Как найти неопределенный интеграл с дробью – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Задача
нахождения неопределенного интеграла
дробно рациональной функции сводится
к интегрированию простейших дробей.
Поэтому рекомендуем для начала
ознакомиться с разделом теории разложение
дроби на простейшие.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Так
как степень числителя подынтегральной
функции равна степени знаменателя, то
для начала выделяем целую часть,
проводя деление
столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение
полученной правильной рациональной
дроби на
простейшие дроби имеет вид.
Следовательно,

Полученный
интеграл представляет собой интеграл
простейшей дроби третьего типа. Забегая
немного вперед, отметим, что взять его
можно методом подведения
под знак дифференциала.

Так
как ,
то.
Поэтому

Следовательно,

Теперь
перейдем к описанию методов интегрирования
простейших дробей каждого из четырех
типов.

Интегрирование
простейших дробей первого типа

Для
решения этой задачи идеально подходит метод
непосредственного интегрирования:

Пример.

Найти
множество первообразных функции

Решение.

Найдем
неопределенный интеграл ,
используя свойства первообразной,
таблицу первообразных и правило
интегрирования.

К
началу страницы

Интегрирование
простейших дробей второго типа

Для
решения этой задачи также подходит
метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Найдите
неопределенный интеграл .

Решение.

К
началу страницы

Интегрирование
простейших дробей третьего типа

Для
начала представляем неопределенный
интеграл в
виде суммы:

Первый
интеграл берем методом подведения под
знак дифференциала:

Поэтому,

У
полученного интеграла преобразуем
знаменатель:

Следовательно,

Формула
интегрирования простейших дробей
третьего типа принимает вид:

Пример.

Найдите
неопределенный интеграл .

Решение.

Используем
полученную формулу:

Если
бы у нас не было этой формулы, то как бы
мы поступили:

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый
шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй
шаг – нахождение интеграла вида .
Интегралы подобного вида находятся с
использованием рекуррентных формул.
(Смотрите разделинтегрирование
с использованием рекуррентных формул).
Для нашего случая подходит следующая
рекуррентная формула:

Пример.

Найдите
неопределенный интеграл

Решение.

Для
данного вида подынтегральной функции
используем метод подстановки. Введем
новую переменную (смотрите
раздел интегрирование
иррациональных функций):

После
подстановки имеем:

Пришли
к нахождению интеграла дроби четвертого
типа. В нашем случае имеем коэффициенты М
= 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n
= 3.
Применяем рекуррентную формулу:

После
обратной замены получаем
результат:

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Множество
задач сводится к нахождению интегралов
трансцендентных функций, содержащих
тригонометрические функции. В данной
статье сгруппируем наиболее часто
встречающиеся виды подынтегральных
функций и на примерах рассмотрим методы
их интегрирования.

Начнем
с интегрирования синуса, косинуса,
тангенса и котангенса.

Из
таблицы первообразных сразу заметим,
что и.

Метод
подведения под знак дифференциалапозволяет
вычислить неопределенные интегралы
функций тангенса и котангенса:

К
началу страницы

Поясним,
как были найдены формулы и,
находящиеся в таблице первообразных.

Разберем
первый случай, второй абсолютно
аналогичен.

Воспользуемся методом
подстановки:

Пришли
к задаче интегрирования
иррациональной функции. Здесь нам
также поможет метод подстановки:

Осталось
провести обратную замену иt
= sinx:

К
началу страницы

Отдельно
хочется остановиться на интегралах,
содержащих степени тригонометрических
функций, вида .

Подробно
о принципах их нахождении можете
ознакомиться в разделеинтегрирование
с использованием рекуррентных формул.
Если изучите вывод этих формул, то без
особого труда сможете брать интегралы
вида,
гдеm и n –
натуральные числа.

К
началу страницы

Когда
тригонометрические функции идут в
комбинациях с многочленами или
показательными функциями, то
применяется метод
интегрирования по частям. В этом
разделе даны рекомендации для нахождения
интегралов,.

К
началу страницы

Максимум
творчества приходится вкладывать,
когда подынтегральная функция содержит
тригонометрические функции с различными
аргументами.

Здесь
на помощь приходят основные формулы
тригонометрии. Так что выписывайте их
на отдельный листочек и держите перед
глазами.

Пример.

Найти
множество первообразных функции .

Решение.

Формулы
понижения степени дают и.

Поэтому

Знаменатель
представляет собой формулу синуса
суммы, следовательно,

Приходим
к сумме трех интегралов.

К
началу страницы

Подынтегральные
выражения, содержащие тригонометрические
функции, иногда можно свести к дробно
рациональным выражениям, используя
стандартную тригонометрическую
подстановку.

Выпишем
тригонометрические формулы, выражающие
синус, косинус, тангенс через тангенс
половинного аргумента:

При
интегрировании нам также понадобится
выражение дифференциала dx через
тангенс половинного угла.

Так
как ,
то

То
есть, ,
где.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Применим
стандартную тригонометрическую
подстановку:

Таким
образом, .

Разложение
на простейшие дробиподынтегральной
функции приводит нас к сумме двух
интегралов:

Осталось
провести обратную замену :

11.
Рекуррентные формулы – это формулы,
выражающие n-ый
член последовательности через предыдущие
члены. При нахождении интегралов они
не редко используются.

Мы
не ставим целью перечислить все
рекуррентные формулы, а хотим дать
принцип их получения. Вывод этих формул
основан на преобразовании подынтегральной
функции и применении метода
интегрирования по частям.

К
примеру, неопределенный интеграл можно
взять, используя рекуррентную формулу.

Вывод
формулы :

Используя
формулы тригонометрии, можно записать:

Полученный
интеграл найдем методом интегрирования
по частям. В качестве функции u(x)возьмем cosx,
следовательно, .

Поэтому,

Возвращаемся
к исходному интегралу:

То
есть,

Что
и требовалось показать.

Аналогично
выводятся следующие рекуррентные
формулы:

Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула,n –
натуральное число.
Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула.
Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула.
Для
нахождения интегралов вида используется
рекуррентная формула.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Используем
рекуррентную формулу из четвертого
пункта (в нашем примере n
= 3):

Так
как из таблицы первообразных имеем ,
то

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Интегрирование рациональных функций — операция взятия неопределённого интеграла от рациональной функции. Известно, что первообразная рациональной функции выражается в виде суммы рациональных функций, натуральных логарифмов и арктангенсов.^[1] Обычно такое интегрирование выполняется при помощи разложения дроби на простейшие, однако иногда могут использоваться и другие способы, например метод Остроградского.

Разложение на простейшие[править | править код]

Самым известным способом интегрирования рациональной функции является разложение дроби на простейшие. Впервые оно было использовано Исааком Барроу для вычисления интеграла от секанса.^[2]

Из алгебры известно, что любую рациональную функцию можно представить как сумму многочлена и конечного числа дробей определённого вида, называемых простейшими. Простейшая дробь над действительными числами — это дробь одного из следующих двух видов:

Каждая из таких дробей затем интегрируется отдельно. Таким образом, разложение дроби на простейшие сводит задачу интегрирования произвольной рациональной функции к интегрированию простейших дробей.^[3]

Разложение дроби на простейшие строится следующим образом. Пусть требуется построить разложение дроби ${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}}$ . Без ограничения общности можно считать, что дробь несократимая и знаменатель имеет коэффициент $1$ при старшей степени (если это не так, то сократим дробь и внесём старший коэффициент знаменателя в числитель). Правильная дробь в своём разложении на простейшие содержит только сумму правильных дробей, неправильная же ещё и многочлен. Однако случай неправильной дроби довольно просто сводится к случаю правильной. Для этого используют приём, называемый выделением целой части: числитель дроби делят с остатком на знаменатель; полученное в результате деления неполное частное $G(x)$ и остаток $R(x)$ позволяют представить изначальную дробь в виде ${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{frac {R(x)}{Q(x)}}}$ . Дробь ${displaystyle {frac {R(x)}{Q(x)}}}$ уже является правильной и может быть разложена в сумму одних только простейших дробей. Если же дробь ${displaystyle {frac {P(x)}{Q(x)}}}$ изначально была правильной, то этот шаг делать не нужно.

Разложение правильной дроби может иметь лишь простейшие слагаемые определённого вида, который зависит только от многочлена $Q(x)$ . Как известно, любой приведённый многочлен над действительными числами может быть разложен в произведение приведённых линейных двучленов и приведённых квадратных трёхчленов с отрицательными дискриминантами. Разложим знаменатель дроби в такое произведение:

${displaystyle Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}...(x-x_{l})^{k_{l}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{m_{1}}...(x^{2}+p_{n}x+q_{n})^{m_{n}}}$ (здесь $k_j$ и $m_{j}$ — кратности соответствующих множителей, то есть количество раз, которое множитель входит в произведение).

