Простые и составные числа, НОД и НОК
Тема простых чисел, общих делителей и кратных даёт простор для озадачивания юных математиков посильным и остроумным счётом. А матёрым математическим мастодонтам — простор для исследований, которые далеки от завершения.
Натуральный ряд
Натуральные числа означают количество целых предметов: 1, 2, 3, 4, 5 … Натуральный ряд бесконечен. Сумма двух натуральных чисел — это натуральное число. Произведение двух натуральных чисел — это натуральное число.
Простые числа
Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на единицу.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Простых чисел бесконечно много (это утверждение доказано в отдельном уроке).
Составные числа
Составные числа — делятся на другие числа ( другими словами — представляются в виде произведения своих делителей).
24 = 2 × 2 × 2 × 3
25 = 5 × 5
26 = 2 × 13
27 = 3 × 3 × 3
28 = 2 × 2 × 7
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких данных чисел — это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.
НОД(3;7) = 1
НОД(12;8) = 4
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких данных чисел — это наименьшее число, которое делится на все данные числа.
НОК(3;7) = 21
НОК(12;8) = 24
Взаимно простые числа
Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель = 1.
Что значит разложить число на простые множители?
Составное число можно по-разному разложить на множители
12 = 3 × 4 или 12 = 6 × 2,
потому что 4 делится и 6 делится. Но существует только одно разложение на простые множители
12 = 2 × 2 × 3,
потому что 2 и 3 уже дальше не делятся.
Как найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел?
Чтобы найти НОД нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и общие множители перемножить.
НОД(96;150) = 6
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
3 и 2 — это общие множители
3 × 2 — это наибольший общий множитель.
НОД(72;60) = 12
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
3 и 2 и 2 — это общие множители
3 × 2 × 2 — это наибольший общий множитель.
Как найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел?
Чтобы найти НОК нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и множители одного числа домножить на недостающие множители из других чисел.
НОК(96;150)=2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2 — не делится на 96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, поэтому к 150 припишем недостающие четыре двойки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 — не делится на 150 = 5 × 5 × 3 × 2, поэтому к 96 припишем недостающие две пятёрки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400
НОК(72;60) = 360
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 не делится на 60, поэтому к 72 припишем недостающую 5 — получится 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 360
60 = 5 × 3 × 2 × 2 не делится на 72, поэтому к 60 припишем недостающие 3 × 2 — получится 5 × 3 × 2 × 2 × 3 × 2 = 360
НОД двух чисел можно найти разными методами. Здесь рассмотрим пример как найти нод двух составных чисел.
Найдем нод чисел 168 и 756.
НОД чисел 168 и 756
Как найти нод двух чисел?
Сначала разложим числа на множители, после чего найдем НОД чисел.
Числа 168 и 756 являются составными.
Найдем чисел НОД 168 и 756 по шагам.
1. Разложить на простые множители число 756:
| 756 | 2 |
| 378 | 2 |
| 189 | 3 |
| 63 | 3 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Разложение на простые множители числа 756:
756 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7
2. Разложить на простые множители число 168:
| 168 | 2 |
| 84 | 2 |
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Разложение на простые множители числа 168:
168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7
3. Найдем общие множители в разложениях чисел 168 и 756:
756 –> (2, 2, 3, 3, 3, 7)
168 –> (2, 2, 2, 3, 7)
Общие
(2, 2, 3, 7)
4. Произведение совпадающих множителей есть нод чисел 168 и 756:
2 * 2 * 3 * 7 = 84
Ответ: нод чисел 168 и 756 есть число 84:
НОД(756, 168) = 84
Проверим, делятся ли нацело числа 168 и 756 на нод 84:
756 : 84 = 9
168 : 84 = 2
Делимость
До того как начать разбирать эти две аббревиатуры, рассмотрим сначала понятие делимости. Что значит фраза “число А делится на число Б”? Например, 24 делится на 6. И что значит “не делится”? Например, 27 не делится на 2.
Когда мы говорим о делимости, то речь идет о целочисленном делении целых чисел. И делимость означает, что число делится на делитель нацело, без остатка.
24 делится на 6, частное равно 4, а остаток нулю.
27 не делится на 2, частное равно 13, а остаток равен одному.
Признаки делимости
Проверить, делится ли одно число на заданное, можно просто выполнив деление. Но если число большое, а результат самого деления нам не так чтобы нужен? Можно ли не находя частное, определить, делится ли число?
Существуют несколько признаков делимости, когда по внешнему вида числа мы можем определить, делится ли оно на заданное. Рассмотрим только некоторые из них, те, которые легко проверяются.
По последней цифре
Число делится на 2, если его последняя цифра – четная.
Число делится на 5, если его последняя цифра – 5 или 0.
Число делится на 10, если его последняя цифра – 0.
Например, 234 делится на 2, так как 4 – четная.
235 делится на 5, так как последняя цифра – 5.
190 делится на 10 и на 5, так как последняя цифра – 0.
По сумме цифр числа
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.
Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.
Например, 393 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 3+9+3=15 делится на 3.
180 делится на 9, так как сумма цифр этого числа 1+8+0=9 делится на 9.
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.
Например, 36 делится на 2 (6 четная) и на 3 (3+6=9 – делится на 3), поэтому оно делится на 6.
Простые и составные числа
Среди натуральных чисел выделяют такие числа, которые делятся только на 1 и на самого себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа, имеющие больше двух делителей, называют составными. Отдельно выделяют 1, у нее только один делитель.
Пример простого числа – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. Существуют специальные таблицы простых чисел, но многие проблемы простых чисел до сих пор не решены.
Разложение на простые множители
Для составных чисел можно найти такие множители, которые будут только простыми числами, а произведение этих множителей будет равно исходному числу.
Например, 24=2*2*2*3.
Это произведение и называется разложением на простые множители. Если множители отсортированы по возрастанию, то для каждого конкретного числа это разложение будет единственным.
Для построения такого разложения существует четкий алгоритм.
- Записываем в левый столбец исходное число, проводим вертикальную черту, отделяя правый столбец.
- Проверяем, делится ли число на 2. Если да, то записываем 2 в правый столбец, в левый столбец в следующей строке записываем кратное исходного числа и 2.
- Проверяем, делится ли полученное число на 2, если да, то действуем как в пункте 2.
- Если нет, то проверяем, делится ли наше число на 3. Если да, то 3 записываем в правый столбец, а в левый столбец строчкой ниже пишем кратное от деления на 3 и переходим к пункту 3.
- Если число не делится на 3, то переходим к следующему числу в списке простых чисел – 5.
- Каждый раз начинаем проверку делимости с 2, постепенно переходя к все большим и большим простым числам, если это необходимо.
- Так действуем до тех пор, пока число в левом столбце не станет равно 1. Тогда останавливаемся.
- В правом столбце у нас записаны все простые множители числа.
Наибольший общий делитель
НОД или наибольший общий делитель для нескольких чисел – это такое наибольшее число, на которое делятся все эти числа.
Например, НОД(12, 18)=6.
Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОД. Выписываем совпадающие множители, их произведение и даст нам НОД.
Наименьшее общее кратное
НОК или наименьшее общее кратное нескольких чисел – это такое наименьшее число, которое делится на все эти числа.
Например, НОК(4, 6)=12.
Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОК. К множителям меньшего числа дописываем несовпадающие множители. Это произведение и даст нам НОК.
Взаимно простые числа
Если у двух составных чисел нет общих простых множителей, то такие числа называются взаимно простыми. НОК таких чисел равен их произведению, а НОД равен 1.
➤ Понятие: делители и кратные чисел
Делитель — это число, на которое нужно разделить.
Пример 1. В выражении 21 : 7 = 3, делителем является число 7, потому что число 21 делится на число 7 без остатка).
Пример 2. Число 12 делится без остатка на числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Поэтому все эти числа являются делителями числа 12.
Кратное — это число, которое без остатка делится на другое число.
Пример 1. Число 6 делится на 3 без остатка. Поэтому 6 является кратным числа 3.
Пример 2. Кратными числа 5 являются числа 5, 10, 15, 20, 25 и т.д.. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка. У любого числа бесконечно много кратных.
➤ Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя. Значит, число 5 является простым числом.
Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Составным называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него более 2 делителей: 1, 2 и 4. Значит, число 4 является составным числом.
➤ Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 2
Любое четное число делится на 2.
- Четным называется число, которое делится без остатка на 2 (например, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и т.д.)
- Нечетным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1 (например, 1, 3, 5, 7, 9 и т.д.)
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10.
Признак делимости на 5
Любое число, которое оканчивается на 0 или 5, делится на 5.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27. Сумма его цифр равна 9 (2 + 7 = 9). Девять делится на 3, значит 27 делится на 3.
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр равна 9 (1 + 8 = 9). Девять делится на девять, значит 18 делится на 9.
➤ Разложение составного числа на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители, то есть представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Например: 18 = 2 × 3 × 3, 210 = 2 × 3 × 5 × 7
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например: 180 = 18 × 10 = 3×6 × 5×2 = 3 × 2×3 × 5×2.
Удобно раскладывать составное число на простые множители по схеме: проводится вертикальная линия. Слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители. При разложении числа этим способом, используют признаки делимости.
Когда в итоге получена единица, деление завершается. При этом нужно проверить, чтобы делители, записанные справа от вертикальной линии, были простыми числами.
➤ Нахождение делителей числа
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим пример.
Пример 1. Найти делители числа 12.
Чтобы понять, как эти получаются делители, разложим число 12 на простые множители: 12=2×2×3.
Таким образом, мы получили делители числа 12: 1, 2, 3 и 12.
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой: 2×2=4, 2×3=6.
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.
На основании примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:
- записать в качестве первого делителя единицу;
- разложить исходное число на простые множители;
- найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой.
➤ НОД — наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b — это наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Пример. Найдем НОД для чисел 18 и 24.
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей.
Чтобы найти НОД, нужно разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них:
1) 18 = 2 × 3 × 3
2) 24 =2 × 2 × 2 × 3
Перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить: 2 × 3 = 6
Получаем: НОД (24, 18) = 6
Наибольший общий делитель можно также находить для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого все числа раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например. Найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
1) 18 = 2 × 3 × 3
2) 24 =2 × 2 × 2 × 3
3) 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Общие множители для чисел 18, 24 и 36 — это 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения.
Получаем: НОД (24, 18, 36) = 6
➤ НОК — наименьшее общее кратное.
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это самое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.
Пример. Найдем НОК для чисел 9 и 12.
Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое делится на 9 и 12.
Чтобы найти НОК, нужно разложить оба числа на простые множители.
1) 9 = 3 × 3
2) 12=2 × 2 × 3
Затем выписываются все множители, входящие в первое разложение (3 × 3) и добавляют недостающие множители из второго разложения (2 × 2). Полученные множители перемножают и получают НОК.
Получаем: 3 × 3 × 2 × 2 = 36 ➤ НОК (9, 12) = 36
На сайте также есть калькулятор для нахождения НОД и НОК (для самоконтроля).
Математика
Тестирование онлайн
Деление
Представим деление в буквенном виде a:b=с. Число a – делимое (или кратное) числа b, число b – делитель числа а, число с – частное чисел а и b.
Деление – это обратное умножению математическое действие. Если сb=а.
Простые и составные числа
Число называется простым, если его делителями (деление без остатка) являются только единица и само это число. Например, 2, 3, 5, 13, 29 и др.
Число, имеющее более двух делителей (кроме 1 и самого числа), называется составным. Например, 4, 6, 15 и др.
Само число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.
Теорема арифметики: любое составное натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Например,
Говорят, что число 12 разложено на простые множители.
Признаки делимости чисел
На 2 делятся числа, оканчивающиеся нулем или четной цифрой. Например, 526, 1002, 600.
На 5 делятся числа, оканчивающиеся нулем или цифрой 5. Например, 1005, 200.
На 4 (или 25) делятся только те числа, у которых две последние цифры – нули или выражают число, делящееся на 4 (или 25). Например, 700, 216, 4325.
На 3 (на 9) делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (на 9). Например, 171 (1+7+1=9), 837 (8+3+7=18)
На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем. Например, 1020, 50, 400.
Признак делимости суммы: если каждое из слагаемых a и b делится на некоторое число c, то и сумма a+b делится на это число c.
Наибольший общий делитель
Наибольшее из натуральных чисел, на которое делятся числа a и b.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно:
1) разложить эти числа на простые множители;
2) подчеркнуть в этих разложениях все общие множители;
3) вычислить подчеркнутое произведение
Например, найти НОД(385; 1694)
Два числа, НОД которых равен 1, называют взаимно простыми. Например, 15 и 22 – взаимно простые числа.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее из натуральных чисел, которое делится на числа a и b.
Чтобы найти НОК нескольких чисел, можно:
1) Разложить эти числа на простые множители;
2) выписать разложение первого числа;
3) дополнить его недостающими множителями второго числа, третьего и т.д.;
4) вычислить полученное произведение.
Например, найти НОК(24; 180; 14)
НОК двух простых чисел равно их произведению. Например, НОК(3;7)=21
