Как найти наименьший член арифметической прогрессии

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим арифметическую прогрессию и ее свойства.
Вначале дадим определение арифметической прогрессии и приведем ряд примеров. Далее выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии и докажем, что арифметическая прогрессия – это линейная функция. В конце решим ряд примеров на пройденный материал.

Тема: Про­грес­сии

Урок: Опре­де­ле­ние и свой­ства ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, фор­му­ла n-го члена

 1. Определение арифметической прогрессии

Вспом­ним, что чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность – част­ный слу­чай функ­ции, функ­ции, опре­де­лен­ной на мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – част­ный слу­чай чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Рас­смот­рим при­ме­ры, да­ю­щие пред­став­ле­ние об ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

1. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член боль­ше преды­ду­ще­го на 4 (обо­зна­чим это число бук­вой d), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей  () .

2. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел:  В этой по­сле­до­ва­тель­но­сти все числа равны между собой, .

3. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Чтобы по­лу­чить по­сле­ду­ю­щий член надо к преды­ду­ще­му при­ба­вить число (-2), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей () .

Дадим опре­де­ле­ние  ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность, каж­дый член ко­то­рой, на­чи­ная со вто­ро­го, равен сумме преды­ду­ще­го члена и од­но­го и того же числа d, на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей, число d на­зы­ва­ет­ся ее раз­но­стью. 

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:.

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия может быть за­да­на ре­кур­рент­но:  

Непо­сред­ствен­но из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ют такие свой­ства:

– если , то ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – воз­рас­та­ю­щая;

– если , то ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – убы­ва­ю­щая.

 2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет ис­тин­ность ра­венств: . Тогда

  и т.д. Зна­чит, 

Т.е., зная пер­вый член и раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, можно найти любой ее член.

Ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию счи­та­ют за­дан­ной, если из­ве­стен ее пер­вый член и раз­ность.

Фор­му­лу  на­зы­ва­ют фор­му­лой n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

 3. Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии можно до­ка­зать с по­мо­щью ме­то­да ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Дано: , .

До­ка­зать:  (1)

До­ка­за­тель­ство.

Фор­му­ла (1) верна при n=1. Дей­стви­тель­но, .

Пред­по­ло­жим, что фор­му­ла (1) верна при n=k, т.е. .

До­ка­жем, что фор­му­ла (1) верна и при n=k+1, т.е. .

Из усло­вия  и пред­по­ло­же­ния  по­лу­ча­ем:

.

Со­глас­но прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции фор­му­ла (1) верна для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа.

 4. Исследование арифметической прогрессии

Из фор­му­лы n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет, что

. Это озна­ча­ет, что ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­ви­сит от n, т.е. яв­ля­ет­ся функ­ци­ей на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та.

Вывод: ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – это ли­ней­ная функ­ция на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та , где .

Если , то ли­ней­ная функ­ция воз­рас­та­ет и ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – воз­рас­та­ю­щая;

если , то ли­ней­ная функ­ция убы­ва­ет и  ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – убы­ва­ю­щая.

 5. Примеры

При­мер 1.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

До­ка­зать: – воз­рас­та­ю­щая.

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.Тогда , т.е. .

По­сколь­ку , за­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – воз­рас­та­ю­щая.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

При­мер 2.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.

Тогда  для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис.  2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

При­мер 3.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

До­ка­зать: – убы­ва­ю­щая.

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.

Тогда , т.е. .

По­сколь­ку , за­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – убы­ва­ю­щая.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

При­мер 4.

Дано: , .

Найти: ; наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член.

Ре­ше­ние.

Фор­му­ла n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

Тогда , т.е. .

Чтобы найти наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член, надо опять вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой  n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

. Тогда , и зна­чит .

Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член про­грес­сии .

Ответ: ; – наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член.

При­мер 5.

Дано: , .

Найти: .

Ре­ше­ние.

Фор­му­ла n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

Тогда , , .

Ответ: .

Урок: Фор­му­ла суммы чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

 1. Вступление

Рас­смот­рим  за­да­чу: найти сумму на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100 вклю­чи­тель­но.

Дано: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Найти: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Ре­ше­ние: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 х 50=5050.

Ответ: 5050.

По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей: а1=1, d=1.

Мы нашли сумму пер­вых ста на­ту­раль­ных чисел, т.е. сумму пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Рас­смот­рен­ное ре­ше­ние пред­ло­жил ве­ли­кий ма­те­ма­тик Карл Фри­дрих Гаусс, жив­ший в 19 веке. За­да­ча была им ре­ше­на в воз­расте 5-ти лет.

