Как найти скорость центра масс диска

Определение центра масс, теория и онлайн калькуляторы

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: ${overline{r}}_1 и {overline{r}}_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором ${overline{r}}_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1+ {overline{r}}_2}{2}left(1right).]

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен ${overline{r}}_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1m_1+ {overline{r}}_2m_2}{m_1+m_2}left(2right).]

Радиус -вектор ${overline{r}}_C$, определенный выражением (2) – средне взвешенная величина радиус-векторов частиц ${overline{r}}_1$ и ${overline{r}}_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

[{overline{r}}_C=frac{m_1}{m_1+m_2}{overline{r}}_1+frac{m_2}{m_1+m_2}{overline{r}}_2left(3right).]

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в ${overline{r}}_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус – вектор, определяющий положение центра масс находим как:

[{overline{r}}_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i{overline{r}}_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(4right).]

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

[x_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_ix_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(5right).]

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

[y_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iy_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(6right).]

[z_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iz_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(7right).]

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${overline{v}}_c=frac{d{overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

[{overline{v}}_c=frac{m_1{overline{v}}_1+m_2{overline{v}}_2+dots +m_n{overline{v}}_n}{m_1+m_2+dots +m_n}=frac{overline{P}}{M}left(8right),]

где $overline{P}$ – суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Читать дальше: период и частота колебаний.

Содержание:

Количество движения материальной точки и системы импульс силы:

Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произведений массы каждой частицы материальной системы на ее скорость.

Количество движения точки и системы. Ньютон во введении к «Началам» дал такое определение «Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»

Всякая материальная частица обладает двумя мерами механического движения, о чем уже было сказано в § 37 Одна из этих мер, называемая количеством движения, имеет применение всякий раз, когда
механическое движение от одного тела переходит другому в виде механического же движения Так, например, один биллиардный шар, ударивши другой, передает ему часть своего механического движения, выражаемого количеством движения

Количество движения материальной частицы обладающей массой m и скоростью

    (156)

Размерность количества движения в физической системе единиц

[K]_ф = L¹W¹T^-1, 

например м кг/сек Эта величина принята за единицу количества движения в СИ

В технической системе единиц размерность количества движения

[К]_T = L⁰F¹T¹,

например кГ сек, если в технической системе сила выражена в килограммах, а время — в секундах

Наряду с вектором количества движения в механике применяют проекции количества движения на оси

K_x = mυ cos α_υ = mυ_x, K_y = mυ cos β_υ = mυ_y,
K_z = mυ co∙, γ_{τ  =} mυ_z    (157)

Направляющие косинусы количества движения равны направляю щим косинусам (62) скорости, так как вектор количества движения материальной точки ичи частицы направлен по скорости.

      (62^//)

Модуль количества движения легко подсчитать по формуле

    (158)

Проекция количества движения на ось (как и проекция на ось всякого вектора)—скаляр 2-го рода и определяется величиной и знаком

Если мы умножим проекцию количества движения на единичный вектор этой оси, то получим составляющую, или компоненту, количества движения по оси Вектор количества движения точки (или материальной частицы) связан со своими компонентами по координатным осям обычным соотношением

Количество движения материальной системы выражается суммой количеств движения всех частиц этой системы «Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его» (Ньютон) Таким образом, для материальной системы, содержащей n частиц или n точек,

    (159)

где суммирование распространено на все частицы материальной системы

Под проекцией количества движения системы на какую-либо ось понимают алгебраическую сумму проекции количеств движения всех точек системы на эту ось

    (159^/)

Точку, определяемую координатами, равными отношению статического момента тела или системы относительно соответствующей оси к ею массе, называют центром масс

Центр масс

Ознакомимся с очень важным в динамике понятием, частично известным нам из курса статики твердого тела (см гл VII) Напомним, что центр тяжести твердого тела — это центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела Для определения координат центра тяжести мы вывели формулы

    (45)

где в числителе — статический момент веса относительно соответствующей оси, а в знаменателе — вес всего тела или в векторной форме

    (45^/)

Понятие «центр тяжести» и формулы, определяющие координаты этой точки, связаны с весом, с тяжестью. Но в динамике встречается такое состояние механических систем, при котором подобное определение недостаточно. Вспомним, например, «состояние невесомости», о котором рассказывали наши космонавты,— здесь понятие «вес» и «тяжесть» теряют свой смысл. Кроме того, в мировом пространстве существуют области, где в состоянии невесомости пребывает всякое тело независимо от его движения, как, например, точка пространства, в которой материальное тело притягивается к Земле и к Солнцу с равными и противоположно направленными силами. В таких случаях понятие «центр тяжести тела» теряет смысл, но сама точка продолжает существовать и не теряет своего значения. Поэтому целесообразно определить эту точку в зависимости не от веса, а от массы частиц.