Все простейшие дроби в разложении содержат в знаменателе степень одного из таких множителей, причём эта степень меньше или равна кратности соответствующего множителя. К примеру: если в разложении $Q(x)$ содержится множитель ${displaystyle (x-x0)^{k}}$ , то в разложении на простейшие дроби содержится сумма

${displaystyle {frac {A_{1}}{x-x_{0}}}+{frac {A_{2}}{(x-x_{0})^{2}}}+{frac {A_{3}}{(x-x_{0})^{3}}}+...+{frac {A_{k}}{(x-x_{0})^{k}}}}$

Аналогично, если в разложении $Q(x)$ содержится множитель ${displaystyle (x^{2}+px+q)^{m}}$ , то в разложении на простейшие дроби содержится сумма

${displaystyle {frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}}+...+{frac {B_{m}x+C_{m}}{(x^{2}+px+q)^{m}}}}$

Общий вид разложения правильной дроби на простейшие представляет сумму всех таких сумм для каждого множителя в разложении многочлена $Q(x)$ . Таким образом, общий вид разложения на простейшие

${displaystyle {frac {R(x)}{Q(x)}}=sum _{j=1}^{l}sum _{i=1}^{k_{j}}{frac {A_{ji}}{(x-x_{j})^{i}}}+sum _{j=1}^{n}sum _{i=1}^{m_{j}}{frac {B_{ji}x+C_{ji}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{i}}}}$

При этом некоторые слагаемые могут быть равны нулю.

Общий вид разложения дроби нужен для наиболее известного способа разложения дроби на простейшие — метода неопределённых коэффициентов. Его суть заключается в составлении уравнений на неизвестные коэффициенты разложения. Записывается равенство правильной дроби и её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами. Затем каким-либо способом составляются уравнения на эти коэффициенты и система из уравнений решается.^[4]

Наиболее очевидный способ составления уравнений — это умножить обе части на многочлен $Q(x)$ и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ .
Процедуру разложения на простейшие дроби проще всего описать на примерах.

Пример 1. Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}}$ .
Записываем общий вид её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}={frac {A}{x-1}}+{frac {B}{(x-1)^{2}}}+{frac {C}{x-2}}}$

Умножаем на $Q(x)$

${displaystyle 1=A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^{2}}$

Раскрываем скобки

${displaystyle 1=Ax^{2}-2Ax-Ax+2A+Bx-2B+Cx^{2}-2Cx+C}$

${displaystyle 1=Ax^{2}+Cx^{2}-3Ax+Bx-2Cx+2A-2B+C}$

${displaystyle 1=(A+C)x^{2}+(-3A+B-2C)x+(2A-2B+C)}$

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

${displaystyle {begin{cases}A+C=0,\-3A+B-2C=0,\2A-2B+C=1;end{cases}}}$

Получили систему уравнений. Решаем её. Из первого уравнения:

${displaystyle A=-C}$

Подставляем во второе и третье

${displaystyle {begin{cases}3C+B-2C=0,\-2C-2B+C=1;end{cases}}}$

${displaystyle {begin{cases}C+B=0,\-C-2B=1;end{cases}}}$

Складываем уравнения

${displaystyle -B=1}$

${displaystyle B=-1}$

Из первого уравнения последней системы:

${displaystyle C=-B=1}$

Из полученного в начале соотношения на $A$

${displaystyle A=-C=-1}$

Все коэффициенты разложения найдены.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=-{frac {1}{x-1}}-{frac {1}{(x-1)^{2}}}+{frac {1}{x-2}}}$

Пример 2. Подстановка корней знаменателя

Уравнения получаемые простым приравниваем коэффициентов при одинаковых степенях часто довольно сложные. Для получения более простых уравнений часто используют подстановки вместо $x$ определённых значений.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={frac {A}{x-1}}+{frac {B}{(x-1)^{2}}}+{frac {C}{(x-1)^{3}}}+{frac {D}{x-2}}}$

Умножаем на $Q(x)$

${displaystyle 1=A(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-2)+D(x-1)^{3}}$

Удобнее всего подставлять значения, обнуляющие слагаемые. Подставим 1.

${displaystyle 1=-C}$

${displaystyle C=-1}$

Подставим 2.

${displaystyle 1=D}$

Подстановка корней знаменателя помогает очень легко находить коэффициенты дробей со старшей степенью в знаменателе. Если мы бы приравнивали коэффициенты при равных степенях, уравнения бы были гораздо сложнее. Однако, как видно из примера, для нахождения остальных коэффициентов нужно использовать другие приёмы.

Для нахождения коэффициента при первой степени знаменателя можно использовать подстановку бесконечности.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={frac {A}{x-1}}+{frac {B}{(x-1)^{2}}}-{frac {1}{(x-1)^{3}}}+{frac {1}{x-2}}}$

Умножим обе части на $x-1$

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=A+{frac {B}{x-1}}-{frac {1}{(x-1)^{2}}}+{frac {x-1}{x-2}}}$

Подставим бесконечность. Под подстановкой бесконечности здесь понимается предел при стремлении $x$ к бесконечности, то есть

${displaystyle {frac {F(x)}{H(x)}}{Bigg |}_{x=infty }=lim _{xto infty }{frac {F(x)}{H(x)}}}$

В свою очередь предел при стремлении аргумента к бесконечности очень просто определяется: если степень числителя больше степень знаменателя, то предел — $infty$ , если меньше, то предел — 0, если равна, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Вернёмся к нашему примеру. Подставим бесконечность.

${displaystyle 0=A+1}$

${displaystyle A=-1}$

Оставшийся коэффициент можно найти приравниванием коэффициента при одинаковой степени $x$ , содержащего $B$ . Проще всего будет приравнять свободные члены, поскольку их можно посчитать сразу без долгого раскрытия скобок.

${displaystyle 1=-(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)-1(x-2)+(x-1)^{3}}$

Приравниваем свободные члены.

${displaystyle 1=2+2B+2-1}$

${displaystyle 2B=-2}$

${displaystyle B=-1}$

Все коэффициенты найдены.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}=-{frac {1}{x-1}}-{frac {1}{(x-1)^{2}}}-{frac {1}{(x-1)^{3}}}+{frac {1}{x-2}}}$

Последний приём также довольно удобен на практике: старший и свободный член легко получить без раскрытия скобок, поэтому этот приём применяется наряду с подстановками.

Пример 3. Подстановка комплексных корней знаменателя

Корни многочленов с отрицательным дискриминантом не являются действительными. Однако ничего не мешает подставить в уравнение комплексный корень.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={frac {A}{x-1}}+{frac {Bx+C}{(x^{2}+1)}}+{frac {Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Умножим на знаменатель.

${displaystyle 1=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)(x^{2}+1)(x-1)+(Dx+E)(x-1)}$

Подставляем $1$ .

${displaystyle 1=4A}$

${displaystyle A={frac {1}{4}}}$

Подставим $i$ .

${displaystyle 1=(Di+E)(i-1)}$

А теперь приравняем действительную и мнимую часть чтобы получить уравнение с действительными числами.

${displaystyle 1=-D-Di+Ei-E}$

${displaystyle {begin{cases}1=-D-E\0=-D+Eend{cases}}}$

${displaystyle -2D=1}$

${displaystyle D=-{frac {1}{2}}}$

${displaystyle E=D=-{frac {1}{2}}}$

Подстановка сопряжённого корня $-i$ после приравнивания действительной и мнимой части даст те же самые уравнения, поэтому для нахождения оставшихся коэффициентов она не имеет смысла.

Коэффициент $C$ найдём приравниванием свободных членов.

${displaystyle 1={frac {1}{4}}-C+{frac {1}{2}}}$

${displaystyle C=-{frac {1}{4}}}$

Коэффициент $B$ найдём подстановкой бесконечности.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={frac {displaystyle {frac {1}{4}}}{x-1}}+{frac {Bx-displaystyle {frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)}}+{frac {-displaystyle {frac {1}{2}}x-displaystyle {frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Умножаем на $x-1$ .

${displaystyle {frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}={frac {1}{4}}+{frac {left(Bx-displaystyle {frac {1}{4}}right)(x-1)}{(x^{2}+1)}}+{frac {left(-displaystyle {frac {1}{2}}x-displaystyle {frac {1}{2}}right)(x-1)}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Подставляем бесконечность.

${displaystyle 0={frac {1}{4}}+B}$

${displaystyle B=-{frac {1}{4}}}$

Все коэффициенты найдены.

${displaystyle {frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={frac {displaystyle {frac {1}{4}}}{x-1}}+{frac {-displaystyle {frac {1}{4}}x-displaystyle {frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)}}+{frac {-displaystyle {frac {1}{2}}x-displaystyle {frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Вообще подставлять можно абсолютно любое значение, не обязательно корень знаменателя или бесконечность. В особо трудных случаях это может быть проще, чем рассчёт и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $x$ .