Ис­то­ри­че­ская справ­ка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немец­кий ма­те­ма­тик, ме­ха­ник, физик и аст­ро­ном. Счи­та­ет­ся одним из ве­ли­чай­ших ма­те­ма­ти­ков всех вре­мён, «ко­ро­лём ма­те­ма­ти­ков». Ла­у­ре­ат ме­да­ли Копли (1838), ино­стран­ный член Швед­ской (1821) и Рос­сий­ской (1824) Ака­де­мий наук, ан­глий­ско­го Ко­ро­лев­ско­го об­ще­ства. Со­глас­но ле­ген­де, школь­ный учи­тель ма­те­ма­ти­ки, чтобы за­нять детей на дол­гое время, пред­ло­жил им со­счи­тать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс за­ме­тил, что по­пар­ные суммы с про­ти­во­по­лож­ных в оди­на­ко­вы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгно­вен­но по­лу­чил ре­зуль­тат: 101×50=5050.

 2. Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу для про­из­воль­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Дано:  : 

Найти: сумму пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.  

Ре­ше­ние:

По­ка­жем, что все вы­ра­же­ния в скоб­ках равны между собой, а имен­но вы­ра­же­нию  . Пусть  d – раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Тогда:

;

; и т.д. Сле­до­ва­тель­но, мы можем за­пи­сать:

. От­ку­да по­лу­ча­ем фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 .

 3. Решение задач на применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Решим за­да­чу о сумму на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100 с по­мо­щью фор­му­лы суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Ре­ше­ние: а1=1, d=1, n=100.

Общая фор­му­ла:

.

В нашем слу­чае:  .

Ответ: 5050.

2. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние.

Общая фор­му­ла:

. Най­дем  по фор­му­ле n–го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

 .

В нашем слу­чае:  .

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние:

Чтобы найти , сна­ча­ла надо найти .

Это можно сде­лать по общей фор­му­ле .Сна­ча­ла при­ме­ним эту фор­му­лу для на­хож­де­ния раз­но­сти ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

 , т.е. . Зна­чит .

Те­перь можем найти .

.

Ис­поль­зуя фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

, най­дем .

.

.

Ответ: .

 4. Вывод второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

По­лу­чим вто­рую фор­му­лу для суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, а имен­но: до­ка­жем, что .

До­ка­за­тель­ство:

В фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии  под­ста­вим вы­ра­же­ние для , а имен­но . По­лу­чим: , т.е. . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ные фор­му­лы. Для вы­чис­ле­ний по пер­вой фор­му­ле  надо знать пер­вый член, по­след­ний член и n по вто­рой фор­му­ле  – надо знать пер­вый член, раз­ность и n.

И в за­клю­че­ние за­ме­тим, что в любом слу­чае Sn– это квад­ра­тич­ная функ­ция от n, по­то­му что .

 5. Решение задач на применение второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние:

Общая фор­му­ла:

.

В нашем слу­чае:.

Ответ: 403.

2. Найти сумму всех дву­знач­ных чисел, крат­ных 4.

Ре­ше­ние:

{12; 16; 20; …; 96} – мно­же­ство чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи.

Зна­чит, имеем ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию .

n най­дем из фор­му­лы для :.

 , т.е. . Зна­чит .

Ис­поль­зуя вто­рую фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

, най­дем .

.

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: S=.

Тре­бу­ет­ся найти сумму всех чле­нов с 10 по 25-й вклю­чи­тель­но.

Один из спо­со­бов ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем:

.

Сле­до­ва­тель­но, .

.

.

.

Ответ: .

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/opredelenie-i-svoystva-arifmeticheskoy-progressii-formula-ee-n-go-chlena?konspekt&chapter_id=38

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=tQEVKFGcjL0

Для нецелочисленной прогрессии решения нет (оно равно минус бесконечности).

При условии целочисленности прогрессии:

s = int(input())
if s <= 0: print(s)
else: print(-s+1)

На случай, если прогрессия не только целочисленна, но и неотрицательна (и такова же и ее сумма, понятно)…

Первый член прогрессии a связан с суммой S и числом членов n формулой

Очевидно, что чтобы a было целым, надо либо чтобы S делилось нацело на n и n было нечетным, либо n четно, но тогда 2S должно делиться на n.

Так что надо просто поискать соответствующие n в диапазоне [1,2S].
Проще всего — переборно, единственным циклом (условие же — без вложенных :))

Т.е. что-то типа (сделано топорно из-за слабого знания питона, по сути перевод с С плюс отсутствие оптимизации (тупой перебор). Кто умеет — можете смело исправлять код):

def a(S: int):
    m: int
    m = S
    for n in range(2,2*S+1):
        q = 2*S-n*(n-1)
        if q < 0: break
        if q%(2*n) == 0:
            q = q / (2*n)
            if q < m: m = q
    return m


s = int(input())
print(int(a(s)))

        Суперполезная формула! Позволяет легко и просто (и главное — быстро!) искать любой член арифметической прогрессии! Да-да, любой! Какой хотите.) А заодно и массу других самых разных задач по прогрессии решать. Имеет смысл освоить и разобраться, правда?

        Вот поэтому осваиваем и разбираемся. В этом уроке.)