Пусть какое-либо твердое тело или материальная система подвержены действию силы тяжести, и координаты центра тяжести определяются равенствами (45). Поделим в,этих равенствах и числители и знаменатели на ускорение свободно падающего тела. Координаты точки от деления числителя и знаменателя на одно и то же число не изменятся, но в знаменателе мы получим, согласно (124), не вес, а массу системы, а в числителе—статические моменты масс:

    (160)

Точка, определяемая координатами (160), совпадает с центром тяжести, но определение ее связано не с весом, а с массой частиц твердого тела или системы. Ее называют центром инерции, или центром масс. Это понятие шире понятия центра тяжести, так как масса не исчезает даже при таких обстоятельствах, при которых вес неощутим.

Количество движения системы материальных точек равно количеству движения ее центра масс, в котором предполагают сосредоточенной массу всей системы:

Выражение количества движения системы через ее массу и скорость центра масс. Координаты центра инерции C материальной системы, движущейся относительно осей xOyz, принимаемых за неподвижные, определяются равенствами (160), где .va, y_k и z_k— переменные координаты точек системы. Из этих равенств, освободившись от знаменателя, определим статические моменты массы на данное мгновение:

    (161)

Продифференцировав по времени, находим, что проекция количества движения на ось равна произведению массы системы и проекции скорости центра масс на ту же ось:

Но если равны проекции векторов на любую ось, то, следовательно, равны и сами векторы:

Мы нашли, что количество движения всякой материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы:

    (162)

Задача №1

Вычислить количество движения К однородного диска радиуса r =50 см и массы 80 кг в двух случаях:
1)    диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через ею центр, делая 60 об/мин;
2)   диск катится без скольжения и буксования по прямолинейному рельсу, делая 60 об/мин.

Решение. Количество движения диска равно количеству движения точки, масса которой равна массе диска, а скорость равна скорости центра масс диска. Задачу решаем в единицах СИ.
1)    В первом случае скорость центра масс равна нулю, следовательно, K=O.
2)    Во втором случае скорость центра масс определим как вращательную относительно мгновенного центра скоростей, находящегося в точке касания диска и рельса:

K = 80π =251,20 кг^. м/сек.

Ответ. 1) К= 0; 2) К = 251,20 кг^. м/сек.

Задача №2

Определить количество движения эллипсографа (рис. 173, а), состоящего из кривошипа OD, линейки А В и двух ползунов, центры масс которых совпадают с шарнирами А и В, соединяющими ползуны с линейкой АВ. Кривошип и линейку рассматривать как однородные стержни веса P и 2Р, причем OD- AD = BD-l, веса ползунов одинаковы и равны Q; кривошип вращается с угловой скоростью ω.

Рис. 173

Решение. Механическая система состоит из четырех тел: кривошипа, линейки и двух ползунов. Найдем центр масс системы. Центр масс кривошипа находится в середине кривошипа (рнс. 173, б). Центр масс линейки и двух ползунов совпадает с их центром симметрии D. Центр масс всего механизма лежит на кривошипе между этими точками. Расстояние центра масс системы от точки О определим по (160):

Умножая это расстояние иа угловую скорость ω кривошипа, найдем скорость центра масс системы:

Умножая υ_c на массу  всей системы, найдем количество движения системы.

Ответ. Количество движения—вектор, равный , перпендикулярный кривошипу и приложенный в центре масс эллипсографа.

Импульсом постоянной силы называют меру механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных объектов за данный промежуток времени, выражающуюся произведением силы на время ее действия:

Импульс постоянной силы. Мы определили механическое действие материальных тел на данную материальную частицу тремя основными характеристиками: величиной, направлением и продолжительностью. Рассматривая это механическое действие лишь за одно мгновение, мы пришли тогда к понятию силы. Но действие всегда происходит во времени, хотя бывают механические действия (не которые случаи удара), продолжительность которых измеряется всего лишь миллионными долями секунды. Если , то векторную величину , направленную по силе и равную по модулю произведению модуля силы на время ее действия, называют импульсом постоянной силы за данный промежуток времени:

    (163)

Определим размерность импульса силы в физической системе единиц:

[S]φ = L¹M¹T^-1

Единицей импульса силы в системе СИ является 1 м ^. кг/сек. Размерность импульса силы в технической системе единиц

[S]_r = L⁰F¹T¹.

Если сила выражена в кГ, а время — в сек, то единицей импульса силы является 1 кГ^. сек.

Размерности импульса силы и количества движения одинаковы.

Импульс переменной силы

Если сила непостоянна по величине или по направлению, то для определения ее импульса за данный промежуток времени надо разбить этот промежуток времени на столь малые интервалы, в течение которых можно пренебречь изменением силы, и определить для каждого такого интервала элементарный импульс. Элементарным импульсом силы называют импульс за столь малый промежуток времени, при котором можно пренебречь изменением силы:
    (164)

Импульс переменной силы за конечный промежуток времени выражают пределом геометрической суммы элементарных импульсов за бесконечно малые части данного промежутка:

    (164^/)

Следовательно, импульс переменной силы за данное время выражается интегралом от вектора по скалярному аргументу t.

Для вычисления импульса переменной силы пользуются его проекциями на оси координат. Построим прямоугольную систему координат и спроецируем элементарный импульс на ось Ох:

dS_x = Fdt cos a_F = X dt.

