Как найти разность давлений жидкости

Разность давлений и потери давления

Особенности терминов
«разность
давлений»
и «поте­ри
давле­ния»
поясним на
примерах.

Движение газа
происходит только при наличии разности
приве­дённых полных давлений

Dp_пр
=
p_пр.п1
–
p_пр.п2

от точки с бóльшим
давлением p_пр.п1
к точке с
ме­ньшим p_пр.п2.
Например, это является условием работы
систем естественной вентиляции зданий:
для удаления воз­духа из помещения
давление p_пр.п
внутри
должно быть боль­ше, чем снару­жи.

Потери давления
Dp_пот
отражают потерю полной энергии потока
при движении газа. Например, чем длиннее
воздуховод, меньше его про­ходное
сечение, шероховатее его стенки, тем
больше будут потери давления в системе
вентиляции, что может ухудшить удаление
несвежего воздуха из помещений. В
покоящемся газе никаких потерь давле­ния
нет.

При установившемся
движении газа разность давлений равна
потерям давления:

Dp_пр
=
Dp_пот,

что является уравнением
Бернулли в простейшей записи (см. с. 42).

Таким образом,
«разность
давлений»
является
причиной движения газа, а «потери
давления»
—
следствием.
При движении газа они чис­ленно равны.
Измеряются они в одних и тех же единицах
СИ —
паскалях (Па).

Режимы движения газа

При проведении
аэродинамического расчёта в первую
очередь нужно выяснить, какой режим
движения будет наблюдаться у данного
потока газа.

Режимы движения
газовых потоков де­лятся на два типа
(так же, как в жи­дкостях):

1) ламинарный,
спокойный, параллельноструйный, при
малых ско­ростях;

2) турбулентный,
вихреобразный, при больших скоростях.

Для выяснения типа
режима нужно рассчитать число Рейнольдса
Re
и сравнить его с критическим Re_кр
для газа.

Число Рéйнольдса
для газа Re
вычисляется
по формуле:

Re
=vd_э/n
,

где d_э
—
эквивалентный диаметр трубопровода,
воздуховода или канала (см. с. 40); d_э
=
d,
если трубопровод круглого сечения.

Критическое число
Рейнольдса для газа Re_кр»
2000 .

Если Re
‹
Re_кр,
то режим ламинарный.

Если Re
›
Re_кр,
то режим турбулентный.

На практике в
подавляющем большинстве случаев
наблюдается режим турбулентный: в
вентиляционных каналах (воздуховодах),
газопрово­дах, паропроводах, при
ветре.

Аэродинамика инженерных сетей

Инженерные сети
вентиляции и отопления зданий
рассчитываются по законам аэродинамики.
При этом используется уравнение Бернулли
для газа (см. с. 42), в котором фигурируют
давления, а не напоры. Даже водяное
отопление рассчитывается именно по
давлениям, так как в нём имеет место
изменение температуры жидкости и
соответственно её плот­ности, поэтому
при­менять величины напоров неудобно.
Аэродинамиче­ский расчёт этих сетей
сво­дится к определению действующей
разности дав­лений Dp_пр
(вызы­вающей в них движение), потерь
давления в них Dp_пот,
скоростей, расходов и геометрических
размеров проходных сечений.

Расчёт ведётся по
уравнению Бернулли так. Надо подобрать
такие размеры трубопроводов, каналов
и их проходных сечений (кото­рые
созда­ют сопротивления потоку), чтобы
скорости потоков были допу­сти­мыми,
расходы удовлетворяли нормам и раз­ность
давлений Dp_пр
была равна потерям давления в сети
Dp_пот,
причём для запаса на­дёжности потери
искусственно уве­личивают на 10 %.
Поэ­то­му для ра­с­чёта инженер­ных
сетей урав­нение Бер­нулли применяют
в такой записи:

Dp_пр
=
1,1Dp_пот,

и сеть окончательно
должна удовлетворять этому равенству.

Определение разности
давлений Dp_пр
будет рассмотрено ниже на при­мерах
расчё­тов топки с дымовой трубой и
водяного отопления с есте­ствен­ной
цир­ку­ля­цией.

Потери давления
Dp_пот
в трубопроводе, воздуховоде или
газо­проводе можно найти по формуле
Вéйсбаха
для газа:

,

где z
—
коэффициент гидравлического сопротивления,
тот же, что и для жи­дкости (см. с. 21),
только в случае некругло­го сечения
надо использо­вать величину
эквивалентного диаметра d_э
вместо d.

Общие потери давления
Dp_пот
складываются из суммы линей­ных
Dp_l
и местных Dp_м
потерь:

Dp_пот
=
SDp_l
+
SDp_м
.

Для вычисления Dp_l
и Dp_м
применяется формула Вейсбаха для газа,
в которой вместо z
подставляют соответственно z_l
или z_м
(см. с. 23), а вместо d
—
d_э.

Например, при
определении Dp_l
коэффициент линейного гид­равличе­ского
сопротивления (величина безразмерная)

z_l
=
l
l/d_э
,

где l
—
длина прямолинейного участка сети.
Коэффициент гидрав­ли­че­ского
трения l
при турбулентном режиме (практически
всегда в га­зо­вых потоках) определяется
так:

,

где D
—
шероховатость стенок трубопровода или
канала, мм.
Например, вентиляционные короба из
листовой стали имеют D
= 0,1
мм, а воздухово­ды
в кирпичной стене D
=
4
мм.

Значения коэффициента
местных гидравлических сопро­ти­в­лений
z_м
принимаются по справочным данным для
конкретных уча­стков дефор­мации
потока (вход и выход из трубы, поворот,
тройник и т.д.).

В жидкостях частицы подвижны, поэтому они не имеют собственной формы, но обладают собственным объемом, сопротивляются сжатию и растяжению; не сопротивляются деформации сдвига (свойство текучести). В покоящейся жидкости существует два вида статического давления: гидростатическое и внешнее. Вследствие притяжения к Земле жидкость оказывает давление на дно и стенки сосуда, а также на тела, находящиеся внутри нее. Давление, обусловленное весом столба жидкости, называется гидростатическим. Давление жидкости на разных высотах различно и не зависит от ориентации площадки, на которую оно производится. Пусть жидкость находится в цилиндрическом сосуде с площадью сечения S; высота столба жидкости h. Тогда

Гидростатическое давление жидкости зависит от плотности р жидкости, от ускорения g свободного падения и от глубины h, на которой находится рассматриваемая точка. Оно не зависит от формы столба жидкости. Глубина h отсчитывается по вертикали от рассматриваемой точки до уровня свободной поверхности жидкости. В условиях невесомости гидростатическое давление в жидкости отсутствует, так как в этих условиях жидкость становится невесомой. Внешнее давление характеризует сжатие жидкости под действием внешней силы. Оно равно:

Пример внешнего давления: атмосферное давление и давление, создаваемое в гидравлических системах. Французский ученый Блез Паскаль (1623-1662) установил: жидкости и газы передают производимое на них давление одинаково по всем направлениям (закон Паскаля). Для измерения давлений используют манометры. Их конструкции весьма разнообразны. В качестве примера рассмотрим устройство жидкостного манометра. Он представляет собой U-образную трубку, один конец которой соединяется с резервуаром, в котором измеряют давление. По разности столбов в коленах манометра можно определять давление.

Возможно вам будет интересно:

Вокруг нас много жидкостей. Одни из них движутся, например, вода в реках или нефть в трубах, другие – покоятся. При этом все жидкости имеют вес и поэтому давят на дно и стенки сосуда, в котором находятся. Подсчёт давления движущейся жидкости – непростая задача, поэтому изучим лишь как рассчитывать давление, создаваемое покоящейся жидкостью, называемое гидростатическим давлением (греч. «статос» – неподвижный). Оно вычисляется по следующей формуле.

p – давление слоя жидкости, Па. r – плотность жидкости, кг/м3. g – коэффициент силы тяжести, Н/кг. h – высота слоя жидкости, м. Рассмотрим, как выведена (то есть получена) эта формула.

Сила F, с которой жидкость давит на дно сосуда, является весом жидкости. Его мы можем подсчитать по формуле W = Fтяж = mg, так как жидкость и её опора (дно сосуда) покоятся. Вспомним также простую формулу m = rV для выражения массы тела через плотность его вещества и формулу V = Sh для подсчёта объёма тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. В результате имеем равенство:

Это равенство иллюстрирует не только способ вывода формулы для вычисления гидростатического давления. Оно также показывает, что формула p = rgh является частным случаем формулы p = F/S. Поэтому здесь уместны те же замечания, что и при изучении нами силы Архимеда (см. § 3-е «под чертой»).

Заметим, что при выводе формулы совершенно необязательно предполагать, что слой высотой h и плотностью r образован именно жидкостью. В наших рассуждениях ничего не изменится, если вместо давления жидкости мы рассмотрим давление твёрдого тела прямоугольной формы или даже газа, заключённого в соответствующий сосуд. Создаваемое ими весовое давление будет именно таким, как предсказывает формула p = rghФормула p = rgh показывает, что давление, создаваемое слоем жидкости, не зависит от её массы, а зависит от плотности жидкости, высоты её слоя и места наблюдения. При увеличении толщины слоя жидкости или её плотности гидростатическое давление будет возрастать.

Полученный нами вывод можно проверить опытами. Проделаем их. Справа изображена стеклянная трубка, дно которой затянуто резиновой плёнкой.

Увеличивая высоту слоя налитой жидкости, мы будем наблюдать увеличение растяжения плёнки. Этот опыт подтверждает, что при увеличении высоты слоя жидкости создаваемое ею давление увеличивается.

На следующем рисунке изображены трубки с водой и «крепким» раствором соли. Видно, что уровни жидкостей находятся на одной и той же высоте, но давление на плёнку в правой трубке больше. Это объясняется тем, что плотность раствора соли больше, чем плотность обычной воды.

Иногда вместо слов давление слоя жидкости употребляют выражение давление столба жидкости. Это выражения-синонимы.

Page 2

Давление может создаваться не только твёрдыми или жидкими телами, но и газами. Например, парусный корабль плывёт по морю именно потому, что на его паруса давит ветер – движущийся газ. Однако покоящиеся газы тоже могут создавать давление. Рассмотрим опыт, подтверждающий это.

