Как найти точку симметрии на графике – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Warning: include_once(): Failed opening ‘/home/zarab1/matemonline.com/www/wp-content/plugins/yet-another-related-posts-plugin/includes/template_functions.php’ for inclusion (include_path=’.:/usr/local/pear/php56′) in /home/zarab1/matemonline.com/www/wp-content/plugins/yet-another-related-posts-plugin/yarpp.php on line 52

Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x). Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.

Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?

Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.

Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.

Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?

Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b<-2, так что функция у=2f(x)-1 имеет центр симметрии в точке (а, 2b-2).

Комментарий. При рассуждении можно употреблять термины «растяжение-сжатие» и «сдвиг». Можно также пользоваться утверждением «Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2а-x)».

Материалы по теме:

Пример нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.
Функции четные и нечетные
Находим асимптоты до графика функции.
Периодические функции

Загрузка…

Источник

Загрузить PDF

Многие характеристики графика функции или многочлена невозможно объяснить без визуального представления. Одна из таких характеристик — ось симметрии: вертикальная линия на графике, которая делит этот график на два зеркально симметричных изображения. Найти ось симметрии для данного многочлена относительно несложно.^[1] Существует два основных способа.

1
Определите, какова степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении.^[2] Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x²), вы можете найти ось симметрии, используя данный способ. Если степень многочлена больше двух, применяйте второй способ.
- Чтобы наглядно продемонстрировать этот способ, возьмем, например, многочлен вида 2x² + 3x – 1. Самая высокая степень в многочлене — x², следовательно, мы имеем дело с квадратным трехчленом и можем воспользоваться первым способом для нахождения оси симметрии.
2
Подставьте коэффициенты в формулу расчета оси симметрии. Для нахождения оси симметрии для квадратного трехчлена вида ax² + bx +c (парабола), применяют базовую формулу x = -b / 2a.^[3]
- В нашем примере a = 2, b = 3, and c = -1. Подставим эти значения в нашу формулу, и получаем:
  x = -3 / 2(2) = -3/4.
3
Запишите уравнение оси симметрии. Значение, которое вы рассчитали по формуле оси симметрии, — это значение точки пересечения оси симметрии с осью абсцисс.
- В вышеприведенном примере ось симметрии равна -3/4.
Реклама

1

Определите степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении. Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x²), вы можете найти ось симметрии, используя вышеприведенный способ. Если степень многочлена больше 2, применяйте графический способ.
2

Начертите систему координат. Нарисуйте две линии, пересекающиеся под прямым углом в виде знака «плюс». Горизонтальная линия будет осью x, а вертикальная — осью у.
3

Отложите единичные числовые отрезки на осях. Отложите на осях числовые отрезки равной величины.
4

Рассчитайте значение y = f(x) для каждого значения x. Возьмите данный многочлен или функцию и рассчитайте значения f(x), последовательно подставив в выражение значения x.
5

Отметьте точки на графике для каждой пары координат. Теперь у вас есть соответствующее значение y = f(x) для каждого значения на оси абсцисс. Для каждой точки с координатами (x, y), отметьте точку в системе координат — по вертикали отложив значение по оси X, а по горизонтали — на оси Y.
6

Нарисуйте график многочлена. Когда вы нанесли все точки на систему координат, можно плавно соединить их между собой. У вас получится непрерывный график вашего многочлена.
7

Найдите ось симметрии. Внимательно изучите полученный график. Найдите точку на графике, по которой можно провести линию, разделяющую график на две равные зеркальные половины.^[4]
8

Отметьте ось симметрии. Если вы нашли такую точку (назовем ее «b») на оси x, которая разделяет график на две зеркальные половины, это значение и будет искомой осью симметрии.

Реклама

Советы

Длина осей абсцисс и ординат должна быть достаточной, чтобы наглядно отобразить форму графика.
Некоторые многочлены не имеют оси симметрии. Например, для y = 3x не существует оси симметрии.
Симметрия многочлена может быть определена как четная или нечетная. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью у имеет «четную» симметрию. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью x, — «нечетный».

Об этой статье

Эту страницу просматривали 111 502 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!
$!$

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax² + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция	Коэффициенты
y = 2x² − 7x + 9	a = 2 b = −7 с = 9
y = 3x² − 1	a = 3 b = 0 с = −1
y = −3x² + 2x	a = −3 b = 2 с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!
$!$

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

$парабола - график квадратичной функции$

Также парабола может быть перевернутой.

$перевернутая парабола$

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x² −7x + 10».

Направление ветвей параболы

Запомните!
$!$

Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
$парабола маленькая$

Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
$перевернутая парабола маленькая$

В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
$перевернутая парабола мальнькая$
Координаты вершины параболы

Запомните!
$!$

Чтобы найти «x₀»
(координата вершины по оси «Ox»)
нужно использовать формулу:

Найдем «x₀» для нашей функции «y = x² −7x + 10».

Теперь нам нужно найти «y₀»
(координату вершины по оси «Oy»).
Для этого нужно подставить найденное значение «x₀» в исходную функцию.
Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
«Как решать задачи на функцию» в подразделе
«Как получить значение функции».

y₀(3,5) =
(3,5)² − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

−12,25 + 10 = −2,25

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат.
Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
относительно оси «Oy».

$вершина параболы$

Нули функции

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Запомните!
$!$

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
(осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

$нули функции$

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
по оси «Oy» равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Запомните!
$!$

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
«y = 0».

Подставим в заданную функцию «y = x² −7x + 10»
вместо «y = 0» и решим полученное
квадратное уравнение
относительно
«x» .

0 = x² −7x + 10
x² −7x + 10 = 0

x_1;2 =

7 ±
√49 − 4 · 1 · 10

2 · 1

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = 5	x₂ = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
с осью «Ox».
Назовем эти точки и выпишем их координаты.

(·) B (5; 0)
(·) C (2; 0)

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

$отмечаем нули функции на системе координат$

Дополнительные точки для построения графика

Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
которые наиболее близки к оси
симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

x	1	3	4	6
y

Для каждого выбранного значения «x»
рассчитаем «y».

y(1) = 1² − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
4
y(3) = 3² − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
−2
y(4) = 4² − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
−2
y(6) = 6² − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
4

Запишем полученные результаты в таблицу.

x	1	3	4	6
y	4	−2	−2	4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

$дополнительные точки для построения$

Теперь мы готовы построить график.
На забудьте после построения подписать график функции.

$график параболы$

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x² − 6x − 4».

Направление ветвей параболы

«a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
$перевернутая парабола маленькая$

Координаты вершины параболы

x₀ =
x₀ = =

= −1

y₀(−1) = (−3) · (−1)² − 6 · (−1) − 4 =
−3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1)

— вершина параболы.

$вершина параболы -3x^2 - 6x - 4$
Нули функции
Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

0 = −3x² − 6x − 4

−3x² − 6x − 4 = 0 |·(−1)

3x² + 6x + 4 = 0

x_1;2 =

−6 ±
√6² − 4 · 3 · 4

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
«Ox».

Вспомогательные точки для: «x = −3»;
«x = −2»;
«x = 0»;
«x = 1». Подставим в исходную функцию
«y = −3x² − 6x − 4».

y(−3) = −3 · (−3)² − 6 · (−3) − 4
= −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13

y(−2) = −3 · (−2)² − 6 · (−2) − 4
= −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

y(0) = −3 · 0² − 6 · 0 − 4
= −4

y(1) = −3 · 1² − 6 · 1 − 4
= −3 −6 − 4 = −13

x	−3	−2	0	1
y	−13	−4	−4	−13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

$график функции -3x^2 - 6x - 4$

Ваши комментарии

Важно!
$Галка$

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

$Пришелец пожимает плечами$

Оставить комментарий:

Источник

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции – парабола.

парабола, построение параболы, график парабола

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

parabola2

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

классическая парабола, парабола, построение параболы

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

парабола, построение параболы

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант, ветви вниз

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

парабола, построение параболы, сдвиг параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

$x_o=frac{4}{2}=2$ , . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

парабола, построение параболы, ветви параболы, дискриминант

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая $x=frac{-b}{2a}$ , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, $x=-frac{b}{2a}$ ), две (, $x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

алгоритм построения параболы, парабола

Пример 2

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=frac{-b}{2a}$ , $n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a})$ . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, $y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$ . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

парабола с ветвями вниз

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Что называют квадратичной функцией

Как построить график квадратичной функции

Краткий пример построения параболы

Ваши комментарии

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

Вам также может понравиться

Как найти прибыльное дело по душе

Как найти пробники духов

Как найти ник для ксс

Добавить комментарий Отменить ответ