Формула как найти все значения корня

Содержание:

Квадратные корни

Уравнение х² = 9 имеет два решения: 3 и -3. Говорят, что 3 и -3 — квадратные корни из числа 9.

Квадратным корнем из числа а называют число, I квадрат которого равен а.

Примеры:

Квадратными корнями из числа:

• а) 1600 являются 40 и – 40, поскольку 40² = 1600 и (-40)² = 1600;
• б) 0,49 являются 0,7 и 0,7, поскольку 0,7² = 0,49 и (-0,7)² = 0,49.

Среди известных вам чисел нет такого, квадрат которого был бы равен отрицательному числу, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Квадратный корень из числа 0 равен нулю. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения: одно из них положительное, другое — противоположное ему отрицательное число.

Неотрицательное значение квадратного корня называют арифметическим значением этого корня.

Арифметическое значение квадратного корня из числа a обозначают символом

Примечание. Символом обозначают только арифметическое значение квадратного корня из числа а, хотя читается оно короче: «квадратный корень из числа а».

Вычисление арифметического значения квадратного корня называют извлечением квадратного корня.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами чисел, извлекать квадратные корни желательно устно.

а	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Квадратные корни из больших натуральных чисел можно находить, пользуясь таблицей квадратов.

Например, , .

С помощью калькулятора можно извлекать квадратные корни с большей точностью. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 1000, набираем это число, затем нажимаем клавишу . На экране высвечивается число 31,622776.

Следовательно, .

Если таким способом найти значение , то на некоторых калькуляторах высвечиваются два числа: 5,9160797 и -2. Число -2 здесь показывает порядок искомого значения, записанного в стандартном виде. Следовательно,

.

Хотите знать ещё больше?

Извлекать квадратные корни из натуральных чисел вавилонские учёные умели ещё 4 тыс. лет тому назад Они составили таблицу квадратов многих натуральных чисел и, пользуясь ею, находили квадратные корни. Если число m не было точным квадратом натурального числа, то они искали ближайшее приближённое значение а квадратного корня из m, представляли число m в виде m = а² + b и применяли правило, которое сейчас можно записать в виде формулы Например, если m = 108, то .

Проверка. 10,4² = 108,16.

Это правило извлечения квадратных корней было известно и учёным Древней Греции.

Известны и другие алгоритмы извлечения квадратных корней, но теперь это удобнее делать с помощью калькулятора.

Квадратный корень из произведения, дроби, степени

Арифметический корень из а — неотрицательное значение квадратного корня из неотрицательного числа а. Поэтому для любого неотрицательного числа а выполняется тождество .

Примеры:

Верны и такие тождества:

1. — для неотрицательных значений а и b;
2. — для неотрицательного а и положительного b;
3. – для неотрицательного а и натурального к.

Докажем эти тождества:

1. Если а и b — произвольные неотрицательные числа, то числа также неотрицательные. Кроме того,

Следовательно, — неотрицательное число, квадрат которого равен ab, то есть

2. Если , то числа неотрицательные, a — положительное. Кроме того,

Следовательно, неотрицательное число, квадрат которого равен , то есть

3. Если число а — неотрицательное, a k — натуральное, то числа — неотрицательные. Кроме того,. Следовательно, — неотрицательный квадратный корень из , то есть

Доказанные три теоремы кратко можно сформулировать так.

1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).
2. Корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).
3. Корень из степени a , в котором числа а — неотрицательное и k — натуральное, равен ст (теорема о корне из степени)

Примечание. Здесь под «корнем» понимают только квадратный арифметический корень.

Теорему о корне из произведения можно распространить на три множителя и более. Действительно, если числа а, b и с — неотрицательные, то Если в доказанных тождествах поменять местами их левые и правые части, то получим:

Эти тождества показывают, как можно умножать и делить корни. Например,

Из теоремы о корне из степени следует, что , если . Если а < 0, то равенство – а неверное, поскольку число неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу а.

Равенство верное при каждом значении а, поскольку число — неотрицательное и его квадрат равен а².

Примеры:

Хотите знать ещё больше?

В сформулированных выше теоремах представлены только простейшие случаи преобразования арифметических значений квадратных корней: если все числа под корнями положительные или неотрицательные Но бывают и такие выражения, в которых под знаком корня — произведение либо частное двух отрицательных чисел. В этом случае можно использовать определения квадратного корня, арифметического значения квадратного корня и т. д.

Например, .

Из теоремы 3 несложно получить такое следствие.

Если натуральное число — чётное, то для любых значений а выполняется тождество

Ведь обе части этого равенства — числа неотрицательные, их квадраты – равны.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение выражения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

О т в е т. а) 35; б) 1,2; в) 6; г)

Преобразование выражений с корнями

Выражения с квадратными корнями можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на делитель, отличный от нуля).

Примеры:

Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак корня. В последнем примере за знак корня вынесен множитель 10.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня.

В атом примере под знак корня вносим множитель 0,3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основании теоремы о корне из произведения.

Если знак корня находится в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной, знаменатель которой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение. Например,

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Эти преобразования можно выполнять также с выражениями, содержащими переменные. Например,

Примечание. При вынесении переменной за знак корня необходимо помнить, что равенство верно только при неотрицательных значениях а и с. Если , то . При любых действительных значениях а и неотрицательных с верно тождество: .

Пример:

Вынесите множитель за знак корня: a)

Решение:

а) б) Ответ. a) ; б) .

При внесении переменной под знак корня следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

Пример:

Внесите множитель под знак корня: а) ; б)

Решение:

а) ; б) О т в е т. a) ; б)

Используя словосочетание «выражения с корнями», в этой главе мы будем говорить только о «выражениях с арифметическими квадратными корнями». Но в математике выражения с корнями имеют более широкий смысл поскольку корни бывают не только квадратные, но и кубические четвёртой, пятой …. n-й степеней. Корни из числа а таких степеней обозначают символами:

Выражения, содержащие любые из таких корней, называют выражениями с корнями, или иррациональными выражениями. Выражения с арифметическими квадратными корнями – это только часть иррациональных выражений (рис 45) .

Рис. 45 Раньше знаки корней …, называли радикалами, поэтому в некоторых публикациях иррациональные выражения до сих пор называют выражениями с радикалами.

Выполним вместе!

Пример:

Упростите выражение: а) ; б) ; в).

Решение:

a) . б) ;

в) . О т в е т. a) ; б)16; в) 9.

Пример:

Разложите на множители выражение: a) ; б) ; в) .

Решение:

а) ; б) ; в) если а — число положительное, то . Поэтому

Ответ, a) ; б) ; в) .

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ; б) ;

Решение:

а) ; б)

Ответ. а) ; б) .

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные корни из чисел вавилонские математики умели вычислять ещё 4 тыс. лет тому назад. Находили даже приближённые значения квадратных корней, пользуясь правилом, которое теперь можно записать (при небольших значениях с) в виде приближённого равенства:

В XIII в. европейские математики предложили сокращённое обозначение корня. Вместо нынешнего писали R12 (от латинского Radix — корень). Позднее вместо R стали писать знак V, например V7, V(a + b). Затем над многочленом за корнем добавили черту: . Р. Декарт (1596 -1650) соединил знак корня с чертой, после чего запись приобрела современный вид: . Действительные числа входили в математику непросто. Учёные античного мира не предполагали, что кроме целых и дробных могут быть и другие числа. Хотя Пифагор (VI в. до и. э.) и его ученики доказали: если длина стороны квадрата равна 1, то длину его диагонали нельзя выразить ни одним рациональным числом. Таким образом, они выяснили, что существуют отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами, но при этом иррациональных чисел не ввели. Математики Индии и Среднего Востока пользовались иррациональными числами, но считали их ненастоящими, неправильными, «глухими». И только когда Р. Декарт предложил каждой точке координатной прямой поставить в соответствие число, иррациональные числа объединили с рациональными во множество действительных чисел. Строгая теория действительных чисел появилась лишь в XIX в. В 8 классе изучают не все действительные числа. Кроме квадратных существуют корни третьей, четвёртой и высших степеней, например , , . С такими действительными числами вы ознакомитесь в старших классах.

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Например, число 16 имеет два квадратных корня: 4 и -4. Неотрицательное значение квадратного корня из числа а называют арифметическим значением корня я обозначают символом . Свойства квадратных корней. Если а > 0 и b > 0, то

Для любого действительного . Значения многих квадратных корней — числа не рациональные, а иррациональные. Числа целые и дробные, положительные, отрицательные и нуль вместе составляют множество рациональных чисел. Каждое рациональное число можно записать в виде дроби , где — число целое, а n— натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. А любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число. Примеры: = 0,6666…, =1,181818…. Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называют иррациональными. Примеры иррациональных чисел: = 1,4142136…, = 3,1415927… . Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q, R (см. рис. 41). Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения произвольных действительных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы: а + b = b + а, ab=ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a ^. (bc) = (ab) ^. c, (a + b) с = ас +bс.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Рассмотрим квадрат, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Пусть длина его стороны составляет единиц. Тогда уравнение можно рассматривать как математическую модель задачи о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам.

Корнями этого уравнения являются числа 7 и —7. Говорят, что числа 7 и —7 являются квадратными корнями из числа 49.

Определение: Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен

Приведем несколько примеров.

Квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и —3. Действительно,

Квадратными корнями из числа являются числа и

Действительно,

Квадратным корнем из числа 0 является только число 0. Действительно, существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, — это число 0.

Поскольку не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу, то квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Положительный корень уравнения число 7, является ответом в задаче о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Это число называют арифметическим квадратным корнем из числа 49.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен .

Арифметический квадратный корень из числа обозначают Знак называют знаком квадратного корня или радикалом (от лат. radix — корень).

Запись читают: «квадратный корень из », опуская при чтении слово «арифметический».

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением. Например, в записи двучлен является подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров:

так как и

так как и

так как и

Вообще, равенство выполняется при условии, что и

Этот вывод можно представить в другой форме: для любого неотрицательного числа справедливо, что а

Например, и и и

Подчеркнем, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида где Корни этого уравнения — числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа

Поиск корней уравнения проиллюстрируем, решив графически уравнение

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 17). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и —2, которые и являются корнями данного уравнения.

Уравнение при не имеет корней, что подтверждается графически: графики функций и при общих точек не имеют (рис. 18).

При уравнение имеет единственный корень что также подтверждается графически: графики функций и имеют только одну общую точку (рис. 18).

Графический метод также позволяет сделать следующий вывод: если то уравнение имеет два корня. Действительно, парабола и прямая где имеют две общие точки (рис. 18). При этом корнями уравнения являются числа и Действительно,

Например, уравнение имеет два корня: и

Пример:

Найдите значение выражения

Решение:

Применив правило возведения произведения в степень и тождество получим:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем: Тогда

Ответ: 36.

2)

Ответ: 7.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

или или

Ответ: 1; 9. ▲

Пример:

Решите уравнение

Решение:

или

или

или

Ответ:

Пример:

При каких значениях имеет смысл выражение:

Решение:

1) Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает неотрицательные значения. Подкоренное выражение является произведением двух множителей, один из которых — отрицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать неотрицательные значения, если другой множитель будет принимать неположительные значения.

Ответ: при

2) Данное выражение имеет смысл, если выполняются два условия: имеет смысл выражение и знаменатель отличен от нуля. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: и Отсюда и

Ответ: при и

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подкоренные выражения и одновременно принимают неотрицательные значения. Из того, что первое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем: тогда Однако если то второе подкоренное выражение, принимает только отрицательные значения. Следовательно, левая часть данного уравнения не имеет смысла.