Вывод и смысл формулы n-го члена

        Итак, прошу любить и жаловать:

a_n = a₁ + (n-1)·d

        Это и есть формула n-го члена арифметической прогрессии, собственной персоной.) Какие-то индексы, буковки непонятные. Ничего страшного! Сейчас всё расшифрую.

        В формуле:

        a₁ — первый член арифметической прогрессии;

        d — разность арифметической прогрессии;

        n — номер члена;

        a_n — энный (n-й) член арифметической прогрессии.

        Как вы видите, большая часть входящих в формулу буковок (первый член, разность прогрессии, номер члена) уже должна быть вам хорошо знакома из прошлого урока. Если не читали, настоятельно рекомендую заглянуть. Там всё просто и доступно. Осталось лишь разобраться, что же такое n-й член.

        Мы с вами знаем (надеюсь), что любую арифметическую прогрессию в общем виде всегда можно записать в виде последовательности чисел:

        a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, …

        Символ a₁ означает первый член прогрессии, a₂ — второй член, a₅ — пятый и так далее. Если нас интересует, скажем, десятый член прогрессии, то работаем с a₁₀. Если сто тридцатый, то, соответственно, с a₁₃₀. Элементарно, Ватсон!)

        А как можно обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии прогрессии с любым номером? Тоже элементарно! Вот так:

        a_n

        Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буковкой n здесь скрываются сразу все номера членов: и 1, и 23 и 101 — все без исключения!

        И что нам даёт такая запись? Казалось бы, всего лишь вместо цифры буковка появилась — и что из этого? А вот что.

        Запись эта представляет собой очень мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Сомневаетесь? Не надо.) Используя обозначение a_n, мы можем легко и просто искать любой член любой арифметической прогрессии! Как? Читаем дальше.)

        Возвращаемся снова к нашей формуле:

a_n = a₁ + (n-1)·d

        Со всеми обозначениями мы успешно разобрались, а теперь разбираемся, в чём же её суть.

        Эта формула позволяет нам найти любой член арифметической прогрессии по его номеру “n“.

        Заманчиво, правда? Знаем номер члена — сразу же можем найти и сам этот член! Естественно, для этого нам надо знать ещё первый член a₁ и разность прогрессии d. Ну так без этих двух ключевых параметров конкретную прогрессию и не задашь вовсе.

        Формула эта связывает четыре главных параметра любой арифметической прогрессии — а_n, a₁, d и n. Именно вокруг этих четырёх параметров и крутятся все-все задачки по прогрессии!

        Откуда же берётся эта формула и как её запомнить? А то уж больно часто сомнения грызут — то ли n там, то ли n-1, то ли n+1… Особенно на контрольных и экзаменах.

        Спокойствие! Сейчас мы с вами эту формулку выведем! Не очень строго, правда, но зато с полным пониманием всего происходящего. Что, как и откуда. И у вас сразу же отпадут все сомнения!

        Итак, рисуем числовую ось и последовательно отмечаем на ней члены нашей прогрессии:

        

        А теперь смотрим на рисунок и соображаем. Чему равен второй член прогрессии?

        Второй член равен первому члену плюс одно d:

        a₂ = a₁ + 1·d

        А третий член чему равен?

        Не вопрос! Третий член равен первому члену плюс два d:

        a₃ = a₁ + 2·d

        Ну как, улавливаете закономерность? Я же не просто так некоторые слова и цифры выделяю жирным шрифтом! Нет? Что ж, ладно. Ещё один шаг.)

        Чему равен четвёртый член?

        Четвёртый член равен первому члену плюс три d:

        a₄ = a₁ + 3·d

        Пора бы уже догадаться, что количество интервалов (т.е. d) всегда на единичку меньше, чем номер нужного нам члена n. Поэтому до номера n количество интервалов всегда будет n-1.

        Стало быть, наша формула, уже безо всяких сомнений, будет вот такой:

a_n = a₁ + (n-1)·d

        Вот и весь секрет.)

        Совсем строгое доказательство данной формулы проводится так называемым методом математической индукции. Но метод этот — для особых гурманов.) Не каждый с ходу разберётся и поймёт, что к чему. А вот по картинке всё просто и наглядно! Да и вообще, картинка — очень мощный инструмент решения многих математических задач! И не только по прогрессиям. Так что не пренебрегаем ими. Скажем, в сложной боевой обстановке ЕГЭ вы переволновались и подзабыли случайно эту формулу. Ну, вот не помните, с кем не бывает! Ничего страшного. Есть пара-тройка минуток времени – рисуем картинку, отмечаем члены прогрессии и промежутки между членами — и всё сразу становится как на ладони!

        Разумеется, всё от конкретной задачи зависит. Бывают и такие задачи, рисовать картинку к которым весьма затруднительно, а то и вовсе невозможно. Тогда — только формула, да…) Ибо формула — это тяжёлая артиллерия, позволяющая подключить к решению задачи весь мощный арсенал математики — уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку ведь в уравнение не вставишь!