Интегрируя в пределах от t₀ до t, находим S_x и аналогично S_y и S_z:

    (165)

По проекциям (165) легко определить модуль и направляющие косинусы вектора, однако в этом редко встречается необходимость и практически обычно ограничиваются определением проекций (165).

Проекция импульса равнодействующей на любую ось равна сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось:

Пусть на точку действует несколько сил, проекции которых на какую-либо ось Ox обозначим X1, X2, …, Х„, а проекцию ‘ равнодействующей этих сил обозначим X. Тогда

X = X₁ + X₂ + … + Х_n.

Умножим обе части этого равенства на бесконечно малый промежуток времени dt и проинтегрируем в пределах от t₀ до t:

или

S_x = S_xl + S_x2 + … + S_xn.    (166)

Итак, проекция импульса равнодействующей на любую ось за данный промежуток времени равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось и за то же время, следовательно, импульс равнодействующей равен геометрической сумме импульсов составляющих:
    (166^/)

Теоремы о количестве движения точки и системы и о движении центра масс

Изменение количества движения материальной точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени:

Теорема об изменении количества движения материальной точки. По основному закону динамики под действием силы материальная точка получает ускорение. Но, чтобы сообщить материальной точке скорость, сила должна действовать в течение некоторого времени. Таким образом, скорость .материальной точке сообщает не сила, а импульс силы. Конечно, эта скорость зависит не только от импульса силы, но и от массы точки.

Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме (127):

Умножая каждое из уравнений (127) на dt и вводя постоянную m под знак дифференциала, получим

dm υ_x = X dt, dm υ_y = Ydt, dm υ_z = Zdt.    (167)

Мы нашли, что дифференциал проекции количества движения равен проекции элементарного импульса силы на ту же ось.

Проинтегрируем левую и правую части первого из этих уравнений в соответствующих пределах υ_0x, υ_x и t₀, t; аналогично поступив и с двумя другими уравнениями, получим:.

    (168)

т. е. изменение проекции количества движения материальной точки на ось равно проекции импульса силы на ту же ось и за то же время. Но если равны проекции на любую ось двух векторов, то, следовательно, равны и эти векторы:

    (168^/)

т. е. вектор изменения количества движения материальной точки за какое-либо время равен вектору импульса силы, действующей на материальную точку за то же время. Конечно, и здесь под силой надо понимать равнодействующую, если на точку действует не одна, а несколько сил.

Задача №3

Тяжелая точка массой m кг, получив начальную скорость υ₀ = 24,5 м/сек, поднимается по негладкой плоскости (рис. 174), наклоненной к плоскости горизонта под углом 30°. Сколько времени будет подниматься точка, если коэффициент трения f = 0,577?

Рис. 174

Решение. Пo заданным силам надо определить время движения точки. Но для решения задачи нет необходимости составлять и интегрировать дифференциальные уравнения движения, а можно воспользоваться теоремой об изменении количества движения. На точку действуют вес G, сила трения F_гр =fG cos 30^o и реакция R плоскости. Направим ось Ox по наклонной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна

Если точка двигалась в течение t сек, то проекция импульса силы за это время равна -Gt. Подставляя в уравнение (168) найденное значение S_x, заданное значение υ_x0 и υ_x = 0, получим —m 24,5 = —Gt, откуда находим t.
Ответ. t –  2,5 сек.

Задача №4

Материальная точка, масса которой m = 3 кг, двигалась по горизонтальной прямой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 сек, и тогда скорость точки оказалась равной 45 м/сек и направленной вправо. Найти величину этой силы.

Решение. Условие задачи дано в физической системе единиц (СИ). По изменению скорости точки надо определить силу, производящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем, применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную прямую, по которой движется точка, за ось Ох, считая направление вправо положительным. Тогда

S_x = F∙30, mυ_x=3∙45 и mυ_{x0 =}—3-5.

Подставляя эти данные в (168), найдем
— F∙30 = + 3∙45 + 3∙5 -+150 кг^. м/сек,

откуда определим силу.
Ответ. F = 5 кг∙м сек² = 5 н.

Производная по времени от суммы проекций количеств движения всех материальных точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось:

Теорема о проекциях количеств движения системы. Теорема о количестве движения находит большое применение при исследовании движения системы материальных точек, так как в этой теореме исключены все внутренние силы системы.

Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек. Распределив все силы, приложенные к точкам этой системы, на две категории (силы внешние и силы внутренние), напишем дифференциальные уравнения движения точек системы в форме (129) в проекциях на ось абсцисс:

Сложив отдельно левые и отдельно правые части написанных уравнений, получим

Но сумма проекций всех внутренних сил системы равна нулю, так как внутренние силы, согласно закону равенства действия и противодействия, попарно равны и противоположно направлены:

В левой части постоянные m_k внесем под знак производной, заменим сумму производных производной от суммы и получим для проекций на, ось абсцисс

     (169)

Мы не накладывали никаких ограничений на направление оси абсцисс, поэтому мы можем сформулировать следующую общую теорему, называемую теоремой о проекциях количеств движения системы материальных точек: производная по времени от суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на тy же ось.