Ответ: корней нет.

2) Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, каждое из которых может принимать только неотрицательные значения. Тогда их сумма будет равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, одновременно должны выполняться два условия: и Это означает, что надо найти общие корни полученных уравнений, то есть решить систему уравнений

Имеем,

Решением последней системы, а значит, и исходного уравнения, является число 2.

Ответ: 2.

3) Используя условие равенства произведения нулю, получаем:

или или

Однако при выражение не имеет смысла. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень — число 2.

Ответ: 2.

Свойства арифметического квадратного корня

Легко проверить, что Может показаться, что при любом значении а выполняется равенство Однако это не так. Например, равенство является ошибочным, поскольку На самом деле Также можно убедиться, что, например,

Вообще, справедлива следующая теорема.

Теорема: Для любого действительного числа а выполняется равенство

Доказательство: Для того чтобы доказать равенство надо показать, что и

Имеем: при любом

Также из определения модуля следует, что

Следующая теорема обобщает доказанный факт.

Теорема: (арифметический квадратный корень из степени). Для любого действительного числа и любого натурального числа выполняется равенство

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.1. Проведите это доказательство самостоятельно.

Теорема: (арифметический квадратный корень из произведения). Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Доказательство: Имеем: и Тогда Кроме того,

Следовательно, выражение принимает только неотрицательные значения, и его квадрат равен

Эту теорему можно обобщить для произведения трех и более множителей. Например, если и то

Теорема: (арифметический квадратный корень из дроби). Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.3. Проведите это доказательство самостоятельно.

Понятно, что из двух квадратов с площадями и (рис. 27) большую сторону имеет тот, у которого площадь больше, то есть если то Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квадратного корня: для любых неотрицательных чисел и таких, что выполняется неравенство

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Заменив произведение корней корнем из произведения, получим:

2) Заменив частное корней корнем из частного (дроби), получим:

Пример:

Упростите выражение: если

если

Решение:

1) По теореме об арифметическом квадратном корне из степени имеем:

2) Имеем: Поскольку по условию то Тогда

3) Имеем: Поскольку по условию то Поскольку то Следовательно,

4) Имеем: Поскольку то

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Преобразовав подкоренное выражение по формуле разности квадратов, получаем:

Пример:

Постройте график функции

Решение:

Поскольку то

Если то

Если то

Следовательно,

График функции изображен на рисунке 28.

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Пользуясь теоремой об арифметическом квадратном корне из произведения, преобразуем выражение Имеем: Выражение мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае был вынесен из-под знака корня множитель 4. Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке:

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внесен под знак корня множитель 4.

Пример:

Вынесите множитель из-под знака корня:

если

Решение:

1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рационального числа:

2)

3) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что Тогда

4) Из условия следует, что Тогда

5) Из условия следует, что Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получаем, что Тогда

Пример:

Внесите множитель под знак корня:

Решение:

2) Если то если то

3) Из условия следует, что Тогда

4) Из условия следует, что Тогда

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Имеем:

2)

3) Применяя формулы сокращенного умножения (квадрат двучлена и произведение разности и суммы двух выражений), получим:

Пример:

Разложите на множители выражение:

если

Решение:

1) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получим:

2) Поскольку по условию то

3) Применим формулу квадрата разности:

4) Имеем:

5)

6)

Пример:

Сократите дробь:

если

Решение:

1) Разложив числитель данной дроби на множители, получаем:

2)

3) Поскольку по условию и то числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители и полученную дробь сократить:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы ее знаменатель не содержал квадратного корня.

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на получаем:

2) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение получаем:

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Представив подкоренное выражение в виде квадрата суммы, получаем:

Растут ли в огороде радикалы?

В Древней Греции действие извлечения корня отождествляли с поиском стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли «стороной».

В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «корень дерева». Это же слово стали употреблять и по отношению к стороне квадрата, возможно, исходя из такой ассоциации: из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. Вероятно, поэтому в латинском языке понятия «сторона» и «корень» выражаются одним и тем же словом — radix. От этого слова произошел термин «радикал».

Слово radix можно также перевести как «редис», то есть корнеплод — часть растения — видоизмененный корень, который может являться съедобным.

В XIII-XV вв. европейские математики, сокращая слово radix, обозначали квадратный корень знаками Например, запись имела следующий вид: .

В XVI в. стали использовать знак Происхождение этого символа, по-видимому, связано с рукописным начертанием латинской буквы

В XVII в. выдающийся французский математик Рене Декарт, соединив знак с горизонтальной черточкой, получил символ Рене Декарт который мы и используем сегодня. (1596-1650)

Множество и его элементы. Подмножество

Мы часто говорим: стадо баранов, букет цветов, коллекция марок, косяк рыб, стая птиц, рой пчел, собрание картин, набор ручек, компания друзей.

Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться смешно: букет баранов, косяк картин, стадо друзей. В то же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция птиц, коллекция картин, коллекция ручек и т. д., вполне приемлемы. Дело в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в математике есть термин, которым можно заменить любое из первых слов в данных парах. Это слово множество.

Приведем еще несколько примеров множеств:

Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения:

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: и т. д.

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества. Обычно элементы обозначают строчными буквами латинского алфавита: и т. д.

Если — элемент множества то пишут: (читают: «принадлежит множеству »). Если не является элементом множества , то пишут: (читают: « не принадлежит множеству »).

Если множество состоит из трех элементов то пишут:

Если — множество натуральных делителей числа 6, то пишут: Множество делителей числа 6, являющихся составными числами, имеет следующий вид: {6}. Это пример одноэлементного множества.

Задавать множество с помощью фигурных скобок, в которых указан список его элементов, удобно в тех случаях, когда множество состоит из небольшого количества элементов.

Определение: Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества В принадлежит множеству .

Если множества и равны, то пишут:

Из определения следует, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, не имеет значения. Так, для множества, состоящего из трех элементов существует шесть вариантов его записи:

Поскольку из определения равных множеств следует, что, например, то в дальнейшем будем рассматривать множества, состоящие из разных элементов. Так, множество букв слова «космодром» имеет вид {к, о, с, м, д, р}.

Заметим, что Действительно, множество состоит из одного элемента и; множество состоит из одного элемента — множества .

Чаще всего множество задают одним из следующих двух способов.

Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов. Мы уже использовали этот способ, записывая множество с помощью фигурных скобок, в которых указывали список его элементов. Ясно, что не всякое множество можно задать таким способом. Например, множество четных чисел так задать невозможно.

Второй способ состоит в том, что указывают характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство «натуральное число при делении на 2 дает в остатке 1» задает множество нечетных чисел.

Если задавать множество характеристическим свойством его элементов, то может оказаться, что ни один объект этим свойством не обладает.

Обратимся к примерам.

Приведенные примеры указывают на то, что удобно к совокупности множеств отнести еще одно особенное множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом

Заметим, что множество не является пустым. Оно содержит один элемент — пустое множество.

Рассмотрим множество цифр десятичной системы счисления: Выделим из множества его элементы, являющиеся четными цифрами. Получим множество все элементы которого являются элементами множества

Определение: Множество называют подмножеством множества если каждый элемент множества является элементом множества

Это записывают так: или (читают: «множество является подмножеством множества » или «множество содержит множество »).

Рассмотрим примеры:

Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера.

На рисунке 20 изображены множество (больший круг) и множество (меньший круг, содержащийся в большем). Эта схема означает, что (или ).

Из определений подмножества и равенства множеств следует, что если и то

Если в множестве нет элемента, не принадлежащего множеству А, то множество является подмножеством множества . В силу этих соображений пустое множество считают подмножеством любого множества. Действительно, пустое множество не содержит ни одного элемента, следовательно, в нем нет элемента, который не принадлежит данному множеству . Поэтому для любого множества справедливо утверждение:

Любое множество является подмножеством самого себя, то есть

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Выпишите все подмножества множества

Решение:

Имеем:

Числовые множества

Натуральные числа — это первые числа, которыми начали пользоваться люди. С ними вы ознакомились в детстве, когда учились считать предметы. Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой

Практические потребности людей привели к возникновению дробных чисел. Позже появилась необходимость рассматривать величины, для характеристики которых положительных чисел оказалось недостаточно. Так возникли отрицательные числа.

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел, которое обозначают буквой

Например,

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, то есть

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Например,

Понятно, что Схема, изображенная на рисунке 21, показывает, как соотносятся множества и

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения где — целое число, а — натуральное. Например,

С возможностью такого представления связано название «рациональное число»: одним из значений латинского слова ratio является «отношение».

В 6 классе вы узнали, что каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для дроби такое представление можно получить, выполнив деление числа на число уголком.

Например,

Число записано в виде конечной десятичной дроби, а число в виде бесконечной периодической десятичной дроби. В записи 0,454545… цифры 4 и 5 периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби и записывают в круглых скобках. В данном случае период дроби составляет 45, а дробь записывают так:

Заметим, что любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например,

Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

В 9 классе вы научитесь записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Сумма и произведение двух натуральных чисел являются натуральными числами. Однако разность натуральных чисел не всегда обладает таким свойством. Например,

Сумма, разность, произведение двух целых чисел являются целыми числами. Однако частное целых чисел не всегда обладает таким свойством. Например,

Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Итак, действие вычитания натуральных чисел может вывести результат за пределы множества действие деления целых чисел — за пределы множества однако выполнение любого из четырех арифметических действий с рациональными числами не выводит результат за пределы множества

Вы ознакомились с новым действием — извлечением квадратного корня. Возникает естественный вопрос: всегда ли квадратный корень из неотрицательного рационального числа является рациональным числом? Иными словами, может ли действие извлечения квадратного корня из рационального числа вывести результат за пределы множества

Рассмотрим уравнение Поскольку то это уравнение имеет два корня: и (рис. 22). Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен 2 (доказательство этого факта вы можете найти в рубрике «Когда сделаны уроки» в рассказе «Открытие иррациональности»), то есть числа и не являются рациональными. Эти числа — примеры иррациональных чисел (приставка «ир» означает отрицание).

Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа может вывести результат за пределы множества

Ни одно иррациональное число не может быть представлено в виде дроби где а следовательно, и в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Например, с помощью специальной компьютерной программы можно установить, что

Числа и — это не первые иррациональные числа, с которыми вы встречаетесь. Число равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным:

Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби.

Например, число (после запятой записаны последовательно степени числа 10) является иррациональным. Действительно, если предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, состоящий из цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей. Иными словами, начиная с этого места в записи не должна встретиться ни одна единица, что противоречит конструкции числа.

Вместе множества иррациональных и рациональных чисел образуют множество действительных чисел. Его обозначают буквой (первой буквой латинского слова realis — «реальный», «существующий в действительности»).

Теперь «цепочку» можно продолжить:

Связь между числовыми множествами, рассмотренными в этом пункте, иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 23.

Длину любого отрезка можно выразить действительным числом. Eh-от факт позволяет установить связь между множеством и множеством точек координатной прямой. Точке началу отсчета, поставим в соответствие число 0. Каждой точке координатной прямой, отличной от точки поставим в соответствие единственное число, равное длине отрезка если точка А расположена справа от точки и число, противоположное длине отрезка если точка расположена слева от точки . Также понятно, что каждое действительное число является соответствующим единственной точке координатной прямой.