        Ну что, коли уж мы заговорили о задачках, то пора бы уже и порешать!

Решение задач с помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии.

        Прямое применение формулы.

        Начнём с прямого применения формулы. В самом конце прошлого урока была вот такая задачка:

        В арифметической прогрессии известно, что a₁ = 4 и d = 0,4. Найдите a₁₄₁.

        Конечно, эту задачку можно и безо всяких формул решить. Исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять себе по 0,4 да считать. Часок-другой…)

        Зато по формуле решение осуществляется в одну строчку и занимает меньше минуты! Можете засекать время.)

        Итак, у нас имеются все данные для применения формулы.

        Известен первый член: a₁ = 4.

        Известна также разность прогрессии: d = 0,4.

        Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нам надо найти a₁₄₁. Так прямо и пишем:

        a₁₄₁ =

        А вот здесь сосредотачиваемся! Вместо индекса n у нас появилось конкретное число 141. Что вполне естественно. Ибо нас интересует член прогрессии номер сто сорок один. Вот именно это и будет наше n! Именно это значение n = 141 мы и подставим в формулу n-го члена в скобки.

        Подставляем все наши данные в формулу и считаем:

        a₁₄₁ = 4 + (141-1)·0,4 = 4+56 = 60

        Вот и всё, никаких фокусов. Так же быстро можно найти и четыреста третий член, и тысяча первый — любой! Какой хотим, такой и отыщем. Просто подставляем нужный номер в формулу вместо индекса n и в скобки. И считаем.)

        Рассмотрим теперь задачку похитрее.

        В арифметической прогрессии с разностью 3 пятнадцатый член равен 50. Найдите первый член этой прогрессии.

        Ну и как вам? Знаете, с чего начинать? Если знаете — вперёд и с песнями. Не знаете? Что ж, тогда подскажу.

        Пишем формулу n-го члена арифметической прогрессии!

        Да-да! Прямо на черновике или в тетрадке.)

        a_n = a₁ + (n-1)·d

        А теперь глядим внимательно на нашу формулу и соображаем, какие данные у нас уже есть, а чего не хватает.

        Во-первых, нам известна разность прогрессии d:

        d = 3

        Во-вторых, нам известен пятнадцатый член прогрессии. Так и пишем:

        a₁₅ = 50

        Всё? Не-а! У нас есть ещё номер n! Дело в том, что в условии a₁₅ = 50 скрыты сразу два параметра прогрессии. Это, во-первых, значение самого пятнадцатого члена (50) и, во-вторых, его номер (15). То есть, n=15.

        Вот теперь уже можно подставить все известные нам данные в формулу:

        50 = a₁ + 3·(15-1)

        Решаем это простенькое линейное уравнение и получаем ответ:

        a₁ = 8

        Вот и все дела.)

        Ещё одна популярная задачка:

        Найдите разность арифметической прогрессии (a_n), если

        a₁ = 6; a₂₁ = -14.

        Первый шаг тот же самый: пишем формулу n-го члена арифметической прогрессии!

        a_n = a₁ + (n-1)·d

        А теперь снова соображаем, что нам дано по условию задачи:

        a₁ = 6

        a₂₁ = -14

        n = 21

        Вот и всё. Всю ценную информацию из условия скачали. Подставляем наши известные величины в формулу и считаем банальную арифметику:

        -14 = 6 + (21-1)·d

        -14 = 6 + 20d

        -20 = 20d

        d = -1

        Всё. Это правильный ответ.)

        Так, задачки на поиск a_n, a₁ и d порешали. Осталось научиться ещё номер члена находить.)

        Известно, что число 43 является членом арифметической прогрессии (a_n) c первым членом, равным 3 и разностью 0,4. Найдите номер этого члена.

        Вы удивитесь, но первый шаг снова точно такой же.

        Пишем формулу!

        a_n = a₁ + (n-1)·d

        На первый взгляд кажется, что здесь две неизвестные величины — a_n и n. Но a_n — это какой-то член арифметической прогрессии под номером n. И этот член нам известен! Это 43. Нам неизвестен номер n этого члена. Так этот самый номер, как раз, и требуется отыскать!

        Подставляем член прогрессии 43 в формулу n-го члена вместе с остальными известными нам параметрами:

        43 = 3 + (n-1)·0,4

        Считаем простецкую арифметику и выражаем номер n:

        (n-1)·0,4 = 40

        n-1 = 100

        n = 101

        Готово дело.)

        Как вы видите, запись формулы в общем виде и подстановка в неё известных величин — весьма популярный приём в решении очень многих задач на прогрессии! Если вы, конечно, умеете выражать переменную из формулы. Ну так без этого умения математику можно и вовсе не изучать. Как, впрочем, и остальные точные науки тоже, да…

        А теперь ещё одна задачка на эту тему, но более творческая.