Слева на рисунке – так называемая тарелка воздушного насоса. На ней лежит завязанный воздушный шарик с небольшим количеством воздуха (рис. «а»). Накроем его стеклянным колоколом и откачаем из-под него воздух. Мы увидим, что шарик «раздулся», будто в него накачали дополнительную порцию воздуха (рис. «б»). Однако это не так: воздуха в шарике не прибавилось, ведь он завязан. В чем же разгадка противоречия?

Воздух в шарике постоянно давит на его оболочку изнутри. Но и воздух вокруг шарика давит на его оболочку – снаружи (см. рисунок). Откачивая воздух из-под колокола, мы уменьшаем наружное давление. В результате внутреннее давление начинает превосходить наружное и тем самым раздувает оболочку сильнее.

Рассмотренный опыт с тарелкой и колоколом воздушного насоса продемонстрировал нам, что покоящиеся газы постоянно оказывают давление на окружающие их тела. В зависимости от внешних условий это давление может проявляться или же быть незаметным.

Накачивая или откачивая газ в каком-либо сосуде (например, баллоне), мы увеличиваем или, наоборот, уменьшаем массу газа. Из-за этого изменяется плотность газа – увеличивается или уменьшается. Одновременно изменяется и давление газа – говорят, что оно «повышается» или «понижается» (иногда говорят, что давление «растёт» или «падает»).

Однако давление газа можно изменить не только изменением его плотности, но и другим путём – изменяя температуру газа. При нагревании газа его давление будет возрастать, а при охлаждении – уменьшаться. Рассмотрим пример.

На рисунке изображён котёл для воды с прочным корпусом и плотно прилегающей крышкой. На котле имеется манометр – прибор, отмечающий повышение или понижение давления пара. При нагревании котла давление пара возрастает, так как мы видим изменившееся положение стрелки манометра и многочисленные струи пара, вырывающиеся из щелей между корпусом и крышкой.

Опыты показывают, что не только водяной пар, но и вообще все газы при нагревании увеличивают свое давление на окружающие тела, а при охлаждении – уменьшают.

Паровая турбина. Она применяется на тепловых электростанциях. Сгорающий природный газ или мазут нагревают воду, которая превращается в пар. Его подвергают дальнейшему сильному нагреванию. В результате давление пара значительно возрастает, и его направляют на лопасти ротора турбины (см. фото).

Чем выше давление пара, тем с большей скоростью будет вращаться ротор, тем больше электроэнергии может быть выработано. В современных турбинах давление пара составляет более 10 000 кПа при температуре 300–500 °С.

---

Page 3

О том, что все газы имеют массу, мы часто склонны забывать. Помните ли вы, например, что 1 кубический метр воздуха имеет массу более 1 кг ? Если забыли – загляните в таблицу плотностей в § 2-г… Из этого следует, что масса воздуха, находящегося в классе, составляет примерно 200–300 кг!

Проведём опыт, подтверждающий, что воздух действительно имеет массу. Взгляните на рисунок «а». Вы видите, что к левой чаше весов подвешен стеклянный шар, а на самой чаше лежит пробка с трубкой и зажимом. На правой чаше стоит гиря, уравновешивающая вес предметов на чаше слева: пробки, трубки, зажима и шара, в котором есть окружающий нас воздух.

Взгляните на рисунок «б». Шар отцепили от чаши и присоединили к насосу. Некоторое время воздух из шара откачивали.

Затем трубку пережали зажимом, а шар опять подвесили к чаше (рис. «в»). Мы видим, что теперь гиря «перевешивает», следовательно, масса шара стала меньше массы гири. То есть опыт подтвердил, что атмосферный воздух обладает массой. Её можно измерить при помощи весов и гирь. Зная объём шара, можно даже подсчитать плотность воздуха.

Существование массы воздуха – причина того, что воздух, притягиваясь к Земле, имеет вес. Известно, например, что атмосферный воздух, расположенный над площадью поверхности Земли в 1 м, имеет огромный вес – около 100 тысяч ньютонов!

Как известно, воздух окружает всю Землю в виде шарообразного слоя, поэтому воздушную оболочку Земли называют атмосферой (греч. атмос – пар, воздух; сфера – шар). Как и любое тело, она притягивается к Земле. Действуя на тела своим весом, атмосфера создаёт давление, называемое атмосферным давлением. Согласно закону Паскаля оно распространяется в дома, пещеры, шахты и действует на все тела, соприкасающиеся с атмосферным воздухом.

Космические полёты показали, что атмосфера возвышается над поверхностью Земли на несколько сотен километров, становясь всё более разреженной (менее плотной). Постепенно она переходит в безвоздушное пространство – вакуум (лат. «пустота»), в котором отсутствует воздух, а, следовательно, и атмосферное давление.

Существованием атмосферного давления объясняется множество явлений. Рассмотрим одно из них – поднятие жидкости за поршнем, например, водяного насоса. Обратимся к рисунку.

Если резко поднять рукоятку поршня, то между ним и жидкостью образуется безвоздушное пространство, давление в котором практически равно нулю. Поэтому атмосферное давление, воздействуя на поверхность жидкости в сосуде (голубые стрелки), вгонит жидкость вверх по трубке в пространство с меньшим давлением. Но если же поршень поднимать плавно, то внешне всё будет выглядеть так, как будто бы жидкость «сама собой» поднимается за поршнем.

---

Page 4

До сих пор мы изучали случаи, когда сила, действующая на тело, была приложена к нему в одной точке. Мы так и говорили про неё: «точка приложения силы» . Настало время ситуаций, когда сила приложена к телу во множестве точек, то есть действует на некоторую площадь поверхности. В каждом из таких случаев говорят не только о самой силе, но и о создаваемом ею давлении.

Как приятна зимняя прогулка на лыжах! Однако стоит выйти на снег без них, как ноги будут глубоко проваливаться при каждом шаге, идти будет трудно, и удовольствие будет испорчено.

На этом рисунке вес лыжника примерно равен весу «пешехода». Поэтому силы, с которыми мальчики давят на снег, будем считать равными. Но заметьте: они действуют не на одну точку, а «распределяются» по некоторым поверхностям. У лыжника – по площади касания снега и лыж, а у пешехода – снега и подошв.

Понятно, что Sлыж > Sподошв. Поэтому и результат действия лыжника на снег проявляется в меньшей степени – лыжник проваливается на меньшую глубину.

Распределение силы по площади её приложения характеризуют особой физической величиной – давлением. Отношение силы F к площади поверхности S, при условии, что сила действует перпендикулярно поверхности, называют давлением. Это определение давления, и его можно записать в виде формулы:

p – давление, Па. F^ – перпендикулярно приложенная сила, Н. S – площадь поверхности, м2.

Единица давления – 1 паскаль (обозначается: 1 Па). Из формулы-определения видно, что 1 Па = 1 Н/мЧисловое значение давления показывает силу, приходящуюся на единицу площади её приложения. Например, при давлении 5 паскалей на каждый 1 м2 будет действовать сила 5 ньютонов.

Вернёмся к примеру с мальчиками. На рисунке не указаны числовые значения F и S. Значит, мы не можем количественно сравнить давления, которое оказывают мальчики (с лыжами и без лыж) на снег.

Однако мы можем сравнить их качественно, используя слова «больше» и «меньше». Сделаем это.

Сначала запишем исходные данные: силы, с которыми мальчики давят на снег, равны, и площадь лыж больше площади подошв (см. столбик слева):

После знака «Ю», который значит «следовательно», мы составили две дроби. Обратите внимание: знак «больше», присутствовавший в исходных данных, изменился на знак «меньше». Почему?

Поскольку знаменатель левой дроби больше знаменателя правой, значит, согласно свойству дроби, сама левая дробь меньше правой. Вспомнив, что каждая дробь в этом неравенстве является давлением, получим: давление лыжника меньше давления пешехода. Этим и объясняется то, что лыжник меньше проваливается в снег, чем пешеход.

Формула-определение давления подсказывает нам, как его можно изменять: чтобы увеличить давление, нужно увеличить силу или уменьшать площадь её приложения. И наоборот: чтобы уменьшить давление, нужно уменьшить силу или увеличить площадь, на которую эта сила действует.

---

Page 5

Познакомимся с необычным законом: он справедлив лишь для покоящихся жидкостей и газов. Для этого проведём опыт – нальём в пакет воды и завяжем. Если на него надавить рукой, то он прорвётся, и вода вытечет. Однако заметим: пакет рвётся не обязательно в том месте, где на него давят. Следовательно, давление, оказываемое нами на одну часть пакета, распространяется в другие его части.

Этим простым опытом мы проиллюстрировали закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменения во все части жидкости или газа.

Согласно этому закону, давление внутри жидкостей и газов распространяется по всевозможным направлениям. Следовательно, жидкости и газы оказывают давление во всех направлениях: влево, вправо и даже вверх! Это подтверждается опытами. Рассмотрим некоторые из них.

Возьмём стеклянную трубку и лёгкий диск на нити (рис. «а»). Натянув нить, мы получим сосуд с отпадающим дном (рис. «б»). Погрузим этот сосуд в широкий стакан с водой. Удивительно, но теперь дно (то есть диск) не отпадет, даже если нить не натягивать (рис. «в»).

Так происходит потому, что верхние слои воды в стакане создают давление на нижележащие слои, в том числе и на слой воды под диском. Согласно закону Паскаля это давление передаётся через слой воды под диском и действует на диск снизу вверх. Сила этого давления и поддерживает диск, прижимает его к краям стеклянной трубки.

Продолжим опыт. Нальём в трубку столько подкрашенной воды, чтобы её уровень оказался ниже, чем у воды в стакане (рис. «г»).

Мы увидим, что диск не отпадает. Так происходит потому, что давление на диск снизу по-прежнему больше, чем сверху. Теперь увеличим высоту слоя подкрашенной воды.

Диск отпадёт (рис. «д»). Значит, давление на диск сверху, созданное подкрашенной водой, превысило давление снизу, созданное водой в стакане при «помощи» закона Паскаля.

Примечание. При описании опыта мы пренебрегаем весом диска.

Согласно закону Паскаля вне зависимости от формы и размеров сосуда давление внутри жидкости на одной и той же глубине одинаково. Докажем это утверждение. Пусть рассматриваемым «сосудом» будет морская бухта с подводной пещерой. Взгляните на рисунок справа. Казалось бы, что давление воды в пещере меньше, чем давление в открытом море.