Над действительными числами можно выполнять четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль), в результате будем получать действительное число. Эти действия обладают известными вам свойствами:

• Переместительное свойство сложения
• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство сложения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения относительно сложения

Действительные числа можно сравнивать, используя правила сравнения десятичных дробей, то есть сравнивая цифры в соответствующих разрядах. Например,

Любое положительное действительное число больше нуля и любого отрицательного действительного числа. Любое отрицательное действительное число меньше нуля. Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Если отметить на координатной прямой два действительных числа, то меньшее из них будет расположено слева от большего.

Находя длину окружности и площадь круга, вы пользовались приближенным значением числа (например, ). Аналогично при решении практических задач, где нужно выполнить действия с действительными числами, при необходимости эти числа заменяют их приближенными значениями. Например, для числа можно воспользоваться такими приближенными равенствами: или Первое из них называют приближенным значением числа по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближенным значением числа по избытку с точностью до 0,001. Более подробно о приближенных значениях вы узнаете в 9 классе.

В заключение подчеркнем, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого действия получить действительное число. Следовательно, действие извлечения квадратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит результат за пределы множества

Открытие иррациональности

Решая графически уравнение мы установили, что длина каждого из отрезков и равна (рис. 24). Покажем, что число иррациональное. Предположим, что число рациональное. Тогда его можно

представить в виде несократимой дроби где и — натуральные числа. Имеем:

Тогда

Из последнего равенства следует, что число четное. А это значит, что четным является и число Тогда где — некоторое натуральное число. Имеем: Отсюда следует, что число а следовательно, и число четные.

Таким образом, числитель и знаменатель дроби — четные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие.

Приведенный пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае это отрезки и на рисунке 24), длины которых нельзя выразить рациональными числами, то есть для измерения отрезков рациональных чисел недостаточно.

Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого ученого Пифагора.

Сначала пифагорейцы считали, что для любых отрезков и всегда можно найти такой отрезок который в каждом из них укладывается целое число раз. Отсюда следовало, что отношение длин любых двух отрезков выражается отношением целых чисел, то есть рациональным числом.

Например, на рисунке 25 имеем:

и . Отрезок называют общей мерой отрезков и

Если для отрезков существует общая мера, то их называют соизмеримыми. Например, отрезки и (рис. 25) являются соизмеримыми.

Итак, древнегреческие ученые считали, что любые два отрезка соизмеримы. А из этого следовало, что длину любого отрезка можно выразить рациональным числом.

Действительно, пусть некоторый отрезок выбран в качестве единичного. Тогда для отрезка и любого другого отрезка существует отрезок длиной являющийся их общей мерой. Получаем: где и — некоторые натуральные числа. Отсюда Поскольку то

Однако сами же пифагорейцы сделали выдающееся открытие. Они доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть если сторону квадрата принять за единицу, то длину диагонали квадрата выразить рациональным числом нельзя.

Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат и примем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна На диагонали построим квадрат (рис. 26). Понятно, что площадь квадрата в 2 раза больше площади квадрата . Отсюда , то есть Следовательно, длина диагонали не может быть выражена рациональным числом.

Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих ученых, заключавшийся в том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел.

Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие иррациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 2

Свойства функции

Область определения:

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: парабола.

Нуль функции:

Свойство графика: если точка принадлежит графику функции, то точка также принадлежит графику.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен

Равные множества

Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества принадлежит множеству .

Подмножество

Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .

Обозначения числовых множеств

— множество натуральных чисел;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел;

— множество действительных чисел.

Связь между числовыми множествами

Свойства арифметического квадратного корня

Для любого действительного числа выполняется равенство

Для любого действительного числа и любого натурального числа выполняется равенство

Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Для любых действительных чисел и таких, что и

выполняется равенство

Для любых неотрицательных чисел и таких, что выполняется неравенство

Свойства функции

Область определения: множество неотрицательных чисел.

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: ветвь параболы.

Нуль функции:

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

———

Квадратные корни

Функция y=x2 её график и свойства

Функция её график и свойства

Пример №223

Пусть сторона квадрата равна см. Тогда его площадь (в можно найти но формуле В этой формуле каждому положительному значению переменной соответствует единственное значение переменной

Если обозначить независимую переменную через а зависимую – через то получим функцию, которую задают формулой В этой формуле переменная может принимать любые значения (положительные, отрицательные, значение нуль).

Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости точки координаты которых записаны в таблице (рис. 8). Если на этой плоскости отметить больше точек, координаты которых удовлетворяют формуле а потом соединить их плавной линией, то получим график функции (рис. 9). График этой функции называют параболой, точку (0; 0) – вершиной параболы. Вершина делит параболу на две части, каждую из которых называют ветвью параболы.

Сформулируем некоторые свойства функции

1. Область определения функции состоит из всех чисел.

2. Область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел, то есть

Действительно, так как для любого то

3. Графиком функции является парабола с вершиной в точке ветви которой направлены вверх. Все точки параболы, за исключением вершины, лежат выше оси абсцисс.

4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.

Действительно, это следует из того, что при любом значении

Пример №224

Решите графически уравнение

Решение:

График функции – парабола, а функции – прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; -1). Построим эти графики в одной системе координат ( рис.10). Они пересекутся в двух точках с абсциссами

Убедимся, что числа 1 и -3 являются корнями уравнения:

1) для

2) для

Следовательно, 3 и -1 – корни уравнения

Ответ. -3; 1.

Пример №225

Между какими последовательными целыми числами лежит корень уравнения

Решение:

Решим уравнение графически, построив графики функций в одной системе координат. Так как для любого то в данном уравнении и

Откуда Поэтому рассмотрим графики функций только для Это ветвь гиперболы и ветвь параболы, лежащие в первой координатной четверти (рис. 11).

Графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения и заключена между числами 1 и 2.

Таким образом, корень уравнения лежит между числами 1 и 2.

Ответ. Между числами 1 и 2.

Арифметический квадратный корень

Если известна сторона квадрата, можно легко найти его площадь. Но часто приходится решать и обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону.

Пример №226

Площадь квадрата равна Чему равна длина его стороны?

Решение:

Пусть длина стороны квадрата равна см, тогда его площадь будет Имеем уравнение: корнями которого являются числа 4 и -4. Действительно, и Длина не может выражаться отрицательным числом, поэтому условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения – число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см.

Корни уравнения то есть числа, квадраты которых равны 16, называют квадратными корнями из числа 16.

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен .

Например, квадратными корнями из числа 100 являются числа 10 и -10, потому что Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что Квадратного корня из числа -16 мы не найдем, ведь среди известных нам чисел не существует числа, квадрат которого равнялся бы -16.

Число 4, являющееся неотрицательным корнем уравнения . называют арифметическим квадратным корнем из числа 16.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен

Арифметический квадратный корень из числа обозначают знак арифметического квадратного корня, или радикал). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают следующим образом: квадратный корень из (слово арифметический при чтении принято опускать, поскольку в школе рассматривают только арифметические корни).

Пример №227

1) так как

2) так как

Вообще равенство является верным, если выполняются два условия:

Так как для всех значений переменной

Выражение не имеет смысла, если

Например, не имеют смысла выражения

Действие нахождения значения арифметического квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел на форзаце или калькулятор.

Пример №228

Найдите значение корня

Решение:

По таблице квадратов двузначных натуральных чисел имеем: Поэтому

Пример №229

Вычислите

Решение:

Сначала нужно найти значение выражения а потом извлечь из него корень:

Ответ. 35.

Рассмотрим уравнение где – некоторое число. Если то по определению квадратного корня следует, что Если же то уравнение не имеет решений, так как по определению число – неотрицательное.

Систематизируем данные о решениях уравнения в виде схемы:

Пример №230

Решите уравнение:

Ответ. 1) 49; 2) решений нет; 3) 13.

Множество. Подмножество. Числовые множества. Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Под множеством будем понимать совокупность объектов, имеющих общую природу (или объединенных по общему признаку), сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество состоит из чисел 1, 2, 3, а множество – из знаков то это записывают так: Числа 1, 2, 3 – элементы множества а знаки – элементы множества Тот факт, что число 1 принадлежит множеству записывают с помощью уже известного нам символа а именно: Тот факт, что число 1 не принадлежит множеству записывают так:

Множества, количество элементов которых можно выразить натуральным числом, называют конечными.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом Так, например, пустым множеством является множество корней уравнения

Множества, количество элементов которых нельзя выразить натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными.

Если каждый элемент множества является элементом множества то говорят, что множество является подмножеством множества

Записывают это следующим образом: Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 12.

Пример №231

Пусть Тогда множество является подмножеством множества то есть Множество не является подмножеством множества так как множество содержит элемент – число 5, которое не является элементом множества

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, то есть

Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой множество целых чисел – буквой множество рациональных чисел -буквой Они являются бесконечными множествами.

Можно утверждать, что

Любое рациональное число можно представить в виде где – целое число, – натуральное число.

Например

Рациональное число можно также представить и в виде десятичной дроби. Для этого достаточно числитель дроби разделить на ее знаменатель. Например,

В последнем случае мы получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроби также можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, дописав справа в десятичной части бесконечное много нулей:

Таким образом, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Справедливо и обратное утверждение:

Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

Например,

В правильности этих равенств легко убедиться, выполнив соответствующее деление.

Но в математике существуют числа, которые нельзя записать в виде где – целое число, а – натуральное.

Числа, которые нельзя записать в виде где – целое число, a — натуральное, называют иррациональными числами.

Префикс «иp» означает отрицание, иррациональные значит не рациональные.

Например, иррациональными являются числа Приближенные значения таких чисел можно находить с определенной точностью (то есть округленными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера:

Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел обозначают буквой

Так как каждое натуральное число является целым числом, то множество является подмножеством множества Аналогично, множество является подмножеством множества а множество подмножеством множества (рис. 13).

Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например,

В задачах с практическим содержанием действительные числа (для выполнения арифметических действий) заменяют на их приближенные значения, округленные до определенного разряда.

Пример №232

Вычислите с точностью до тысячных.

Решение:

Заметим, что при сложении, вычитании, умножении, делении и возведении в степень действительных чисел справедливы те же свойства и ограничения, что и при действиях с рациональными числами.

Понятие числа появилось очень давно.

А еще раньше Оно является одним из самых общих понятий математики. Потребность в измерениях и подсчетах обусловила появление положительных рациональных чисел. Именно тогда возникли и использовались натуральные числа и дробные числа, которые рассматривались как отношение натуральных чисел.

Следующим этапом развития понятия числа является введение в практику отрицательных чисел. В Древнем Китае эти числа появились во II в. до н. э. Там умели складывать и вычитать отрицательные числа. Отрицательные числа толковали как долг, а положительные – как имущество. В Индии в VII в. эти числа воспринимали так же, но еще и умели их умножать и делить.

Уже древние вавилоняне около 4 тыс. лет назад знали ответ на вопрос: «Какова должна быть длина стороны квадрата, чтобы его площадь равнялась Ими были составлены таблицы квадратов чисел и квадратных корней. Вавилоняне использовали и метод нахождения приближенного значения квадратного корня из числа не являющегося квадратом натурального числа. Суть метода заключалась в том, что число записывали в виде было достаточно малым в сравнении с и применяли формулу

Например, с помощью этого метода:

Проверим точность результата:

Такой метод вычисления приближенного значения квадратного корня использовался и в Древней Греции. Его детально описал Герон Александрийский (I в. н. э.).

В эпоху Возрождения (XV – нач. XVII в.) европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), потом – сокращенно – буквой Так появился термин «радикал», которым называют знак корня. Впоследствии для обозначения корня стали использовать точку, а потом ромбик. Спустя некоторое время – уже знак и горизонтальную черточку над подкоренным выражением. Затем знак и черточка были объединены, и современные математики стали использовать знак квадратного корня в привычном нам виде:

Тождество (√a)²=a, a⩾0 уравнение x²=a

Тождество уравнение

Напомним, что для любых значений равенство является верным, если выполняются два условия: Подставив в последнее равенство вместо его запись в виде получим тождество

Для любого справедливо тождество

Пример №233

Вычислите:

Решение:

Ответ:

Рассмотрим уравнение где – некоторое число.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то при уравнение не имеет решений, что можно записать следующим образом:

Если то единственным корнем уравнения является число 0.

Если то корни уравнения – числа Действительно, Для того чтобы убедиться, что уравнение при других корней не имеет, обратимся к графическому методу решения уравнения. Построим графики функций (рис. 14). Эти графики пересекутся дважды: в точках с абсциссами Систематизируем данные о решениях уравнения в виде схемы:

Пример №234

Решите уравнение:

Решение:

2) уравнение корней не имеет, то есть

Эти корни являются иррациональными числами;

4) Имеем:

Таким образом, получим два корня:

Ответ.

Свойства арифметического квадратного корня

Сравним значения выражений

Имеем: то есть корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Это свойство справедливо для произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть при и

Доказательство: Так как то выражения имеют смысл, причем Поэтому Кроме того,

Имеем: Тогда по определению арифметического квадратного корня:

Доказанная теорема распространяется и на случай, когда множителей под знаком корня три и больше.

Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство: Докажем это следствие, например, для трех чисел

Имеем:

Пример №235

Замечание 1. Очевидно, что выражение имеет смысл при условии то есть когда переменные – одного знака, а значит и тогда, когда переменные одновременно отрицательны. В таком случае тождество, рассмотренное выше, принимает вид где и Учитывая оба случая, можно записать, что

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Пример №236

Рассмотрим квадратный корень из дроби.

Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель -положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то есть при

Доказательство: Так как то выражения имеют смысл и Поэтому

Кроме того,

Имеем: Тогда по определению квадратного корня:

Пример №237

Замечание 2. По аналогии с замечанием 1, тождество, только что рассмотренное нами, можно записать и так:

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел.

Пример №238

Рассмотрим, как извлечь квадратный корень из квадрата.

Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения справедливо равенство

Доказательство: Так как для любого то по определению квадратного корня:

Пример №239

Рассмотрим квадратный корень из степени.

Теорема (о корне из степени). Для любого значения и натурального числа справедливо равенство

Доказательство: По теореме о корне из квадрата имеем Следовательно,

Пример №240

Вычислите:

Решение:

Пример №241

Упростите выражение:

Решение:

Так как для любого то Следовательно,

Так как поэтому Следовательно, если

Ответ.

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Вынесение множителя из-под знака корня

Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражения

Говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае из-под знака корня вынесли множитель 2.

Пример №242

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении

Решение:

Выражение имеет смысл при поскольку если Представим выражение в виде произведения в котором является степенью с четным показателем. Тогда

Так как Поэтому

Следовательно,

Ответ.

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим тождественное преобразование, обратное к предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней:

Говорят, что множитель внесли под знак корня. В данном случае под знак корня внесли множитель 2.

Отметим, что под знак корня можно вносить только положительный множитель.

Пример №243

Внести множитель под знак корня:

Решение:

2) Множитель может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

– если

– если

Ответ.

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни

Используя свойства умножения и деления корней, можно выполнять арифметические действия с выражениями, содержащими квадратные корни.

Пример №244

Используя тождество можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни.

Пример №245

Рассмотрим примеры, где квадратные корни можно складывать.

Пример №246

Упростите выражение

Решение:

Слагаемые содержат общий множитель Вынесем его за скобки и выполним действие в скобках:

Обычно решение записывают короче:

Заметим, что выражения в данном примере называют подобными радикалами (по аналогии с подобными слагаемыми), мы их сложили по правилу приведения подобных слагаемых.

Пример №247

Упростите выражение

Решение:

В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня, в результате получим подобные радикалы и приведем их:

Ответ.

Пример №248

Упростите выражение:

Решение:

Применим формулы сокращенного умножения.

Ответ.

Сокращение дробей

Пример №249

Сократите дробь:

Решение:

1) Учитывая, что числитель дроби представим в виде разности квадратов, получим:

2) Учитывая, что в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель, получим:

Ответ.

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Пример №250

Преобразуйте дробь так, чтобы она не содержала корня в знаменателе.

Решение:

Учитывая, что достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на

Ответ.

В таких случаях говорят, что избавились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №251

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

Решение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на чтобы в знаменателе получить формулу сокращенного умножения разности двух выражений на их сумму:

Ответ.

Заметим, что выражение называют сопряженным выражению Вообще-то, если в формулах сокращенного умножения в результате умножения скобок, содержащих радикалы, получается рациональное выражение, то выражения в скобках называют взаимно сопряженными. Так, и взаимно сопряженные выражения.

Взаимно сопряженными также являются выражения и им подобные.

Функция y= √x её график и свойства

Функция её график и свойства

Пример №252

Пусть – площадь квадрата, а см – длина его стороны. Так как то зависимость длины стороны квадрата от его площади можно задать формулой

Рассмотрим функцию Очевидно, что переменная принимает только неотрицательные значения, то есть

Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 15). Если бы мы отметили на этой плоскости больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению а потом соединили их плавной линией, то получили бы график функции (рис. 16).

Графиком этой функции является ветвь параболы.

Обобщим свойства функции

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел:

2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел:

3. График функции – ветвь параболы, выходящая из точки все другие точки графика лежат в первой координатной четверти.

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Последнее свойство дает возможность сравнивать значения выражении, содержащих корни.

Пример №253

Сравните числа:

Решение:

1) Так как

поэтому значит,

3) Внесем множитель в обоих выражениях под знак корня:

Так как поэтому

Пример №254

Решите графически уравнение

Решение:

Поскольку мы пока не умеем строить график функции разделим обе части уравнения на число 5. Получим уравнение:

Построим графики функций в одной системе координат (рис. 17). Они пересекаются в точке с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся, что число 4 – корень уравнения. Действительно,

Ответ. 4.

Пример №255

Постройте график функции

Ответ. График изображен на рисунке 18.

Извлечение корня из комплексного числа

30 ноября 2021

Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:

1. Определение комплексного корня;
2. Основная формула — как извлекать корни;
3. Геометрическая интерпретация;
4. Почему корней всегда ровно n;
5. Краткие выводы — если лень читать урок.:)

Начнём с ключевого определения.

1. Определение комплексного корня

Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $nin mathbb{N}$, $n gt 1$, называется такое комплексное число $omega $, что

[{{omega }^{n}}=z]

т.е. $n$-я степень числа $omega $ равна $z$.

Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:

[omega =sqrt[n]{z}]

Пример. Вычислить $sqrt[3]{-1}$ на множестве комплексных чисел.

Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что ${{left( -1 right)}^{3}}=-1$. Но есть ещё два корня:

[begin{align} {{left( frac{1}{2}+icdot frac{sqrt{3}}{2} right)}^{3}} &={{left( 1cdot left( cos frac{pi }{3}+icdot sin frac{pi }{3} right) right)}^{3}}= \ & =1cdot left( cos pi +isin pi right)=-1 \ {{left( frac{1}{2}-icdot frac{sqrt{3}}{2} right)}^{3}} &={{left( 1cdot left( cos left( -frac{pi }{3} right)+icdot sin left( -frac{pi }{3} right) right) right)}^{3}}= \ & =1cdot left( cos left( -pi right)+isin left( -pi right) right)=-1 end{align}]

Итого три корня. Как и предполагалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $zne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$

Все эти корни считаются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0,1,2,…,n-1 right} \ end{align}]

По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:

[{{z}^{n}}={{left| z right|}^{n}}cdot left( cos nvarphi +isin n varphi right)]

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
2. Записать общую формулу корня степени $n$;
3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $zne 0$.

Пример. Вычислить $sqrt[3]{-8i}$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} -8i &=0+left( -8 right)cdot i= \ & =8cdot left( 0+left( -1 right)cdot i right)= \ & =8cdot left( cos left( -frac{pi }{2} right)+isin left( -frac{pi }{2} right) right) end{align}]

Запишем формулу корней в общем виде:

[begin{align} sqrt[3]{-8i} & =sqrt[3]{8cdot left( cos left( -frac{pi }{2} right)+isin left( -frac{pi }{2} right) right)}= \ & =sqrt[3]{8}cdot left( cos frac{-frac{pi }{2}+2pi k}{3}+isin frac{-frac{pi }{2}+2pi k}{3} right)= \ & =2cdot left( cos left( -frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right)+isin left( -frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right) right) \ end{align}]

Подставим $k=0$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos left( -frac{pi }{6} right)+isin left( -frac{pi }{6} right) right)=sqrt{3}-i]

Подставим $k=1$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right)=2i]

И, наконец, $k=2$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos frac{7pi }{6}+isin frac{7pi }{6} right)=-sqrt{3}-i]

В ответе нужно указать все три числа: $2i$; $sqrt{3}-i$; $-sqrt{3}-i$.

Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $left{ 0,1,…,n-1 right}$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $zne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=sqrt[n]{left| z right|}$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[3]{i}$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} z & =1cdot left( 0+icdot 1 right)= \ & =1cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right) end{align}]

Формула комплексных корней:

[sqrt[3]{z}=1cdot left( cos left( frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right)+isin left( frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right) right)]

Это три точки ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ на окружности радиуса $R=1$:

Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол ${pi }/{6};$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[4]{1+i}$.

Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

[sqrt[4]{z}=sqrt[8]{2}cdot left( cos left( frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} right)+isin left( frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} right) right)]

Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=sqrt[8]{2}$, начальный луч ${pi }/{16};$:

И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча ${pi }/{16};$.

Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[6]{-64}$.

Формула корней с выделением начального луча:

[sqrt[6]{z}=2cdot left( cos left( frac{pi }{6}+frac{pi k}{3} right)+isin left( frac{pi }{6}+frac{pi k}{3} right) right)]

Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом ${pi }/{6};$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $zne 0$:

1. Перевести число в тригонометрическую форму;
2. Найти модуль корня: $sqrt[n]{left| z right|}$ — это будет радиусом окружности;
3. Построить начальный луч с отклонением $varphi ={arg left( z right)}/{n};$;
4. Построить все остальные лучи с шагом ${2pi }/{n};$;
5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде ${pi }/{6};$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} \ end{align}]

Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

[begin{align} {{omega }_{0}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi }{n}+isin frac{varphi }{n} right) \ {{omega }_{1}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi }{n}+isin frac{varphi +2pi }{n} right) \ & … \ {{omega }_{n-1}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi cdot left( n-1 right)}{n}+isin frac{varphi +2pi cdot left( n-1 right)}{n} right) \ end{align}]

Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

[begin{align} {{omega }_{n}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi n}{n}+isin frac{varphi +2pi n}{n} right)= \ & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos left( frac{varphi }{n}+2pi right)+isin left( frac{varphi }{n}+2pi right) right)= \ & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi }{n}+isin frac{varphi }{n} right)={{omega }_{0}} \ end{align}]

Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2pi $, ${{omega }_{n}}={{omega }_{0}}$, и далее корни будут повторяться. Как мы и заявляли в самом начале урока.

5. Выводы

Ключевые факты из урока.

Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $omega $, что ${{omega }^{n}}=z$.

Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $omega =sqrt[n]{z}$.

Замечание. Если $zne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} \ end{align}]

Все полученные корни лежат на окружности радиуса $sqrt[n]{left| z right|}$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол ${varphi }/{n};$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)

Смотрите также:

1. Тригонометрическая форма комплексного числа
2. Системы линейных уравнений: основные понятия
3. Радианная мера угла
4. Как представить обычную дробь в виде десятичной
5. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты
6. Логарифмические уравнения в задаче C1

Из этой статьи вы узнаете:

• что такое «извлечение корня»;
• в каких случаях он извлекается;
• принципы нахождения значения корня;
• основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b. 

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда. 

2≈1,4142.

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
• Извлечение корней из дробных чисел
• Извлечение корня из отрицательного числа
• Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители 

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 – окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби. 

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака. 

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Методы вычисления квадратных корней — это вычислительные алгоритмы для вычисления приближённых значений главных (или неотрицательных) квадратных корней (обычно обозначаемых как , или ) вещественного числа. Арифметически это означает, что если дано число , процедура находит число, которое при умножении на себя даёт . Алгебраически это означает процедуру нахождения неотрицательного корня уравнения . Геометрически это означает построение стороны квадрата с заданной площадью.

Любое вещественное число имеет два корня^[1]. Главное значение квадратного корня большинства чисел является иррациональным числом с бесконечной последовательностью десятичных цифр. Как результат, десятичное представление любого такого квадратного корня может быть вычислено только приближённо с конечной точностью (знаков после запятой). Однако, даже если мы берём корень от полного квадрата целого числа, так что результат имеет конечное представление, некоторые процедуры, используемые для вычисления корня, могут вернуть лишь ряд приближений с возрастающей точностью.

Представление вещественного числа в виде цепной дроби может быть использовано вместо десятичного или двоичного разложения и это представление имеет свойство, что квадратный корень любого рационального числа (который не является полным квадратом) имеет период, то есть периодическое разложение, похожее на то, как рациональные числа имеют повторяющееся разложения десятичной системе счисления.

Большинство общепризнанных аналитических методов являются итеративными и состоят из двух шагов: нахождения подходящего начального значения с последующим итеративным уточнением пока не будет достигнут определённый критерий остановки. Начальным значением может быть любое число, но если оно ближе к конечному значению, число требуемых итераций потребуется меньше. Наиболее известным таким методом, да ещё и удобным для программирования, является метод Ньютона, который основывается на вычислении производной. Несколько методов, такие как обычное деление вручную по схеме Горнера или разложение в ряд, не требуют задание начального значения. В некоторых приложениях требуется найти целочисленный квадратный корень, который является квадратным корнем, округлённым до ближайшего целого (в этом случае может быть использована модифицированная процедура).

Используемый метод зависит от того, как результат будет использован (то есть, насколько точен должен быть результат) и какие средства есть под рукой. Методы можно грубо разбить на те, которые можно выполнить в уме, которые требуют карандаша и листа бумаги, или те, которые реализуются в виде программы и выполняются на компьютерах или других вычислительных устройствах. Могут приниматься в расчёт скорость сходимости (сколько итераций потребуется для достижения заданной точности), вычислительной сложности отдельных операций (таких как деление) или итераций, и распределение ошибок (точность результата).

Процедуры поиска квадратных корней (в частности, корня из 2) известны по меньшей мере со времён древнего Вавилона (17-й век до нашей эры). Метод Герона из Египта первого века был первым проверяемым алгоритмом для вычисления квадратного корня. Современные аналитические методы начались разрабатываться после принятия арабских цифр в Западной Европе в Раннем Ренессансе. В настоящие дни почти все вычислительные устройства имеют функцию быстрого и точного вычисления квадратного корня в виде встроенной конструкции языка программирования, библиотечной функции или аппаратного оператора, которые основываются на описанных ниже процедурах.

Начальная оценка[править | править код]

Многие итеративные алгоритмы вычисления квадратного корня требуют задания начального случайного значения. Это значение должно быть ненулевым положительным числом. Оно должно быть между 1 и , числом, квадратным корень которого мы ищем, поскольку квадратный корень должен быть в этих пределах. Если начальное значение очень далеко от корня, алгоритму потребуется больше итераций. Если начать с (или с ), будет отработано лишних примерно итераций просто для получения порядка корня. Поэтому полезно иметь грубую оценку корня, которая может иметь слабую точность, но зато легко вычисляется. В общем случае чем точнее оценка, тем быстрее сходимость. Для метода Ньютона (называемого также вавилонским или методом Герона), начальное значение несколько большее корня даёт более быструю сходимость, по сравнению с начальным значением, меньшим корня.

Вообще говоря, оценка рассматривается на произвольном интервале, в котором известно, что в нём содержится корень (таком как ). Получение лучшей оценки вовлекает либо получение более узких границ интервала, либо лучшего функционального приближения к Последнее обычно означает использование для аппроксимации многочленов более высокого порядка, хотя не все аппроксимации используют многочлены. Общие методы оценки бывают скалярные, линейные, гиперболические и логарифмические. Десятичная система счисления обычно используется для оценки в уме или на бумаге. Двоичная система счисления более пригодна для компьютерных оценок. При оценке экспонента и мантисса обычно обрабатываются отдельно.

Десятичная оценка[править | править код]

Обычно число выражается в экспоненциальном виде как , где , а n — целое число, тогда оценкой возможного квадратного корня может быть , где .

Скалярные оценки[править | править код]

Скалярные методы делят весь диапазон на интервалы и оценка в каждом интервале представлена одним числом. Если диапазон рассматривается как один интервал, то арифметическое среднее (5,5) или геометрическое среднее ( являются приемлемыми оценками. Абсолютная и относительная оценка для этих оценок будет отличаться. В общем случае отдельное число будет очень неточно. Более точные оценки разбивают диапазон на два и более интервалов, но скалярная оценка продолжает оставаться очень грубой.

Для двух интервалов, разбитых геометрически, квадратный корень можно оценить как^[2].

Эта оценка имеет максимальную абсолютную погрешность в точке = 100 и максимальную относительную ошибку в 100% в точке = 1.

Например, для с разложением , оценка будет . , с абсолютной ошибкой 246 и относительной ошибкой почти 70%.

Линейная оценка[править | править код]

Лучшей оценкой и стандартным методом является линейное приближение функции на малой дуге. Если, как и выше, степень выделена из числа , а интервал сокращён до , можно использовать секущую или касательную где-то вдоль дуги для аппроксимации, но прямая регрессии метода наименьших квадратов будет более точной.

Прямая, получающаяся методом наименьших квадратов, минимизирует среднее расстояние между оценкой и значением функции. Её уравнение — . После преобразования и округления коэффициентов для упрощения вычислений получим

Это лучшая оценка в среднем, которую можно получить одной попыткой линейной аппроксимации функции в интервале . Оценка имеет максимальную абсолютную ошибку 1,2 в точке a=100 и максимальную относительную ошибку в 30% в точках S=1 и 10^[3].

Чтобы разделить на 10, вычитаем единицу из показателя степени или, образно говоря, передвигаем десятичную запятую на одну позицию влево. Для этой формулы любая добавленная константа, равная 1 плюс маленькое приращение, даёт удовлетворительную оценку, так что запоминать точное число нет необходимости. Аппроксимация (округлённая или не округлённая) с помощью одной прямой, стягивающей область по точности даёт не более одного верного знака. Относительная ошибка более чем 1/2², так что даёт менее 2 битов информации. Точность сильно ограничена, поскольку область охватывает два порядка, что достаточно большая величина для такого рода оценок.

Существенно лучшую оценку можно получить при помощи кусочно–линейной аппроксимации, то есть с помощью нескольких отрезков, которые приближают поддугу исходной дуги. Чем больше отрезков используется, тем лучше приближение. Наиболее употребительно применение касательных. Критичным моментом является как делить дугу и где располагать точки касания. Действенным методом деления дуги от y=1 до y=100 является геометрический — для двух интервалов границей интервалов является квадратный корень исходного интервала, 1*100, то есть и . Для трёх интервалов будут кубические корни — , и , и так далее. Для двух интервалов является очень удобным числом. Легко получить касательные прямые в точках касания и . Их уравнения: и . Обращая уравнения, получим, что квадратные корни равны и . Тогда для :

Максимальные абсолютные значения оказываются в правых границах интервалов, в точках a=10 и 100, и равны 0,54 и 1,7 соответственно. Максимальные относительные ошибки появляются на концах интервалов, в точках a=1, 10 и 100, и равны 17%. 17% или 0,17. Они больше, чем 1/10, так что метод даёт точность менее одной значащей цифры.

Гиперболическая оценка[править | править код]

В некоторых случаях может оказаться действенной гиперболическая оценка, поскольку гипербола также является выпуклой кривой и может лежать вдоль дуги Y = x² лучше, чем прямая. Гиперболическая оценка вычислительно более сложная, поскольку для неё нужно деление на число с плавающей запятой. Почти оптимальной гиперболической аппроксимацией к x² на интервале является . После преобразования получим . Тогда для :

Деление с плавающей запятой должно быть с точностью до одного десятичного знака, поскольку вся оценка даёт такую точность, и такое деление можно выполнить в уме. Гиперболическая оценка в среднем лучше, чем скалярная или линейная оценка. Её максимальная абсолютная ошибка составляет 1,58 в точке 100, а максимальная относительная ошибка составляет 16,0% в точке 10. Для худшего случая a=10 оценка равна 3,67. Если начать с 10 и применять итерации Нютона-Рапсона напрямую, требуется две итерации, которые дают 3,66, прежде чем достичь точности гиперболической оценки. Для более типичного случая наподобие 75 гиперболическая оценка даёт 8,00 и требуется 5 итераций Ньютона-Рапсона с начальным значением 75, чтобы получить более точный результат.

Арифметическая оценка[править | править код]

Метод, аналогичный кусочно-линейной аппроксимации, но использующий лишь арифметические операции вместо алгебраических уравнений, использует таблицу умножения в обратную сторону — квадратный корень чисел между 1 и 100 где-то между 1 и 10, так что, поскольку мы знаем, что 25 является точным квадратом (5 × 5) и 36 является точным квадратом (6 × 6), то квадратный корень из числа, которое больше 25, но меньше 36, начинается с цифры 5. Аналогично для чисел между другими квадратами. Этот метод даёт правильный первый знак, но точность его всего одна цифра — первая цифра квадратного корня из 35, например, равна 5, но сам корень из 35 почти равен 6.

Лучше делить интервал между двумя квадратами пополам. Так что корень любого числа между 25 и половины пути до 36 (что есть 30,5) оценивается как 5, остальные числа, большие 30,5 вплоть до 36 оцениваются как 6^[4]. Процедура требует очень мало арифметики для нахождения середины двух произведений из таблицы. Вот таблица таких чисел:

a	nearest square	est.
1 to 2,5	1 (= 12)	1
2,5 to 6,5	4 (= 22)	2
6,5 to 12,5	9 (= 32)	3
12,5 to 20,5	16 (= 42)	4
20,5 to 30,5	25 (= 52)	5
30,5 to 42,5	36 (= 62)	6
42,5 to 56,5	49 (= 72)	7
56,5 to 72,5	64 (= 82)	8
72,5 to 90,5	81 (= 92)	9
90,5 to 100	100 (= 102)	10

Конечной операцией будет умножение оценки k на степень десятки, делённой пополам, так что для ,

Метод даёт точность в одну значащую цифру, поскольку он округляет до лучшей первой цифры.

Метод можно распространить до 3 значащих цифр в большинстве случаев, интерполируя между ближайшими квадратами. Если , то примерно равен k плюс дробь, равная разности a и , делённой на разность между двумя квадратами:

где

Конечной операцией, как и выше, служит умножение результата на степень десятки, делённой пополам

Число k есть десятичная цифра, а R есть дробь, которую следует превратить в десятичную. Дробь имеет обычно одну цифру в числителе и одну или две цифры в знаменателе, так что преобразование в десятичную дробь можно провести в уме.

Пример: найти квадратный корень из 75. , так что a равно 75, а n равно 0. Исходя из таблицы умножения квадратный корень мантиссы должен быть 8 с дробью, поскольку , а , слишком велико. Так что k равно 8 с дробью является десятичным представлением R. Дробь R имеет в числителе и в знаменателе. 11/17 чуть меньше, чем 12/18, что равно 2/3 или 0,67, так что 0,66 является хорошим предположением (здесь можно ограничиться и предположением поскольку ошибка мала). Так что оценка корня равна . √75 до трёх значащих цифр будет 8,66, так что оценка до трёх значащих цифр хорошая. Не все оценки с помощью такого метода столь точны, но они довольно близки.

Двоичная оценка[править | править код]

Когда работа ведётся в двоичной системе счисления (скажем, в процессоре компьютера), выражается как , где , квадратный корень можно оценить величиной

что является регрессией методом наименьших квадратов по 3 старшим битам. имеет максимальную абсолютную ошибку 0,0408 в точке =2 и максимальную относительную ошибку в 3,0% в точке =1. Для вычислений удобна округлённая оценка (поскольку коэффициенты являются степенями 2)

^[5]

которая имеет максимальную абсолютную ошибку 0,086 в точке 2 и максимальную относительную ошибку в 6,1% в точках и .

Для двоичное приближение даёт Поскольку , оценка даёт абсолютную ошибку в 19 и относительную ошибку 5,3%. Относительная ошибка чуть меньше 1/2⁴, так что приближение даёт точность до 4+ бит.

Оценку для с точностью до 8 бит можно получить путём просмотра таблицы по старшим 8 битам , учитывая, что старший бит задаётся неявно в большинстве представлений чисел с плавающей запятой, а младшие биты после 8 бит должны быть округлены. Таблица содержит 256 байт заранее вычисленных 8-битных квадратных корней. Например, для индекса 11101101₂, что в десятичной системе равно 1,8515625₁₀, значение в таблице равно 10101110₂, что в десятичной системе равно 1,359375₁₀, квадратному корню числа 1,8515625₁₀ с точностью до 8 бит (2+ десятичных знака).

Вавилонский метод[править | править код]

Возможно первым алгоритмом, используемым для аппроксимации , является метод, известный как вавилонский метод, несмотря на то, что нет никаких прямых свидетельств, за исключением гипотетических умозаключений, что вавилонские математики использовали этот метод^[6]. Метод известен также как метод Герона, по имени греческого математика первого столетия Герона, который дал первое явное описание метода в своей работе 60 года Метрика^[7].Основная методика заключается в том, что если x больше квадратного корня неотрицательного вещественного числа S то будет меньше корня и наоборот. Так что среднее этих двух чисел резонно ожидать более близким к корню (формальное доказательство этого факта основывается на неравенстве о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом, которое показывает, что это среднее всегда больше квадратного корня, что обеспечивает сходимость). Метод эквивалентен использованию метода Ньютона для решения уравнения .

Точнее, если x является начальным приближением для , а ошибка в нашей оценке, такая что , мы можем раскрыть скобки и получим

поскольку .

Следовательно, мы можем компенсировать ошибку и обновить нашу старую оценку

Поскольку вычисленная ошибка не была точной, она станет нашим следующим приближением. Процесс обновления продолжается пока не достигнем нужной точности. Это алгоритм с квадратичной сходимостью, что означает, что число верных цифр приближения (грубо говоря) удваивается с каждой итерацией. Работает он так:

1. Начинаем с любого положительного начального значения (чем ближе к истинному квадратному корню числа S, тем лучше).
2. Положим равным среднему между и (используем среднее арифметическое для аппроксимации среднего геометрического).
3. Повторяем шаг 2 пока не достигнем нужной точности.

Алгоритм можно представить следующим образом:

Алгоритм работает также хорошо и для p-адических чисел, но не может быть использован для отождествления вещественных квадратных корней с p-адичными квадратными корнями. Можно, например, построить последовательность рациональных чисел, полученных этим методом, которая сходится к +3 в случае вещественных чисел, но к -3 в 2-адичных числах.

Пример[править | править код]

Для вычисления √S, где S = 125348, с точностью до шести значащих цифр используем метод грубой оценки, описанный выше

Поэтому .

Сходимость[править | править код]

Предположим, что x₀ > 0 и S > 0. Тогда для любого n x_n > 0. Относительная ошибка^[en] x_n определена как

а тогда

Теперь можно показать, что

а следовательно

а отсюда следует гарантированная сходимость и эта сходимость квадратичная.

Сходимость в худшем случае[править | править код]

Если использовать метод грубой оценки с вавилонским методом, то наихудшие случаи точности в нисходящей последовательности:

А тогда в любом случае

Ошибки округления ослабляют сходимость. Рекомендуется хранить по меньшей мере одну лишнюю цифру выше желаемой точности x_n, чтобы минимизировать ошибки округления.

Метод Бакхшали[править | править код]

Этот метод для поиска приближения квадратного корня был написан в древнеиндийской рукописи, называемой манускриптом Бакхшали. Метод эквивалентен двум итерациям вавилонского метода с начальным значением x₀. Таким образом, алгоритм является квадратично сходящимся, что означает, что число верных знаков приближения увеличивается примерно в четыре раза с каждой итерацией^[8]. Представление алгоритма в современной нотации следующее: Следует вычислить , пусть x₀² будет начальным приближением к корню S. Последовательно выполняются итерации

Это можно использовать для построения рационального приближения к квадратному корню, начав с целого числа. Если — это целое число, выбранное так, что близко к S, и — это разность, абсолютная величина которой минимизируется, то первую итерацию можно записать следующим образом:

Метод Бакхшали может быть обобщён для вычисления произвольного корня, включая дробные корни^[9].

Пример[править | править код]

Используем тот же пример, что был приведён для вавилонского метода. Пусть Тогда первая итерация даёт

Аналогично вторая итерация даёт

Цифра за цифрой[править | править код]

Это метод последовательного поиска каждой цифры квадратного корня. Метод медленнее вавилонского, но имеет некоторые преимущества

• Он проще для вычислений вручную.
• Каждый найденный знак корня заведомо верный, то есть он не будет изменён на следующих итерациях.
• Если представление квадратного корня имеет конечное число цифр, алгоритм завершается после последней найденной цифры. Таким образом, он может быть использован для проверки, что данное число является полным квадратом.
• Алгоритм работает в любой системе счисления, и естественно, работа алгоритма зависит от выбранной системы счисления.

Палочки Непера включают дополнительные средства для выполнения этого алгоритма. Алгоритм вычисления n-го корня цифра за цифрой^[en] является обобщением этого метода.

Основной принцип[править | править код]

Рассмотрим сначала случай нахождения квадратного корня из числа Z, являющегося квадратом двузначного числа XY, где X — это цифра десятков, а Y — цифра единиц. Имеем:

Сначала определим значение X. X — это наибольшая цифра, такая что X² не превосходит Z, от которого отброшены две последние цифры.

На следующей итерации соединяем пару цифр, умножая X на 2 и помещая результат в позицию десятков, а затем пытаемся найти, чему же равно Y.

Поскольку в нашем случае ответом является точный квадратный корень, алгоритм останавливается.

Та же идея может быть распространена на вычисление произвольного квадратного корня. Представим, что мы можем найти квадратный корень из N как сумму n положительных чисел, таких что

Путём многократного использования тождества

правую часть можно представить в виде

Это выражение позволяет нам найти квадратный корень последовательным подбором значений . Предположим, что числа уже подобраны, тогда m-й член задаётся выражением , где является найденным приближением к квадратному корню. Теперь каждый новый подбор должен удовлетворять рекурсии

так что для всех при начальном значении Если найден точный квадратный корень. Если нет, то сумма даёт подходящую аппроксимацию к квадратному корню и будет ошибкой аппроксимации.

Например, в десятичной системе мы имеем

где являются указателями положения цифр, а коэффициенты . На каждом m-м шаге вычисления квадратного корня находится приближённый квадратный корень. Величина и суммируемые члены задаются формулами

Поскольку указатели положения имеют чётную степень 10, нам нужно работать только с парой старших цифр в оставшемся члене на любом m-м шаге. Раздел ниже систематизирует эту процедуру.

Очевидно, что подобный метод может быть использован для вычисления квадратного корня в любой системе счисления, не обязательно в десятичной. Например, нахождение цифра за цифрой квадратного корня в двоичной системе довольно эффективно, поскольку значение ищется в малом наборе цифр {0,1}. Это делает вычисление более быстрым, поскольку на каждом шаге значение либо равно для , либо для . Факт, что имеется всего две возможности для также делает проще процесс выбора значения на m-м шаге вычислений. Это потому, что нам нужно лишь проверить, что для Если это условие выполняется, мы берём ; а если не выполняется, то берём Также факт, что умножение на 2 осуществляется сдвигом влево, помогает при вычислениях.

Десятичная система счисления[править | править код]

Запишем исходное число в десятичном виде. Числа, записываются по аналогии алгоритму деления столбиком, и, как и в длинном делении, квадратный корень будет писаться в верхней строке. Теперь разобьём цифры на пары, начиная с запятой, в обе стороны от неё. Десятичная запятая квадратного корня будет на десятичной запятой квадрата. Одна цифра квадратного корня записывается над парой цифр квадрата.

Начиная с крайне левой позиции выполняем следующую процедуру для каждой пары цифр:

1. Сносим вниз старшую пару ещё неиспользованных цифр (если все цифры использованы, пишем “00”) и записываем их справа от остатка предыдущего шага (на первом шаге остатка нет). Другими словами, умножаем остаток на 100 и добавляем две цифры. Это будет текущим значением c.
2. Находим p, y и x следующим образом:
3. Вычитаем y из c для образования нового остатка.
4. Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые можно спустить вниз, алгоритм останавливается. В противном случае возвращаемся на шаг 1 и выполняем следующую итерацию.

Примеры[править | править код]

Находим квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     /  01 52,27 56

         01                   1*1 <= 1 < 2*2                 x = 1
         01                     y = x*x = 1*1 = 1
         00 52                22*2 <= 52 < 23*3              x = 2
         00 44                  y = (20+x)*x = 22*2 = 44
            08 27             243*3 <= 827 < 244*4           x = 3
            07 29               y = (240+x)*x = 243*3 = 729
               98 56          2464*4 <= 9856 < 2465*5        x = 4
               98 56            y = (2460+x)*x = 2464*4 = 9856
               00 00          Алгоритм останавливается: Ответ 12,34

Двоичная система счисления[править | править код]

Этот раздел использует формализм раздела «Вычисление цифра за цифрой» с небольшими изменениями, что , а каждое равно или .
Теперь мы пробегаем по всем от вниз до и строим приближённое решение в виде суммы всех , для которых мы найдём значение.
Чтобы определить, равно ли значению или , мы берём . Если (то есть квадрат нашего приближения включая не превосходит исходного квадрата), то полагаем , в противном случае полагаем и .
Чтобы избежать возведения в квадрат на каждом шаге, мы запоминаем разность и обновляем её на каждой итерации, полагая с .
Первоначально мы устанавливаем для наибольшего с .

В качестве дополнительной оптимизации сохраняем и , два члена в случае, когда не нуль, в отдельных переменных , :

и можно эффективно обновлять на каждом шаге:

Заметим, что

, что является конечным результатом, возвращаемым функцией, представленной ниже.

Реализация алгоритма на языке C^[10]:

int32_t isqrt(int32_t n) 
{ assert(("входное значение должно быть неотрицательным", n > 0));
  int32_t x = n;    // 
  int32_t c = 0;    // 
  //  начинается с наибольшей степени четырёх <= n
  int32_t d = 1 << 30; // Второй старший бит устанавливаем в 1.
                        // То же самое, что ((unsigned)INT32_MAX + 1) / 2.
  while (d > n) d >>= 2;
  while (d != 0)    // для 
  { if (x >= c + d) // если , то 
    { x -= c + d;       // 
     c = (c >> 1) + d;  // 
   } else
          c >>= 1;      // 
    d >>= 2;            // 
  }
  return c;             // 
}

Можно реализовать более быстрый алгоритм как в двоичной, так и в десятичной системе счисления, если использовать таблицы для выбора, то есть реализация принципа использование больше памяти сокращает время исполнения^[11].

Экспоненциальное тождество[править | править код]

Карманные калькуляторы обычно реализуют хорошие программы вычисления экспоненты и натурального логарифма. Вычисление квадратного корня S тогда производится с помощью свойств логарифмов () и экспоненты ():

Или в более общем случае:

Знаменатель дроби n соответствует степени корня. В случае квадратного корня знаменатель равен 2. То же самое тождество используется для вычисления квадратного корня с помощью таблиц логарифмов или логарифмических линеек.

Такой метод вычисления квадратного корня удобен для калькуляторов, поскольку они обычно не критичны ко времени выполнения операции. Однако ресурсоемкость данного метода делает его малопригодным для использования в ЭВМ, где простые арифметические операции должны обладать минимальными задержками. Тем не менее описанный метод вычисления квадратного корня применялся в ЭВМ ZX Spectrum.

Итеративный метод с двумя переменными[править | править код]

Этот метод применим для поиска квадратного корня из и лучше всего сходится для .
Это, однако, не является существенным ограничением для вычислений на компьютерах, поскольку в представлениях двоичных чисел с плавающей запятой и с фиксированной запятой тривиально умножить на целую степень числа 4, с последующей коррекцией на нужную степень 2 путём изменения экспоненты или сдвигом соответственно. Таким образом, может быть сдвинуто в пределы . Более того, приведённый ниже метод не использует делений общего вида, а только сложение, вычитание, умножение и деление на степень двойки. Последнее из этих действий тривиально реализуется. Недостатком метода является накопление ошибки, в отличие от итеративных методов с одной переменной, таких как вавилонский.

Начальный шаг метода

Итерационные шаги

Тогда (при ).

Заметим, что сходимость , а потому и , квадратична.

Доказательство метода достаточно простое. Сначала перепишем итерационное определение как

.

Теперь «в лоб» доказывается, что

а потому сходимость к желаемому результату обеспечивается сходимостью к 0, что, в свою очередь, вытекает из .

Этот метод разработали около 1950 года М. В. Уилкс, Д. Дж. Уилер и С. Гилл^[12] для использования в EDSAC, одном из первых электронных компьютеров^[13]. Позднее метод был обобщён на неквадратные корни^[14].

Итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню числа[править | править код]

Далее приведены итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню из S числа, то есть . Если такое значение найдено, находим просто умножением: . Эти итерации используют только умножение и не используют деления. Потому методы быстрее, чем вавилонский метод. Однако методы нестабильны, если начальное значение не близко к обратному к корню значению, итерации расходятся. Поэтому может быть выгодным сначала сделать итерацию вавилонским методом для грубой оценки корня перед началом использования этих методов.

Алгоритм Гольдшмидта[править | править код]

Некоторые компьютеры используют алгоритм Гольдшмидта для одновременного вычисления и .
Алгоритм Гольдшмидта находит быстрее, чем итерация Ньютона-Рапсона, на компьютерах с операциями совмещённого умножения-сложения и имеющих либо конвейерный процессор плавающей запятой, либо два независимых процессора плавающей запятой^[15].

Первый способ записи алгоритма Гольдшмидта начинается с

(обычно используется поиск в таблице)

и осуществляются итерации

пока не окажется достаточно близко к 1 или не будет проведено фиксированное число итераций. Итерации сходятся к

,

.

Заметим, что можно опустить вычисление или , а если оба значения желательны, то можно использовать в конце вместо вычисления на каждой итерации.

Второй способ, использующий операции совмещённого умножения-сложения начинается с

(обычно используется поиск в таблице)

и осуществляются итерации

пока не станет достаточно близко к 0, либо не будет осуществлено фиксированное число итераций. Значения сходятся к

.

Ряды Тейлора[править | править код]

Если N является приближением к , лучшее приближения может быть найдено использованием ряда Тейлора функции квадратного корня:

Порядок сходимости равен числу используемых членов ряда. При использовании двух членов метод эквивалентен вавилонскому методу. При использовании трёх членов каждая итерация использует почти столько же операций, сколько использует приближение Бакхшали, но сходимость слабее. Поэтому этот метод не является особенно эффективным способом вычисления. Для максимизации скорости сходимости, следует выбрать N так, чтобы было как можно меньше.

Разложение в цепную дробь[править | править код]

Квадратичные иррациональности (числа вида , где a, b и c целые числа), и, в частности, квадратные корни из целых чисел, имеют периодические цепные дроби^[en]. Иногда целью является не нахождение численного значения квадратного корня, а его разложение в цепную дробь, а следовательно его рационального приближения. Пусть S будет положительным числом, корень из которого требуется найти. Теперь пусть a будет начальным приближением, а r будет остаточным членом, тогда мы можем записать Поскольку мы имеем , мы можем выразить квадратный корень из S как

Применяя это выражение для к знаменателю дроби, получим

Следуя этим путём мы получаем обобщённую непрерывную дробь^[en] для квадратного корня

Первым шагом вычисления такой дроби для получения квадратного корня является подстановки для корня и выбор числа знаменателей. Например, в канонической форме равен 1 и для √2, равен 1, так что численно непрерывной дробью для 3 знаменателей будет

Шаг 2. Непрерывная дробь свёртывается снизу вверх, один знаменатель за раз, чтобы получить рациональную дробь, числитель и знаменатель которой являются целыми числами. Процесс свёртывания тогда выглядит следующим образом (беря первые три знаменателя):

Наконец (шаг 3), делим числитель на знаменатель рациональной дроби, чтобы получить приближённое значение корня:

округлено до трёх знаков.

Действительное значение корня √2 равно 1,41 с точностью до трёх значащих цифр. Относительная ошибка равна 0,17%, так что рациональная дробь хороша почти до трёх знаков. Если брать больше знаменателей, получим последовательное улучшение приближения — четыре знаменателя дают дробь , что даёт почти 4 цифры точности, и т.д.

Непрерывные дроби доступны в таблицах по меньшей мере для малых чисел и общеизвестных констант. Для произвольных чисел в десятичной системе счисления предварительно вычисленные значения, скорее всего, бесполезны. Следующая таблица малых рациональных дробей, называемых подходящими дробями, полученных из канонических непрерывных дробей для нескольких констант:

√S	цепная дробь	~десятичное	Подходящие дроби
√2		1,41421
√3		1,73205
√5		2,23607
√6		2,44949
√10		3,16228
		1,77245
		1,64872
		1,27202

Примечание: Перечислены все подходящие дроби вплоть до знаменателя 99.

В общем виде чем больше знаменатель рациональной дроби, тем лучше аппроксимация. Также можно доказать, что отсечение непрерывной дроби приводит к рациональной дроби, с лучшим приближением к корню любой дроби со знаменателем, меньшим или равным знаменателю этой дроби. Например, никакая дробь со знаменателем, не превосходящем 70, не будет так же хороша, как аппроксимация к √2 числом 99/70.

Метод последовательности Люка[править | править код]

Последовательность Люка первого рода определяется рекуррентным отношением

и его характеристическим многочленом является

, он имеет дискриминант и корни

Всё это даёт следующее положительное значение

. Так что если мы хотим получить , мы можем выбрать и , а затем вычислить используя и для больших значений .
Наиболее эффективный способ вычисления и —

Итог:

а тогда при :

Аппроксимации, зависящие от представления в виде числа с плавающей запятой[править | править код]

Число представляется в виде числа с плавающей запятой как . Этот формат записи называется также экспоненциальной записью. Квадратный корень из этого числа равен и аналогичные формулы могут быть представлены для кубических корней и логарифмов. Это не упрощает задачу, но если требуется только аппроксимация, то является хорошей оценкой порядка мантиссы. Далее, понимаем, что некоторые степени p могут оказаться нечётными, тогда для вместо работы с дробными степенями основания умножаем на него и вычитаем единицу из степени, делая её чётной. Уточнённое представление превращается в , так что квадратный корень будет равен .

Если взять лишь целую часть мантиссы, она может принимать значения от 1 до 99 и это можно использовать в качестве индекса в таблице из 99 предварительно вычисленных корней для завершения оценки. Компьютер, использующий шестнадцатеричное основание может потребовать большей таблицы, но при использовании основания 2 таблица будет состоять лишь из трёх величин — возможными битами целой части уточнённого представления мантиссы могут быть 01 (если степень чётная, так что нет никакого сдвига, и заметим, что нормализованное число с плавающей точкой всегда имеет ненулевую старшую цифру), или, если степень была нечётной, 10 или 11, это два первых бита исходной мантиссы. Тогда 6,25 (= 110,01 в двоичном представлении) нормализуется к с чётной степенью, так что парой битов мантиссы будет 01, в то время как 0,625 (= 0,101 в двоичном представлении) нормализуется к с нечётной степенью, так что требуется преобразование числа к , а тогда парой бит будет 10. Заметим, что младший бит порядка отражается в старший бит сгруппированной парами мантиссы. Чётная степень имеет нулевой младший бит и уточнённая мантисса будет начинаться с нуля, в то время как нечётная степень имеет 1 в младшем бите и уточнённая мантисса будет начинаться с 1. Таким образом, когда степень делится пополам, это эквивалентно тому, что младший бит порядка сдвигается в первый бит попарно сгруппированной мантиссы.

Таблица с тремя элементами может быть расширена для включения дополнительных бит мантиссы. Однако в случае компьютеров вместо вычисления интерполяции в таблице часто лучше искать более простой способ вычислений, дающий те же результаты. Всё теперь зависит от точных деталей формата представления чисел и от операций, которые доступны для получения частей числа и работы с ними. Например, Фортран содержит функцию EXPONENT(x) для получения степени. Усилия, потраченные на получение хорошего начального приближения окупаются за счёт исключения дополнительных итераций процесса уточнения, которые потребовались бы в случае плохого приближения.