        Определите, будет ли число 74 членом арифметической прогрессии

        (a_n): -5,6; -4; -2,4; …

        Снова (да-да!) пишем формулу:

        a_n = a₁ + (n-1)·d

        Начинаем подставлять известные нам данные. Гм… не подставляется что-то…

        Что, не видите никаких данных? Серьёзно? Ну, тогда срочно к окулисту. Без обид.) Что же всё-таки можно увидеть из предложенной нам последовательности? Первый член видим? Видим! Это -5,6. А разность d? Пока не видим, но… её можно посчитать, да.) Если, конечно, вы в курсе, что такое разность арифметической прогрессии:

        d = -4 — (-5,6) = 1,6

        Ну вот, уже кое-что. Осталось лишь разобраться с неизвестным нам номером n и загадочным числом 74. В предыдущей задачке нам прямым текстом было указано, что дан именно член прогрессии. А здесь про число 74 ничего непонятно — член оно, не член… Что делать?

        Что-что… Включим смекалку! Мы предположим, что число 74 — это всё-таки член нашей прогрессии! С неизвестным номером n. И снова попробуем отыскать, найти этот номер! Смело подставляем в формулу все наши числа:

        74 = -5,6 + (n-1)·1,6

        И выражаем n:

        (n-1)·1,6 = 79,6

        n — 1 = 49,75

        n = 50,75

        Во как! Номер получился дробный! А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Уравнению ведь без разницы, с какими числами работать — целыми, дробными, отрицательными. Уравнение со всякими работает.) Вот оно нам честно и ответило: “В этой арифметической прогрессии число 74 имеет номер 50,75!”

        И какой же вывод можно сделать из полученного результата? Да! Число 74 не является членом нашей прогрессии! Оно находится где-то между пятидесятым и пятьдесят первым членами. Вот, если бы наш номер получился натуральным, то тогда — да, число 74 было бы членом нашей прогрессии. С найденным номером n.

        А так, ответ задачи: нет.

        Более сложные задачи.

        Рассмотрим теперь более хитрые задачки на применение формулы n-го члена. Например, такую:

        Известно, что в арифметической прогрессии a₃ = 2,1 и a₆ = 6,3. Найдите a₄.

        Эту задачку мы с вами уже решали в прошлом уроке. Для её успешного решения мы рисовали с вами вот такую незамысловатую картинку:

        

        Из этой картинки мы легко определили разность прогрессии d и затем так же легко, прямо по смыслу арифметической прогрессии, посчитали нужный нам четвёртый член.

        Получили ответ: a₄ = 3,5.

        Вспомнили? Отлично!

        То был графический способ. А сейчас мы с вами решим эту же задачку, но другим способом! Аналитическим.) С помощью формулы n-го члена, да. Нам ведь с формулой размяться нужно, правда?) Вот и разминаемся.

        Итак, что нам дано в условии задачи? Нам даны два члена некоторой арифметической прогрессии. А именно — третий и шестой её члены.

        Вот и расписываем их по формуле n-го члена!

        Именно так! Просто берём формулу n-го члена арифметической прогрессии и поочерёдно подставляем в неё известные нам данные для каждого члена.

        Для третьего члена a₃ = 2,1 получим:

        2,1 = a₁ + (3-1)·d

        2,1 = a₁ + 2d

        Так, отлично. Одно уравнение составилось.

        То же самое проделываем и для шестого члена a₆ = 6,3.

        Получим:

        6,3 = a₁ + (6-1)·d

        6,3 = a₁ + 5d

        Итак, мы получили два уравнения. Эти два уравнения относятся к одной и той же прогрессии. Стало быть, они должны выполняться одновременно. И, следовательно, они должны быть записаны в виде системы уравнений.

        Вот так:

        

        Всё. Мы перевели задание по арифметической прогрессии в чистую алгебру. И дальше можно уже временно вообще забыть про прогрессию и просто решить эту систему уравнений.

        Системка не самая трудная. Решаем самым простым способом — подстановкой. Из первого уравнения выражаем a₁ и подставляем во второе:

        

        Приводим подобные во втором уравнении и получаем:

        

        Из второго уравнения легко находится d:

        d = 1,4

        Подставляем d = 1,4 в первое уравнение и получаем первый член:

        a₁ = 2,1-2·1,4

        a₁ = 2,1-2,8

        a₁ = -0,7

        Вот и отлично. Знаем первый член a₁, знаем разность d. И теперь мы без проблем можем найти любой интересующий нас член прогрессии. В том числе и четвёртый, да.)

        Пишем формулу n-го члена для n = 4:

        a₄ = a₁ + (4-1)·d = a₁ + 3d

        Подставляем найденные числа и считаем:

        a₄ = a₁ + 3d = -0,7+3·1,4 = -0,7+4,2 = 3,5

        Вот и всё. Как и следовало ожидать, ответ получился тем же самым.)

        Ну как, хлопотно? Да, я согласен. Но зато аналитическому способу (алгебре) любые задачи по плечу! Если её знать, конечно.) А вот картинка годится лишь для маленьких кусочков прогрессии.