Однако, если бы это было так, то под действием большего из давлений вода из моря устремилась бы в пещеру, и уровень воды в море стал бы понижаться. Невероятно, да? Итак, поскольку вода у входа в пещеру (и в море тоже) остаётся в покое, значит давление воды в пещере равно давлению воды в море.

---

Page 6

Про массу или длину говорят, что они большие или маленькие, увеличиваются или уменьшаются. Про атмосферное давление говорят: оно высокое или низкое, повышается или понижается. Такая традиция установилась ещё с тех пор, когда атмосферное давление измеряли барометрами Торричелли, наблюдая за поднятием или опусканием ртутного столба. Сегодня чаще применяют безжидкостные барометры, так называемые анероиды (греч. «а» – отрицание, «нерос» – влажный).

Главная часть барометра-анероида – лёгкая, упругая, полая внутри металлическая коробочка 2 с гофрированной (волнистой) поверхностью. Воздух из коробочки откачан. Её стенки растягивает пружинящая металлическая пластина 5. К ней при помощи специального механизма прикреплена стрелка 6, которая насажена на ось 7 (см. рисунок ниже). Конец стрелки передвигается по шкале 4, размеченной в мм рт. ст. Все детали барометра помещены внутрь корпуса 1, закрытого спереди стеклом 3.

Согласно формуле F=pS, изменение атмосферного давления (то есть величины «p») будет приводить к изменению силы, сдавливающей стенки коробочки. Следовательно, будет изменяться и величина их прогиба. Возникающее движение стенок коробочки при помощи механизма передастся стрелке и вызовет её сдвиг к другому делению шкалы.

На рисунке – упрощённая схема соединения коробочки со стрелкой. В действительности этот механизм гораздо сложнее. В нём есть даже нить, наматывающаяся на колесо с жёлобом, прикреплённое к стрелке.

Барометр-анероид – очень чувствительный прибор. Например, с его помощью можно заметить изменение атмосферного давления даже при подъёме на лифте жилого дома. Наблюдая за барометром, вы легко обнаружите, что его показания меняются при перемене погоды. Замечено, что перед ненастьем атмосферное давление падает, а перед ясной погодой – возрастает. Кроме того, показания барометра зависят от высоты места наблюдения над уровнем моря. Чем выше мы будем подниматься, тем меньшим будет атмосферное давление. При небольших высотах подъёма каждые 12 м атмосферное давление уменьшается на 1 мм рт. ст.

Как барометр-анероид, так и трубку Торричелли можно использовать не только как барометр, но и как вакуумметр. Так называется прибор, измеряющий давления газа, меньшие атмосферного.

На рисунке изогнутая трубка Торричелли помещена на тарелку воздушного насоса. Поскольку высота трубки гораздо меньше 76 см, то при атмосферном давлении ртуть заполняет трубку целиком (рис. «а»).

Накрыв трубку колоколом и откачивая воздух насосом, мы будем понижать давление. Через некоторое время уровень ртути начнёт понижаться, показывая, что под колоколом постепенно создаётся вакуум (рис. «б»).

---

Page 7

По телевидению или радио мы часто слышим, что атмосферное давление сегодня равно, например, 760 мм рт. ст. (читается: семьсот шестьдесят миллиметров ртутного столба).

Это число бывает и другим – немного больше или меньше. Что оно означает? Для ответа на вопрос рассмотрим опыт итальянского учёного Э.

Стеклянную трубку длиной около метра, запаянную с одного конца, наполняют доверху ртутью. Затем, плотно закрыв отверстие пальцем, трубку переворачивают и опускают в чашу со ртутью, после чего палец убирают. Ртуть из трубки начинает выливаться, но не вся: остаётся «столб» 76 см высотой, считая от уровня в чаше. Примечательно, что эта высота не зависит ни от длины трубки, ни от глубины её погружения.

Объясним этот опыт. Взгляните на нижний рисунок. На нём мы пометили жёлтым цветом небольшой слой ртути внутри трубки вблизи её отверстия. Вес вышележащих слоёв действует вниз, толкая жёлтый слой в чашу. Причина этого – действие сила тяжести.

Ртуть в чаше давит на жёлтый слой с силой, направленной вверх. Причина этого – атмосферное давление, действующее на поверхность ртути в чаше. И действительно, согласно закону Паскаля оно распространяется через ртуть в чаше внутрь трубки (на рисунке – изогнутые стрелки). Так как ртуть покоится, то выделенные курсивом силы (вес и сила давления) уравновешивают друг друга. Обозначим это как F = F.

Из определения давления, формулы p = F/S следует, что F = pS. Так как F = F, получаем равенство pS = pS. Здесь S и S – площади верхней и нижней поверхностей «жёлтого» слоя ртути, равные друг другу. Значит, равны и давления: p = p. То есть давление, создаваемое столбом ртути в трубке, равно атмосферному давлению.

Трубка Торричелли с линейкой является простейшим барометром – прибором для измерения атмосферного давления (см. рисунок).

Измерения показывают, что атмосферное давление в местностях, лежащих на уровне мирового океана, в среднем 760 мм рт.ст. Такое давление при температуре ртути 0 °С называется нормальным атмосферным давлением. Выразим его в более привычных единицах давления – паскалях:

p = r g h = 13600 кг/м · 10 Н/кг · 0,76 м 100 кПаИтак, как же понимать, что атмосферное давление равно, например, 760 мм рт. ст. или 100 кПа? Это значит, что в данный момент атмосферное давление таково, что уравновешивает давление столба ртути высотой 76 см в трубке Торричелли.

В соответствии с законом Паскаля гидростатическое давление на уровне горизонтального дна сосуда при высоте жидкости в сосуде, равной Н, (1.7) Отсюда следует, что абсолютное давление рна горизонтальное дно не зависит от формы сосуда и объема жидкости в нем. При данной плотности жидкости оно определяется лишь высотой столба жидкостиНи внешним давлениемр0.

Сила давления жидкости Р_жна дно сосуда зависит от его площадиF:

(1.8) Общая сила давления на дно сосуда (1.9) Внешнее давление р0передается жидкостью каждому элементу поверхности стенки одинаково, поэтому равнодействующая внешнего давления приложена в точке центра тяжести поверхности стенки. Давление веса жидкости на стенку не одинаково по высоте: чем глубже расположен элемент стенки, тем большее давление веса жидкости он испытывает. Поэтому центр давления жидкости на вертикальную стенку расположен всегда ниже центра тяжести смоченной поверхности стенки.

Сила полного гидростатического давления на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления в центре тяжести этой стенки и ее площади: (1.10) где – расстояние от верхнего уровня жидкости до центра тяжести смоченной поверхности стенки; оно зависит от геометрической формы стенки.

Сила избыточного давления (собственно жидкости) Р_избна стенку Точка приложения сил РиРизбносит название центра давленияhди может быть определена в соответствии с законами теоретической механики через момент инерции смоченной поверхности стенки (1.11) где Jx– момент инерции стенки относительно осиox.

Для прямоугольной стенки при уровне жидкости в сосуде, равном Н, и ширине стенкиВ Следовательно, Применив закон Паскаля к сообщающимся сосудам, можно прийти к следующим выводам.

Если сосуды (рис. 1.4 а) заполнены однородной жидкостью (одинаковой плотности), то при равновесии давление в точке 0 может быть выражено:

либо, т.е. в сообщающихся сосудах заполняющая их однородная жидкость располагается на одинаковом уровне.

При заполнении сосудов жидкостями с различной плотностью (рис 1.4 б) в условиях равновесия давление в точке О будет либо.

Рисунок 1.4 – Сообщающиеся сосуды, заполненные жидкостью: а– одной плотности;б– разной плотности Следовательно , т.е.

. (1.12) Соотношение (1.12) указывает на то, что высоты уровней жидкости, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

Этот принцип используется для измерения уровня жидкости в закрытых аппаратах с помощью водомерных стёкол, в жидкостных манометрах.

Если сообщающиеся сосуды заполнены одной и той же жидкостью, но давление над уровнем жидкости в них разное – рир, то при равновесии , , откуда . (1.13) Последнее выражение используется при измерении давления или разности давлений между различными точками с помощью дифференциальных U-образных манометров.

Рисунок 1.5. – К определению высоты гидравлического затвораЭтот же принцип используется для определения высоты гидравлического затвора в аппаратах, заполненных жидкостью (рис. 1.5).

На рисунке представлен сосуд, заполненный двумя жидкостями с плотностями 1и2; уровень их раздела на глубинеz1необходимо поддерживать в процессе работы постоянным с помощью гидрозатвора, представляющего собойU-образную трубку, подсоединённую снизу (на выходе жидкости из аппарата).

В соответствии с уравнением (1.12) высота гидравлического затвора в случае одинакового давления над жидкостью внутри аппарата и на выходе из затвора . (1.14) На использовании данного уравнения гидростатики основана работа таких простейших гидравлических машин, как гидравлический пресс, мультипликатор (для повышения давления), домкрат, подъемник и др.

Рисунок 1.6 – Схема гидравлического прессаНа рис. 1.6 показана схема гидравлического пресса. Если к поршню П

, имеюшему площадь.

F

, приложена сила.

Р

, то эта сила будет передаваться на жидкость; жидкость же будет давить на поршень П.

, имеющий площадь.

F

, с силой.

Р

None (1.16) Из уравнения (1.16) следует, что при помощи пресса сила Р1увеличивается во столько раз, во сколько площадьF2больше площадиF1.

