Уважаемые студенты!
Срочно заказать решение своих задач можно здесь всего за 10 минут.
Второй замечательный предел
Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:
$ bigg[frac{infty}{infty}bigg]^infty $ и $ [1]^infty $.
Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.
Формула и следствия
Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ lim_{x to infty} bigg (1+frac{1}{x}bigg)^x = e, text{ где } e approx 2.718 $$
Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ lim_{x to infty} bigg (1 + frac{k}{x} bigg)^x = e^k, text{ где } k in mathbb{R} $$ $$ lim_{x to infty} bigg (1 + frac{1}{f(x)} bigg)^{f(x)} = e $$ $$ lim_{x to 0} bigg (1 + x bigg)^frac{1}{x} = e $$
Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.
Примеры решений
Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.
| Пример 1 |
| Найти предел $ lim_{xtoinfty} bigg( frac{x+4}{x+3} bigg)^{x+3} $ |
| Решение |
|
Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ lim_{xtoinfty} bigg( frac{x+4}{x+3} bigg)^{x+3} = bigg(frac{infty}{infty}bigg)^infty $$ Найдем предел основания: $$ lim_{xtoinfty} frac{x+4}{x+3}= lim_{xtoinfty} frac{x(1+frac{4}{x})}{x(1+frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{x+4}{x+3} – 1 bigg)^{x+3} = lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{1}{x+3} bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{1}{x+3} bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ lim_{xtoinfty} bigg( 1 + frac{1}{x+3} bigg)^{x+3} = e $$ |
| Пример 2 |
| Определить предел $ lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{x^2} $ |
| Решение |
|
Замечаем, что основание степени стремится к единице $ 1+frac{1}{x^3} to 1 $, при $ xtoinfty $, а показатель $ x^2 to infty $. Поэтому можно применить второе следствие. Но сперва, разберемся с показателем и приведем его в нужный вид – сделаем равным знаменателю основания. Для этого умножим его на $ x $ и разделим на него же. Получаем: $$ lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{x^2 cdot frac{x}{x}} = lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{frac{x^3}{x}} = $$ Уже теперь применяем формулу и получаем: $$ lim_{xtoinfty}e^ frac{1}{x} = e^{lim_{xtoinfty} frac{1}{x}} = e^0 = 1 $$ |
| Ответ |
| $$ lim_{xtoinfty} bigg (1+frac{1}{x^3}bigg)^{x^2} = 1 $$ |
| Пример 3 |
| Вычислить предел $ lim_{xto 1} (6-5x)^frac{x}{x-1} $ |
| Решение |
|
Получаем неопределенность $ 1^infty $. Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Но у нас $ xto 1 $. Как быть? Выполняем замену $ y = x-1 $, тогда $ yto 0 $, при $ x to 1 $. Из замены следует, что $ x = y + 1 $. $$ lim_{xto 1} (6-5x)^frac{x}{x-1} = lim_{yto 0} (6-5(y+1))^frac{y+1}{y} = 1^infty = $$ $$ = lim_{yto 0} (1-5y)^frac{y+1}{y} = lim_{yto 0} (1+(-5y))^frac{(y+1)cdot (-5)}{-5cdot y} = $$ $$ = lim_{yto 0} e^{-5cdot (y+1)} = e^{-5} $$ |
| Ответ |
| $$ lim_{xto 1} (6-5x)^frac{x}{x-1} = e^{-5} $$ |
| Пример 4 |
| Решить предел $ lim_{xto infty} bigg (frac{3x^2+4}{3x^2-2} bigg) ^{3x} $ |
| Решение |
|
Находим предел основания и видим, что $ lim_{xtoinfty} frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ lim_{xto infty} bigg (1+frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 bigg) ^{3x} = lim_{xto infty} bigg (1+frac{6}{3x^2-2} bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = lim_{xto infty} bigg (1+frac{1}{frac{3x^2-2}{6}} bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = lim_{xto infty} bigg (1+frac{1}{frac{3x^2-2}{6}} bigg) ^{frac{3x^2-2}{6} cdot frac{6}{3x^2-2}cdot 3x} = lim_{xto infty} e^{frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ lim_{xto infty} frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем: $$ = e^0 = 1 $$ |
| Ответ |
| $$ lim_{xto infty} bigg (frac{3x^2+4}{3x^2-2} bigg) ^{3x} = 1 $$ |
Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.
| Пример 5 |
| Найти $ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{x+3}{3x+4} bigg )^{x+1} $ |
| Решение |
|
Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем: $$ lim_{xtoinfty} frac{x+3}{3x+4} = frac{1}{3} $$ А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ frac{1}{3}ne 1 $ Продолжаем вычисление предела: $$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{x+3}{3x+4} bigg )^{x+1} = bigg (frac{1}{3} bigg ) ^infty = 0 $$ |
| Ответ |
| $$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{x+3}{3x+4} bigg )^{x+1} = 0 $$ |
| Пример 6 |
| Найти $ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{3x+4}{x+3} bigg )^{x-5} $ |
| Решение |
|
Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем: $$ lim_{xtoinfty} frac{3x+4}{x+3} = 3 $$ А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ 3 ne 1 $ Продолжаем вычисление предела: $$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{3x+4}{x+3} bigg )^{x-5} = 3^infty = infty $$ |
| Ответ |
| $$ lim_{xtoinfty} bigg ( frac{3x+4}{x+3} bigg )^{x-5} =infty $$ |
В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.
Второй замечательный предел
Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
$$
begin{equation}
lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e
end{equation}
$$
Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $eapprox{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
$$
begin{equation}
lim_{tto{0}}biggl(1+tbiggr)^{frac{1}{t}}=e
end{equation}
$$
Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}$.