        Например, такая задачка:

        Известно, что в арифметической прогрессии a₈₁ = 26 и a₂₇₁ = 83. Найдите a₁₁.

        Что, неохота картинку рисовать да безошибочно пальчиком считать промежутки? И правильно! Не надо.) Зато второму способу, алгебре, совершенно безразлично, какие числа стоят в задании! Большие числа или маленькие… Алгебра — это тяжёлая артиллерия. С любыми числами справляется.)

        Снова, как и в предыдущей задаче, расписываем каждый член прогрессии по формуле n-го члена:

        26 = a₁ + 80d

        83 = a₁ + 270d

        Объединяем эти уравнения в систему:

        

        А дальше решаем точно так же, как и в предыдущей задаче. Один в один. Дорешайте, чего уж там!

        Должно получиться:

        a₁₁ = 5

        Рассмотрим ещё более хитрую задачку. С подвохом. Если невнимательно читать задание…

        Сумма первого и седьмого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение третьего и шестого членов равно 10. Найдите двадцатый член прогрессии.

        Что, внушает? Решение по картинке и “на пальцах” не катит, да… Попробуем перевести всё задание в чистую алгебру? А та — всё сможет.)

        Ничего не боимся и используем главное правило всей математики: “Не знаешь, что нужно, делай что можно.”

        Вот и прикидываем, что в этой эпичной задачке можно сделать. Можно хотя бы расписать все данные нам члены (1-й, 7-й, 3-й, 6-й) в виде формул n-го члена, подставляя те числа, которые даны в условии.

        Вот и расписываем каждый член! Прямо по формуле!

        Ну, с первым членом всё и так ясно. Его вообще расписывать не надо.) Идём дальше.

        Для седьмого члена мы можем записать:

        a₇ = a₁ + (7-1)·d = a₁ + 6d

        Третий член:

        a₃ = a₁ + (3-1)·d = a₁ + 2d

        Шестой член:

        a₆ = a₁ + (6-1)·d = a₁ + 5d

        А дальше снова читаем задачку и скачиваем всю остальную полезную информацию. А именно — связь между членами.

        Сумма первого и седьмого членов равна 14:

        a₁ + a₁ + 6d = 14

        2a₁ + 6d = 14

        Так, одно уравнение готово. Читаем дальше.)

        Произведение третьего и шестого членов равно 10:

        (a₁ + 2d)(a₁ + 5d) = 10

        Получили два уравнения. Раз они относятся к одной и той же прогрессии, то должны выполняться одновременно. Объединяем наши полученные уравнения в систему:

        

        Вот и всё. Всю ценную информацию по прогрессии мы скачали и записали в виде системы уравнений. А дальше дело за алгеброй. Решение систем —  уже её работа. И наша с вами, к сожалению, тоже, да…

        Начнём с первого уравнения. Оно попроще будет. Выражаем из него a₁. Для этого переносим 6d вправо и делим всё на двойку. Обычные тождественные преобразования, да.)

        2a₁ = 14 — 6d

        a₁ = 7 — 3d

        Теперь, ясное дело, подставляем это выражение во второе уравнение:

        (7 — 3d + 2d)(7 — 3d + 5d) = 10

        Приводим подобные в скобках:

        (7 — d)(7 + 2d) = 10

        Раскрываем скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        49 + 14d — 7d — 2d² — 10 = 0

        -2d² + 7d + 39 = 0

        Решаем это квадратное уравнение (помножив обе части на минус 1) и получаем корни:

        d₁ = -3

        d₂ = 6,5

        А вот и обещанный подводный камень! Что дальше? Получилось два значения разности d! Какое из них выбрать? Тупик?

        Вовсе нет! Просто ещё раз внимательно читаем условие задачи в поисках дополнительной информации! Там зачем-то употребляется слово “возрастающей”. А составители задач излишним словоблудием обычно не занимаются, да.) Вспоминаем из первого урока, что у возрастающей арифметической прогрессии разность всегда положительна.

        Стало быть, из двух вариантов выбираем d = 6,5.

        Так, отлично. Разность прогрессии найдена. По первому уравнению системы считаем первый член:

        a₁ = 7 — 3d = 7 – 3·6,5 = -3,5

        Вот, практически, и всё. Что там от нас в задаче требуют? Двадцатый член? Да, пожалуйста!

        a₂₀ = a₁ + (20 — 1)·d = -3,5 + 19·6,5 = 120

        Ответ: 120

        А теперь мы рассмотрим с вами ещё несколько коротких и простых задачек. Они, по своей сути, и вправду очень простые, но многих учеников ставят в тупик своей непривычностью и нестандартной подачей условия. Вот и пугается народ. И спотыкается на ровном месте, теряя драгоценные баллы на экзамене…

        Работаем с видоизменённой формулой!

        Первым делом, давайте с вами вспомним, как мы обычно задаём любую арифметическую прогрессию? Варианта два:

        1) Отдельными параметрами прогрессии (скажем, a₁ и d или a₁ и a_n и т.п.);

        2) В виде последовательности чисел.