Равенства (169) справедливы для любой оси; следовательно, их можно записать в векторной форме:

     (169^/)

Умножая уравнения (169) на dt и интегрируя, найдем, что изменение суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо неподвижную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил системы на ту же ось за то же время:

     (170)

При решении задач это уравнение иногда находит применение, но теорему о проекции количеств движения системы чаще применяют в дифференциальном виде (169), чем в конечном виде (170).

Если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения точек системы на эту ось постоянна

Интеграл количеств движения. В частном случае, если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось, например на ось Ох, равна нулю, то уравнение (169) принимает вид

откуда, проинтегрировав, получаем
     (171)

Это равенство называют интегралом количества движения системы материальных точек и словами его можно сформулировать так: если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения всех точек системы на эту ось постоянна.

Справедливо и обратное заключение: если сумма проекций количеств движения системы на какую-либо ось постоянна, то сумма проекций всех внешних сил системы на эту ось равна нулю. В самом деле, дифференцируя (171) по времени, найдем, что производная по времени от суммы проекций количеств движения на ось Ox равна нулю и ввиду (169) равна нулю сумма проекций на эту ось всех внешних сил системы.

Если равна нулю сумма проекций всех внешних сил не только на ось О_х, но также и на оси O_y и O_z, то сохраняется не только сумма проекций на оси, но и геометрическая сумма векторов количеств движения точек системы, т. е.
если      (171^/)

и обратно, 

если

Такой случай мы можем представить себе в изолированной материальной системе, т. е. в системе, на точки которой не действуют никакие внешние силы. Примером почти полностью изолированной механической системы может служить солнечная система (см. § 36). Количество движения изолированной системы остается неизменным; этот закон называют иногда принципом сохранения количества движения.

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы:

Теорема о движении центра масс

К теореме о проекциях количеств движения примыкает теорема о движении центра масс. Во многих задачах эти теоремы вполне заменяют друг друга. Уже было показано, что сумму количеств движения всех материальных точек системы можно представить как количество движения одной точки, совпадающей с центром инерции системы, обладающей скоростью центра инерции и массой, равной сумме масс всех точек системы:

Дифференцируя эти равенства по времени и принимая во внимание теорему (169) о проекциях количеств движения на O_x, O_y и O_z, найдем:

      (172)

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (127), можно убедиться, что движение центра масс математически описывается тремя дифференциальными уравнениями, как и движение материальной точки.

Однако с физической стороны имеется некоторое различие между уравнениями (127) и (172). Всякая материальная точка обладает некоторой массой и движется согласно (127) под действием всех приложенных к ней сил. Центр масс является геометрической точкой и может не совпадать ни с одной из материальных частиц системы.

Уравнения (172) говорят о том, что центр масс (инерции, тяжести) движется как материальная точка, которая имеет массу, равную массе всей системы и к которой приложены силы, равные веем внешним силам, действующим на материальные точки данной системы; внутренние силы не изменяют движения центра масс и не могут нарушить его покоя.

Три уравнения (172) движения центра масс в прямоугольной системе координат могут быть заменены одним векторным уравнением

      (172^/)

О независимости движения центра масс от внутренних сил. Независимость движения центра масс от действия внутренних сил была установлена Ньютоном. «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения», — писал он в «Началах». Теорема о движении центра тяжести (масс) имеет в механике большое значение, а потому необходимо пояснить физическую сущность этой теоремы.

На первый взгляд может показаться, что движение центра масс системы иногда происходит под действием ее внутренних сил. Например, чтобы увеличить скорость парохода, поднимают давление пара, т. е. увеличивают внутренние силы системы. Молодой и здоровый человек с хорошо развитой мускулатурой ног легко обгонит старика с дряблыми мышцами и т. д. и т. п. Но отсюда не следует делать вывод, что центр масс системы передвигается внутренними силами этой системы. В приведенных примерах внутренние силы лишь заставляют точки данной системы воздействовать на окружающие материальные тела, отчего возникают внешние силы, создающие движение центра масс данной системы. Так, человек силой своих мышц (внутренней силой) отталкивается ногами от дороги, отчего в точках соприкосновения подошв с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения и позволяющая передвигаться всей системе (человеку). Конечно, эта сила зависит от внутренних сил человека, но она является внешней силой, и человек не смог бы идти по поверхности без трения. Ни один силач не может силой своих мышц поднять себя за волосы над Землей. Пароход развивает пары, чтобы быстрее вращать гребной винт и лучше отталкиваться нм от воды. Давление воды на гребной винт является внешней силой для парохода. Никакое давление пара (внутренняя сила) не создало бы движение парохода, если бы не было гребного винта или воды, взаимодействие которых создает силу тяги, являющуюся внешней силой для парохода.