Источники:

• sfiz.ru
• questions-physics.ru
• studfiles.net

Уравнение Бернулли считается одним из основных законов гидромеханики, он устанавливает связь между давлением в потоке жидкости и скоростью его движения в гидравлических системах: с увеличением скорости движения потока давление в нем должно падать. С его помощью объясняются многие гидродинамические эффекты. Рассмотрим некоторые хорошо известные из них. Подъем и распыление жидкости в пульверизаторе (рис. 1) происходит благодаря пониженному давлению в струе воздуха, проходящему с большой скоростью над трубочкой, опущенной в сосуд с жидкостью. Подниматься жидкость вверх заставляет атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха.
Шарик для пинг-понга (рис. 2) устойчиво парит  в вертикальной струе воздуха, так как давление в струе меньше атмосферного, которое и прижимает шарик к струе, не давая ему упасть.
Суда, идущие параллельным курсом (рис. 3), притягиваются друг к другу, что является причиной многих морских катастроф. Это объясняется понижением давления между судами из-за большей скорости воды в суженном пространстве между ними.
Подъемная сила крыла (рис. 4) обусловлена наличием разности давлений р1 и р2 из-за разницы скоростей V1 и V2, когда V1 меньше V2, так как частицы воздуха, находящиеся над крылом, до момента встречи на конце крыла проходят больший путь, чем частицы, расположенные снизу.
Если подуть между двумя листами бумаги, касающимися друг друга (рис. 5), то они не разойдутся, как казалось бы, должно произойти, а, наоборот, прижмутся друг к другу.
Таким образом, мы видим, что уравнение Бернулли имеет широкий диапазон применения для объяснения многих гидродинамических явлений. Даниил Бернулли опубликовал его в 1738 году после многолетних размышлений и исследований, поисков и сомнений. Он был абсолютно уверен в правильности открытого им закона, связывающего статическое давление в жидкости со скоростью ее движения.
Рассмотрим вывод этого уравнения для элементарной струйки жидкости (линии тока), как он дается во всех учебниках, при стационарном ламинарном течении идеальной несжимаемой жидкости. Чтобы исключить влияние силы тяжести на движение жидкости, возьмем горизонтальный участок трубы (рис. 6), элементарную струйку также расположим горизонтально.
Рассмотрим движение элемента жидкости, определяемого длиной l1. На выделенную часть жидкости будет действовать движущая сила, создаваемая статическим давлением p1:
,                                                                                         (1)
где S1 – площадь поперечного сечения с левой стороны выделенного участка жидкости, и сила сопротивления, определяемая статическим давлением p2:
,                                                                                     (2)
где S2 – площадь поперечного сечения с правой стороны участка.
Давление, действующее на боковую поверхность элемента жидкости, по утверждению авторов, перпендикулярно к перемещениям и работы совершать не будет.
Под действием этих двух сил выделенная часть жидкости будет двигаться слева направо. Предположим, что она переместится на некоторое небольшое расстояние и займет положение, определяемое длиной l2, при этом левый конец элемента жидкости переместится на величину Dl1, а правый на величину Dl2.
В соответствии с законами механики движение элемента жидкости будет характеризоваться тем, что изменение его кинетической энергии будет равно работе всех действующих на него сил:
,                                    (3)
где m – масса выделенного элемента жидкости, и – конечная и начальная скорости его центра масс.
Правую часть выражения (3) можно преобразовать, если обратить внимание на то, что в обоих положениях выделенного элемента имеется общая часть (не заштрихованная на рис. 6), которая будет обладать одной и той же кинетической энергией. Эту часть энергии можно ввести в уравнение (3), прибавив и отняв ее в правой части:
(4)
где mобщ – масса общей части, – скорость центра масс общей части.
Выражения в скобках представляют собой кинетические энергии заштрихованных участков длиной Dl1 и Dl2 , движущихся в силу их малой протяженности с постоянными для всех точек скоростями V1 и V2. Поэтому уравнение (4) примет вид:
,                            (5)
где Dm1 и Dm2 – массы заштрихованных участков жидкости.
В силу непрерывности потока жидкости объемы и массы заштрихованных частей будут равны:
,                                            (6)
где r – плотность жидкости.
Разделив выражение (5) на S1Dl1= S2Dl2, преобразуем его к виду:
(7)
После перестановки членов уравнение примет вид:
(8)
Это и есть уравнение Бернулли. Поскольку элемент жидкости может быть взят в любом месте потока и любой длины, уравнение Бернулли можно записать следующим образом:
,                                                                         (9)
где р и V – статическое давление и скорость движения в любом месте элементарной струйки жидкости. Выражение rV2/2называется динамическим давлением.
Из уравнения (9) следует, что в тех точках, где скорость больше,  статическое давление будет меньше и наоборот. То, что это действительно так, подтверждается опытом. Возьмем для примера трубку Вентури (рис. 7). Уровни жидкости в манометрических трубках ясно показывают, что статическое давление меньше в суженой части, где скорость потока больше. Кроме того, подтверждением сказанному может быть и то, что полученный результат, как утверждается в работе [2, с. 502], является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость движется из широкой части в суженую, скорость ее возрастает и ускорение направлено в сторону движения. А так как ускорение определяется разностью давлений, действующих на элемент жидкости слева и справа, то и давление в широкой части трубки должно быть больше, чем в узкой. Правда, здесь можно заметить, что ускорение определяется не давлением, а силой, сила же зависит не только от давления, но и площади поперечного сечения. Поэтому, большая сила может быть и при меньшем давлении, так что приведенный аргумент не является убедительным.
Итак, все, вроде, логично в приведенных рассуждениях. Однако, существует возможность все гидродинамические эффекты объяснить иначе. Дело в том, что мы всегда имеем дело не с идеальной, а с вязкой жидкостью, которая ведет себя совершенно по-другому.
Рассмотрим, что будет происходить с вязкой жидкостью, текущей по трубе (рис. 8). Благодаря наличию трения между потоком жидкости и стенками трубы, а также между слоями самой жидкости, скорость частиц жидкости будет различна в разных точках в одном и том же сечении потока: в центре трубы она будет максимальна, около стенок – равна нулю. В результате поле скоростей в сечении потока жидкости будет определятся  выражением [1,с. 82]:
,                                                                             (10)
где V – скорость в центре потока, r – текущий радиус, R – радиус трубы, и будет иметь вид, представленный на рисунке 8. С полем скоростей неразрывно связано скалярное поле кинетической энергии, которое характеризуется выражением:
,                                         (11)
где Edm – кинетическая энергия выделенной элементарной массы dm, которая определяется выражением:
(12)
Здесь: dl – элементарная длина в осевом направлении, r – плотность жидкости.
Поскольку поле кинетической энергии неоднородно, на элементарную частицу жидкости будет действовать сила, направленная к центру потока:
(13)
Эта сила, отнесенная к цилиндрической части поверхности частицы dS, нормально расположенной к силе:
,                                                                                      (14)
определит давление, возникающее в данном месте потока под действием данной силы:
(15)
Это давление зависит только от элементарной силы dF, поэтому его можно назвать дифференциальным давлением. Общее же давление в данной точке жидкости будет зависеть от элементарных сил инерции, действующих и на другие частицы жидкости. Поскольку все силы dF имеют радиальное направление и направлены к центру потока, суммарное давление в точке будет определятся силами, лежащими на одном радиусе и расположенными с внешней по отношению к рассматриваемой точке стороны. Поэтому общее давление может быть найдено интегрированием выражения (15) по r в пределах от r до R:
(16)
Здесь знак минус указывает направление сжатия (к центру сечения).
Получился удивительный результат, так как это выражение аналогично выражению для кинетической энергии (11), отнесенного к объему элементарной массы dm:
,                                                 (17)
т.е. суммарное давление является плотностью кинетической энергии в некотором элементарном объеме в окрестностях рассматриваемой точки.
Из выражения (16) следует, что на оси потока (при r=0) давление будет максимальным, а на его границе (при r=R) оно будет равно нулю.
Под действием радиальных сил поток будет сжиматься в направлении к его оси, вследствие чего давление на стенки трубы будет уменьшаться, т.е. появится как бы отрицательное давление, величину которого можно найти как среднее по радиусу от выражения (16). Для этого проинтегрируем его в пределах от 0 до R и поделим на R:
.       (18)
Тот же самый результат получится, если с помощью выражения (13) найти силу, действующую на элементарную площадку поверхности самой трубы и направленную к осевой линии трубы, для чего это выражение с учетом выражения (12) надо проинтегрировать в пределах от 0 до R:
(19)
Поделив эту силу на величину элементарной площадки:
,                                                                                     (20)
получим величину отрицательного давления на внутренней поверхности трубы:
.
За счет этого давления статическое давление около стенок трубы будет уменьшаться. Результирующее статическое давление определится выражением:
(21)
Так как величина отрицательного давления зависит от квадрата скорости, то, вполне естественно, что его величина будет значительно больше в узкой части потока, чем в широкой. Поэтому в трубке Вентури в узкой ее части манометры и будут показывать меньшее давление, чем в широкой части. Зависимость величины отрицательного давления у стенок трубы от скорости движения для воды показана на рисунке 9.
В качестве другого примера можно рассмотреть принцип работы пульверизатора, когда струя газа всасывает в себя жидкость, находящуюся в сосуде (см. рис. 1). Считается, что жидкость всасывается благодаря тому, что давление в струе газа за счет ее скорости становится ниже атмосферного, которое и выдавливает жидкость из сосуда, а струя газа увлекает ее за собой.  Однако, такой же эффект вызовет и наличие отрицательного давления, обусловленного наличием неодно-родного поля кинетической энергии в потоке струи газа, вылетающей из сопла пульверизатора. Кроме того, струя будет увлекать за собой частицы окружающего воздуха, что приведет к появлению в нем своего поля кинетической энергии, градиент которого и будет являться причиной всасывания жидкости из сосуда.
Тогда возникает вопрос: если причиной понижения давления в трубке Вентури и всасывания в пульверизаторе может быть не понижение давления в потоке движущейся жидкости или газа, то как же понимать тогда сущность уравнения Бернулли? Ведь скорость жидкости в суженной части потока действительно возрастает, а это, вроде, возможно только при уменьшении противодействия, причем эксперименты показывают, что давление в потоке может быть и ниже атмосферного, так как в манометрической трубке жидкость поднимается над уровнем, соответствующим атмосферному давлению (рис. 10). Но с другой стороны несомненно и то, что сужение потока должно увеличивать сопротивление движению, а значит, и повышать давление внутри потока жидкости. В таком случае увеличение скорости потока может происходить только за счет увеличения движущей силы, т.е. давления с левой стороны выделенного элемента потока. Действительно, подобное заключение можно сделать, если обратиться к уравнению (7):