        Например:

        (a_n): 1, 5, 9, 13, 17, …

        К этим двум вариантам задания прогрессии мы уже попривыкли.) Но оказывается, есть ещё и третий вариант задания арифметической прогрессии! А именно – в виде формулы n-го члена. Да-да! Любую арифметическую прогрессию в общем виде можно задать формулой её n-го члена. Для каждой прогрессии — своей.)

        Смотрите сами.

        Пусть, например, в арифметической прогрессии a₁ = 3 и d = 5. Запишем для неё формулу n-го члена:

        a_n = 3 + 5·(n-1)

        Раскрываем скобки и упрощаем:

        a_n = -2 + 5n

        Это выражение — тоже формула n-го члена! Только не общая, а уже для конкретной прогрессии. Задачки с такой видоизменённой формулой очень часто попадаются на экзамене. И частенько народ, не подумав, тут же радостно ответ пишет и… приехали.) Чем же эта формула так коварна? Здесь есть подводный камень: некоторые, глядя на формулу, сразу думают, что первый член — минус два. Хотя реально первый член — тройка…

        Например, такая задачка на основе реального варианта ОГЭ:

        Арифметическая прогрессия задана условием a_n = 5 — 1,5n. Найдите сумму первого и девятого её членов.

        Здесь прогрессия задана не совсем привычно. Формула какая-то… Ничего страшного. Бывает.) Эта формула — тоже формула n-го члена арифметической прогрессии. Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру!

        Вот и ищем наши члены. Начинаем с первого члена. Тот, кто думает, что первый член — пятёрка, фатально ошибается! Потому что формула в задаче — видоизменённая. И первый член прогрессии в ней спрятан. Не беда, сейчас мы его отыщем.)

        Просто берём и подставляем n=1 в формулу:

        a₁ = 5 — 1,5·1 = 3,5

        Вот так! Первый член — три с половиной! А вовсе не пятёрка…

        Подставляем теперь n=9 и считаем девятый член:

        a₉ = 5 — 1,5·9 = -8,5

        Ну и считаем требуемую сумму:

        a₁ + a₉ = 3,5 + (-8,5) = -5

        Ответ: -5

        Вот и все дела. Теперь, надеюсь, видоизменённая формула n-го члена арифметической прогрессии не поставит вас навечно в тупик.)

        Работаем с рекуррентной формулой!

        Рассмотрим теперь ещё один сюрприз. Частенько в задачах на арифметическую прогрессию встречается ещё одно обозначение — a_n+1. Это, как вы уже, наверное, догадались, “эн плюс первый” член прогрессии. Всё очень просто. Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. И всё.) Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a_n третий член, то a_n+1 будет четвёртым членом. И тому подобное.

        Чаще всего обозначение a_n+1 встречается в так называемых рекуррентных формулах. Не пугаемся этого страшного слова!) Рекуррентная формула – это всего лишь способ задания любого члена арифметической прогрессии через предыдущий член. И всё.) Это ещё один, четвёртый способ задания арифметической прогрессии. Поработаем и с ним.

        Допустим, арифметическая прогрессия нам задана рекуррентной формулой:

        a_n+1 = a_n+4

        a₁ = 3

        Можно посчитать второй член этой прогрессии? Легко! Если за a_n принять первый член прогрессии a₁, то второй член будет, как раз, a₁₊₁ = a₂. Первый член нам уже дан отдельно. Это тройка. Вот и считаем по формуле:

        a₂ = a₁ + 4 = 3+4 = 7

        Третий член можно посчитать через второй:

        a₃ = a₂ + 4 = 7+4 = 11

        Четвёртый можно посчитать через третий, пятый – через четвёртый, и так далее. Продолжая эту цепочку, можно таким способом добраться до любого интересующего нас члена. А как можно посчитать сразу, скажем, 25-й член a₂₅? К сожалению, никак… Пока предыдущий, 24-й член, не узнаем, 25-й не посчитаем. В этом и состоит принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная формула работает по принципу домино, только через предыдущий член, в то время как формула n-го члена — через первый и позволяет сразу находить любой член прогрессии по его номеру. Не просчитывая всю последовательность по порядочку.)

        Кстати, а как вы думаете, почему в рекуррентной формуле

        a_n+1 = a_n+4

        a₁ = 3

        первый член a₁ нам задан отдельно? Ответ прост: для последовательного подсчёта членов рекуррентным способом, нам всегда необходима некая точка отсчёта. А именно — некоторый стартовый член, с которого следует начинать. Это, кстати, не обязательно может быть именно первый член. Можно начать счёт со второго члена, с третьего — с любого! С того члена, который дополнительно указан в условии в качестве стартового.