Теоремы о движении центра масс и о количестве движения системы являются основой для расчетов реактивных движений. Ракета для своего полета не нуждается во внешней среде. Газообразные продукты горения с большой скоростью выбрасываются из сопла. Это движение продуктов горения (назовем их пороховыми газами) происходит под действием внутренних сил, а потому не может повлиять па движение центра тяжести всей системы, включающей пороховые газы и корпус ракеты. Если до взрыва ракета была неподвижна, то движение газов так компенсируется движением корпуса ракеты в противоположном направлении, что сумма количеств движения всей системы равна нулю и центр масс всей системы остается неподвижным и после взрыва.

Задача №5

Лодка стоит в неподвижной воде перпендикулярно к берегу, причем расстояние от берега до носа лодки равно 1,6 м, а до кормы 5,2 м. Чтобы пододвинуть лодку к берегу, человек, стоящий на носу лодки, переходит на корму. На каком расстоянии будет нос лодки от берега после перемещения человека, если вес лодки G₁ = 100 кГ, нес человека G₂= 80 кГ, а сопротивлением воды пренебрегаем?

Решение. Физическая сущность задачи состоит в том, что человек переходит с носа на корму, отчего лодка перемещается в обратном направлении. Перемещение человека на лодке, его вес и вес лодки заданы, требуется определить расстояние, на которое переместится лодка вследствие перемещения человека. Здесь механическое движение человека перелается лодке в качестве механического же движения. В подобных задачах обычно применяют теорему о проекциях количеств движения или аналогичную ей теорему о движении центра масс. Мы покажем применение обеих этих теорем.

При решении почти каждой задачи бывает необходимо уточнить два вопроса: 1) движение какой точки, твердого тела или механической системы надо изучить и 2) какие силы действуют на эту точку, это тело или эту систему. Также необходимо выбрать основные единицы измерения, например единицы СИ, тогда масса лодки m₁ = 100 кг, масса человека m₂ =  80 кг.

В данной задаче нужно изучить движение механической системы, состоящей из лодки, представляемой се центром инерции, и человека, принимаемого за материальную точку. На точки этой механической системы действуют различные внешние силы (вес лодки, вес человека, архимедова подъемная сила), но все они вертикальны, а нас интересует горизонтальное перемещение лодки, а потому и горизонтальные силы. В системе действуют внутренние силы (сила, с которой человек отталкивается от стланей, идя по лодке, реакция лодки и др.), но внутренние силы не входят в уравнения (169), (172) и несущественны для данной задачи.

Рис. 175

1-й способ. Применим сначала теорему о проекциях количеств движения системы (169). Построим неподвижную систему координат (рис. 175,а), взяв начало в точке О на берегу и направив ось Ox горизонтально вдоль лодки. Сумма проекций всех внешних сил на Ox равна нулю. Система состоит из двух материальных точек — лодки и человека. Равенство (169) принимает вид

Если сумма проекций внешних снл равна нулю, то имеет место интеграл количеств движения (171). Действительно, проинтегрировав, получаем

Постоянную интеграции C₁ определим из начальных данных: в начальное мгновение лодка и человек были неподвижны. Таким образом, в начальное мгновение количества движения точек системы и сумма количеств движения равнялись нулю, а потому C₁ = 0, т. е.

Умножая на dt и интегрируя, получим

В левой части хк означают перемещения точек системы по оси Ох.
В начальное мгновение этих перемещений не было, а потому, определяя C₂ из начальных данных, находим, что C₂ = O. Раскроем знак суммы, дав индексу k значения 1 и 2 соответственно числу точек системы:

m₁x₁ + m₂x₂ = 0,

т. е. сумма произведений масс точек системы на их перемещения по оси Ox равна нулю. Здесь под перемещением По оси Ox мы понимаем проекцию абсолютного перемещения точки на Ох. Предположим, что лодка переместилась влево на величину—х₁ (рис. 175, б). Человек в относительном движении передвинулся вправо на длину лодки (3,6 м), но в то же время лодка перенесла его в своем движении влево, следовательно, х₂ = 3,6—x₁. Подставляя эти данные и величины масс в предыдущее уравнение, находим
— 100x₁ + 80 (3,6—x₁) = 0.

У студента, не имеющего достаточного навыка в решении задач, может возникнуть сомнение в правильности знака второго члена. Для проверки знака существует удобное правило: во все члены уравнения х₁ должно входить с одним и тем же знаком, если конечно, эти члены находятся по одну сторону от знака равенства. В данном уравнении все члены находятся слева; первый член —100x₁, следовательно, второй член должен быть +80 (3,6— x₁), так как знак при х₁ должен и во втором члене быть таким же, как и в первом члене.

Решая это уравнение, находим перемещение лодки:

2-й способ. Решим ту же задачу, применив теорему о движении центра масс. До начала движения центр масс всей системы был неподвижен —человек пошел вдоль лодки. Сила взаимодействия между человеком и лодкой является внутренней силой системы «лодка с человеком», а потому не может переместить центр масс этой системы. Для решения задачи надо написать выражения абсциссы Xq центра масс системы при двух положениях системы: 1) человек на носу лодки, 2) человек на корме —и приравнять их друг другу, так как общий центр масс системы не переместился.

Определим абсциссу центра масс системы в начальное мгновение (рис. 175, в). Пусть центр массы лодки находится на расстоянии с₁ от носа. Тогда его абсцисса x₁₀ = (1,6 + c₁) м; х₂₀= 1,6 м. Подставляем в формулу (160):

Обращаем внимание на то, что при этом способе решения задач величины X1 и X2 являются уже не перемещениями точек, а их координатами.

В конечное мгновение, когда человек перейдет на корму (рис. 175, а), а лодка переместится ближе к берегу, общий центр масс всей системы останется на прежнем месте. При конечном положении лодки нос находится от начала координат на искомом расстоянии х. Тогда в этом положении x₁=x+c₁ и x₂ = x+3,6. Подставляя эти значения в формулу (160), получим

Приравниваем друг другу оба выражения абсциссы центра масс системы и находим положение лодки:
180  ^. 1,6= 180 x + 80 ^. 3,6, откуда х = 0.

Ответ. Лодка подойдет к берегу.

Задача №6

Сидящий в лодке охотник стреляет вперед в горизонтальном направлении. Пренебрегая трением воды, определить скорость лодки после выстрела, если до выстрела она была неподвижна; масса охотника 70 кг, масса лодки 30 кг, масса заряда 40 г и его начальная скорость 300 м/сек.

Решение. Механическое движение заряда передается в качестве механического же движения («отдача») на охотника и лодку. Примем, что механическая система состоит из двух точек: 1) лодка вместе с охотником и 2) заряд. Сила давления пороховых газов является внутренней по отношению к этой системе, давление газа в ружейном стволе во все стороны одинаково и, как было показано, сумма проекций внутренних сил на любую ось равна нулю. Внешних горизонтальных сил в системе нет. Проведя ось Ox горизонтально в направлении выстрела, получаем интеграл количества движения (171):

В начале выстрела, пока заряд еще не успел приобрести скорость, лодка тоже была неподвижна и, следовательно, C=0. В написанное выражение входят проекции абсолютных скоростей и, раскрывая знак суммы, получим

0,04 (300 — υ₂) — 100 υ₂ = 0,

где υ₂-скорость лодки после выстрела, а (300 — υ₂)-абсолютная скорость заряда после выстрела, состоящая из разности скоростей (300 м/сек) заряда но стволу и скорости отдачи (υ₂).

Решая это уравнение, находим скорость отдачи.

Ответ. Лодка с охотником движется в сторону, противоположную выстрелу, со скоростью υ₂ = 0,12 м/сек.

Задача №7

Вода входит в неподвижный канал (рис. 176) переменного сечения» симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью υ₀=2 м/ceκ под углом α₀=90° к горизонту; площадь сечения канала при входе 0,02 м², скорость воды у выхода из канала υ_{1 =}4 м/сек и составляет угол α₁ — 30° с горизонтом. Определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает на стенки канала.

Рис. 176

Решение. Вода течет по каналу, меняя направление и величину своей скорости. Механическое движение воды не исчезает и не возникает вновь, меняется лишь вектор скорости. Требуется определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает па стенки канала. Правильнее было бы назвать эту активную силу «давлением» воды на стенки канала. Все данные этой задачи относятся к воде, и мы будем определять горизонтальную составляющую реакции, оказываемой стенками канала на воду. Эта сила равна и противоположна искомой силе. Система единиц —СИ.

В плоскости симметрии канала проведем горизонтальную ось Ox и напишем уравнение (170)

В правой части  есть сумма проекций на горизонтальную ось внешних сил, приложенных к системе (к воде). Единственной горизонтальной внешней силой является горизонтальная составляющая равнодействующей реакций стенок, т. е. та сила, которую мы должны определить. Эта сила при установившемся движении воды является постоянной. Поэтому

За время t в канал πocτyπaeт 0,02 м^{2 .} 2 м/сек^. t ceκ = 0,04t м³ = 40t π, или 40t кг воды: 

Такое же количество воды покидает канал за то же время. Начальная и конечная скорости даны в условии. Подставляем все эти величины в (170):

Ответ.  

Знак минус показывает, что по нашему чертежу проекция реакции отрицательна, т. е. направлена влево. Искомая в задаче горизонтальная составляющая давления на стенку имеет обратное направление—вправо. В задачнике II. В. Мещерского ответ приведен в килограммах. Чтобы перевести ньютоны в кГ, надо умножить число ньютонов на 0,102; имеем 138,4^. 0,102  = 14,1 кГ.

Давление струи 

Задача №8

Определить давление струи воды на гладкую стенку, если скорость воды υ — 20 м/ceκ, сечение струп σ = 0,005 м² и струя направлена под углом α – 30° к стенке (рис. 177).

Рис. 177

Решение. Решим задачу сначала в общем виде. Отложим вдоль струн от стенки небольшой отрезок AB=υτ, где τ—малый промежуток времени. У конца В этого отрезка проведем поперечное сечение струи и рассмотрим движение системы частиц воды, находящихся в данное мгновение между этим сечением и стенкой. Общая масса всех частиц рассматриваемой системы m = mk=-σγυτ, где γ—масса 1 см³ жидкости. До соприкосновения со стенкой частицы воды имеют общую скорость и, проекция которой на ось Ox (перпендикулярную стенке) υ_x = υ sin α. После соприкосновения со стенкой частицы движутся вдоль стенки и υ_x = 0.