Пример 4. Разложение простыми преобразованиями

Иногда разложение на простейшие можно получить просто преобразовывая выражения.
${displaystyle {frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={frac {x^{2}-(x^{2}+1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{frac {1}{x(x^{2}+1)}}={frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{frac {(x^{2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{frac {1}{x}}+{frac {x}{x^{2}+1}}}$

Пример 5. Метод прикрытия Хевисайда и метод вычетов

Таким образом, задача была сведена к интегрированию простейших дробей.

Табличные интегралы[править | править код]

Несколько интегралов от рациональных функций принято запоминать, чтобы далее сводить к ним более сложные.^[6]

Последние 2 интегралы называются высокими логарифмами и их запоминание не обязательно, поскольку они могут быть сведены разложением дроби на простейшие ко второму интегралу. Интеграл от многочлена, который появляется после разложения на простейшие неправильной дроби, может быть сразу рассчитан при помощи первой формулы.

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {1}{(ax+b)^{k}}}}$ [править | править код]

Дроби такого вида интегрируются простым занесением линейного двучлена под дифференциал.^[7]

${displaystyle int {{frac {1}{(ax+b)^{k}}}dx}={frac {1}{a}}int {{frac {1}{(ax+b)^{k}}}d(ax+b)}}$

В зависимости от значения $k$ мы свели интеграл к случаю 1 или 2.

Если $k=1$ , то

${displaystyle {frac {1}{a}}int {{frac {1}{ax+b}}d(ax+b)}={frac {1}{a}}ln {|ax+b|}+C}$

Если $k>1$ , то

${displaystyle {frac {1}{a}}int {{frac {1}{(ax+b)^{k}}}d(ax+b)}={frac {1}{a(-k+1)(ax+b)^{k-1}}}+C}$

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}$ [править | править код]

Сначала рассмотрим дробь вида ${displaystyle {frac {1}{rx^{2}+px+q}}}$ .

${displaystyle int {frac {1}{rx^{2}+px+q}}dx}$

Для интегрирования таких дробей применяется выделение полного квадрата знаменателя.^[8] Прибавим к ${displaystyle rx^{2}+px}$ такое число, чтобы образовался квадрат суммы. Свернём полученное выражение в квадрат линейного двучлена. Прибавленное число вычтем из $q$ , чтобы выражение не изменилось. Получим представление квадратного трёхчлена в виде ${displaystyle (cx+d)^{2}+e}$ . Полученный линейный двучлен занесём под дифференциал:

${displaystyle int {frac {1}{rx^{2}+px+q}}dx=int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}dx={frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)}$

Мы свели интеграл к табличному; конкретный табличный интеграл определяется знаком $e$ .
Если $e>0$ , то обозначим ${displaystyle h={sqrt {e}}}$ :

${displaystyle {frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)={frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+h^{2}}}d(cx+d)={frac {1}{ch}}operatorname {arctg} {frac {cx+d}{h}}+C}$

Если ${displaystyle e<0}$ , то обозначим ${displaystyle h={sqrt {-e}}}$ :

${displaystyle {frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)={frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}-h^{2}}}d(cx+d)={frac {1}{2ch}}ln {left|{frac {cx+d-h}{cx+d+h}}right|}+C}$

Если $e=0$ , то:

${displaystyle {frac {1}{c}}int {frac {1}{(cx+d)^{2}}}d(cx+d)=-{frac {1}{c}}int {frac {1}{cx+d}}+C}$

Для интегрирования дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}$ в числителе выделяется производная знаменателя.^[8] Берётся производная знаменателя, умножается на некоторое число так, чтобы при $x$ получилось $a$ и затем прибавляется значение, чтобы получилось b.

Производная числителя есть ${displaystyle 2rx+p}$ . Мы умножаем её на такое число, чтобы при x получилось $a$ .

${displaystyle s(2rx+p)=ax+p}$ .

Затем прибавляем такое число, чтобы это выражение стало равно числителю.

${displaystyle sleft(2rx+pright)+h=ax+b}$

В таком виде и записываем числитель в интеграле.

${displaystyle int {frac {s(2rx+p)+h}{rx^{2}+px+q}}dx=int {frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}dx+int {frac {h}{rx^{2}+px+q}}dx}$

Второй интеграл уже был рассмотрен в предыдущем пункте. Осталось взять первый. Так как в числителе стоит производная знаменателя, мы без труда можем занести знаменатель под дифференциал.

${displaystyle int {frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}dx=sint {frac {1}{rx^{2}+px+q}}d(rx^{2}+px+q)=sln {|rx^{2}+px+q|}}$

Описанный метод интегрирования работает для любой дроби с квадратным трёхчленом в знаменателе, а не только с отрицательным дискриминантом. Таким образом, для дробей с двучленом с положительным дискриминантом мы рассмотрели два способа интегрирования.

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}$ [править | править код]

Дробь ${displaystyle {frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}$ интегрируется также с помощью выделения в числителе производной знаменателя.

${displaystyle int {frac {s(rx^{2}+px+q)'+g}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}dx=sint {frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}+gint {frac {1}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}dx}$

Левый интеграл является табличным:

${displaystyle int {frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}={frac {1}{(-m+1)(rx^{2}+px+q)^{m-1}}}}$

Правый же интеграл является самым сложным из рассмотренных здесь. Сразу же выделим полный квадрат в знаменателе. Задача сводится к взятию следующего интеграла:

${displaystyle int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{m}}},dx}$

Рассмотрим два способа его взятия.

Рекуррентное соотношение[править | править код]

Обозначим ${displaystyle I_{k}=int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},dx}$ . Для $I_{k}$ можно составить рекуррентное соотношение. Будем брать интеграл по частям:

${displaystyle I_{k}=int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},dx={frac {1}{c}}int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},d(cx+d)={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}-{frac {1}{c}}int (cx+d),dleft({frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}right)={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kint {frac {(cx+d)^{2}}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}},dx=}$

${displaystyle ={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kint {frac {(cx+d)^{2}+e-e}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}},dx={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kint {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}},dx-2kh^{2}int {frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}},dx={frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kI_{k}-2kh^{2}I_{k+1}}$

Тогда

${displaystyle I_{k+1}={frac {1}{2ke}}left({frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+left(2k-1right)I_{k}right)}$

Интеграл $I_1$ может быть взят как показано в предыдущем пункте. Затем при помощи полученной рекуррентной формулы последовательно берутся интегралы ${displaystyle I_{2},I_{3},ldots }$ и так далее до нужного интеграла. Данный метод особенно удобен при интегрировании дробей после разложения на простейшие, так как сразу даёт интегралы для всех ${displaystyle kleq m}$ .^[9]

Так как интегралы такого вида встречаются довольно редко, обычно эту рекуррентную формулу не запоминают, а просто каждый раз снова выводят. Заметим, что в формуле не накладывается никаких ограничений на знак $e$ . Таким образом, это рекуррентное соотношение можно использовать и в случае, если квадратный трëхчлен в знаменателе имеет положительный дискриминант.

Тригонометрическая подстановка[править | править код]

Интегрирование такого вида дробей также возможно при помощи тригонометрической подстановки.
Рассмотрим для начала дробь вида

${displaystyle {frac {1}{((cx+d)^{2}+h^{2})^{m}}}}$

Здесь есть важное отличие от рекуррентной формулы: та не зависела от знака дискриминанта и одинаково работала в любом случае; здесь же мы сразу полагаем дискриминант знаменателя отрицательным и поэтому после выделения полного квадрата можем представить $e$ в виде квадрата положительного числа ${displaystyle h^{2}}$ . Вынесем ${displaystyle h^{2}}$ из суммы.

${displaystyle {frac {1}{h^{2m}left({dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1right)^{m}}}}$

Выполним замену ${displaystyle {frac {cx+d}{h}}=operatorname {tg} {varphi }}$ . Тогда ${displaystyle dx={frac {h}{ccos ^{2}varphi }}}$ .

${displaystyle int {frac {1}{h^{2m}left({dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1right)^{m}}}dx={frac {h}{c}}int {frac {1}{h^{2m}(operatorname {tg} ^{2}{varphi }+1)^{m}cos ^{2}varphi }}dvarphi ={frac {1}{ch^{2m-1}}}int {frac {cos^{2m}x}{cos ^{2}varphi }}dvarphi ={frac {1}{ch^{2m-1}}}int cos ^{2m-2}varphi dvarphi }$

Данный интеграл довольно легко берётся с помощью последовательного применения формул понижения степени в случае чётной степени косинуса, и занесения косинуса под дифференциал в случае нечётной. В результате у нас получится линейная комбинация степеней синусов от чётного угла.