Решение
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$
lim_{xtoinfty}frac{3x+1}{3x-5}=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{3+frac{1}{x}}{3-frac{5}{x}}
=frac{3+0}{3-0}
=1.
$$
При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_{xtoinfty}(4x+7)=infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}
=|1^infty|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
$$
Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$
frac{3x+1}{3x-5}-1
=frac{3x+1}{3x-5}-frac{3x-5}{3x-5}
=frac{3x+1-3x+5}{3x-5}
=frac{6}{3x-5}.
$$
Так как $frac{3x+1}{3x-5}-1=frac{6}{3x-5}$, то:
$$
lim_{xtoinfty}left(1+ frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right )^{4x+7}
$$
Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac{1}{x}$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$
1+frac{6}{3x-5}
=1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}
$$
Таким образом,
$$
lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right )^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{4x+7}
$$
Итак, основание степени, т.е. $1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+frac{1}{x}$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$
lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
$$
Отдельно рассмотрим предел дроби $frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:
$$
lim_{xtoinfty}frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}
=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{6cdotleft(4+frac{7}{x}right)}{3-frac{5}{x}}
=6cdotfrac{4}{3}
=8.
$$
Согласно формуле (1) имеем $lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}}=e$. Кроме того, $lim_{xtoinfty}frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:
$$
lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$
Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:
$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}=left|1^inftyright|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{4x+7}=\
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$
Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $frac{6}{3x-5}to{0}$ при $xtoinfty$, то применяя формулу (2), получим:
$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}=left|1^inftyright|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{4x+7}=\
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{6}{3x-5}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$
Ответ: $lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right)^{4x+7}=e^8$.
Пример №2
Найти предел $lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}$.
Решение
Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $xto{1}$, т.е. $lim_{xto{1}}(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac{x}{3x-3}$, получаем: $lim_{xto{1}}frac{x}{3x-3}=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.
Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $xto{1}$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $xto{1}$, то ${x-1}to{0}$, т.е. $yto{0}$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $yto{0}$, получим:
$$
lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr )^{frac{x}{3x-3}}
=left|begin{aligned}&y=x-1;;x=y+1\&yto{0}end{aligned}right|=\
=lim_{yto{0}}biggl(7-6cdot(y+1)biggr)^{frac{y+1}{3cdot(y+1)-3}}
=lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}
=lim_{yto 0}biggl(1+(-6y)biggr)^frac{y+1}{3y}
$$
Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac{1}{t}$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac{1}{-6y}$. Домножим показатель степени на выражение $frac{1}{-6y}$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac{-6y}{1}=-6y$:
$$
lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}=lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}cdot(-6y)cdotfrac{y+1}{3y}}
=lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
$$
Так как $lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}=e$ и $lim_{yto{0}}(-2(y+1))=-2$, то получим:
$$
lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
=e^{-2}
=frac{1}{e^2}.
$$
Полное решение без пояснений таково:
$$
lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}
=left|begin{aligned}&y=x-1;;x=y+1\&yto{0}end{aligned}right|
=lim_{yto{0}}biggl(7-6cdot(y+1)biggr)^{frac{y+1}{3cdot(y+1)-3}}=\
=lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}
=lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}cdot(-6y)cdotfrac{y+1}{3y}}
=lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
=e^{-2}
=frac{1}{e^2}.
$$
Ответ: $lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}=frac{1}{e^2}$.
Пример №3
Найти предел $lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}$.
Решение
Так как $lim_{xto{0}}(cos{2x})=1$ и $lim_{xto{0}}frac{1}{sin^2{3x}}=infty$ (напомню, что $sin{u}to{0}$ при $uto{0}$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:
$$
lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
=|1^infty|
=lim_{xto{0}}biggl(1+cos{2x}-1biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
$$
Так как $sin^2x=frac{1-cos{2x}}{2}$, то $cos{2x}-1=-2sin^2x$, поэтому:
$$
lim_{xto{0}}biggl(1+cos{2x}-1biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
=lim_{xto{0}}biggl(1+left(-2sin^2xright)biggr)^{frac{1}{-2sin^2x}cdot(-2sin^2x)cdotfrac{1}{sin^2 3x}}=\
=lim_{xto{0}}left(biggl(1+left(-2sin^2xright)biggr)^{frac{1}{-2sin^2x}}right)^{frac{-2sin^2{x}}{sin^2{3x}}}
=e^{-frac{2}{9}}.
$$
Здесь мы учли, что $lim_{xto{0}}frac{sin^2{x}}{sin^2{3x}}=frac{1}{9}$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.
Ответ: $lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}=e^{-frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)$.
Решение
Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln{x}=lnleft(frac{x+1}{x}right)$, то:
$$
lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)
=lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(frac{x+1}{x}right)right)
$$
Раскладывая дробь $frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $frac{x+1}{x}=1+frac{1}{x}$ получим:
$$
lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(frac{x+1}{x}right)right)
=lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(1+frac{1}{x}right)right)
=lim_{xto+infty}left(lnleft(frac{x+1}{x}right)^xright)
=ln{e}
=1.
$$
Ответ: $lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)=1$.
Пример №5
Найти предел $lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}$.
Решение
Так как $lim_{xto{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $lim_{xto{2}}frac{2x}{x^2-4}=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$
lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}
=left|begin{aligned}&t=x-2;;x=t+2\&tto{0}end{aligned}right|
=lim_{tto{0}}biggl(1+3tbiggr)^{frac{2t+4}{t^2+4t}}=\
=lim_{tto{0}}biggl(1+3tbiggr)^{frac{1}{3t}cdot 3tcdotfrac{2t+4}{t^2+4t}}
=lim_{tto{0}}left(biggl(1+3tbiggr)^{frac{1}{3t}}right)^{frac{6cdot(t+2)}{t+4}}
=e^3.
$$
Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$
lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}
=left|begin{aligned}&t=frac{1}{x-2};;x=frac{2t+1}{t}\&ttoinftyend{aligned}right|
=lim_{ttoinfty}left(1+frac{3}{t}right)^{tcdotfrac{4t+2}{4t+1}}=\
=lim_{ttoinfty}left(1+frac{1}{frac{t}{3}}right)^{frac{t}{3}cdotfrac{3}{t}cdotfrac{tcdot(4t+2)}{4t+1}}
=lim_{ttoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{t}{3}}right)^{frac{t}{3}}right)^{frac{6cdot(2t+1)}{4t+1}}
=e^3.
$$
Ответ: $lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x} $.
Решение
Выясним, к чему стремится выражение $frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $xtoinfty$:
$$
lim_{xtoinfty}frac{2x^2+3}{2x^2-4}
=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{2+frac{3}{x^2}}{2-frac{4}{x^2}}
=frac{2+0}{2-0}=1.
$$
Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$
lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x}
=|1^infty|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1right)^{3x}=\
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{7}{2x^2-4}right)^{3x}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{3x}=\
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{2x^2-4}{7}cdotfrac{7}{2x^2-4}cdot 3x}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{21x}{2x^2-4}}
=e^0
=1.
$$
Ответ: $lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x}=1$.
Содержание:
Замечательные пределы
Сравнение бесконечно малых функций
Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)
Теорема: Если значения функции 
значениями функций 
Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции 
стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию 
также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”). 
Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.
Доказательство: Пусть 
– точка сгущения для функций 
в общей области определения. Это означает, что в некоторой 
-окрестности точки 
выполняется неравенство 
В 
-окрестности точки 
выполняется неравенство 
Так как значения функции 
заключены между значениями функций 
то в некоторой 
-окрестности точки 
меньшей из 
-окрестностей будет выполняться неравенство 
Отсюда следует, что выполняется неравенство 
или 
Первый замечательный предел
Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. 
и называется первым замечательным пределом.
Пример:
Пределы являются первыми замечательными пределами 
Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол 
в первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63): 
Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.
Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:
Вычислим эти площади 
Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду 
В силу того, что 
получаем 
Разделим полученное неравенство на 
знак всех неравенств не изменится: 
Переходя к обратным неравенствам, 
или в силу того, что 
то по теореме о 2-х милиционерах 
Аналогично проводится доказательство для любого значения угла 
Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности 
тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.
При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:
а также следующие таблицы:
Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале 
Табл. 2. Формулы приведения.
Пример:
Найти 
Решение:
При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность 
Воспользуемся формулой 
и преобразуем данный предел следующим образом: 
Пример:
Найти 
Решение:
При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость 
Воспользуемся формулой 
тогда данный предел равен:
Пример:
Найти 
Решение:
При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость 
Введём замену 
(при 
) и воспользуемся следующей формулой 
Предел преобразуется к виду:
Пример:
Найти 
Решение:
При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость 
Воспользуемся формулами 
получим: 
Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел
Рассмотрим логарифмическую функцию 
Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке 
(см. график логарифмической функции в Лекции № 22).
Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.
Основанием натурального логарифма является число 
Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными 
и десятичными 
логарифмами: 
Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенство
(первая форма)
или
(вторая форма).
Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены 
с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.
Замечание: Наличие неопределенности 
указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций 
что указывает на второй замечательный предел.
Пример:
Найти 
Решение:
При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности 
– не второй замечательный предел.
Пример:
Найти lim 
Решение:
При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность 
Проведём преобразование подлимитной функции: 
( – первая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела) 
(роль функции 
играет выражение 
возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =
= (выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени – к числу -4/5 (см. раскрытие неопределённости 
для полиномов примере из пункта Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей поэтому окончательный ответ имеет вид)= 
Пример:
Найти 
Решение:
При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность 
Проведём преобразование подлимитной функции:
(вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= 
= (роль функции 
играет выражение (2-2х))= 
=(выражение в квадратных скобках стремится к числу е, а показатель степени – к числу -2 (подставить в показатель степени вместо переменной х ее предельное значение 1), поэтому окончательный ответ имеет вид) 
- Заказать решение задач по высшей математике
Сравнение бесконечно малых функций
Сравнить две бесконечно малые функции 
и 
означает вычислить предел 
Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции 
и 
называются несравнимыми.
Пример:
Пусть
– две бесконечно малые функции при 
Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.
Решение:
Для доказательства вычислим предел 
-данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.
Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция 
называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция 
Пример:
Пусть 
– две бесконечно малые функции при 
Доказать, что бесконечно малая функция 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция 
Решение:
Для доказательства вычислим предел 
Следовательно, бесконечно малая функция 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция 
при 
Определение: Если предел К равен 
то бесконечно малая функция 
называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция 
Пример:
Пусть 
– две бесконечно малые функции при 
Доказать, что бесконечно малая функция 
является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция 
Решение:
Для доказательства вычислим предел 
Следовательно, бесконечно малая функция 
является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция 
Определение: Если предел К равен конечному числу 
то бесконечно малые функции 
называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
Пример:
Пусть 
– две бесконечно малые функции при 
Доказать, что бесконечно малые функции 
являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
Решение:
Для доказательства вычислим предел 
Следовательно, бесконечно малые функции 
являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при 
Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.
Пример:
Пусть 
– две бесконечно малые функции при 
Доказать, что бесконечно малые функции 
являются эквивалентными.
Решение:
Вычислим предел 
Следовательно, бесконечно малые функции 
являются эквивалентными при 
Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.
Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций 
была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции .
Доказательство:
1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции 
т.е. пределы 
Докажем, что бесконечно малые функции 
эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов: 
Отсюда следует, что 
т.е. бесконечно малые функции 
эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.
2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции 
являются эквивалентными, т.е. 
Докажем, что разность двух бесконечно малых функций 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции 
Преобразуем данный предел следующим образом: 
Отсюда следует, что функция 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции 
Аналогично доказывается, что функция 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции 
Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции 
эквивалентны функции х при 
—вышмат
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
Следовательно,
Пример №25
Найти 
Решение:
Применим первый замечательный предел:
Второй замечательный предел
Числом е называется предел функции
(Для запоминания: 2<е<3; 1828 – год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно, 
Задача о непрерывном начислении процентов
Первоначальный вклад в банк составил 
денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно 
годовых. Необходимо найти размер вклада 
через t лет.
Решение:
Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в
раз и
через t лет составит 
Если же начислять проценты n раз в году,
то будущая сумма составит 
Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365), каждый час (n=8760) и, наконец, непрерывно (n
). Тогда за год размер вклада составит:
а за t лет: 
Пример №26
Найти 
Решение:
Т.к. 
имеем неопределенность вида 
Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:
Пример №27
Найти 
Решение:
Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим:
- Непрерывность функций и точки разрыва
- Точки разрыва и их классификация
- Дифференциальное исчисление
- Исследование функций с помощью производных
- Скалярное произведение и его свойства
- Векторное и смешанное произведения векторов
- Преобразования декартовой системы координат
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- Первый замечательный предел
- Раскрытие неопределенностей (left[frac00right]) с тригонометрическими функциями
- Второй замечательный предел
- Раскрытие неопределенности (left[1^{infty}right])
- Примеры
п.1. Первый замечательный предел
Исследуем поведение функции (f(x)=frac{sinx}{x}) вблизи (x_0=0).
Построим график.
Заполним таблицу со значениями (f(x)) непосредственно вблизи (x_0=0).
| x | -0,01 | -0,001 | -0,0001 | 0 | 0,0001 | 0,001 | 0,01 |
| sin(x)/x | 0,999983 | 0,99999983 | 0,9999999983 | [0/0] | 0,9999999983 | 0,99999983 | 0,999983 |
В самой точке 0 возникает неопределенность (left[frac00right]), но при приближении к ней с обеих сторон значение функции стремится к 1. Можем записать: $$ lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1 $$ Это равенство называют первым замечательным пределом.
п.2. Раскрытие неопределенностей (left[frac00right]) с тригонометрическими функциями
Из первого замечательного предела с помощью тригонометрических преобразований можно получить другие пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{tgx}{x}=1, lim_{xrightarrow 0}frac{arctgx}{x}=1\ lim_{xrightarrow 0}frac{arcsinx}{x}=1, lim_{xrightarrow 0}frac{1-cosx}{frac{x^2}{2}}=1 end{gather*} Все полученные формулы используются для раскрытия неопределенностей [0/0] при поиске пределов функций с тригонометрическими компонентами.
Например:
Найдем предел (lim_{xrightarrow 0}frac{1-cos4x}{x^2}) begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{1-cos4x}{x^2} = lim_{xrightarrow 0}frac{2sin^2 2x}{x^2}= 2lim_{xrightarrow 0}left(left(frac{sin2x}{x}right)cdotleft(frac{sin2x}{x}right)right)=\ =2cdot 4lim_{xrightarrow 0}left(left(frac{sin2x}{2x}right)cdotleft(frac{sin2x}{2x}right)right)= 8cdotlim_{xrightarrow 0}frac{sin2x}{2x}cdot lim_{xrightarrow 0}frac{sin2x}{2x}=8cdot 1cdot 1=8 end{gather*} Ответ: 8
п.3. Второй замечательный предел
Исследуем поведение функции (f(x)=left(1+frac1xright)^x) при (xrightarrowpminfty)
Построим график.
Заполним таблицу со значениями (f(x)) для больших по модулю x.
| (x) | -1000 | -100 | -10 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
| (left(1+frac1xright)^x) | 2,7196 | 2,7320 | 2,8680 | 2,5937 | 2,7048 | 2,7169 | 2,7181 |
На бесконечностях функция стремится к одному и тому же значению begin{gather*} e=2,7182818284\ lim_{xrightarrowinfty}left(1+frac1xright)^x=e end{gather*} Это равенство называют вторым замечательным пределом.
Число e часто называют числом Эйлера.
Бесконечность пишется без знаков, т.к. равенство справедливо как при (xrightarrow -infty), так и при (xrightarrow +infty).
п.4. Раскрытие неопределенности (left[1^{infty}right])
Если учесть, что (lim_{xrightarrowinfty}frac1x=0), тогда второй замечательный предел $$ lim_{xrightarrowinfty}left(1+frac1xright)^x=left[1^{infty}right]=e $$ дает ответ, чему равна единица в степени (infty). Поэтому его можно использовать для раскрытия неопределенностей, сводящихся к (left[1^{infty}right]).
Из второго замечательного предела с помощью преобразований для показательных и логарифмических функций можно получить другие полезные пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}(1+x)^{frac1x}=e, lim_{xrightarrow infty}left(1+frac kxright)^x=e^k\ lim_{xrightarrow 0}frac{ln(1+x)}{x}=1, lim_{xrightarrow 0}frac{e^x-1}{x}=1 end{gather*} Для тех, кто заинтересовался, строгое доказательство замечательных пределов и их следствий можно найти в университетских учебниках по математическому анализу. Ваших знаний уже достаточно, чтобы полностью разобраться с этими вопросами.
Например:
Найдем предел (lim_{xrightarrow infty}left(frac{x+6}{x-2}right)^{3x+2})
Т.к. (lim_{xrightarrow infty}frac{x+6}{x-2}) и (lim_{xrightarrow infty}(3x+2)=infty), получаем неопределенность (left[1^{infty}right]).
Выделим целую часть из основания степени: $$ frac{x+6}{x-2}=frac{(x-2)+8}{x-2}=frac{x-2}{x-2}+frac{8}{x-2}=1+frac{8}{x-2} $$ Получаем: $$ lim_{xrightarrow infty}left(frac{x+6}{x-2}right)^{3x+2} = lim_{xrightarrow infty}left(1+frac{8}{x-2}right)^{3x+2} =left[1^{infty}right] $$ Замена переменных: (frac1t=frac{8}{x-2}, trightarrowinfty). Тогда (x=8t+2). begin{gather*} lim_{trightarrow infty}left(1+frac1tright)^{3(8t+2)+2}= lim_{trightarrow infty}left(1+frac1tright)^{24t+8} = left(lim_{trightarrow infty}left(1+frac1tright)^tright)^{24}cdot lim_{trightarrow infty}left(1+frac1tright)^8=\ =e^{24}cdot 1^8=e^{24} end{gather*} Здесь мы использовали (1^{infty}=e) и (1^8=1).
Ответ: (e^{24})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите значения пределов, используя первый замечательный предел:
a) ( lim_{xrightarrow 0}frac{1-cosx}{xsinx} ) begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{1-cosx}{xsinx}=left[frac00right]=lim_{xrightarrow 0}frac{2sin^2frac x2}{x^2underbrace{frac{sinx}{x}}_{=1}}=2lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2frac x2}{x^2}=2lim_{xrightarrow 0}left(frac{sinfrac x2}{2cdotfrac x2}cdotfrac{sinfrac x2}{2cdotfrac x2}right)=\ =frac24lim_{xrightarrow 0}frac{sinfrac x2}{frac x2}cdot lim_{xrightarrow 0}frac{sinfrac x2}{frac x2}=frac12cdot 1cdot 1=frac12 end{gather*}
б) ( lim_{xrightarrow 0}frac{sin8x}{sin2x} ) begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sin8x}{sin2x}=left[frac00right]=lim_{xrightarrow 0}frac{8xcdotoverbrace{frac{sin8x}{8x}}^{=1}}{2xcdotunderbrace{frac{sin2x}{2x}}_{=1}}=frac82=4 end{gather*}
в) ( lim_{xrightarrow 0}frac{sin(x^2-4)}{x^2-4} ) Заметим, что (lim_{xrightarrow 0}sin(x^2-4)=sin(-4)ne 0) и (lim_{xrightarrow 0}(x^2-4)=-4ne 0) $$ lim_{xrightarrow 0}frac{sin(x^2-4)}{x^2-4}neleft[frac00right] $$ Т.е., неопределенности (left[frac00right]) в этом примере нет, и он решается обычной подстановкой значения предела (x_0=0) вместо x: begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sin(x^2-4)}{x^2-4}=frac{sin(-4)}{-4}=frac{-sin4}{-4}=frac{sin4}{4} end{gather*}
г) ( lim_{xrightarrow 2}frac{sin(x^2-4)}{x^2-4} ) А вот здесь при подстановке предела (x_0=2) получаем неопределенность (left[frac00right]). $$ lim_{xrightarrow 2}frac{sin(x^2-4)}{x^2-4}=left[frac00right] $$ Замена переменных: (t=x-2, trightarrow 0)
Тогда (x=t+2, x^2-4=(x-2)(x+2)=t(t+4)). Подставляем: begin{gather*} lim_{trightarrow 0}frac{sinleft(t(t+4)right)}{t(t+4)}=1 end{gather*} Последняя запись полностью соответствует определению первого замечательного предела с переменной (z=t(t+4), zrightarrow 0).
Внимание!
Следите, чтобы при подстановке значения предела в выражение действительно возникала неопределенность. И только тогда начинайте применять правила раскрытия неопределенностей и замечательные пределы.
Если неопределенности нет, то обычной подстановки достаточно, чтобы сразу получить ответ.
Что такое «неопределенность» – см. §37 данного справочника.
д) ( lim_{xrightarrow 0}frac{sqrt{x+3}-sqrt{3}}{sin5x} ) begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sqrt{x+3}-sqrt{3}}{sin5x}=left[frac00right]=lim_{xrightarrow 0}frac{(sqrt{x+3}-sqrt{3})(sqrt{x+3}+sqrt{3})}{(sqrt{x+3}+sqrt{3})cdot sin5x}=\ =lim_{xrightarrow 0}frac{x+3-3}{(sqrt{x+3}+sqrt{3})cdot sin5x}= lim_{xrightarrow 0}frac{1}{(sqrt{x+3}+sqrt{3})cdotfrac{sin5x}{x}}=\ =lim_{xrightarrow 0}frac{1}{(sqrt{x+3}+sqrt{3})cdot 5cdot underbrace{frac{sin5x}{5x}}_{=1}}=frac15lim_{xrightarrow 0}frac{1}{sqrt{x+3}+sqrt{3}}=frac15cdotfrac{1}{2sqrt{3}}=frac{1}{10sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{30} end{gather*}
e*) ( lim_{xrightarrow 1}frac{sinpi x}{sin3pi x} ) При подстановке (x_0=1) получаем неопределенность (left[frac00right]).
Чтобы её раскрыть с помощью первого замечательного предела, нужно ввести новую переменную, которая стремится к 0.
Заметим, что: begin{gather*} sin(pi x-pi)=sinleft(pi(x-1)right)=-sinpi x\ sin(3pi x-3pi)=sinleft(3pi(x-1)right)=-sin3pi x end{gather*} Дробь можно заменить: $$ frac{sinpi x}{sin3pi x}=frac{-sinpi x}{-sin3pi x}=frac{sinleft(pi(x-1)right)}{sinleft(3pi(x-1)right)} $$ Замена переменной: (t=x-1, trightarrow 0). Получаем: begin{gather*} lim_{trightarrow 0}frac{sinpi t}{sin3pi t}=lim_{trightarrow 0}frac{pi tcdotoverbrace{frac{sinpi t}{pi t}}^{=1}}{3pi tcdotunderbrace{frac{sin3pi t}{3pi t}}_{=1}}=frac13 end{gather*} Ответ: а) (frac12); б) 4; в) (frac{sin4}{4}); г) 1; д) (frac{sqrt{3}}{30}); е) (frac 13)
Пример 2. Найдите значения пределов, используя второй замечательный предел:
a) ( lim_{xrightarrowinfty}left(1+frac{1}{3x}right)^{5x} ) $$ lim_{xrightarrowinfty}left(1+frac{1}{3x}right)^{5x}=left[1^{infty}right] $$ Замена переменной: (t=3x, trightarrowinfty). Тогда (x=frac t3). Подставляем: begin{gather*} lim_{xrightarrowinfty}left(1+frac 1tright)^{5cdotfrac t3}=left(underbrace{lim_{xrightarrowinfty}left(1+frac 1tright)^t}_{=e}right)^{frac53}=e^{frac53} end{gather*} б) ( lim_{xrightarrowinfty}left(frac{x-1}{x+4}right)^{2x} ) Предел основания степени: $$ lim_{xrightarrowinfty}frac{x-1}{x+4}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrowinfty}frac{xleft(1-frac1xright)}{xleft(1+frac4xright)}=lim_{xrightarrowinfty}frac{1-frac1x}{1+frac4x}= frac{1-0}{1+0}=1 $$ Диагностируем неопределенность: $$ lim_{xrightarrowinfty}left(frac{x-1}{x+4}right)^{2x}=left[1^{infty}right] $$ Выделим целую часть из дроби: $$ frac{x-1}{x+4}=frac{(x+4)-5}{x+4}=1-frac{5}{x+4} $$ Замена: (t=-frac{(x+4)}{5}, trightarrowinfty) (знак бесконечности по условию не важен).
Тогда: (x=-5t-4). Подставляем: begin{gather*} lim_{xrightarrowinfty}left(frac{x-1}{x+4}right)^{2x}=lim_{xrightarrowinfty}left(1-frac{5}{x+4}right)^{2x}= lim_{trightarrowinfty}left(1+frac1tright)^{2cdot(-5t-4)}=\ =lim_{trightarrowinfty}left(1+frac1tright)^{-10t-8}=left(lim_{trightarrowinfty}left(1+frac1tright)^tright)^{-10}cdotlim_{trightarrowinfty}left(1+frac1tright)^{-8}=\ =e^{-10}cdot 1^{-8}=e^{-10} end{gather*}
в) ( lim_{xrightarrow +infty}left(frac{2x-1}{x+4}right)^{2x} ) Предел основания степени: $$ lim_{xrightarrow +infty}frac{2x-1}{x+4}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{xleft(2-frac1xright)}{xleft(1+frac4xright)}=lim_{xrightarrow +infty}frac{2-frac1x}{1+frac4x}= frac{2-0}{1+0}=2 $$ Неопределенности здесь нет: $$ lim_{xrightarrow +infty}left(frac{2x-1}{x+4}right)^{2x}=2^{+infty}=+infty $$ Показательная функция с основанием >1 на плюс бесконечности стремится к плюс бесконечности.
г) ( lim_{xrightarrow -infty}left(frac{5x+3}{4x-1}right)^{3x-2} )
Предел основания степени: $$ lim_{xrightarrow -infty}frac{5x+3}{4x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{xleft(5+frac3xright)}{xleft(4-frac1xright)}=lim_{xrightarrow -infty}frac{5+frac3x}{4-frac1x}= frac{5-0}{4+0}=frac54 $$ Неопределенности здесь нет: $$ lim_{xrightarrow -infty}left(frac{5x+3}{4x-1}right)^{3x-2}=left(frac54right)^{-infty}=left(frac45right)^{+infty}=0 $$ Показательная функция с основанием <1 на плюс бесконечности стремится к нулю.
д) ( lim_{xrightarrow 0}(1+tgx)^frac1x )
Подставляем (x_0=0) в функцию, и получаем неопределенность: $$ lim_{xrightarrow 0}(1+tgx)^frac1x=left[1^inftyright] $$ Используем следствие из второго замечательного предела: (lim_{xrightarrow 0}(1+x)^frac1x=e)
Преобразуем выражение: $$ lim_{xrightarrow 0}(1+tgx)^frac1x= lim_{xrightarrow 0}(1+tgx)^{frac{tgx}{xcdot tgx}}= lim_{xrightarrow 0}left((1+tgx)^{frac{1}{tgx}}right)^{frac{tgx}{x}} $$ Теперь используем следствие из первого замечательного предела: (lim_{xrightarrow 0}frac{tgx}{x}=1)
Тогда: $$ lim_{xrightarrow 0}(1+tgx)^{frac{1}{tgx}}= left[ begin{array}{l} t=tgx\ trightarrow 0 end{array} right] = lim_{trightarrow 0}(1+t)^frac1t=e $$ Здесь мы записали замену переменных «на ходу». Такая запись часто используется по необходимости, особенно при интегрировании.
Заметим, что если ввести понятие «эквивалентных бесконечно малых», то пример вообще решается в одну строку, т.к. (tgxsim x) при (xrightarrow 0).
e*) ( lim_{xrightarrow 0}(cos2x)^frac{1}{sin^2 3x} )
Подставляем (x_0=0) в функцию, и получаем неопределенность: $$ lim_{xrightarrow 0}(cos2x)^frac{1}{sin^2 3x}=left[1^inftyright] $$ Используем следствие из второго замечательного предела: (lim_{xrightarrow 0}(1+x)^frac1x=e)
Преобразуем выражение: begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}(cos2x)^frac{1}{sin^2 3x}= lim_{xrightarrow 0}(1-2sin^2 x)^frac{1}{sin^2 3x}= lim_{xrightarrow 0}left(1+(-2sin^2 x)right)^{frac{-2sin^2 x}{-2sin^2 xcdot sin^2 3x}}=\ lim_{xrightarrow 0}left((1+(-2sin^2 x))^{frac{1}{-2sin^2 x}}right)^{frac{-2sin^2x}{sin^2 3x}} end{gather*} Найдем предел для внешней степени: $$ lim_{xrightarrow 0}frac{-2sin^2x}{sin^2 3x}=left[frac00right]=-2lim_{xrightarrow 0}frac{x^2cdotleft(frac{sinx}{x}right)^2}{(3x)^2cdotleft(frac{sin3x}{3x}right)^2}= -2cdotfrac{1cdot 1}{9cdot 1}=-frac29 $$ Получаем: $$ lim_{xrightarrow 0}left((1+(-2sin^2x))^{frac{1}{-2sin^2x}}right)^{-frac29}= left[ begin{array}{l} t=-2sin^2 x\ trightarrow 0 end{array} right] = left(lim_{trightarrow 0}(1+t)^frac1tright)^{-frac29}=e^{-frac29} $$ Ответ: a) (e^{frac53}); б) (e^{-10}); в) (+infty); г) 0; д) (e); e) (e^{-frac29})
Определение непрерывности функции в точке и передела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов.
Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке.
При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках.
Произвести вычисление предела функции limx→5arctg35·x
Решение
Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x0=5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что
limx→5arctg35·x=arctg35·5=arctg3=π3
Ответ: π3.
Для вычисления односторонних пределов необходимо использовать значения точек границ предела. У акрксинуса и акрккосинуса имеются такие значения x0=-1 или x0=1.
При x→+∞ или x→-∞ вычисляются пределы функции, заданные на бесконечностях.
Для упрощения выражений применяют свойства пределов:
- limx→x0(k·f(x))=k·limx→x0f(x), k является коэффициентом.
- limx→x0(f(x)·g(x))=limx→x0f(x)·limx→x0g(x), применяемое при получении неопределенности предела.
- limx→x0(f(g(x)))=flimx→x0gx,используемое для непрерывных функций, где знак функции и предельного перехода можно менять местами.
Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности.
Таблица пределов функции
Для упрощения и решения пределов используется данная таблица основных пределов.
|
Функция корень n-ой степени y=xn, где n=2, 4, 6 … limx→∞xn=+∞n=+∞ Для любых x0 из опрелеления limx→x0xn=x0n |
Функция корень n-ой степени y=xn, где n=3, 5, 7 … limx→∞xn=+∞n=+∞limx→∞xn=-∞n=-∞ limx→x0xn=x0n |
|
Степенная функция y=xa , a>0
|
Степенная функция y=xa, a<0
|
|
Показательная функия y=ax, 0<a<1 limx→∞ax=a-∞=+∞limx→∞ax=a+∞=+0 Для любых x0 из области опреления limx→x0ax=ax0 |
Показательная функия y=ax, a>1limx→∞ax=a-∞=+0limx→x0ax=a+∞=+∞ Для любых знвчений x0 из област опредения limx→x0ax=ax0 |
|
Логарифмическая функция y=loga(x), 0<a<1 limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞limx→∞logax=loga(+∞)=-∞ Для любых x0 из области опрелеленияlimx→x0logax=logax0 |
Логарифмическая функция y=loga(x), a>1 limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞limx→∞logax=loga(+∞)=+∞ Для любых x0 из области опрелеления limx→x0logax=logax0 |
|
Тригонометрические функции
limx→∞tg x не существует Для любых x0 из области опрелеления limx→x0tg x=tg x0 |
Тригонометрические функции
limx→∞ctg x не существует Для любых x0 из области опрелеления |
|
Обратные тригонометрические функции
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arcsin x=arcsin x0
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arccis x=arccos x0 |
Обратные тригонометрические функции
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arctg x=arctg x0
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arcctg x=arcctg x0 |
Произвести вычисление предела limx→1×3+3x-1×5+3.
Решение
Для решения необходимо подставить значение х=1. Получаем, что
limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32
Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32
Произвести вычисление предела функции limx→0(x2+2,5)1×2
Решение
Для того, чтобы раскрыть предел, необходимо подставить значение х, к которому стремится предел функции. В данном случае нужно произвести подстановку х=0. Подставляем числовое значение и получаем:
x2+2.5x=0=02+2.5=2.5
Предел записывается в виде limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2. Далее необходимо заняться значением показателя. Он является степенной функцией 1×2=x-2. В таблице пределов, предоставленной выше, имеем, что limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞, значит, имеем право записать как limx→01×2=limx→0x-2=+∞
Теперь вычислим предел. Получит вид limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2=2.5+∞
По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что
limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×22.5+∞=+∞
Ответ: limx→0(x2+2.5)1×2=+∞
Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.
Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.
Предел константы
Из рисунка видно, что функция у=С имеет предел на бесконечности. Такой же предел при аргументе, который стремится к х0. Он равняется числу C.
Предел функции корень n-ой степени
Четные показатели корня применимы для limx→+∞xn=+∞n=+∞, а нечетные, равные больше, чем значение 1, – для limx→+∞xn=+∞n=+∞, limx→-∞xn=-∞n=-∞. Область определения может принимать абсолютно любое значение х предела заданной функции корня n-ой степени, равного значению функции в заданной точке.
Предел степенной функции
Необходимо разделить все степенные функции по группам, где имеются одинаковые значения пределов, исходя из показателя степени.
- Когда a является положительным числом, тогда limx→+∞xa=+∞a=+∞ и limx→-∞xa=-∞a=-∞. Когда x принимает любое значение, тогда предел степенной функции равняется значению функции в точке. Иначе это записывается как limx→∞xa=(∞)a=∞.
- Когда a является положительным четным числом, тогда получаем limx→+∞xa=(+∞)a=+∞ и limx→-∞xa=(-∞)a=+∞, причем x из данной области определения является пределом степенной функции и равняется значением функции в этой точке. Предел имеет вид limx→∞xa=∞a=+∞.
- Когда a имеет другие значения, тогда limx→+∞xa=(+∞)a=+∞, а область определения x способствует определению предела функции в заданной точке.
- Когда a имеет значение отрицательных чисел, тогда получаем limx→+∞xa=+∞a=+0, limx→-∞xa=(-∞)a=-0, limx→0-0xa=(0-0)a=-∞,limx→0+0xa=0+0a=+∞, а значения x может быть любым из заданной области определения и равняется функции в заданной точке. Получаем, что limx→∞xa=∞a=0 иlimx→0xa=0a=∞.
- Когда a является отрицательным четным числом, тогда получаем limx→+∞xa=(+∞)a=+0, limx→-∞xa=-∞a=+0, limx→0-0(0-0)a=+∞, limx→0+0xa=(0+0)a=+∞, а любое значение x на области определения дает результат предела степенной функции равным значению функции в точке. Запишем как limx→∞xa=(∞)a=+0 и limx→0xa=(0)a=+∞.
- Когда значение a имеет другие действительные отрицательные числа, тогда получим limx→+∞xa=+∞a=+0 и limx→0+0xa=0+0a=+∞, когда x принимает любое значение из своей области определения, тогда предел степенной функции равняется значению функции в этой точке.
Предел показательной функции
Когда 0<a<1, имеем, что limx→-∞ax=a-∞=+∞, limx→+∞ax=(a)+∞=+∞, любое значение x из области определения дает пределу показательной функции значению функции в точке.
Когда a>1, тогда limx→-∞ax=(a)-∞=+0, limx→+∞ax=(a)+∞=+∞, а любое значение x из области определения дает предел функции равный значению этой функции в точке.
Предел логарифмической функции
Когда имеем 0<a<1, тогда limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞, limx→+∞logax=loga(+∞)=-∞ , для всех остальных значений x из заданной области определения предел показательной функции равняется значению заданной функции в точках.
Когда a>1, получаем limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞, limx→+∞logax=loga(+∞)=+∞,остальные значения x в заданной области определения дают решение предела показательной функции равному ее значению в точках.
Предел тригонометрических функций
Предел бесконечности не существует для таких функций как y=sin x, y=cos x. Любое значение x, входящее в область определения, равняется значению функции в точке.
Функция тангенса имеет предел вида limx→π2-0+π·ktg(x)=+∞, limx→π2+π·ktg(x)=∞ или limx→π2+π·ktg(x)=∞, тогда остальные значения x, принадлежащие области определения тангенса, равняется значению функции в этих точках.
Для функции y=ctg x получаем limx→-0+π·kctg(x)=-∞, limx→+0+π·kctg(x)=+∞ или limx→π·kctg (x)=∞, тогда остальные значения x, принадлежащие области определения, дают предел котангенса, равный значению функции в этих точках.
Предел обратных тригонометрических функций
Функция арксинус имеет предел вида limx→-1+0arcsin(x)=-π2 и limx→1-0arcsin (x)=π2, остальные значения x из области определения равняются значению функции в заданной точке.
Функция арккосинус имеет предел вида limx→-1+0arccos(x)=π и limx→1-0arccos(x)=0, когда остальные значения x, принадлежащие области определения, имеют предел арккосинуса, равного значению функции в этой точке.
Функция арктангенс имеет предел вида limx→-∞arctg(x)=-π2 и limx→+∞arctg(x)=π2, причем другие значения x, входящие в область определения, равняется значению функции в имеющихся точках.
Функция котангенса имеет предел вида limx→-∞arcctg(x)=π и limx→+∞arctg(x)=0, где x принимает любое значение из своей заданной области определения, где получаем предел арккотангенса, равного значению функции в имеющихся точках.
Все имеющееся значения пределов применяются в решении для нахождения предела любой из элементарных функций.
