 пересекаются в точке (2;0).
x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.
Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.
Вариант №1
Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x∈0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x∈1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=∫01x3dx+∫12(-log2x+1)dx.
Вариант №2
Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x∈0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x∈1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:
S(G)=∫02x3dx-∫12×3-(-log2x+1)dx
В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y))dy. Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.
Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x:
y=x3⇒x=y3y=-log2x+1⇒log2x=1-y⇒x=21-y
Получим искомую площадь:
S(G)=∫01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144–21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14
Ответ: S(G)=1ln 2-14
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x, y=23x-3, y=-12x+4.
Решение
Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y=x. Синим цветом нанесем линию y=-12x+4, черным цветом обозначим линию y=23x-3.
Отметим точки пересечения.
Найдем точки пересечения графиков функций y=x и y=-12x+4 :
x=-12x+4ОДЗ: x≥0x=-12x+42⇒x=14×2-4x+16⇔x2-20x+64=0D=(-20)2-4·1·64=144×1=20+1442=16; x2=20-1442=4Проверка:x1=16=4, -12×1+4=-12·16+4=-4⇒x1=16 не является решением уравненияx2=4=2, -12×2+4=-12·4+4=2⇒x2=4 является решением уравниния ⇒(4; 2) точка пересечения y=x и y=-12x+4
Найдем точку пересечения графиков функций y=x и y=23x-3:
x=23x-3ОДЗ: x≥0x=23x-32⇔x=49×2-4x+9⇔4×2-45x+81=0D=(-45)2-4·4·81=729×1=45+7298=9, x245-7298=94Проверка:x1=9=3, 23×1-3=23·9-3=3⇒x1=9 является решением уравнения ⇒(9; 3) точка пересечания y=x и y=23x-3×2=94=32, 23×1-3=23·94-3=-32⇒x2=94 не является решением уравнения
Найдем точку пересечения линий y=-12x+4 и y=23x-3:
-12x+4=23x-3⇔-3x+24=4x-18⇔7x=42⇔x=6-12·6+4=23·6-3=1⇒(6; 1) точка пересечения y=-12x+4 и y=23x-3
Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.
Способ №1
Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.
Тогда площадь фигуры равна:
S(G)=∫46x–12x+4dx+∫69x-23x-3dx==23×32+x24-4×46+23×32-x23+3×69==23·632+624-4·6-23·432+424-4·4++23·932-923+3·9-23·632-623+3·6==-253+46+-46+12=113
Способ №2
Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.
Тогда решим уравнение линии относительно x, а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.
y=x⇒x=y2 красная линияy=23x-3⇒x=32y+92 черная линияy=-12x+4⇒x=-2y+8 синяя линия
Таким образом, площадь равна:
S(G)=∫1232y+92–2y+8dy+∫2332y+92-y2dy==∫1272y-72dy+∫2332y+92-y2dy==74y2-74y12+-y33+3y24+92y23=74·22-74·2-74·12-74·1++-333+3·324+92·3–233+3·224+92·2==74+2312=113
Как видите, значения совпадают.
Ответ: S(G)=113
Итоги
Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Данный калькулятор поможет найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла. Это свойство аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функции.
Аддитивность означает, что площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.
Калькулятор поможет вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Площадь фигуры ограниченной линиями
Что умеет?
- Находит точки пересечения указанных кривых линий
- Робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Она делает это, находя точки, где графики пересекаются.
- Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.
Примеры кривых
- С осями ординат x и y
-
y = x^2 + 1 y = 0 x = -1 x = 2
- Графики, заданные неявным образом
-
y = 3 xy = 2 y^2 - x^2 = 3
- Две окружности
-
x^2 + y^2 = 4 x^2 + y^2 = 9
- В полярных координатах
-
r = 2(1 - cos(p)) r = 2
- Парабола и прямая линия
-
y = (x + 2)^2 y = 4
-
y = (x + 2)^2 y = 1 - x
-
y = x^2 x + y = 2
- Корень квадратный
-
y = x^2 y = sqrt(x)
- С экспонентой и численным решением
-
y = (2x+3)*e^(-x) x^2 = y
- Параметрически-заданная функция
-
x = 2(t - sint) y = 3(1 - cost)
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^2
- – возведение в квадрат
- x^3
- – возведение в куб
- x^5
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x – 6
- – вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- – число Пи
- e
- – основание натурального логарифма
- i
- – комплексное число
- oo
- – символ бесконечности
1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла
Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).
.
Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции
Как мы пытались ее решить:
Первый способ.
Разбили отрезок 
на 
одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили 
в пределе 
и
получили искомую площадь S. Ввели обозначение 
.
Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.
Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:
Рис. 2. Функция S (x)
Ввели функцию 
. Каждому 
площадь под соответствующей частью кривой 
. Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:
Каждому 
соответствует единственное значение .
Мы доказали, что производная этой же функции 
и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функции
и взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке 
и отнять первообразную в точке 
И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.
.
2. Методика нахождения площади на примере
Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.
Пример 1.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Вот искомая площадь:
Рис. 3. Площадь
Вот формула:
Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:
Пределы интегрирования 
.
=
.
Вычислили площадь криволинейной фигуры.
Ответ:
В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью 
А именно:
3. Пример 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).
Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями 
Формула та же самая:
В нашем случае 
. Итак, надо найти определенный интеграл
=-(-1)+1=1+1=2.