Далее необходимо сделать обратную замену. Для получения красивых выражений применяется следующая уловка. Выражение ${displaystyle (cx+d)^{2}+h^{2}=rx^{2}+px+q}$ напоминает теорему Пифагора. Если считать ${displaystyle cx+d}$ , $h$ катетами, а ${displaystyle {sqrt {rx^{2}+px+q}}}$ — гипотенузой, то выражение ${displaystyle {frac {cx+d}{h}}=operatorname {tg} {varphi }}$ обретает смысл как тангенс угла между катетом $h$ и гипотенузой, так как это отношение противолежащего катета к прилежащему. Тогда ${displaystyle sin varphi ={frac {cx+d}{sqrt {rx^{2}+px+q}}}}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а ${displaystyle cos varphi ={frac {h}{sqrt {rx^{2}+px+q}}}}$ как отношение прилежащего к гипотенузе. Нетрудной проверкой можно убедиться, что это действительно так. Данные соображения удобный способ для запоминания этих формул, но следует помнить, что это не является формальным обоснованием.

Формулы для синусов и косинусов можно и просто запомнить: синус есть деление линейного двучлена из полного квадрата на корень квадратного трёхчлена, а косинус — деление константы (точнее её корня), которая прибавляется к полному квадрату.^[10]

Существует вариация этого метода и для трёхчленов с положительным дискриминантом.

${displaystyle {frac {1}{(h^{2}-(cx+d)^{2})^{m}}}}$

В такой ситуации можно сделать гиперболическую замену.

${displaystyle {frac {cx+d}{h}}=operatorname {th} {varphi }}$

Затем аналогично приходим к интегралу от гиперболического косинуса в чётной степени и аналогично интегрируем его. Итоговое выражение состоит из гиперболических синусов и линейных слагаемых. В линейных слагаемых мы делаем обратную замену

${displaystyle varphi ={frac {1}{2}}ln {left|{frac {h+cx+d}{h-cx-d}}right|}}$

Для того, чтобы выразить гиперболические синусы, применяем аналогичный приём:

${displaystyle operatorname {sh} {varphi }={frac {cx+d}{sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2}}}}}$

${displaystyle operatorname {ch} {varphi }={frac {h}{sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2}}}}}$

На самом деле тригонометрические и гиперболические замены могут быть и другими. Для случая отрицательного дискриминанта возможны следующие замены:

${displaystyle operatorname {tg} {varphi }, operatorname {ctg} {varphi }, operatorname {sh} {varphi }, operatorname {csch} {varphi }={frac {cx+d}{h}}}$

Для случая положительного следующие:

${displaystyle sin {varphi }, cos {varphi }, operatorname {sec} {varphi }, operatorname {cosec} {varphi }, operatorname {th} {varphi }, operatorname {cth} {varphi }, operatorname {ch} {varphi }, operatorname {sch} {varphi }={frac {cx+d}{h}}}$

Наиболее удобны здесь замены на тангенсы и котангенсы, поскольку они приводят интеграл к интегралу от синуса или косинуса в некоторой степени, который берётся довольно просто. Остальные же замены приводят к куда более сложным интегралам.

Комплексное разложение на простейшие[править | править код]

Если в коэффициентах дробей допускать комплексные числа, то разложение на простейшие заметно упрощается. В комплексных числах правильную дробь можно разложить в сумму одних только дробей вида ${displaystyle {frac {A}{(x-a)^{k}}}}$ . Дроби же с квадратными знаменателями простейшими не считаются.^[11]

Использование комплексного разложения позволяет проинтегрировать дробь практически устно. Все методы вещественного разложения дроби работают и с комплексным разложением. Недостатком является то, что итоговый интеграл содержит логарифмы и дроби с комплексными числами и приведение этого выражения к выражению содержащему только вещественные числа требует дальнейших преобразований.

Пример 1. С логарифмом

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}dx}$

Строим комплексное разложение на простейшие. Искать коэффициенты будем методом прикрытия Хевисайда.
При ${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}}}}$

${displaystyle {frac {1}{1+1}}={frac {1}{2}}}$

При ${displaystyle {frac {1}{(x-i)}}}$

${displaystyle {frac {1}{2i(i-1)^{2}}}={frac {1}{2i(-2i)}}={frac {1}{4}}}$

При ${displaystyle {frac {1}{(x+i)}}}$

${displaystyle {frac {1}{-2i(-i-1)^{2}}}={frac {1}{-2i(2i)}}={frac {1}{4}}}$

При ${displaystyle {frac {1}{x-1}}}$ найдём подстановкой бесконечности

${displaystyle {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}={frac {dfrac {1}{2}}{(x-1)^{2}}}+{frac {dfrac {1}{4}}{x-i}}+{frac {dfrac {1}{4}}{x+i}}+{frac {A}{x-1}}}$

Умножаем на $x-1$ и подставляем бесконечность.

${displaystyle 0={frac {1}{4}}+{frac {1}{4}}+A}$

${displaystyle A=-{frac {1}{2}}}$

Далее интегрируем.

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}},dx=-{frac {1}{2(x-1)}}+{frac {1}{4}}ln {(x-i)}+{frac {1}{4}}ln {(x+i)}-{frac {1}{2}}ln {|x-1|}+C}$

Теперь нам нужно избавиться от комплексных значений внутри логарифмов. Для этого складываем функции с сопряжёнными значениями.

${displaystyle {frac {1}{4}}ln {(x-i)}+{frac {1}{4}}ln {(x+i)}={frac {1}{4}}ln(x^{2}+1)}$

Интеграл найден.

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}dx=-{frac {1}{2(x-1)}}+{frac {1}{4}}ln(x^{2}+1)-{frac {1}{2}}ln {|x-1|}+C}$

Пример 2. С арктангенсом

${displaystyle int {x+6 over x^{2}-8x+25},dx=int {x+6 over {(x-4+3i)(x-4-3i)}},dx}$

Находим разложение на простейшие

${displaystyle int {frac {x+6}{x^{2}-8x+25}},dx=left({frac {1}{2}}+{frac {5}{3}}iright)int {frac {1}{x-4+3i}},dx+left({frac {1}{2}}-{frac {5}{3}}iright)int {frac {1}{x-4+3i}},dx}$

После очевидного интегрирования имеем:

${displaystyle left({frac {1}{2}}+{frac {5}{3}}iright)ln(x-4+3i)+left({frac {1}{2}}-{frac {5}{3}}iright)ln(x-4-3i)+C}$

Сгруппируем отдельно действительные и мнимые слагаемые:

${displaystyle {frac {1}{2}}left(ln(x-4+3i)+ln(x-4-3i)right)+{frac {5}{3}}ileft(ln(x-4+3i)-ln(x-4-3i)right)+C}$

${displaystyle {frac {1}{2}}ln left((x-4+3i)(x-4-3i)right)+{dfrac {5}{3}}iln {dfrac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C}$

${displaystyle {frac {1}{2}}ln(x^{2}-8x+25)+{frac {5}{3}}iln {frac {1-i{dfrac {x-4}{3}}}{1+i{dfrac {x-4}{3}}}}+C}$

Как известно, арктангенс комплексного переменного выражается через логарифм:

${displaystyle operatorname {arctg} ,z={frac {1}{2}}iln {frac {1-i,z}{1+i,z}}}$

Это даёт нам возможность переписать второе слагаемое через арктангенс:

${displaystyle int {x+6 over x^{2}-8x+25},dx={frac {1}{2}}ln(x^{2}-8x+25)+{frac {10}{3}}operatorname {arctg} {frac {x-4}{3}}+C}$

Для нахождения интеграла рациональной функции комплексного переменного, комплексное разложение на простейшие используется напрямую без дальнейшего преобразования выражений. Все табличные интегралы верны и для комплексных функций, с тем лишь изменением, что арктангенс и логарифм модуля заменяются соответственно на комплесный многозначный логарифм и комплексный многозначный арктангенс.

Общий вид интеграла рациональной функции[править | править код]

Из вышеприведённых методов для интеграла от рациональной функции можно составить общий вид.

${displaystyle int {frac {P(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}},dx={frac {T(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+sum _{i=1}^{l}{A_{i}ln {|x-x_{i}|}}+sum _{i=1}^{n}left({B_{i}ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i}operatorname {arctg} {frac {x+r_{i}}{h}}}right)}$

${displaystyle x+r_{i}}$ здесь линейный двучлен, получаемый выделением полного квадрата из ${displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$ , т. е. ${displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2}}$ . Обе дроби здесь правильные. Дробь в правой части равенства называется рациональной или алгебраической частью интеграла, сумма же логарифмов и арктангенсов — трансцендентной частью.^[12]

Из этого общего вида легко можно видеть, что интеграл от дроби, не имеющей кратных корней, есть сумма одних только арктангенсов и логарифмов. В свою очередь, если кратные корни есть, то в рациональной части интеграла кратности этих корней уменьшаются на 1.

Метод Остроградского[править | править код]

Если сумму логарифмов и арктангенсов представить как интеграл некоторой правильной дроби без кратных корней (эту дробь можно определить просто взяв производную), то получится следующая формула.

${displaystyle int {frac {P(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}},dx={frac {T(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+int {frac {H(x)}{displaystyle prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})displaystyle prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})}},dx}$ ,

называемая формулой Остроградского. На этой формуле основан ещё один метод интегрирования рациональных функций — метод Остроградского. Он позволяет свести задачу к интегрированию рациональной дроби со знаменателем без кратных неприводимых множителей, которая значительно проще.

Суть метода заключается в следующем. Пусть нам нужно проинтегрировать рациональную функцию. Запишем для неё формулу Остроградского (как выше). Знаменатели дробей из формулы нам известны, числители имеют степень меньше знаменателей. Это даёт нам возможность записать в знаменатели многочлены с неопределёнными коэффициентами.

${displaystyle T(x)=A_{s}x^{s}+ldots +A_{1}x+A_{0}}$

${displaystyle H(x)=B_{r}x^{r}+ldots +B_{1}x+B_{0}}$

Теперь мы можем найти эти коэффициенты методом неопределённых коэффициентов. Продифференцируем это равенство и приведём к общему знаменателю. Тогда мы можем приравнять числители, приравнять коэффициенты при равных степенях и решить систему. Разумеется, тут можно использовать все те упрощения, что использовались при разложении дробей, вроде подстановок корней или подстановки бесконечности. Таким образом, задача будет сведена к интегрированию дроби со знаменателем без кратных дробей. Дробь же со знаменателем без кратных корней намного проще интегрировать. Все её коэффициенты разложения можно получить методом Хевисайда и подстановками комплексных корней.

Пример

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx}$

Запишем формулу Остроградского.

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx={frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+int {frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}},dx}$

Дифференцируем.

${displaystyle {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)^{2}-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)^{2}+(x-1)cdot 2(x+1))}{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}+{frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}$

Вторую дробь можно сократить на $x+1$

${displaystyle {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)cdot 2)}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}$

Приведём к общем знаменателю

${displaystyle {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)cdot 2)+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}}$

Приравниваем числители.

${displaystyle x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}}$

Приравняем коэффициенты при старшей степени.

${displaystyle 0=D}$

Это даёт нам возможность в будущем вновь использовать приравнивание коэффициентов при старшей степени.

${displaystyle x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+E(x-1)(x+1)^{2}}$

Здесь очевидны две подстановки. Подставим $1$ .

${displaystyle 1=-2(A+B+C)}$

Подставим $-1$ .

${displaystyle -1=4(A-B+C)}$

Теперь приравняем старшие и младшие коэффициенты.

${displaystyle 0=2A-A-2A+E}$

${displaystyle 0=-B-C+2C-E}$

Сложим.

${displaystyle 0=-A-B+C}$

Получили 3 уравнения.

${displaystyle displaystyle {begin{cases}-{dfrac {1}{2}}=A+B+C,\-{dfrac {1}{4}}=A-B+C,\0=-A-B+C;end{cases}}}$

Вычтем из первого второе.

${displaystyle -{frac {1}{4}}=2B}$

${displaystyle B=-{frac {1}{8}}}$

Теперь сложим первое и третье.

${displaystyle -{frac {1}{2}}=2C}$

${displaystyle C=-{frac {1}{4}}}$

Из последнего уравнения

${displaystyle A=B-C=-{frac {1}{8}}}$

${displaystyle E=A=-{frac {1}{8}}}$

Таким образом,

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx=-{frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{frac {1}{8}}int {frac {1}{(x-1)(x+1)}},dx}$

Последний интеграл легко берётся:

${displaystyle int {frac {1}{(x-1)(x+1)}},dx=int {frac {1}{x^{2}-1}},dx={frac {1}{2}}ln {left|{frac {1+x}{1-x}}right|}+C}$

В итоге

${displaystyle int {frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}},dx=-{frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{frac {1}{16}}ln {left|{frac {1+x}{1-x}}right|}+C}$

Метод Остроградского удобен при большом количестве кратных корней. Однако сильно задачу он не упрощает, система уравнений получается не менее сложная, чем при обычном разложении на простейшие.

Метод Остроградского позволяет найти рациональную часть интеграла при помощи одних только алгебраических операций даже не зная разложения знаменателя. Пусть ${displaystyle int {frac {P(x)}{Q(x)}}={frac {T(x)}{Q_{1}(x)}}+int {frac {H(x)}{Q_{2}(x)}}}$ — формула Остроградского. Тогда ${displaystyle Q_{1}(x)}$ есть ни что иное, как наибольший общий делитель $Q(x)$ и ${displaystyle Q'(x)}$ . Его можно вычислить при помощи алгоритма Евклида. Многочлен ${displaystyle Q_{2}(x)}$ же можно получить поделив $Q(x)$ на ${displaystyle Q_{1}(x)}$ . Далее просто приравниваем знаменатели и решаем систему линейных алгебраических уравнений.

См. также[править | править код]

Список интегралов от рациональных функций
Методы интегрирования
Разложение рациональной дроби на простейшие
Метод Остроградского

Примечания[править | править код]

↑ Зорич, 2012, с. 392.
↑ Rickey, 1980.
↑ Фихтенгольц, 2003, с. 48.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 501.
↑ Bauldry, 2018, с. 429.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 459.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 504.
↑ ¹ ² Фихтенгольц, 2003, с. 41.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 505.
↑ Dawkins.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 503.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 509.

Ссылки[править | править код]

Partial Fraction Expander

Литература[править | править код]

Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 702 p.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Том 2. — 8-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9.
Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — May (vol. 53, no. 3). — P. 162–166.
Bauldry W.C. Partial Fractions via Calculus (англ.) // Daniel Alpay Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies : журнал. — 2018. — 9 May (vol. 28, iss. 5). — P. 425–437. — ISSN 1051-1970. — doi:10.1080/10511970.2017.1388312.
Dawkins P. Integrals Involving Quadrtics (англ.). Дата обращения: 5 июля 2021.

Источник

И снова здравствуйте, друзья!

Как я и обещал, с этого урока мы начнём бороздить бескрайние просторы поэтического мира интегралов и приступим к решению самых разнообразных (порой, очень красивых) примеров. 🙂

Чтобы грамотно ориентироваться во всём интегральном многообразии и не заблудиться, нам потребуется всего четыре вещи:

1) Таблица интегралов. Все подробности о ней — в предыдущем материале. Как именно с ней работать — в этом.

2) Свойства линейности неопределённого интеграла (интеграл суммы/разности и произведения на константу).

3) Таблица производных и правила дифференцирования.

Да-да, не удивляйтесь! Без умения считать производные, в интегрировании ловить совершенно нечего. Согласитесь, бессмысленно, например, учиться делению, не умея умножать. 🙂 И очень скоро вы увидите, что без отточенных навыков дифференцирования не посчитать ни один сколь-нибудь серьёзный интеграл, выходящий за рамки элементарных табличных.

4) Методы интегрирования.

Их очень и очень много. Для конкретного класса функций — свой. Но среди всего их богатого разнообразия выделяется три базовых:

– метод подведения функции под знак дифференциала,

– метод замены переменной,

– метод интегрирования по частям.

О каждом из них — в отдельных уроках.

А теперь, наконец, приступим к решению долгожданных примеров. Чтобы не скакать из раздела в раздел, я продублирую ещё разок весь джентльменский набор, который пригодится для нашей дальнейшей работы. Пусть весь инструментарий будет под рукой.)

Прежде всего, это таблица интегралов:

Кроме того, нам понадобятся базовые свойства неопределённого интеграла (свойства линейности):

Что ж, необходимая снаряга подготовлена. Пора в путь! 🙂

Прямое применение таблицы

В данном параграфе будут рассматриваться самые простые и безобидные примеры. Алгоритм здесь прост до ужаса:

1) Смотрим в таблицу и ищем нужную формулу (формулы);

2) Применяем свойства линейности (где требуется);

3) Осуществляем превращение по табличным формулам и прибавляем в конце константу С (не забываем!);

4) Записываем ответ.

Итак, поехали.)

Пример 1

Такой функции в нашей таблице нет. Зато есть интеграл от степенной функции в общем виде (вторая группа). В нашем случае n = 5. Вот и подставляем пятёрку вместо n и аккуратно считаем результат:

Готово. 🙂

Разумеется, этот пример совсем примитивный. Чисто для знакомства.) Зато умение интегрировать степени позволяет легко считать интегралы от любых многочленов и прочих степенных конструкций.

Пример 2

Под интегралом сумма. Ну и ладно. У нас на этот случай есть свойства линейности. 🙂 Разбиваем наш интеграл на три отдельных, выносим все константы за знаки интегралов и считаем каждый по таблице (группа 1-2):

Прошу обратить внимание: константа С появляется именно в тот момент, когда исчезают ВСЕ знаки интеграла! Конечно, после этого приходится её постоянно таскать за собой. А что делать…

Разумеется, так подробно расписывать обычно не требуется. Это чисто для понимания сделано. Чтобы суть уловить.)