Многие компьютеры следуют стандарту IEEE для чисел с плавающей запятой^[en] (или достаточно близкое представление) и очень быстрое приближение для квадратного корня может быть получено в качестве стартового значения метода Ньютона. Техника данного приближения вытекает из факта, что формат плавающего числа (по основанию два) аппроксимирует логарифм по основанию 2. То есть,

Так что для 32-битного числа с плавающей запятой в формате IEEE (в котором степень имеет смещение^[en] на 127^[16]) вы можете получить приближённый логарифм путём интерпретации числа как 32-битного целого, умножения его на и вычета смещения 127, то есть

Например, число 1,0 в шестнадцатеричной системе имеет вид 0x3F800000, что можно представить как , если рассматривать его как целое. Используя вышеприведённую формулу вы получите , как и ожидалось от . Аналогичным образом вы получите 0,5 из 1,5 (=0x3FC00000).

Чтобы получить квадратный корень, делим логарифм на 2 и преобразуем результат обратно. Ниже программа демонстрирует идею. Заметим, что младший бит порядка намеренно переводится в мантиссу. Одним из способов обоснования шагов этой программы, в предположении что является смещением степени, а является числом запоминаемых бит в мантиссе, заключается в доказательстве

/* Предполагаем, что плавающее число имеет формат IEEE 754 */
#include <stdint.h>
float sqrt_approx(float z)
{
	union { float f; uint32_t i; } val = {z};	/* Преобразуем тип не меняя битового представления */
	/*
	 * Для обоснования работы кода докажите, что
	 * ((((val.i / 2^m) - b) / 2) + b) * 2^m = ((val.i - 2^m) / 2) + ((b + 1) / 2) * 2^m)
	 * где
	 * b = смещение степени
	 * m = число бит в мантиссе
	 */
	val.i -= 1 << 23;	/* Вычитаем 2^m. */
	val.i >>= 1;		/* Делим на 2. */
	val.i += 1 << 29;	/* Добавляем ((b + 1) / 2) * 2^m. */

	return val.f;		/* Интерпретируем снова как плавающее */
}

Три арифметические операции, образующие ядро функции можно представить в одну строку. Дополнительное уточнение может быть добавлено для уменьшения максимальной относительной ошибки. Таким образом, три операции, не включая приведение к вещественному, можно переписать как

	val.i = (1 << 29) + (val.i >> 1) - (1 << 22) + a;

где a — смещение для уменьшения ошибок аппроксимации. Например, с a = 0 результаты точны для чётных степеней двойки 2 (например, 1,0), но для других чисел результат будет несколько великоват (например, 1,5 для 2,0 вместо 1,414… с ошибкой 6%). При a = −0x4B0D2 максимальная относительная ошибка сокращается до ±3,5%.

Если приближение нужно использовать как начальное значение для метода Ньютона в уравнении , то обратная форма, показанная в следующем разделе, предпочтительнее.

Обратное значение квадратного корня[править | править код]

Вариант описанной выше процедуры представлен ниже и он может быть использован для вычисления обратного к квадратному корню, то есть . Этот вариант написал Грег Уолш. Приближение сдвигом даёт относительную ошибку менее 4% и ошибка уменьшается до 0,15% после одной итерации метода Ньютона^[17]. В компьютерной графике это очень эффективный способ нормализации вектора.

float invSqrt(float x) {
    float xhalf = 0.5f * x;
    union {
        float x;
        int i;
    } u;
    u.x = x;
    u.i = 0x5f375a86 - (u.i >> 1);
    /* Следующая строка может быть повторена произвольное число раз для увеличения точности */
    u.x = u.x * (1.5f - xhalf * u.x * u.x);
    return u.x;
}

Некоторые СБИС реализуют нахождение обратной величины к квадратному корню с помощью полиномиальной оценки с последующей итерацией Голдшмидта^[18].

Корень из отрицательного или комплексного числа[править | править код]

Если , то его главный корень равен

Если , где a и b вещественные числа и , то его главный корень равен

Это можно проверить возведением в квадрат^[19][20]. Здесь

является модулем числа S. Главный корень комплексного числа определяется как корень с неотрицательной вещественной частью.

См. также[править | править код]

• Алгоритм альфа max плюс бета min^[en]
• Целочисленный квадратный корень

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

СсылкиWeisstein, Eric W. Square root algorithms (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.[править | править код]

• Square roots by subtraction
• Integer Square Root Algorithm by Andrija Radović
• Personal Calculator Algorithms I : Square Roots (William E. Egbert), Hewlett-Packard Journal (may 1977) : page 22
• Калькулятор для обучения квадратному корню

Некоторые задачи в математике требуют умения вычислять значение корня квадратного. К таким задачам относится решение уравнений второго порядка. В данной статье приведем эффективный метод вычисления квадратных корней и используем его при работе с формулами корней квадратного уравнения.

Что такое квадратный корень?

В математике этому понятию соответствует символ √. Исторические данные говорят, что он начал использоваться впервые приблизительно в первой половине XVI века в Германии (первый немецкий труд по алгебре Кристофа Рудольфа). Ученые полагают, что указанный символ является трансформированной латинской буквой r (radix означает “корень” на латыни).

Вам будет интересно:Гимназия при Русском музее, Санкт-Петербург: отзывы

Корень из какого-либо числа равен такому значению, квадрат которого соответствует подкоренному выражению. На языке математики это определение будет выглядеть так: √x = y, если y2 = x.

Корень из положительного числа (x > 0) является также числом положительным (y > 0), однако если берут корень из отрицательного числа (x < 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Приведем два простых примера:

√9 = 3, поскольку 32 = 9; √(-9) = 3i, поскольку i2 = -1.

Итерационная формула Герона для нахождения значений корней квадратных

Вам будет интересно:Психология и философия: связь наук, общие понятия, отличия

Приведенные выше примеры являются очень простыми, и вычисление корней в них не представляет никакого труда. Сложности начинают появляться уже при нахождении значений корня для любого значения, которое не может быть представлено в виде квадрата натурального числа, например √10, √11, √12, √13, не говоря уже о том, что на практике необходимо находить корни для нецелых чисел: например √(12,15), √(8,5) и так далее.

Во всех вышеназванных случаях следует применять специальный метод вычисления корня квадратного. В настоящее время таких методов известно несколько: например разложение в ряд Тейлора, деление столбиком и некоторые другие. Из всех известных методов, пожалуй, наиболее простым и эффективным является использование итерационной формулы Герона, которая также известна как вавилонский способ определения квадратных корней (существуют свидетельства, что древние вавилоняне применяли ее в своих практических вычислениях).

Пусть необходимо определить значение √x. Формула нахождения квадратного корня имеет следующий вид:

an+1 = 1/2(an+x/an), где limn->∞(an) => x.

Расшифруем эту математическую запись. Для вычисления √x следует взять некоторое число a0 (оно может быть произвольным, однако для быстрого получения результата следует выбирать его таким, чтобы (a0)2 было максимально близко к x. Затем подставить его в указанную формулу вычисления квадратного корня и получить новое число a1, которое уже будет ближе к искомому значению. После этого необходимо уже a1 подставить в выражение и получить a2. Эту процедуру следует повторять до получения необходимой точности.

Пример применения итерационной формулы Герона

Описанный выше алгоритм получения корня квадратного из некоторого заданного числа для многих может звучать достаточно сложно и запутанно, на деле же оказывается все гораздо проще, поскольку эта формула сходится очень быстро (особенно если выбрано удачное число a0).

Приведем простой пример: необходимо вычислить √11. Выберем a0 = 3, так как 32 = 9, что ближе к 11, чем 42 = 16. Подставляя в формулу, получим:

a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Дальше нет смысла продолжать вычисления, поскольку мы получили, что a2 и a3 начинают отличаться лишь в 5-м знаке после запятой. Таким образом, достаточно было применить всего 2 раза формулу, чтобы вычислить √11 с точностью до 0,0001.

В настоящее время широко используются калькуляторы и компьютеры для вычисления корней, тем не менее отмеченную формулу полезно запомнить, чтобы иметь возможность вручную вычислять их точное значение.

Уравнения второго порядка

Понимание того, что такое корень квадратный, и умение его вычислять используется при решении квадратных уравнений. Этими уравнениями называют равенства с одной неизвестной, общий вид которых приведен на рисунке ниже.

Здесь c, b и a представляют собой некоторые числа, причем a не должно равняться нулю, а значения c и b могут быть совершенно произвольными, в том числе и равными нулю.

Любые значения икса, удовлетворяющие указанному на рисунке равенству, называются его корнями (следует не путать это понятие с квадратным корнем √). Поскольку рассматриваемое уравнение имеет 2-й порядок (x2), то корней для него не может быть больше, чем два числа. Рассмотрим далее в статье, как находить эти корни.

Нахождения корней квадратного уравнения (формула)

Этот способ решения рассматриваемого типа равенств также называется универсальным, или методом через дискриминант. Его можно применять для любых квадратных уравнений. Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

Из нее видно, что корни зависят от значения каждого из трех коэффициентов уравнения. Более того, вычисление x1 отличается от расчета x2 только знаком перед корнем квадратным. Подкоренное выражение, которое равно b2 – 4ac, является не чем иным, как дискриминантом рассматриваемого равенства. Дискриминант в формуле корней квадратного уравнения играет важную роль, поскольку он определяет число и тип решений. Так, если он равен нулю, то решение будет всего одно, если он положительный, то уравнение обладает двумя действительными корнями, наконец, отрицательный дискриминант приводит к двум комплексным корням x1 и x2.

Теорема Виета или некоторые свойства корней уравнений второго порядка

В конце XVI века один из основоположников современной алгебры француз Франсуа Виет, изучая уравнения второго порядка, смог получить свойства его корней. Математически их можно записать так:

x1 + x2 = -b / a и x1 * x2 = c / a.

Оба равенства легко может получить каждый, для этого необходимо лишь выполнить соответствующие математические операции с корнями, полученными через формулу с дискриминантом.

Совокупность этих двух выражений можно по праву назвать второй формулой корней квадратного уравнения, которая предоставляет возможность угадывать его решения, не используя при этом дискриминант. Здесь следует оговориться, что хотя оба выражения справедливы всегда, применять их для решения уравнения удобно только в том случае, если оно может быть разложено на множители.

Задача на закрепление полученных знаний

Решим математическую задачу, в которой продемонстрируем все приемы, обсуждаемые в статье. Условия задачи следующие: необходимо найти два числа, для которых произведение равно -13, а сумма составляет 4.

Это условие сразу напоминает о теореме Виета, применяя формулы суммы квадратных корней и их произведения, записываем:

x1 + x2 = -b / a = 4;

x1 * x2 = c / a = -13.

Если предположить, что a = 1, тогда b = -4 и c = -13. Эти коэффициенты позволяют составить уравнение второго порядка:

x2 – 4x – 13 = 0.

Воспользуемся формулой с дискриминантом, получим следующие корни:

x1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 – 4 * 1 * (-13) = 68.

То есть задача свелась к нахождению числа √68. Заметим, что 68 = 4 * 17, тогда, используя свойство квадратного корня, получим: √68 = 2√17.

Теперь воспользуемся рассмотренной формулой квадратного корня: a0 = 4, тогда:

a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

В вычислении a3 нет необходимости, поскольку найденные значения отличаются всего на 0,02. Таким образом, √68 = 8,246. Подставляя его в формулу для x1,2, получим:

x1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x2 = (4 – 8,246)/2 = -2,123.

Как видим, сумма найденных чисел действительно равна 4, если же найти их произведение, то оно будет равно -12,999, что удовлетворяет условию задачи с точностью до 0,001.