Искомая площадь найдена, и ответ получен.
Ответ: 2
4. Пример 3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями
Формула для площади та же самая:
В нашем случае 
.
Ответ: 
В следующем примере ищется площадь под параболой.
5. Пример 4
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Схематически изобразим параболу 
Корни 
Рис. 6. Парабола 
Применим известную формулу
И применим ее для данной функции 
и пределов интегрирования
Искомая площадь найдена. 
Ответ:
В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.
6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Решение.
Посмотрим, что это за фигура. График 
в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).
Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π
Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.
Вычисляем.
1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции 
Надо найти первообразную.
По таблице первообразных: 
.
=-1-1=-2.
2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль 
=2.
Ответ: 2.
7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы
Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.
А именно:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)
Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение.
Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .
Каким образом мы будем решать эту задачу?
Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное 
, что площадь находится над осью . Рис. 9.
Рис. 9. Сдвиг фигуры
Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.
Площадь под верхней кривой 
минус площадь под нижней кривой 
.
Каждую из площадей мы умеем находить.
Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.
Ответ:
Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.
Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это 
Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:
Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями 
непрерывных на отрезке 
и таких, что для всех из отрезка
вычисляется по формуле, которую мы вывели:
Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.
8. Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченную линиями
.
Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.
График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График 
– биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:
Рис. 10. Искомая площадь
Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.
1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: 
.
Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :
Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.
Теперь стандартное действие:
2. 
= 
=(
)
Искомая площадь равна 4,5
Ответ: 4,5
9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью
Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.
Пример 6.
Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.
Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.
Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.
Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями
Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.
Пределы интегрирования найдем из системы
.
То есть, пределы интегрирования найдены.
= (
)
Ответ: 
Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Ru.scribd.com (Источник).
- Math4you.ru (Источник).
- Dok.opredelim.com (Источник).
Домашнее задание
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, 
, 
,
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
- Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.
1.3. Как найти площадь плоской фигуры
с помощью двойного интеграла?
Двойной интеграл 
численно
равен площади плоской фигуры 
(области интегрирования). Сначала рассмотрим задачу в общем
виде.
А именно вычислим площадь фигуры 
, ограниченной линиями 
. Для определённости считаем, что 
на отрезке 
.
Площадь заштрихованной фигуры численно равна 
, и сейчас мы «раскрутим» тему.
Выберем первый способ обхода области:
Таким образом: 
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний
интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую «чайникам», да и не только им. Потому что это
удобно.
1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь
разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную
функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат первого пункта нужно подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:
Полученная формула 
– это в
точности рабочая формула для вычисления площади плоской
фигуры с помощью обычного определённого интеграла!
То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с
помощью определённого интеграла!
Пример 9
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры 
, ограниченной линиями 
, 
Решение: изобразим область 
на чертеже:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Выберем следующий порядок обхода области (1-й способ):
Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход, т.к. выше были приведены очень подробные
разъяснения.
Таким образом:
Как уже отмечалось, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду
придерживаться и я:
1) Сначала разбираемся с внутренним интегралом:
Здесь мы ВМЕСТО «игрек» сначала подставили верхний предел интегрирования 
, а затем – нижний: 
. Если вы запамятовали формулу Ньютона-Лейбница, обязательно
найдите её в приложениях! На всякий случай я приложил к данному курсу Справку по интегралам и
Справку по производным.
2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:
Пункт 2 – это фактически нахождение площади плоской фигуры с
помощью определённого интеграла. Обо всех тонкостях решения этой задачи (а их немало) можно ознакомиться по ссылке
выше либо в курсе Определённые и несобственные интегралы.
Это китайское напоминание.
Ответ: 
Несмотря на то, что эту задачу мы неоднократно решали ранее, здесь ещё есть о чём поговорить.
Любопытное задание для самостоятельного решения:
Пример 10
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.
В двух предыдущих примерах значительно выгоднее использовать первый способ
обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если
не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.
Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в
заключение курса молодого «ботана» рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:
Пример 11
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры 
, ограниченной линиями 
, 
Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые «лежат на боку». Улыбаться не нужно, похожие вещи в
кратных интегралах встречаются частенько.
Представим параболу 
в
виде двух функций:
– верхняя ветвь и 
– нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу 
в виде верхней 
и нижней 
ветвей.
Графики строим поточечно, причём, по причине симметрии, вычислений у нас в два раза меньше. В результате получается вот
такая причудливая фигура:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых,
данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: 
(следим по чертежу!!!). Интегралы, конечно,
не «убийственные», но… есть старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.
Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:
Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без
всяких там веток, корней и прочего дерева.
И, согласно второму способу, обход области будет следующим:
Таким образом:
Как говорится, ощутите разницу.
1) Расправляемся с внутренним интегралом:
Результат подставляем во внешний интеграл:
2) 
Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней.
Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция 
является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно
нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Что добавить…. Всё!
Ответ: 
Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить 
. Ответ должен получиться точно таким же.
Пример 12
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода
области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных
интегралов. Бывает и такое.
Итак, начальный мастер-класс подошёл к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень. Обязательно с хорошим
настроением! – оранжевым настроением – прямо как сейчас у меня, а почему оно такое, я объясню чуть позже:
1.4. Как вычислить произвольный двойной интеграл?
1.2.1. Как изменить порядок обхода области?
| Оглавление |
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