        Подведём итог. Как вы видите, если число последовательно просчитываемых членов не очень большое (скажем, три или пять), то рекуррентные формулы вовсе не так уж и плохи на практике. А вот если считать предстоит много, то уже начинаются неудобства, да…

        К счастью, в арифметической прогрессии рекуррентную формулу очень легко превратить в обычную. Как? Просто посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти первый член (если надо), записать формулу n-го члена в привычном виде, да и работать с ней.

        В ОГЭ подобные задания частенько встречаются. Например, такая задачка:

        Арифметическая прогрессия задана условиями:

        a_n+1 = a_n+2,8

        a₂ = 3

        Найдите 112-й член этой прогрессии.

        Здесь прогрессия задана рекуррентным способом. Ну и ничего страшного. Любой член прогрессии можно посчитать через предыдущий. Второй член нам уже известен. Это тройка. Через него можно посчитать третий член, через третий — четвёртый и так далее вплоть до нужного нам 112-го члена. Мрачноватая перспектива, вообще-то.) А времени на экзамене немного, да…

        Но! У нас же есть такой мощный инструмент, как формула n-го члена! Которая сразу выдаст нам любой член с любым номером! Вот и запустим её в дело. Для начала просто запишем в тетрадке:

        a_n = a₁ + (n-1)·d

        А теперь смотрим на формулу и соображаем, какие данные у нас уже есть, а что нужно дополнительно посчитать.

        Пока у нас есть только номер члена n = 112. А вот первого члена a₁ и разности d — пока не хватает. Не беда, сейчас отыщем!

        Читаем ещё раз задачку и видим, что:

        a_n+1 = a_n+2,8    и    a₂ = 3

        Можно посчитать третий член по известному второму? Можно!

        Считаем:

        a₃ = a₂+2,8 = 3+2,8 = 5,8

        Ну вот. Теперь нам стали известны два последовательных члена прогрессии — второй и третий. Считаем разность прогрессии:

        d = a₃ — a₂ = 5,8 — 3 = 2,8

        Внимание! Ещё раз напоминаю, что разность прогрессии d — это не просто разница между двумя соседними членами! Это именно разность между членом и предыдущим членом! Стало быть, для определения разности, надо всегда от члена с большим номером отнять член с меньшим номером.

        Кстати сказать, а можно ли было сразу найти разность прогрессии, не вычисляя третий член? Можно! Давайте ещё разок посмотрим на нашу рекуррентную формулу:

        a_n+1 = a_n+2,8

        Переводим формулу на человеческий язык: каждый член (a_n+1) больше предыдущего члена (a_n) на 2,8. Прямо по смыслу и определению арифметической прогрессии, величина 2,8 и есть разность d! Вот и всё.)

        Так, разность прогрессии найдена. Осталось отыскать первый член. Не вопрос! Второй член нам уже дан по условию, а разность мы нашли только что. Вот и отнимаем разность прогрессии от второго члена:

        a₁ = a₂ — d = 3 — 2,8 = 0,2

        Вот и финишная прямая. Подставляем все чиселки в формулу n-го члена и считаем 112-й член:

        a₁₁₂ = a₁ + (112-1)·d = 0,2 + 111·2,8 = 311

        Ответ: 311

        Ну как, прониклись? Мощная штука формула n-го члена, правда? Тогда решаем самостоятельно.

        Для разминки:

        1. Записаны первые три члена арифметической прогрессии:

        20; 17; 14; …

        Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

        2. В третьем ряду киноконцертного зала 34 места, а в пятнадцатом — 58 мест. Сколько мест в одиннадцатом ряду, если считать число мест в каждом ряду арифметической прогрессией?

        Эта чуть покруче будет:

        3. Дана арифметическая прогрессия:

        32; 31,6; 31,2; …

        Найдите номер первого отрицательного члена этой прогрессии.

        Картинку рисовать муторно, да. Слишком уж медленно наша прогрессия к отрицательным числам приближается… Но вы же формулу n-го члена знаете! Вперёд! Ну, и элемент творчества небольшой надо проявить, да.)

        А вот это уже не разминка:

        3. Известно, что в арифметической прогрессии a₆ = 6 и a₂₅₁ = -190. Найдите a₁₀₁.

        4. Третий член арифметической прогрессии в три раза меньше шестого, а сумма второго и пятого членов равна 16. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

        5. Сумма восьмого и четырнадцатого членов убывающей арифметической прогрессии равна нулю, а произведение третьего и двенадцатого членов равно -32. Найдите девятнадцатый член прогрессии.

        Задачки попроще, для отдыха:

        6. Арифметическая прогрессия задана условием: a_n = -0,6+8,6n. Найдите произведение первого и шестнадцатого её членов.

        7. Арифметическая прогрессия задана условиями:

        a_n+1 = a_n — 0,3

        a₁ = 10

        Найдите 51-й член прогрессии.

        Ответы (в беспорядке): 54; -5; 82; -70; -250; 1096; -16; 50;

        Ну вот и второй этап знакомства с арифметической прогрессией успешно пройден! Осталось ещё научиться быстро складывать её члены. Такие задачки тоже часто встречаются! Об этом — в следующем уроке.