Мы не должны забывать, что это уравнение относится ко всему выделенному нами объему жидкости, который мы рассматриваем как единое целое. Поэтому разделять его, как это сделано в выражении (9) нельзя. Это очень важно помнить. Из выражения (7) следует, что с увеличением скорости V2 при постоянной скорости V1 будет увеличиваться разность давлений р1 и р2. Это увеличение может происходить как за счет уменьшения р2, так и за счет увеличения р1. При анализе уравнения Бернулли предпочитают говорить об уменьшении давления р2. Но что такое давление р2? Это давление, препятствующее движению жидкости или газа. Чем оно определяется? Возьмем для примера конический насадок для трубопровода (рис. 11). Совершенно ясно, что противодавление р2 не может быть меньше атмосферного давления, иначе жидкость не будет вытекать из сопла. Если же мы захотим увеличить скорость истечения жидкости при данном насадке, то мы, в соответствии с уравнением (7) должны увеличить давление р1. Но это еще не все. Так как скорости V1 и V2 взаимообусловлены, с увеличением скорости V2 будет увеличиваться и скорость V1 , и тогда разность давлений р1 и р2 должна уменьшаться, что соответствует увеличению давления р2 при постоянном давлении р1.
Таким образом, анализ уравнения Бернулли выявляет наличие проблемы в понимании его сущности. Для того, чтобы лучше разобраться с этой проблемой, применим уравнение (7) к исследованию движения жидкости в коническом насадке (см. рис. 11). Из условия непрерывности потока следует, что скорости в сечениях 1 и 2 связаны соотношением:
,                                                         (22)
где R1 и R2 – радиусы поперечных сечений в сечениях 1 и 2.
Подставив это значение скорости в выражение (7) и решив его относительно скорости V2, получим:
(23)
Проанализируем это выражение. Возьмем предельные отношения R2/R1. При R2/R1=0 скорость V2 будет равна:
,                                                                   (24)
тогда как совершенно ясно, что она должна равняться нулю. Правда, здравый смысл подсказывает, что давления р1 и р2 в соответствии с законом Паскаля должны быть равны, а их разность равняться нулю. Однако, из выражения (24) это обстоятельство никак не вытекает.
При R2/R1=1 скорость V2 будет равна бесконечности:
,                                                         (25)
что, конечно, не может соответствовать действительности. Однако, и здесь можно найти выход из положения, объявив, что давление р1 и р2 также будут равны, так как величина скорости должна быть постоянной. Тем не менее, мы не сможем найти величину скорости V2, так как она будет определяться отношением нулей.
А как быть при промежуточных значениях отношения R2/R1? Не может же разность давлений р1 и р2 все время быть равной нулю. А как эта разность будет изменяться? Ответа на эти вопросы не существует. Становится ясным только одно: уравнение Бернулли даже для идеальной жидкости не является точным и не может быть использовано для расчета скоростей или давлений, в нем чего-то не хватает. Вот с этим вопросом и следует разобраться, причем с цифровыми расчетами.
Такие расчеты, хотя и приближенные, существуют для истечения жидкости из бака (рис. 12). Уравнение Бернулли в этом случае с учетом потенциальной энергии от веса жидкости имеет вид:
(26)
где g=9,81 м/с2 – ускорение силы тяжести, а координаты z1 и z2 отсчитываются от некоторого произвольного уровня, так как при решении задачи нужна только их разность: H=z1 – z2.  Принимается, что V1=0, так как V1<<V2, тогда из выражения (26) получается:
,                                                           (27)
где р2 равно атмосферному давлению.
Если р1 будет равно р2, то формула (27) примет еще более простой вид:
,                                                                                     (28)
откуда следует, что скорость истечения жидкости равна скорости свободного падения твердого тела с высоты H.
Это выражение было получено Торичелли за 100 лет до Бернулли и поэтому называется формулой Торичелли.
Однако, и здесь, несмотря на очевидность вывода этого уравнения, возникают вопросы, на которые нет ответа: будет ли, например скорость истечения жидкости зависеть от размеров отверстия или от размеров конического насадка, который можно присоединить к баку (см. рис. 12,б)? Может ли истечение жидкости через небольшое отверстие  быть похожим на ее свободное падение? Это, конечно, весьма сомнительно даже для приближенного определения скорости.
Для упрощения анализа этой задачи возьмем вертикально расположенный бак конической формы (рис. 13), в который поступает и из которого вытекает  жидкость, причем так, чтобы ее уровень оставался все время одним и тем же. Учитывая соотношение (22) из уравнения Бернулли получим:
(29)
Из этого выражения следует, что при R2/R1=0 скорость V2 будет равна нулю только при  условии:
,                                           (30)
откуда следует:
,                                                                             (31)
что совсем не следует из условия задачи.
При R2/R1=1  V2=¥ , хотя вполне очевидно, что жидкость будет падать при противодействии внешнего давления, которое будет равно атмосферному: р2=р0, и скорость падения должна иметь вполне конкретное значение.
Таким образом,  мы установили, что давление р2 в потоке жидкости должно изменяться  в зависимости от отношения R2/R1 в пределах:
,                                                                  (32)
закон изменения которого нам не известен.
Чтобы установить эту зависимость, рассмотрим сперва закрытый конический  сосуд, в котором находится под некоторым давлением газ (рис. 14). В этом случае вес газа ввиду его малости можно не учитывать. В соответствии с законом Паскаля давление газа во всех точках сосуда будет одним и тем же. Будем считать, что давление в сосуде создается со стороны первого сечения силой F1, величина которой будет равна:
,                                            (33)
где S1 – площадь поперечного сечения в первом сечении. Во втором сечении газ будет действовать на днище с силой F2, равной:
,                                                                                         (34)
где р2=р1, S2– площадь днища.
Так как площадь S2 меньше площади S1, сила F2 будет меньше силы F1. Вполне очевидно, что разность этих сил:
(35)
будет компенсироваться сопротивлением со стороны боковых стенок сосуда.
Таким образом,  сужение сосуда оказывает дополнительное сопротивление силе F1, в результате чего на днище и будет действовать меньшая сила.
Удалим теперь у сосуда днище. Так как газ в сосуде будет находится под давлением  большим, чем атмосферное, он начнет вытекать из сосуда с некоторой скоростью. Это движение может происходить только за счет уменьшения давления газа,  так как кинетическая энергия движения газа может появиться только за счет потенциальной энергии его давления. Очевидно, что при этом  соотношение между давлением в первом и втором сечениях должно измениться, так как скорости движения частиц газа в них будут разными и поэтому количество потенциальной энергии (давления), перешедшей в кинетическую энергию движения, тоже будет разным.
Теперь остается только предположить, как изменятся давления в обоих сечениях, если скорости движения газа в них будут соответственно V1 и V2, а  статическое давление р1 будет поддерживаться на постоянном уровне. Поскольку источником движения является только давление газа, за счет уменьшения потенциальной энергии которого и появляется энергия движения, то вполне разумно использовать закон сохранения энергии, предполагая, что потери энергии отсутствуют. Кстати, при выводе своего уравнения Бернулли тоже использовал этот закон, поскольку вся работа сил давления переходила в кинетическую энергию движения.
В соответствии с законом сохранения энергии статические давления в первом и втором сечениях станут меньше первоначальных на величину объемных плотностей кинетических энергий в них:
;                                                                                              (36)
,                                                   (37)
так как р2=р1.
Из этих соотношений видно, что мы устанавливаем связь между давлениями и скоростями в обоих сечениях, причем давление во втором сечении будет зависеть от давления в первом сечении. Скорости  V1 и V2 тоже взаимозависимы. Так что можно утверждать, что давления и взаимообусловлены.
Если  к давлениям и добавить потери потенциальной энергии, перешедшей в кинетическую энергию движения и , то статическое давление в первом и втором сечениях будут равны друг другу и равны р1, т.е.:
,                                                    (38)
что является аналогом уравнения Бернулли.
Таким образом,  мы получили уравнение Бернулли, исходя из закона сохранения энергии для установившегося потока идеальной жидкости. По сути дела, мы расширили область применения закона Паскаля, перенеся его на движущуюся жидкость.
В связи с изменением давления в первом и втором сечениях изменяются и силы, действующие в них. В соответствии с выражениями (36) и (37) величина этих сил будет равна:
;                                                 (39)
(40)
Посмотрим, что произойдет при этом с силой противодействия DF. Определяя ее как разность сил и , найдем:
,            (41)
откуда следует, что сила противодействия со стороны стенок возрастает.
Из рассмотренного примера и тех предположений, которые мы сделали, можно сделать следующие выводы.
Во-первых, всякое сужение канала, по которому движется жидкость или газ, оказывает сопротивление этому движению, величина которого зависит от степени суженности, т.е. чем больше сужение, тем больше сопротивление. И наличие этого сопротивления не будет зависеть от того по какому каналу течет жидкость – по широкой трубе или в элементарной струйке. Величина сопротивления будет также зависеть от соотношения скоростей течения в разных сечениях, как это следует из формулы (41). При выводе же уравнения Бернулли это сопротивление не учитывается.
Во-вторых, давление во втором сечении зависит от давления в первом сечении , равного:

Давление во втором сечении будет также зависеть от скорости движения потока жидкости , уменьшаясь на величину . Из этого следует, что давление не является внешним сопротивлением по отношению к выделенному элементу жидкости, это есть внутреннее свойство рассматриваемой части жидкости. И это, по сути дела, есть то давление, которое выделенный элемент жидкости оказывает на последующую, отброшенную часть жидкости, т.е. создает силу, вызывающую движение последующих участков жидкости. И что очень важно, это давление не будет прямо зависеть от внешнего по отношению к выделенному элементу жидкости давлению со стороны отброшенной последующей части жидкости, которое мы обозначим через . Здесь зависимость будет опосредованная: от давления будут зависеть скорости V1 и  V2, а уже от скорости V2 будет зависеть давление . Следует заметить, что одной из составляющих давления будет в общем случае давление окружающей среды, в частности  – атмосферное давление. Отсюда непосредственно следует тот факт, что давление в потоке жидкости не может быть меньше атмосферного. Таким образом,  из всего изложенного следует, что при выводе уравнения Бернулли давление не должно учитываться как причина появления силы сопротивления – сила сопротивления будет создаваться только давлением .
В-третьих, сила сопротивления DF, возникающая из-за сужения канала, определяется только разностью сил в первом и втором сечениях и и противодействует непосредственно силе , т.е. можно считать, что она приложена в первом сечении. Поскольку сила определяется давлением , зависящим от давления р1, то и противодействующая сила DF также зависит от давления р1 и, следовательно, является как бы силой самоторможения потока жидкости при движении его в суженной части. Поэтому при выводе уравнения Бернулли сила DF, во-первых, должна учитываться, а во-вторых, для определения ее работы должна умножаться на перемещение левого конца жидкости Dl1.
В заключение следует сказать, что все сделанные нами выводы стали возможны потому, что мы рассматривали движение выделенного элемента жидкости как единого целого тела, а не двух небольших участков, расположенных на его концах. Вполне очевидно, что такой подход наиболее точно отвечает поставленной задаче.
Теперь снова вернемся к рассмотрению задачи об истечении воды из конического бака (см. рис. 13). В баке с жидкостью давление во втором сечении, по которому будет определяться сила противодействия DF, кроме давления р1 будет также определяться давлением рн , создаваемым весом жидкости:
,                                                                                      (42)
где Н – высота столба жидкости, отсчитываемая от ее верхнего уровня, в связи с чем выражения (36) и (37) примут вид:
;                                                                                              (43)
(44)
В связи с вышеизложенным можно определить действующие на выделенный элемент жидкости силы:
;                                                     (45)
;                                    (46)
(47)
Кроме этого мы должны учесть силу сопротивления со стороны отброшенной последующей части жидкости:
,                                                                                         (48)
где в данном случае будет равно атмосферному давлению ро.
При составлении уравнения движения для рассматриваемого объема жидкости мы должны учитывать только силы и , так как выше было показано, что сила не является силой сопротивления. Было также показано, что при нахождении работ сил и DF их надо умножать на перемещение жидкости в первом сечении – Dl1. Остается  выяснить вопрос, как следует поступить с силой сопротивления : на какое перемещение Dl ее надо умножить – на Dl1 или Dl2? Для решения этой проблемы объединим силы DF и :
(49)
откуда получим, что второе выражение в скобках представляет собой избыточное по отношению к давлению давление жидкости во втором сечении:
(50)
Отсюда следует, что и работа силы должна определяться умножением ее на перемещение Dl1.
Таким образом,  уравнение движения в форме закона изменения кинетической энергии для данной задачи определится выражением:
(51)
После подстановки соответствующих значений сил, определяемых выражениями (45) и (49), выражение (51) преобразуется к виду:
(52)
которое после деления на произведение S1Dl1 и соответствующих преобразований примет вид:
(53)
Выразив скорость V1 через скорость V2 в соответствии с выражением (22) и решив уравнение (53) относительно скорости V2, получим расчетную формулу:
(54)
Проведем анализ этой формулы. При R2/R1=0 скорость V2 будет равна нулю, так как числитель будет равен нулю, а знаменатель единице. При R2/R1=1 скорость V2 будет равна:
,                                                  (55)
что совпадает с выражением (27). И это выражение будет в данном случае действительно соответствовать свободному падению жидкости, так как R2=R1. При промежуточных значениях соотношения R2/R1 скорость V2 будет иметь соответствующее этому отношению значение. Результаты расчета этой скорости при значениях === н/м2 и при Н=10,2 м представлены на рисунке 15. Как можно было бы и предполагать с увеличением отношения R2/R1 скорость плавно возрастает от нуля до максимального значения, соответствующего свободному падению. Кроме того, по формуле (44) можно найти давление в струе жидкости, вытекающей из конического бака. Анализ этой формулы показывает, что при V2=0 давление в жидкости будет равно:

и при , что соответствует свободному падению, =. Расчетная кривая для давления =+= представлена на рисунке 15, откуда видно, что давление в вытекающей струе будет больше атмосферного при всех соотношениях радиусов R2/R1, за исключением случая, когда эти давления будут равны.
Для большей убедительности всего изложенного дадим другой вывод уравнения движения, учитывающий инерционные силы, действующие на выделенный элемент идеальной жидкости. В этом случае на основании законов механики силы, действующие на рассматриваемый элемент жид­кости, будут находиться в равновесии.
Для определения силы инерции рассмотрим часть конического канала, по которому движется жидкость (рис. 16). Выделим элементарный объем жидкости dm, который из первого положения переместится во второе, изменив при этом скорость своего центра масс со значения до значения . Возникающую при этом элементарную силу инерции можно определить по формуле:
,                                                                         (56)
где
,                                                            (57)
а знак минус показывает направление силы инерции.
Соотношение между скоростями в двух рассматриваемых положениях элементарной массы dm определяется выражением:
,                                          (58)
где
(59)
Используя это соотношение получим:
(60)
Возведя бином в четвертую степень, поделив каждый член на Dls и  приняв затем Dls равным нулю, найдем выражение для элементарной силы инерции:
(61)
Примем, что точка Si находится на расстоянии l от первого сечения, тогда соотношение скоростей и радиусов сечений в этих точках будет иметь вид:
;                                                              (62)

Это значение давления следует подставить в исходное уравнение (53), которое после его решения относительно V2 даст следующее выражение:

(92)
Для трубы постоянного сечения, т.е. при R2/R1=1, это выражение примет вид:
,                                                      (93)
а при  р1=р0 получим:
(94)
Подставив это значение скорости в выражение  (90), найдем:
(95)
Таким образом,  высота подъема жидкости будет в два раза меньше перепада ее уровней H. Еще раз отметим, что это будут приближенные значения для скорости V2 и высоты подъема h, так как сечение наружного потока не должно оставаться постоянным: оно должно увеличиваться по мере удаления от выходного отверстия в связи с падением скорости и условием неразрывности ее потока. Кроме того на величину поперечного сечения потока будет оказывать влияние ниспадающая часть потока, которая будет создавать тянущую силу, увеличивающую скорость движения потока.
Расчетные значения скоростей V2,  давления и высоты h подъема воды представлены на рисунках 20 и 21 для двух случаев, когда Н=10,32875м и Н=1м.  Давление в этом случае определяется обычной формулой:

Так как скорость истечения в этом случае будет меньше за счет наличия добавочного сопротивления столба воды, то и давление будет больше, чем при истечении жидкости вниз, если не учитывать наличия дополнительной силы за счет сцепления частиц жидкости.
Рассмотрим теперь движение не идеальной, а реальной вязкой жидкости. Торможение слоев жидкости о стенки трубы и между собой приводит к уменьшению скорости движения частиц жидкости и, следовательно, к потере некоторой части кинетической энергии потока. Для определения кинетической энергии потока зададимся законом изменения скорости по радиусу произвольного сечения в виде:
,                                                                          (96)
где Vl и Rl – соответственно скорость жидкости на оси потока и радиус поперечного сечения на расстоянии l от первого сечения. Кинетическую энергию следует определять по средней скорости потока, которую можно найти по объемному расходу жидкости Q:
,                                                                                        (97)
где Sl – площадь поперечного сечения на расстоянии l. Из выражения (97) имеем:
(98)
Объемный расход найдем, используя выражение (96) для элементарных кольцевых сечений, площадь которых определится выражением:
,                                                                                    (99)
где dr – ширина кольца. В соответствии с этим  элементарный объемный расход будет равен:
(100)
Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до R, получим полный объемный расход жидкости в сечении l:
(101)
Используя формулу (98), найдем среднюю скорость потока в сечении l:
(102)
Кинетическая энергия потока на некотором участке Dl в этом случае будет равна:
,                                                                             (103)
где Dm -соответствующая длине Dl масса участка жидкости.
Уравнение движения выделенного объема жидкости в виде суммы сил с учетом силы трения Fтр определится выражением:
(104)
В этом выражении учитываются средние по сечению скорости потока в сечениях 1 и 2. Сила трения должна определяться по существующим экспериментальным данным.
Сделав необходимые преобразования, приведем выражение (104) к виду:
(105)
откуда найдем скорость V2:
,               (106)
где
(107)
потеря давления на длине L=H (на эту величину уменьшается давление р1 в сечении 2).
Анализ этого выражения показывает, что при R2/R1=0 скорость V2 будет равна нулю, а при R2/R1=1 выражение (107) примет вид:
(108)
Среднее значение скорости потока во втором сечении будет в два раза меньше.
Величина давления во втором сечении уменьшится за счет потери энергии на преодоление сил трения и будет определяться  выражением:
(109)
При движении жидкости вниз необходимо учесть межмолекулярное сцепление. Тогда скорость V2 определится выражением:
(110)
При вытекании жидкости вертикально вверх давление , как было показано выше, можно представить выражением:
(111)
Тогда выражение для скорости V2 примет вид:
(112)
Давление внутри жидкости при ее движении вниз и вверх будет определяться выражением (109), только скорости V2 в них будут, естественно, разными. Значит и давления будут различными.
Давление внутри жидкости  с учетом ее сжатия будет в соответствии с формулой (18) больше на величину среднего отрицательного давления:
,
пристеночное же давление – меньше на эту величину, т.е.:
;                                                                           113)
(114)
Для расчета скоростей потока жидкости и давления внутри него с учетом силы трения необходимо определить силу трения. Для этого используем формулу Пуазейля, по которой определяется расход жидкости при ламинарном режиме течения:
,                                                                              (115)
где Q – расход жидкости в м3/с, р1–р2 – перепад давления в потоке жидкости на участке цилиндрической трубы длиной L в Н/м2, m –  динамическая вязкость жидкости в кг/мс, d – диаметр трубы в м.
С помощью этого выражения можно найти среднюю скорость по сечению трубы:
,                                                     (116)
где, как уже отмечалось выше, средняя скорость равна половине максимальной осевой скорости V.
Используя выражение (116), найдем потерю давления за счет трения на длине L:
(117)
Поскольку мы рассматриваем сосуд (трубу) переменного сечения, запишем выражение (117) в дифференциальной форме:
,                                                                                 (118)
где Vl – осевая скорость в сечении, находящемся от первого сечения на расстоянии l, Rl – радиус этого сечения, dl – элементарная длина участка, соответствующего элементарной потери давления dp (рис. 24).
Для дальнейших преобразований используем условие непрерывности потока:
,
откуда находим:
,        (119)
где
(120)
Используя эти выражения, получим:
(121)
Проинтегрировав полученное выражение по l в пределах от 0 до L, найдем потерю давления по всей длине L:
(122)
Так как выражение в круглых скобках равно:
,                                                                    (123)
а tga определяется выражением:
,                                                               124)
формула (122) преобразуется к виду:
(125)
Выразим скорость V1 через скорость V2, используя условие неразрывности потока:
(126)
и приведем выражение (125) к виду:
(127)
По полученным формулам были произведены три варианта расчетов для следующих размеров конической трубы:
1) H=L=10,32875 м (что соответствует атмосферному давлению);
2) H=L=1,0 м ;
3) H=L=0,1 м
Во всех случаях соотношение H/R1 принималось равным 10, h=H,  в качестве жидкости бралась вода, для которой коэффициент динамической вязкости m равен 0,001 кг/мс. Расчеты показали, что для выбранных размеров трубы средняя скорость потока воды при наличии вязкости практически не отличалась от скорости идеальной жидкости, представленной графиком на рисунке 15. Это обусловлено малым значением коэффициента m. Давление в струе без учета сцепления между молекулами и сжатия ее, благодаря наличию градиента поля кинетической энергии, тоже будет таким же, как и для идеальной жидкости. Если же эти факторы учитывать, то давление внутри струи может значительно увеличиться, а пристеночное давление – уменьшиться, становясь меньше атмосферного и даже отрицательным. Результаты расчета для трех вариантов представлены на рисунках 25-27. На рисунках показаны кривые, характеризующие изменение давлений и в
функции отношения R2/R1, при движении потока вниз без учета сцепле
ния между молекулами жидкости (кривые 1), при движении потока вниз с учетом молекулярного сцепления (кривые 2) и при движении потока вверх (кривые 3). Из кривых видно, что изменения давления имеют наибольшее значение для трубы больших размеров и, следовательно, могут легко наблюдаться.
Таким образом, мы рассмотрели, как изменяются скорость потока и давление внутри него при течении жидкости по трубе переменного сечения. Расчеты показывают, что давление в вязкой жидкости на  выходе из трубы будет больше атмосферного. Очевидно, это давление какое-то время будет больше атмосферного и при движении жидкости вне трубы. Рассмотрим подробнее этот вопрос.
Если давление в жидкости при выходе из отверстия будет больше атмосферного, то струя была бы должна сразу расширяться на выходе, но этого, однако, не происходит, струя даже сжимается. Причина этого нами уже обсуждалась. Во-первых, это объясняется сохранением градиента поля кинетической энергии, благодаря разности скоростей в центре и по краям потока, которые еще не успели выравниться. Определяемая градиентом сила будет  продолжать сжимать поток. Во-вторых, поток жидкости будет сжиматься силой, возникающей за счет движения воздуха, увлекаемого струей  жидкости. В воздушной струе при этом также появится поле кинетической энергии, градиент которого и определит действующую силу.
Определим давление, с которым воздух сжимает струю жидкости. На рисунке 28 показана картина поля скоростей в воздухе, которую можно характеризовать выражением:
,  (128)
где r – расстояние от центра струи.
Тогда кинетическая энергия некоторой элементарной массы dm будет равна:
,                                                   (129)
где
(130)
Здесь: rв – плотность воздуха.
Производная от этого выражения определит элементарную силу dFв:
,(131)
направленную к центру потока.
Отношение этой силы к элементарной поверхности dS=rdjdh, соответствующей элементарной массе, определит дифференциальное давление dpв:
(132)
(знак минус опускаем).
Полное же давление, действующее на элементарную массу со стороны всех внешних по отношению к ней частиц воздуха, определится интегралом от выражения (132), взятом по r в пределах от r до :
(133)
На поверхности струи (r=Rh) давление воздуха будет равно:
(134)
В-третьих, струя будет сжиматься благодаря наличию растягивающих сил, обусловленных сцеплением между молекулами жидкости, а также, как уже отмечалось выше, увеличением скорости падения под действием силы тяжести.
В-четвертых, струя будет сжиматься, благодаря наличию силы поверхностного натяжения.
Таким образом,  на струю жидкости, вытекающую из трубы, будет действовать несколько сил, сочетание которых определит и ее форму, и давление в ней, и влияние которых трудно учесть математически.
Попытаемся, однако, сделать это хотя бы приближенно. Так как струя имеет вполне определенную коническую форму, можно предположить, что движение жидкости в струе будет аналогично движению в сужающемся канале (трубе), причем нам будут известны скорости в начале и в конце движения V2 и Vh, а также давление на выходе струи из трубы. Скорость Vh обусловленная движением под действием силы тяжести, как нами было показано выше, определяется приближенным выражением:

Для решения задачи предположим, что увеличение скорости происходит только за счет использования потенциальной энергии струи, т.е. за счет уменьшения ее внутреннего давления. Такое допущение в какой-то степени возможно, если вспомнить, что движению жидкости под действием силы тяжести препятствуют силы, обусловленные сцеплением между ее частицами (молекулами), т.е. силы когезии.
Поскольку движение потока не формируется каким-либо каналом и вес струи не принимает участия в создании дополнительного давления используем уравнение Бернулли  в его чистом виде:
,                                                        (135)
откуда можно найти давление ph:
(136)
Используя выражение для скорости  Vh, преобразуем уравнение (136) к виду:
(137)
Полученное выражение можно использовать для определения высоты падения потока h, при которой давление ph будет равно атмосферному:
(138)
Для трех рассмотренных нами примеров, когда H»10 м, H=1м и H=0,1 м значения будут соответственно равны:
1) м
2) м
3) м
Во всех трех  случаях высота падения струи, на которой внутреннее давление в ней будет равно атмосферному, получилось, примерно, в 4 раза больше высоты h=H. Конечно, это будут, как уже отмечалось, приближенные значения, которые необходимо проверить экспериментально.
Все рассмотренные нами примеры убедительно показывают, что давление внутри струи как идеальной, так и реальной жидкости не может быть ниже атмосферного давления. Однако, пристенное давление может быть значительно меньше, что и проявляется при использовании манометрических трубок. Используя выражение (114), можно по давлению , найденному с помощью манометрической трубки, определить давление  в потоке жидкости:
(139)
Второе слагаемое в этом выражении, по сути дела, является методической ошибкой измерения, так как это не ошибка прибора и не какая-нибудь случайная погрешность, а ошибка, связанная с самим способом измерения.
Формула (114) может быть использована для определения скорости движения жидкости в трубопроводе при известном пристенном давлении, найденном экспериментально. Для этого ее надо представить в развернутом виде с учетом выражений (109) и (107):
(140)
Рассмотрим два случая измерения давления, представленные на рисунках 7 и 10. Давления, показываемые манометрическими трубками в сечениях 1 и 2 в первом случае (рис. 7), будут отличаться на величину h из-за разности скоростей жидкости в этих сечениях. Сами же пристенные давления для горизонтальной трубы в соответствии с формулой (140) будут равны:
;                                                                    (141)
,                                                    (142)
поэтому их разность определится выражением:
(143)
Используя соотношение (22), из выражения (143) найдем скорость V1:
(144)
Для второго случая (рис. 10) устанавливаем связь между пристенным и атмосферным давлением в узком сечении в виде соотношения:
,                 (145)
где rм – плотность жидкости в манометрической трубке, h – высота подъема жидкости в трубке над уровнем жидкости в сосуде, находящимся под атмосферным давлением. Из выражения (145) находим скорость потока жидкости V:
(146)
Найдем теперь погрешность при измерении давления внутри потока жидкости с помощью зонда (рис. 29). Рассмотрим случай, когда трубка зонда расположена по оси потока. Наличие трубки приведет к изменению характера движения потока, к изменению картины поля скоростей в нем (рис. 30), так как трубка, как и стенки трубы, будет тормозить поток жидкости. Поле скоростей можно разделить на две части по отношению к максимальному значению скорости потока Vm: первую часть – от трубки зонда радиуса r3 до радиуса rm, соответствующего максимальной скорости, и вторую часть – от rm до стенки трубы, т.е. до радиуса R.
Примем, что поле скоростей на этих участках будет определяться выражениями:
;                                                              (147)
(148)
Из этих выражений следует, что при r=rm скорости и будут иметь одно и то же значение Vm, а при r=r3 и r=R они будут равны нулю.
Наличие соответствующих полей кинетической энергии приводит к появлению радиальных сил инерции, направленных от трубы зонда и от стенки трубки к середине потока. Эти силы будут сжимать поток и создадут отрицательное давление на стенке трубы и на поверхности трубки зонда. Это давление будет уменьшать статическое давление, измеряемое зондом. Величина отрицательного давления на обоих участках будет определяться, как было показано выше, средней плотностью кинетических энергий:
(149)
Это давление будет увеличиваться с увеличением диаметра трубки зонда, так как будет увеличиваться скорость потока, величину которой можно найти из условия неразрывности потока:
,                                                                (150)
где V – скорость невозмущенного зондом потока жидкости. Из выражения (150) находим:
(151)
Таким образом,  получается, что существующие измерительные приборы не могут точно измерить давление внутри потока жидкости. Это обстоятельство, как видим, обусловлено самой методикой измерения давления.
Проведенный нами анализ проблемы по определению скорости потока жидкости и давления внутри него показывает, что эта задача не имеет достаточно простого решения. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что жидкость, в отличие от твердого тела, легко меняет свою форму из-за значительно меньшего сцепления между ее частицами. И тем не менее сил сцепления хватает на то, чтобы влиять на движение всего объема жидкости, находящейся как в самой гидравлической системе, так и вне ее. Так, например, при расширяющемся коническом насадке расход жидкости увеличивается, т.е. увеличивается скорость ее истечения из сосуда. Это явление может быть объяснено только увеличением массы падающей жидкости и, следовательно, увеличением добавочного давления. Поэтому жидкость в гидравлической системе и вне ее следует рассматривать как единое тело, подвергающееся разным деформациям на различных участках системы.
В свете всего вышеизложенного возникает вопрос о физической сущности уравнения, полученного самим Даниилом Бернулли.
Для выяснения его сущности обратимся к этому уравнению в форме выражения (8). Здесь р1 и р2 статические, а и – динамические давления.  Из этого уравнения следует, что сумма статического и динамического давлений, т.е. полное давление, является величиной постоянной для элементарной трубки тока на всей ее длине. Однако, это утверждение будет справедливо только при одном условии – под давлением р2, как это было показано нами выше, должно пониматься не давление противодействия со стороны отброшенной части  жидкости, которое нами обозначено как , а давление в самом потоке рассматриваемого участка жидкости. В законе Бернулли это условие не оговаривается и даже не подразумевается.
Суть закона Бернулли можно прокомментировать и другим  образом. Статическое давление в соответствии с законом сохранения энергии при движении жидкости должно уменьшаться на величину динамического давления, хотя на самом деле, никакого динамического давления в потоке жидкости нет, так как выражение проявляет себя как настоящее давление только при торможении всего потока или какой-либо его части. Фактически, выражение является объемной плотностью кинетической энергии, т.е. количеством кинетической энергии в единице объема движущейся жидкости. По сути дела, это выражение представляет собой потерю статического давления за счет его перехода в энергию движения. Поэтому, если мы к статическому давлению р прибавим потерю давления , то тем самым мы возвращаемся к исходному статическому давлению, которое имело бы место при отсутствии движения жидкости. Значит, давление р1 в уравнении Бернулли на самом деле есть давление , меньшее, чем исходное давление р1. То же самое можно сказать и о давлениях во втором сечении. Однако, это обстоятельство при выводе уравнения тоже не оговаривается. Таким образом,  если в первом и втором сечениях потока к давлениям и мы добавим соответствующие потери давлений за счет движения жидкости, то на основании уравнения (8) мы можем сказать, что исходное статическое давление в обоих сечениях при отсутствии движения жидкости было одним и тем же. По сути дела, это есть закон постоянства начального гидростатического давления, т.е. это есть аналог закона Паскаля для движущейся жидкости.
Есть еще один способ объяснения физической сущности закона Бернулли. Нами уже отмечалось, что выражение представляет собой объемную плотность кинетической энергии движущейся жидкости. Очевидно, что то же самое можно сказать и о статическом давлении р,  которое тоже можно считать плотностью энергии, но не кинетической, а потенциальной. Что касается весового давления rgH,  то его тоже можно считать плотностью потенциальной энергии от веса жидкости. Поэтому закон Бернулли можно трактовать и как закон сохранения объемной плотности энергии, т.е. закон сохранения энергии в единице объема жидкости.
Таким образом,  анализ закона Бернулли показывает, что он имеет вполне строгий физический смысл, связанный с законом сохранения энергии. Однако, уравнение Бернулли не может быть использовано для непосредственного нахождения скоростей течения жидкости по известным давлениям, или наоборот, даже для идеальной жидкости, так как в нем не учитывается внешнее сопротивление и сопротивление на участке сужения потока. При выводе этого уравнения неправильно находилась работа сил, так как все они должны были приводиться к первому сечению и умножаться поэтому на перемещение Dl1. Использование уравнения Бернулли для определения скоростей или давлений приводит к существенным ошибкам. Использование формулы Торичелли для определения скорости истечения жидкости из произвольного отверстия также неправомерно, так как ни о каком свободном падении в этом случае говорить не приходится.
Следовательно, за все время своего существования закон Бернулли понимался неверно, это, по сути дела, один их мифов механики, однако, с его помощью оказалось возможным объяснить почти все гидродинамические явления (эффекты) в движущейся жидкости. И, как это ни удивительно, такая возможность возникла благодаря тем ошибкам, которые были допущены при выводе этого уравнения. Так уж получилось, что при выводе уравнения вся работа от сил давления затрачивалась на изменение только кинетической энергии одинаковых объемов жидкости, массой rm, в результате чего и получился физически содержательный результат, заключающийся, по сути дела, в переходе потенциальной энергии в кинетическую и, как следствие, постоянстве суммы этих энергий во всех сечениях потока жидкости.
Неправильному пониманию закона Бернулли способствовало также и отсутствие понятия поля кинетической энергии в движущейся жидкости и сопутствующего ему градиента.
В заключение необходимо напомнить, что полученные нами формулы могут быть использованы только для приближенного расчета скоростей и давлений внутри потока жидкости, так как внешнее давление невозможно найти точно в связи с действием на частицы жидкости сил когезии.