Например, очень скоро, особо не раздумывая, вы в уме будете давать ответ к монстрам типа:

Многочлены — самые халявные функции в интегралах.) А уж в диффурах, в физике, в сопромате и прочих серьёзных дисциплинах интегрировать многочлены придётся постоянно. Привыкайте.)

Следующий примерчик будет чуть покруче.

Пример 3

Надеюсь, всем понятно, что наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:

Подынтегральная функция отдельно, а множитель dx (значок дифференциала) — отдельно.

Замечание: в этом уроке множитель dx в процессе интегрирования пока никак не участвует, и мы на него пока что мысленно “забиваем”. 🙂 Работаем только с подынтегральной функцией. Но забывать про него не будем. Совсем скоро, буквально на следующем уроке, посвящённом подведению функции под знак дифференциала, мы про него вспомним. И ощутим всю важность и мощь этого значка в полную силу!)

А пока наш взор обращён на подынтегральную функцию

Не очень похоже на степенную функцию, но это она. 🙂 Если вспомнить школьные свойства корней и степеней, то вполне можно преобразовать нашу функцию:

А икс в степени минус две трети — это уже табличная функция! Вторая группа, n=-2/3. А константа 1/2 нам не помеха. Выносим её наружу, за знак интеграла, и прямо по формуле считаем:

В этом примере нам помогли элементарные свойства степеней. И так надо делать в большинстве случаев, когда под интегралом стоят одинокие корни или дроби. Посему пара практических советов при интегрировании степенных конструкций:

Заменяем дроби степенями с отрицательными показателями;

Заменяем корни степенями с дробными показателями.

А вот в окончательном ответе переход от степеней обратно к дробям и корням — дело вкуса. Лично я перехожу обратно — так эстетичнее, что ли.

И, пожалуйста, аккуратно считаем все дроби! Внимательно следим за знаками и за тем, что куда идёт — что в числитель, а что знаменатель.

Что? Надоели уже скучные степенные функции? Ну ладно! Берём быка за рога!

Пример 4

Если сейчас привести всё под интегралом к общему знаменателю, то можно застрять на этом примере всерьёз и надолго.) Но, присмотревшись повнимательнее к подынтегральной функции, можно заметить, что наша разность состоит из двух табличных функций. Так что не будем извращаться, а вместо этого разложим наш интеграл на два:

Первый интеграл — обычная степенная функция, (2-я группа, n = -1): 1/x = x^-1.

Традиционная наша формула для первообразной степенной функции

здесь не работает, но зато у нас для n = -1 есть достойная альтернатива — формула с натуральным логарифмом. Вот эта:

Тогда, согласно этой формуле, первая дробь проинтегрируется так:

А вторая дробь — тоже табличная функция! Узнали? Да! Это седьмая формула с “высоким” логарифмом:

Константа “а” в этой формуле равна двойке: a=2.

Важное замечание: Обратите внимание, константу С при промежуточном интегрировании я нигде не приписываю! Почему? Потому что она пойдёт в окончательный ответ всего примера. Этого вполне достаточно.) Строго говоря, константу надо писать после каждого отдельного интегрирования — хоть промежуточного, хоть окончательного: так уж неопределённый интеграл требует…)

Например, после первого интегрирования я должен был бы написать:

После второго интегрирования:

Но вся фишка в том, что сумма/разность произвольных констант — это тоже некоторая константа! В нашем случае для окончательного ответа нам надо из первого интеграла вычесть второй. Тогда у нас получится разность двух промежуточных констант:

С₁-С₂

И мы имеем полное право эту самую разность констант заменить одной константой! И просто переобозначить её привычной нам буквой “С”. Вот так:

С₁-С₂ = С

Вот и приписываем эту самую константу С к окончательному результату и получаем ответ:

Да-да, дроби они такие! Многоэтажные логарифмы при их интегрировании — самое обычное дело. Тоже привыкаем.)

Запоминаем:

При промежуточном интегрировании нескольких слагаемых константу С после каждого из них можно не писать. Достаточно включить её в окончательный ответ всего примера. В самом конце.

Следующий пример тоже с дробью. Для разминки.)

Пример 5

В таблице, понятное дело, такой функции нет. Но зато есть похожая функция:

Это самая последняя, восьмая формула. С арктангенсом. 🙂

Вот эта:

И нам сам бог велел подстроить наш интеграл под эту формулу! Но есть одна проблемка: в табличной формуле перед х² никакого коэффициента нету, а у нас – девятка. Не можем пока что напрямую воспользоваться формулой. Но в нашем случае проблема вполне решаема. Вынесем эту девятку сначала за скобки, а потом вообще уведём за пределы нашей дроби.)

А новая дробь – уже нужная нам табличная функция под номером 8! Здесь а²=4/9. Или а=2/3.

Всё. Выносим 1/9 за знак интеграла и пользуемся восьмой формулой:

Вот такой ответ. Этот пример, с коэффициентом перед х², я специально так подобрал. Чтобы ясно было, что делать в таких случаях. 🙂 Если перед х² никакого коэффициента нет, то такие дроби тоже будут в уме интегрироваться.

Например:

Здесь а² = 5, поэтому само “а” будет “корень из пяти”. В общем, вы поняли.)

А теперь немного видоизменим нашу функцию: напишем знаменатель под корнем.) Вот такой интеграл теперь будем брать:

Пример 6

В знаменателе появился корень. Естественно, изменилась и соответствующая формула для интегрирования, да.) Опять лезем в таблицу и ищем подходящую. Корни у нас есть в формулах 5-й и 6-й групп. Но в шестой группе под корнями только разность. А у нас — сумма. Значит, работаем по пятой формуле, с “длинным” логарифмом:

Число А у нас — пятёрка. Подставляем в формулу и получаем:

И все дела. Это ответ. Да-да, так просто!)

Если закрадываются сомнения, то всегда можно (и нужно) проверить результат обратным дифференцированием. Проверим? А то вдруг, лажа какая-нибудь?

Дифференцируем (на модуль внимания не обращаем и воспринимаем его как обычные скобки):

Всё честно. 🙂

Кстати, если в подынтегральной функции под корнем поменять знак с плюса на минус, то формула для интегрирования останется той же самой. Не случайно в таблице под корнем стоит плюс/минус. 🙂

Например:

Важно! В случае минуса, на первом месте под корнем должно стоять именно х², а на втором — число. Если же под корнем всё наоборот, то и соответствующая табличная формула будет уже другая!

Пример 7

Под корнем снова минус, но х² с пятёркой поменялись местами. Похоже, но не одно и то же… На этот случай в нашей таблице тоже есть формулка.) Формула номер шесть, с ней мы ещё не работали:

А вот теперь — аккуратно. В предыдущем примере у нас пятёрка выступала в роли числа A. Здесь же пятёрка будет выступать уже в роли числа а²!

Поэтому для правильного применения формулы не забываем извлечь корень из пятёрки:

И теперь пример решается в одно действие. 🙂

Вот так вот! Всего лишь поменялись местами слагаемые под корнем, а результат интегрирования изменился существенно! Логарифм и арксинус… Так что, пожалуйста, не путайте эти две формулы! Хотя подынтегральные функции и очень похожи…

Бонус:

В табличных формулах 7-8 перед логарифмом и арктангенсом присутствуют коэффициенты 1/(2а) и 1/а соответственно. И в тревожной боевой обстановке при записи этих формул даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где просто 1/а, а где 1/(2а). Вот вам простой приёмчик для запоминания.

В формуле №7

в знаменателе подынтегральной функции стоит разность квадратов х² — а². Которая, согласно боянной школьной формуле, раскладывается как (х-а)(х+а). На два множителя. Ключевое слово — два. И эти две скобки при интегрировании идут в логарифм: с минусом вверх, с плюсом — вниз.) И коэффициент перед логарифмом тоже 1/(2а).

А вот в формуле №8

в знаменателе дроби стоит сумма квадратов. Но сумма квадратов x²+a² неразложима на более простые множители. Поэтому, как ни крути, в знаменателе так и останется один множитель. И коэффициент перед арктангенсом тоже будет 1/а.

А теперь для разнообразия проинтегрируем что-нибудь из тригонометрии.)

Пример 8

Пример простой. Настолько простой, что народ, даже не глядя в таблицу, тут же радостно ответ пишет и… приехали. 🙂

Следим за знаками! Это самая распространённая ошибка при интегрировании синусов/косинусов. Не путаем с производными!

Да, (sin x)’ = cos x и (cos x)’ = –sin x.

Но!

Поскольку производные народ обычно худо-бедно помнит, то, чтобы не путаться в знаках, приём для запоминания интегралов тут очень простой:

Интеграл от синуса/косинуса = минус производная от тех же синуса/косинуса.

Например, мы ещё со школы знаем, что производная синуса равна косинусу:

(sin x)’ = cos x.

Тогда для интеграла от того же синуса будет справедливо:

И всё.) С косинусом то же самое.

Исправляем теперь наш пример:

Предварительные элементарные преобразования подынтегральной функции

До этого момента были самые простенькие примеры. Чтобы прочувствовать, как работает таблица и не ошибаться в выборе формулы.)

Конечно, мы делали кое-какие простенькие преобразования — множители выносили, на слагаемые разбивали. Но ответ всё равно так или иначе лежал на поверхности.) Однако… Если бы вычисление интегралов ограничивалось только прямым применением таблицы, то вокруг была бы сплошная халява и жить стало бы скучно.)

А теперь разберём примеры посолиднее. Такие, где впрямую, вроде бы, ничего и не решается. Но стоит вспомнить буквально пару-тройку элементарных школьных формул или преобразований, как дорога к ответу становится простой и понятной. 🙂

Применение формул тригонометрии

Продолжим развлекаться с тригонометрией.

Пример 9

Такой функции в таблице и близко нет. Зато в школьной тригонометрии есть такое малоизвестное тождество:

Выражаем теперь из него нужный нам квадрат тангенса и вставляем под интеграл:

Зачем это сделано? А затем, что после такого преобразования наш интеграл сведётся к двум табличным и будет браться в уме!

Смотрите:

А теперь проанализируем наши действия. На первый взгляд, вроде бы, всё проще простого. Но давайте задумаемся вот над чем. Если бы перед нами стояла задача продифференцировать ту же самую функцию, то мы бы точно знали, что именно надо делать — применять формулу производной сложной функции:

И всё. Простая и безотказная технология. Работает всегда и гарантированно приводит к успеху.

А что же с интегралом? А вот тут нам пришлось порыться в тригонометрии, откопать какую-то малопонятную формулу в надежде, что она нам как-то поможет выкрутиться и свести интеграл к табличному. И не факт, что помогла бы она нам, совсем не факт… Именно поэтому интегрирование — более творческий процесс, нежели дифференцирование. Искусство, я бы даже сказал. 🙂 И это ещё не самый сложный пример. То ли ещё будет!

Пример 10

Что, внушает? Таблица интегралов пока бессильна, да. Но, если снова заглянуть в нашу сокровищницу тригонометрических формул, то можно откопать весьма и весьма полезную формулу косинуса двойного угла:

Вот и применяем эту формулу к нашей подынтегральной функции. В роли “альфа” у нас х/2.

Получаем:

Эффект потрясающий, правда?

Эти два примера наглядно показывают, что предварительное преобразование функции перед интегрированием вполне допускается и порой колоссально облегчает жизнь! И в интегрировании эта процедура (преобразование подынтегральной функции) на порядок более оправдана, чем при дифференцировании. В дальнейшем всё увидите.)

Разберём ещё парочку типовых преобразований.

Формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных и метод почленного деления.

Обычные банальные школьные преобразования. Но порой только они и спасают, да.)

Пример 11

Если бы мы считали производную, то никаких проблем: формула производной произведения и — вперёд. Но стандартной формулы для интеграла от произведения не существует. И единственный выход здесь — раскрыть все скобки, чтобы под интегралом получился многочлен. А уж многочлен мы как-нибудь проинтегрируем.) Но скобки раскрывать тоже будем с умом: формулы сокращённого умножения — штука мощная!

(x² — 1)²(x² + 1)² = ((x² — 1)(x² + 1))² = ((x²)² — 1²)² = (x⁴ — 1)² = x⁸ — 2x⁴ + 1

А теперь считаем:

И все дела.)

Пример 12

Опять же, стандартной формулы для интеграла от дроби не существует. Однако в знаменателе подынтегральной дроби стоит одинокий икс. Это в корне меняет ситуацию.) Поделим почленно числитель на знаменатель, сведя нашу жуткую дробь к безобидной сумме табличных степенных функций:

Особо комментировать процедуру интегрирования степеней не буду: не маленькие уже.)

Интегрируем сумму степенных функций. По табличке.)

Вот и все дела.) Кстати, если бы в знаменателе сидел не икс, а, скажем, х+1, вот так:

то этот фокус с почленным делением уже так просто не прошёл бы. Именно из-за наличия корня в числителе и единицы в знаменателе. Пришлось бы замену вводить и избавляться от корня. Но такие интегралы гораздо сложнее. О них — в других уроках.

Видите! Стоит только чуть-чуть видоизменить функцию — тут же меняется и подход к её интегрированию. Порой кардинально!) Нету чёткой стандартной схемы. К каждой функции — свой подход. Иногда даже уникальный.)

В некоторых случаях преобразования в дробях ещё более хитрые.

Пример 13

А здесь как можно свести интеграл к набору табличных? Здесь можно ловко извернуться добавлением и вычитанием выражения x² в числителе дроби с последующим почленным делением. Очень искусный приём в интегралах! Смотрите мастер-класс! 🙂

И теперь, если заменить исходную дробь на разность двух дробей, то наш интеграл распадается на два табличных — уже знакомую нам степенную функцию и арктангенс (формула 8):

Ну, что тут можно сказать? Вау!

Этот трюк с добавлением/вычитанием слагаемых в числителе — очень популярен в интегрировании рациональных дробей. Очень! Рекомендую взять на заметку.

Пример 14

Здесь тоже рулит эта же технология. Только добавлять/вычитать надо единичку, чтобы из числителя выделить выражение, стоящее в знаменателе:

Вообще говоря, рациональные дроби (с многочленами в числителе и знаменателе) — отдельная очень обширная тема. Дело всё в том, что рациональные дроби – один из очень немногих классов функций, для которых универсальный способ интегрирования существует. Метод разложения на простейшие дроби вкупе с методом неопределённых коэффициентов. Но способ этот очень трудоёмкий и обычно применяется как тяжёлая артиллерия. Ему будет посвящён не один урок. А пока что тренируемся и набиваем руку на простых функциях.

Подытожим сегодняшний урок.

Сегодня мы подробно рассмотрели, как именно пользоваться таблицей, со всеми нюансами, разобрали множество примеров (и не самых тривиальных) и познакомились с простейшими приёмами сведения интегралов к табличным. И так мы теперь будем поступать всегда. Какая бы страшная функция ни стояла под интегралом, с помощью самых разнообразных преобразований мы будем добиваться того, чтобы, рано или поздно, наш интеграл, так или иначе, свёлся к набору табличных.

Несколько практических советов.

1) Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе – одинокая степень икса, то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1-2.

2) В тригонометрических конструкциях в первую очередь пробуем базовые формулы тригонометрии — двойного/тройного угла, основные тригонометрические тождества:

Может очень крупно повезти. А может и нет…

3) Где нужно (особенно в многочленах и дробях), применяем формулы сокращённого умножения:

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

(a-b)(a+b) = a²-b²

и так далее…

4) При интегрировании дробей с многочленами пробуем искусственно выделить в числителе выражение(я), стоящее(щие) в знаменателе. Очень часто дробь упрощается и интеграл сводится к комбинации табличных.

Ну что, друзья? Я вижу, интегралы вам начинают нравиться. 🙂 Тогда набиваем руку и решаем примеры самостоятельно.) Сегодняшнего материала вполне достаточно, чтобы успешно с ними справиться.

Что? Не знаете, как интегрировать арксинус/арккосинус? Да! Мы этого ещё не проходили.) Но здесь их напрямую интегрировать и не нужно. И да поможет вам школьный курс!)

Ответы (в беспорядке):

Для лучших результатов настоятельно рекомендую приобрести сборник задач по матану Г.Н. Бермана. Классная штука!

А у меня на сегодня всё. Успехов!

Источник

Прежде, чем приступить к интегрированию простейших дробей для нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции, рекомендуется освежить в памяти раздел «Разложение дроби на простейшие».

Пример 1

Найдем неопределенный интеграл ∫2×3+3×3+xdx .

Решение

Выделим целую часть, проведя деление столбиком многочлена на многочлен, учитывая тот факт, что степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя:

Интегрирование простейших дробей

Поэтому 2×3+3×3+x=2+-2x+3×3+x . Мы получили правильную рациональную дробь -2x+3×3+x , которую теперь разложим на простейшие дроби -2x+3×3+x=3x-3x+2×2+1 . Следовательно,

∫2×3+3×3+xdx=∫2+3x-3x+2×2+1dx=∫2dx+∫3xdx-∫3x+2×2+1dx=2x+3lnx-∫3x+2×2+1dx

Мы получили интеграл простейшей дроби третьего типа. Взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как dx2+1=2xdx , то 3xdx=32dx2+1 . Поэтому
∫3x+2×2+1dx=∫3xx2+1dx+∫2×2+1=32∫dx2+1×2+1+2∫dxx2+1=32lnx2+1+2arctg x+C1

Следовательно,
∫2×3+3×3+xdx=2x+3lnx-∫3x+2×2+1dx=2x+3lnx-32lnx2+1-2arctan x+C, где С=-С1

Опишем методы интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа Ax-a

Используем для решения этой задачи метод непосредственного инетгрирования:

∫Ax-adx=A∫dxx-a=A·lnx-a+C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y=32x-1.

Решение

Испльзуя правило интегрирования, свойства первообразной и таблицу первообразных, найдем неопределенный интеграл ∫3dx2x-1: ∫fk·x+bdx=1k·Fk·x+b+C

∫3dx2x-1=3∫dx2x-12=32∫dxx-12=32lnx-12+C

Ответ: ∫3dx2x-1=32lnx-12+C

Интегрирование простейших дробей второго типа Ax-an

Здесь также применим метод непосредственного интегрирования:∫Ax-andx=A∫x-a-ndx=A-n+1x-a-n+1+C=A1-nx-an-1+C

Пример 3

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫dx2x-37 .

Решение

∫dx2x-37=∫dx2x-327=127∫x-32-7dx==127·1-7+1·x-32-7+1+C=127·-6·x-326+C==12·-6·26·x-326+C=-112·12x-36+C

Ответ: ∫dx2x-37=-112·12x-36+C

Интегрирование простейших дробей третьего типа Mx+Nx2+px+q, D=p2-4q<0

Первым шагом представим неопределенный интеграл ∫Mx+Nx2+px+q в виде суммы:

∫Mx+Nx2+px+qdx=∫Mxx2+px+qdx+N∫dxx2+px+q

Для того, чтобы взять первый интеграл, используем метод подведения под знак дифференциала:

∫Mxx2+px+qdx=dx2+px+q=2x+pdx=2xdx+pdx⇒2xdx=dx2+px+q-pdx⇒Mxdx=M2dx2+px+q-pM2dx==∫M2dx2+px+q-pM2dxx2+px+q==M2∫dx2+px+qx2+px+q-pM2∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q-pM2∫dxx2+px+q

Поэтому,
∫Mx+Nx2+px+qdx=∫Mxx2+px+qdx+N∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q-pM2∫dxx2+px+q+N∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q+2N-pM2·∫dxx2+px+q

Мы получили интеграл ∫dxx2+px+q. Проведем преобразование его знаменателя:

∫dxx2+px+q=∫dxx2+px+p22-p22+q==∫dxx+p22-p24+q=∫dxx+p22-p24+q==∫dxx+p22+4q-p24=24q-p2·arctg2x+p24q-p2+C1

Следовательно,

∫Mx+Nx2+px+qdx=M2lnx2+px+q+2N-pM2·∫dxx2+px+q==M2lnx2+px+q+2N-pM2·24q-p2·arctg2x+p24q-p2+C1

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
∫Mx+Nx2+px+qdx=M2lnx2+px+q+2N-pM4q-p2·arctg2x+p24q-p2+C

Пример 4

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2x+13×2+6x+30dx.

Решение

Применим формулу:

∫2x+13×2+6x+30dx=13∫2x+1×2+2x+10dx=M=2,N=1,p=2,q=10==1322lnx2+2x+10+2·1-2·24·10-22arctg2x+224·10-22+C==13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

Второй вариант решения выглядит следующим образом:

∫2x+13×2+6x+30dx=13∫2x+1×2+2x+10dx=d(x2+2x+10=(2x+2)dx==13∫2x+2-1×2+2x+10dx=13∫d(x2+2x+10)x2+2x+10=13∫dxx2+2x+10==преобразуем знаменатель=13lnx2+2x+10-13∫d(x)x+12+9==13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

Ответ: ∫2x+13×2+6x+30dx=13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

Интегрирование простейших дробей четвертого типа Mx+N(x2+px+q)n, D=p2-4q<0

Первым делом выполняем подведение под знак дифференциала:

∫Mx+Nx2+px+qdx=d(x2+px+q)=(2x+p)dx==M2∫d(x2+px+q)(x2+px+q)n+N-pM2∫dx(x2+px+q)n==M2(-n+1)·1(x2+px+q)n-1+N-pM2∫dx(x2+px+q)n

Затем находим интеграл вида Jn=∫dx(x2+px+q)n с использованием рекуррентных формул. Информацию о рекуррентных формулах можно посмотреть в теме «Интегрирование с использованием рекуррентных формул».

Для решения нашей задачи подходит рекуррентная формула вида Jn=2x+p(n-1)(4q-p2)(x2+px+q)n-1+2n-3n-1·24q-p2·Jn-1.

Пример 5

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫dxx5x2-1 .

Решение

∫dxx5x2-1=∫x-5(x2-1)-12dx

Мы будем использовать для этого вида подынтегральной функции метод подстановки. Введем новую переменную x2-1=z2x=(z2+1)12dx=z(z2+1)-12dx

Получаем:

∫dxx5x2-1=∫x-5(x2-1)-12dx==∫(z2+1)-52·z-1·z·(z2+1)-12dz=∫dz(z2+1)3

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу:

J3=∫dz(z2+1)3=2z+0(3-1)·(4·1-0)·z2+13-1+2·3-33-1·24·1-0·∫dz(z2+1)2==z4(z2+1)2+342z(2-1)·(4·1-0)·(z2+1)2-1+2·2-32-11·24·1-0·∫dzz2+1==z4(z2+1)2+38zz2+1+38arctg(z)+C

После обратной замены z=x2-1 получаем результат:
∫dxx5x2-1=x2-14×4+38×2-1×2+38arctgx2-1+C

Ответ: ∫dxx5x2-1=x2-14×4+38×2-1×2+38arctgx2-1+C

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида
$$
f(x) = frac{P_n(x)}{Q_m(x)},
$$
в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.

Если %%m > n geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов, неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_{n – m}%% степени %%n – m%% и некоторой правильной дроби, т.е.
$$
frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + frac{P_l(x)}{Q_n(x)},
$$
где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.

Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.

Интегралы от простейших рациональных дробей

Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям:

%%displaystyle frac{A}{x – a}%%,
%%displaystyle frac{A}{(x – a)^k}%%,
%%displaystyle frac{Ax + B}{x^2 + px + q}%%,
%%displaystyle frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^k}%%,

где %%k > 1%% — целое и %%p^2 – 4q < 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений:
$$
begin{array}{ll}
int frac{A}{x – a} mathrm{d}x &= Aint frac{mathrm{d}(x – a)}{x – a} = A ln |x – a| + C, \
\
int frac{A}{(x – a)^k} mathrm{d}x &= Aint frac{mathrm{d}(x – a)}{(x – a)^k} = A frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \
&= -frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C.
end{array}
$$

Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа

Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе:
$$
frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q – p^2/4},
$$
так как %%p^2 – 4q < 0%%, то %%q – p^2/4 > 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, mathrm{d}t = mathrm{d}x%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме
$$
begin{array}{ll}
int frac{Ax + B}{x^2 + px + q} mathrm{d}x &= int frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q – p^2/4} mathrm{d}x = \
&= int frac{A(t – p/2) + B}{t^2 + a^2} mathrm{d}t = int frac{At + (B – A p/2)}{t^2 + a^2} mathrm{d}t.
end{array}
$$

Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем %%t%% под знак дифференциала:
$$
begin{array}{ll}
int frac{At + (B – A p/2)}{t^2 + a^2} mathrm{d}t &= Aint frac{t mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + left(B – frac{pA}{2}right)int frac{mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \
&= frac{A}{2} int frac{mathrm{d}left(t^2 + a^2right)}{t^2 + a^2} + – frac{2B – pA}{2}int frac{mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \
&= frac{A}{2} ln left| t^2 + a^2right| + frac{2B – pA}{2a} text{arctg}frac{t}{a} + C.
end{array}
$$

Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, в итоге для дроби третьего типа получаем
$$
int frac{Ax + B}{x^2 + px + q} mathrm{d}x = frac{A}{2} ln left| x^2 + px + qright| + frac{2B – pA}{2a} text{arctg}frac{x + p/2}{a} + C,
$$
где %%a^2 = q – p^2 / 4 > 0%%.

Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.

Источник

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Разложение на простейшие[править | править код]

Табличные интегралы[править | править код]

Интегрирование дробей вида [править | править код]

Интегрирование дробей вида [править | править код]

Интегрирование дробей вида [править | править код]

Рекуррентное соотношение[править | править код]

Тригонометрическая подстановка[править | править код]

Комплексное разложение на простейшие[править | править код]

Общий вид интеграла рациональной функции[править | править код]

Метод Остроградского[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегралы от простейших рациональных дробей

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов

Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа

Вам также может понравиться

Как найти векторы прямоугольника

Как составить план характеристики морей

Найти свою посылку на таможне как

Добавить комментарий Отменить ответ

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {1}{(ax+b)^{k}}}}$ [править | править код]

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}$ [править | править код]

Интегрирование дробей вида ${displaystyle {frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}$ [править | править код]