На систему действует реакция F стенки, силой тяжести и давлением на выделенную часть струи со стороны следующих частиц струн, внешних по отношению к выделенной системе, пренебрегаем, так как они ври большой и незначительны но сравнению с F. Подставляя эти данные в (170), имеем

откуда

       (173)

Этой формулой определяется давление нa стенку струи жидкости или сыпучего тела. Подставляя данные, находим ответ задачи.
Ответ. F = 102 кГ.

Ударом называют кратковременное взаимодействие тел, вызывающее за ничтожно малый промежуток времени резкое изменение скоростей их точек

Ударный импульс

Иногда материальные тела, находятся во взаимодействии всего лишь тысячные или даже стотысячные доли секунды, но при этом возникают настолько большие силы, что их импульс за столь малый промежуток времени достирает значительной величины и получается резкое, почти мгновенное изменение скоростей точек этих материальных тел. Такое кратковременное взаимодействие тел называют ударом, возникающие при этом силы называют ударными силами, а импульс ударной силы за время удара — мгновенным импульсом.

Ударные силы во многие тысячи раз превосходят вес ударяющего тела. Так, например, легким ударом молотка можно забить в деревянную стену гвоздь, но нужна громадная сила, чтобы тот же гвоздь вдавить, а не вбить в стену. Пуля, вес которой измеряется граммами, при выстреле пробивает доску, но пуля должна была бы весить многие тонны, чтобы сделать в доске такую же дырку своим весом. Поэтому за время удара пренебрегают весом тел и всеми прочими неударными («конечными») силами, пренебрегают перемещениями тел и считают, что векторы скоростей точек ударяющихся тел изменяются мгновенно.

«Количество движения системы никогда не изменяется от ударов при встрече ее тел» (Ньютон)

Прямой центральный удар двух тел

Пусть два тела движутся поступательно и прямолинейно со скоростями υ₁ и υ₂, причем центры масс C₁ и C₂ этих тел движутся по одной прямой, которую мы примем за ось Ох. В некоторое мгновение t первое тело, движущееся с большей скоростью, настигает второе и начинается удар, продолжающийся в течение малого отрезка времени τ_l. Пусть для каждого тела удар является центральным (т. е. мгновенный импульс проходит через центр масс тела) и прямым (т. е. относительные скорости точек соприкосновения тел перед ударом перпендикулярны к поверхности соприкасающихся тел в точке их соприкосновения). Предположим, что удар является неупругим (т. е. таким, при котором полученные за время удара деформации соударяющихся тел полностью сохраняются к концу удара). При отсутствии упругих сил тела не отталкиваются друг от друга и после удара продолжают двигаться с некоторой общей скоростью и. Определим мгновенный импульс S, действующий на каждое из тел со стороны другого. Для каждого из тел этот импульс является импульсом внешней реакции, и мы его легко определим, написав для каждого из тел уравнение (168′). В данном случае эти уравнения примут следующий вид:

      (174)

где m₁ и m₂—массы первого и второго тел, a υ₁ и υ₂— их скорости (выражаясь точнее, проекции их скоростей на прямую удара Ох) перед ударом. Из этих уравнений определим мгновенный импульс:

      (175)

и скорость обоих тел после неупругого удара:

      (176)

Если равенство (176) умножим на m₁ +  m_2,  то убедимся, что сумма количеств движения обоих тел при ударе не изменилась.

В природе не существует абсолютно неупругих тел и в действительности явление удара не заканчивается к тому мгновению, когда скорости тел становятся равными и. Во время удара тела стремятся восстановить свою первоначальную форму, они отталкиваются друг от друга и отдаляются, имея различные скорости u₁ и u₂.

Чтобы определить эти скорости и мгновенный импульс, разделим весь процесс удара на две стадии: 1) от начала соприкосновения тел до мгновения, при котором их скорости сравнялись, и 2) от этого мгновения до конца контакта. Удар, при котором полученные за время удара деформации соударяющихся тел частично сохраняются к концу удара, называют не вполне упругим.

Уравнения для первой стадии удара ничем не отличаются от только что полученных, мгновенный импульс определяется по (175) и скорость — по (176). Исходными уравнениями для второй стадии явятся те же уравнения (170), с той лишь разницей, что и будет в них играть роль начальной скорости, а конечными будут u₁ и u₂. Иным становится мгновенный импульс ударной реакции за эту вторую стадию удара. Обозначим его kS. Физическое значение коэффициента k, зависящего от упругих свойств соударяющихся тел, рассмотрим в дальнейшем. Имеем

      (177)

Из системы уравнений (174) и (177) найдем скорости не вполне упругих тел после удара:

u₁ =u + k (u-υ₁) ; u₂ =u + k (u-υ₂) ;           (178)

Сложив два уравнения (174), а также два уравнения (177), в правых частях получим нуль. Приравнивая друг другу левые части сумм, получим

m₁υ_{1 +} m₂υ₂ = m_lu_l + m₂u₂.