Гидростатическое давление: формула и свойства.

Гидростатическое давление – это давление, производимое на жидкость силой тяжести.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей и рассматривается практическое приложение этих законов.

Для того, чтобы понять гидростатику необходимо определиться в некоторых понятиях и определениях.

В этой статье мы подготовили для Вас, всю необходимую информацию о гидростатическом давлении, начиная от закона Паскаля и определения формулы гидростатического давления и до свойств давления и применения законов гидростатики в повседневной жизни.

Закон Паскаля для гидростатики.

В 1653 году французским ученым Б. Паскалем был открыт закон, который принято называть основным законом гидростатики.

Звучит он так:

Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается в жидкости одинаково во всех направлениях.

Закон Паскаля легко понимается если взглянуть на молекулярное строение вещества. В жидкостях и газах молекулы обладают относительной свободой, они способны перемещаться друг относительно друга, в отличии от твердых тел. В твердых телах молекулы собраны в кристаллические решетки.

Относительная свобода, которой обладают молекулы жидкостей и газов, позволяет передавать давление производимое на жидкость или газ не только в направлении действия силы, но и во всех других направлениях.

Закон Паскаля для гидростатики нашел широкое распространение в промышленности. На этом законе основана работа гидроавтоматики, управляющей станками с ЧПУ, автомобилями и самолетами и многих других гидравлических машин.

Определение и формула гидростатического давления

Из описанного выше закона Паскаля вытекает, что:

Величина гидростатического давления не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость и определяется произведением

P = ρgh , где

ρ – плотность жидкости

g – ускорение свободного падения

h – глубина, на которой определяется давление.

Для иллюстрации этой формулы посмотрим на 3 сосуда разной формы.

Во всех трёх случаях давление жидкости на дно сосуда одинаково.

Полное давление жидкости в сосуде равно

P = P0 + ρgh, где

P0 – давление на поверхности жидкости. В большинстве случаев принимается равным атмосферному.

Сила гидростатического давления

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, некоторый объем, затем рассечем его произвольной плоскостью АВ на две части и мысленно отбросим одну из этих частей, например верхнюю. При этом мы должны приложить к плоскости АВ силы, действие которых будет эквивалентно действию отброшенной верхней части объема на оставшуюся нижнюю его часть.

Рассмотрим в плоскости сечения АВ замкнутый контур площадью ΔF, включающий в себя некоторую произвольную точку a. Пусть на эту площадь воздействует сила ΔP.

Тогда гидростатическое давление формула которого выглядит как

Рср = ΔP / ΔF

представляет собой силу, действующую на единицу площади, будет называться средним гидростатическим давлением или средним напряжением гидростатического давления по площади ΔF.

Истинное давление в разных точках этой площади может быть разным: в одних точках оно может быть больше, в других – меньше среднего гидростатического давления. Очевидно, что в общем случае среднее давление Рср будет тем меньше отличаться от истинного давления в точке а, чем меньше будет площадь ΔF, и в пределе среднее давление совпадет с истинным давлением в точке а.

Для жидкостей, находящихся в равновесии, гидростатическое давление жидкости аналогично напряжению сжатия в твердых телах.

Единицей измерения давления в системе СИ является ньютон на квадратный метр (Н/м²) – её называют паскалем (Па). Поскольку величина паскаля очень мала, часто применяют укрупненные единицы:

килоньютон на квадратный метр – 1кН/м² = 1*10³ Н/м²

меганьютон на квадратный метр – 1МН/м² = 1*10⁶ Н/м²

Давление равное 1*10⁵ Н/м² называется баром (бар).

В физической системе единицей намерения давления является дина на квадратный сантиметр (дина/м²), в технической системе – килограмм-сила на квадратный метр (кгс/м²). Практически давление жидкости обычно измеряют в кгс/см², а давление равное 1 кгс/см² называется технической атмосферой (ат).

Между всеми этими единицами существует следующее соотношение:

1ат = 1 кгс/см² = 0,98 бар = 0,98 * 10⁵ Па = 0,98 * 10⁶дин = 10⁴ кгс/м²

Следует помнить что между технической атмосферой (ат) и атмосферой физической (Ат) существует разница. 1 Ат = 1,033 кгс/см² и представляет собой нормальное давление на уровне моря. Атмосферное давление зависит от высоты расположения места над уровнем моря.

Измерение гидростатического давления

На практике применяют различные способы учета величины гидростатического давления. Если при определении гидростатического давления принимается во внимание и атмосферное давление, действующее на свободную поверхность жидкости, его называют полным или абсолютным. В этом случае величина давления обычно измеряется в технических атмосферах, называемых абсолютными (ата).

Часто при учете давления атмосферное давление на свободной поверхности не принимают во внимание, определяя так называемое избыточное гидростатическое давление, или манометрическое давление, т.е. давление сверх атмосферного.

Манометрическое давление определяют как разность между абсолютным давлением в жидкости и давлением атмосферным.

Рман = Рабс – Ратм

и измеряют также в технических атмосферах, называемых в этом случае избыточными.

Случается, что гидростатическое давление в жидкости оказывается меньше атмосферного. В этом случае говорят, что в жидкости имеется вакуум. Величина вакуума равняется разнице между атмосферным и и абсолютным давлением в жидкости

Рвак = Ратм – Рабс

и измеряется в пределах от нуля до атмосферы.

Свойства гидростатического давления

Гидростатическое давление воды обладает двумя основными свойствами:
  Оно направлено по внутренней нормали к площади, на которую действует;
  Величина давления в данной точке не зависит от направления (т.е. от ориентированности в пространстве площадки, на которой находится точка).

Первое свойство является простым следствием того положения, что в покоящейся жидкости отсутствуют касательные и растягивающие усилия.

Предположим, что гидростатическое давление направлено не по нормали, т.е. не перпендикулярно, а под некоторым углом к площадке. Тогда его можно разложить на две составляющие – нормальную и касательную. Наличие касательной составляющей из-за отсутствия в покоящейся жидкости сил сопротивления сдвигающим усилиям неизбежно привело бы к движению жидкости вдоль площадки, т.е. нарушило бы её равновесие.

Поэтому единственным возможным направлением гидростатического давления является его направление по нормали к площадке.

Если предположить что гидростатическое давление направлено не по внутренней, а по внешней нормали, т.е. не внутрь рассматриваемого объекта а наружу от него, то вследствие того, что жидкость не оказывает сопротивления растягивающим усилиям – частицы жидкости пришли бы в движение и её равновесие было бы нарушено.

Следовательно, гидростатическое давление воды всегда направлено по внутренней нормали и представляет собой сжимающее давление.

Из этого же правило следует, что если измениться давление в какой-то точке, то на такую же величину измениться давление в любой другой точке этой жидкости. В этом заключается закон Паскаля, который формулируется следующим образом: Давление производимое на жидкость, передается внутри жидкости во все стороны с одинаковой силой.

На применение этого закона основываются действие машин, работающих под гидростатическим давлением.

Ещё одним фактором влияющим на величину давления является вязкость жидкости, которой до недавнего времени приято было пренебрегать. С появлением агрегатов работающих на высоком давлении вязкость пришлось так же учитывать. Оказалось, что при изменении давления, вязкость некоторых жидкостей, таких как масла, может изменяться в несколько раз. А это уже определяет возможность использовать такие жидкости в качестве рабочей среды.

Вместе со статьей “Гидростатическое давление: определение, формула и свойства.” читают: