Как найти третью сторону через косинус

Как найти третью сторону через косинус

Теорема косинусов

Определение теоремы косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

a2=b2+c2-2*b*c*cos(A)

b2=a2+c2-2*a*c*cos(B)

c2=a2+b2-2*a*b*cos(C)

Теорема косинусов

Расчёт стороны по теореме косинусов

Введите сторону

Введите сторону

Введите угол

Сторона по теореме косинусов

Формула расчёта стороны по теореме косинусов

Где a, b и c – стороны треугольника,
A – угол между сторонами b и c

Расчёт углов треугольника по теореме косинусов

Введите сторону a

a = 

Введите сторону b

b = 

Введите сторону c

c = 

Углы по теореме косинусов

Формулы расчёта углов по теореме косинусов

Где a, b и c – стороны треугольника,
A, B и C – углы треугольника

Доказательство теоремы косинусов

Дано

Треугольник со сторонами a, b и c.

Доказательство теоремы косинусов

Доказать

a2=b2+c2-2*b*c*cos(α)

Доказательство

Из вершины B проведём высоту h

Доказательство теоремы косинусов

Сравним и упростим

Теорема доказана

Источник

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a = b = c = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p – a ) b + c

lb = 2√ acp ( p – b ) a + c

lc = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

[/spoiler]

Источник

Стандартные обозначения

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка[править | править код]

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha , противолежащим стороне a,
справедливо соотношение:

{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha .}

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

Доказательства[править | править код]

Классическое доказательство

Theorem of cosin.svg

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD=bcos alpha ,

откуда

DB=c-bcos alpha .

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h^{2}=b^{2}-(bcos alpha )^{2}qquad qquad qquad (1)
h^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}qquad qquad (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b^{2}-(bcos alpha )^{2}=a^{2}-(c-bcos alpha )^{2}

или

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha .

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma .

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
a^{2}=(bcos {a}-c)^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}cos ^{2}{a}-2bccos {a}+c^{2}+b^{2}sin ^{2}{a}
a^{2}=b^{2}(cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a})+c^{2}-2bccos {a}
Так как
cos ^{2}{a}+sin ^{2}{a}=1 (основное тригонометрическое тождество), то
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos {a}
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² – известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
{displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2cdot ACcdot AB}

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cdot bcdot ccdot cos alpha }
где a, b, c — длины соответствующих векторов

Следствия[править | править код]

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}
В частности,
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
a^{2}=(b+c)^{2}-4cdot bcdot ccdot cos ^{2}(alpha /2),
a^{2}=(b-c)^{2}+4cdot bcdot ccdot sin ^{2}(alpha /2).

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы – квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

1+cos alpha =2cdot cos ^{2}(alpha /2),
1-cos alpha =2cdot sin ^{2}(alpha /2).

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Для других углов[править | править код]

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

{displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }
{displaystyle b^{2} =a^{2}+c^{2}-2accos beta }

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

{displaystyle alpha =arccos left({frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}right)}
{displaystyle beta =arccos left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}right)}
{displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right)}

История[править | править код]

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии.
В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
  • Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
  • Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
    AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.

Для евклидовых нормированных пространств[править | править код]

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть leftVert {vec {a}}rightVert ={sqrt {({vec {a}},{vec {a}})}}. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
leftVert {vec {a}}-{vec {b}}rightVert ^{2}=leftVert {vec {a}}rightVert ^{2}+leftVert {vec {b}}rightVert ^{2}-2({vec {a}},{vec {b}})

Для четырёхугольников[править | править код]

Возводя в квадрат тождество {overline {AD}}={overline {AB}}+{overline {BC}}+{overline {CD}} можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B-2accos omega -2bccos angle C, где omega  — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2abcos angle B+2accos(angle A+angle D)-2bccos angle C
Формула справедлива и для тетраэдра, под w подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами a и c зная все ребра тетраэдра:
{displaystyle cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}
Где b и d, e и f пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника[править | править код]

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами {displaystyle alpha ,gamma } и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

{displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos(alpha +gamma )}
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы[править | править код]

{displaystyle S_{i}S_{j}cos angle A={frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&dots &1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&dots &d_{1(n+1)}^{2}\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&dots &d_{2(n+1)}^{2}\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&dots &d_{3(n+1)}^{2}\vdots &vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&dots &0\end{vmatrix}}}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится d_{ij} или d_{ji}.

A — угол между гранями S_{i} и S_{j}, S_{i} -грань, находящаяся против вершины i,d_{ij}– расстояние между вершинами i и j.

См. также[править | править код]

  • Решение треугольников
  • Скалярное произведение
  • Соотношение Бретшнайдера
  • Теорема косинусов для трёхгранного угла
  • Теорема о проекциях
  • Теорема Пифагора
  • Сферическая теорема косинусов
  • Теорема котангенсов
  • Теорема синусов
  • Теорема тангенсов
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. ↑ 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.
Источник

Содержание:

  • Формула теоремы косинусов
  • Следствие из теоремы косинусов
  • Примеры решения задач

Формула теоремы косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $alpha$, противолежащим стороне $a$,
справедливо соотношение:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c cos alpha$

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов,
были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги “Начал” древнегреческого математика Евклида
(ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков
стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог,
астроном и математик Региомонтан (1436 – 1476), назвав её “теоремой Альбатегния” (по имени выдающегося средневекового астронома и
математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 – 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её
стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Следствие из теоремы косинусов

  1. Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):

    $$cos alpha=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$$

  2. Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, то угол $alpha$ – острый;

    Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, то угол $alpha$ – прямой;

    Если $b^{2}+c^{2}-a^{2} lt 0$, то угол $alpha$ – тупой.

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$

Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

$$cos angle A C B=frac{A C^{2}+B C^{2}-A B^{2}}{2 cdot A C cdot B C}=frac{3^{2}+5^{2}-6^{2}}{2 cdot 3 cdot 5}=$$

$$=frac{9+25-36}{30}=-frac{2}{30}=-frac{1}{15}$$

Тогда

$$angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$$

Ответ. $angle A C B=arccos left(-frac{1}{15}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Задан треугольник
$ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, angle ACB=60^{circ}$.
Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

Решение. Согласно теореме косинусов

$$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B=$$

$$=17^{2}+14^{2}-2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60^{circ}=289+196-238=24$$

Тогда

$$A B=sqrt{247}$$

Ответ. $A B=sqrt{247}$

Источник

В статье про прямоугольный треугольник посмотрели задачи связанные с синусами и косинусами из 1 части ОГЭ. Так что обязательно заглядывай.

Получается, что решить прямоугольный треугольник (найти все стороны и острые углы) можно довольно просто, зная всего лишь два элемента прямоугольного треугольника :две стороны (по теореме Пифагора) или сторону и острый угол (из определений синуса, косинуса, тангенса).

Но решить треугольник (найти все стороны и углы ) можно и произвольный, зная три элемента: три стороны, две стороны и угол, или два угла и сторону.

Для первых двух случаев в решении пользуются теоремой косинусов (вполне возможно эта тема вас поджидает уже на следующей неделе в школе, а может уже и была):

в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
  • Если известны три стороны треугольника можно найти косинусы всех углов
  • Если известны две стороны и угол между ними треугольника, то можно найти третью сторону.

В этом случае полезно пользоваться таблицей значений косинусов некоторых углов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Рассмотрим решение задачи №16 из сборника Ященко (36 вариантов) на теорему косинусов :

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Изобразим треугольник АВС и найдем в нем противолежащую сторону для угла АВС.

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Из рисунка видно, что противолежащая сторона – это сторона АС.

Для стороны АС записываем теорему косинусов:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Подставим значения всех сторон:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Переносим все “свободные” числа (меняя знак) в левую часть равенства и считаем:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Находим косинус угла АВС, как неизвестный множитель:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Записываем ответ:

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Теорема косинусов в 1 части ОГЭ
Источник

Добавить комментарий