Таким образом, количество движения системы и при неупругом ударе не изменилось. Это объясняется тем, что для системы соударяющихся тел ударная сила является внутренней, а потому согласно интегралу количеств движения (171) .

Отношение тангенсов угла падения и угла отражения равно коэффициенту восстановления:
k= tg α : tg β

Коэффициент восстановления

Из тех же уравнений (178) легко получить величину k, называемую коэффициентам восстановления. Имеем

           (179)

В числителе этого равенства мы видим относительную скорость тел после не вполне упругого удара, а в знаменателе—до удара. Величина k всегда положительна, поэтому взято отношение абсолютных величин относительных скоростей. Таким образом, коэффициент восстановления равен отношению модуля относительной скорости центров масс соударяющихся тел после прямого центрального удара к модулю относительной скорости их до удара.

Если маленький шарик ударяется о гладкую плиту под углом падения α≠0 (рис. 178), то, принимая удар за центральный и раскладывая движение по осям координат, заметим, что ударный импульс направлен перпендикулярно к гладкой плите, а потому проекция скорости шарика на гладкую плиту от удара не изменяется, но изменяется проекция скорости на нормаль к поверхности:

υ₁ siπ a = u₁ sin  kυ₁ cos a = u₁cos β,

откуда 

           (180)

т. е. отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления.

Движение точки переменной массы определяется уравнением И. В. Мещерского

Уравнение движения точки переменной массы

Пусть некоторая материальная точка  M движется относительно неподвижной системы координат хОуz под действием силы . Предположим, что масса m точки M не остается постоянной, а изменяется, являясь, например, функцией времени, координат точки M, длины пройденного точкой пути, но не зависит от скорости точки:

m = m(t, х, у, z, s).

В таком случае дифференциальные уравнения (125—127) не выражают движения точки М, так как в этих уравнениях tn~const. Дифференциальные уравнения, описывающие движения точки переменной массы, выведены И. В. Мещерским. Процесс изменения массы точки (или тела) он рассмотрел как присоединение к ней новых частиц («изменяющих масс») или как отделение от нее изменяющих масс. В случае присоединения изменяющие массы положительны, а в случае отделения—отрицательны.

Присоединение или отбрасывание масс возможно лишь при условии, что их скорости не равны скорости точки М. Поэтому в мгновение, в которое изменяющая масса отрывается от точки М или присоединяется к ней, между ними возникает мгновенное взаимодействие, аналогичное удару, изменяющее количество движения точки M. Однако это взаимодействие, конечно, не изменяет количества движения всей материальной системы, состоящей из точки M и изменяющих масс, так как внутренние силы не могут изменить количества движения системы.

Обозначим через ускорение, получаемое точкой M от присоединения или отбрасывания изменяющих масс, и через — ускорение точки М, от равнодействующей приложенных к ней сил, обусловленных другими материальными телами. Таким, образом, полное ускорение точки, M складывается из двух составляющих:

Руководствуясь принципом независимости действия сил, абстрагируемся от влияния внешних сил и найдем выражения для проекций на осн координат ускорения сообщаемого точке M изменяющими массами.

Пусть в мгновение t масса точки М равна m и ее абсолютная скорость равна V. Изменяющая масса dm в то же мгновение пусть имеет абсолютную скорость . Через бесконечно малый промежуток времени dt, когда изменяющая масса присоединится к точке М, их общая скорость vιιpn отсутствии внешних сил) станет равной  Выразим по (159′) проекции количества движения системы до присоединения к точке M изменяющей массы:

K_0x = mυ_x + dmu_x

и после присоединения:

K_x = (m + dm) (υ_x + dυ_x).

Приравняем согласно (171) эти два выражения друг другу и после элементарных преобразований получим

Деля на dt, найдем проекцию ускорения на ось абсцисс:

Умножив это равенство на массу m, найдем проекцию прибавочной силы на ось Ox и аналогично на две другие оси:

Учитывая, что, кроме прибавочной силы и независимо от нее, на точку M действует сила F, проекции которой обозначим X, Y и Z, получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы (уравнения И. В. Мещерского):

           (181)

Эти равенства справедливы как при dm > 0, так и при dm<0. Они справедливы и для поступательного движения тела, если центр масс этого тела не перемещается в теле значительно от присоединения к телу или отбрасывания изменяющих масс.

Три уравнения Мещерского можно заменить одним уравнением, написанным в векторной форме,

           (181^/)

Задача №9

Определить скорость ракеты (точки переменной массы) при ее прямолинейном движении и без действия внешних сил, если относительная скорость выбрасываемых газов постоянна и направлена противоположно скорости ракеты.

Решение. Направив ось Ox по скорости ракеты, напишем первое из уравнений Мещерского применительно к данному частному случаю:

Разделим переменные:

Введем некоторые ограничения на изменение массы, а именно предположим, чтo масса m в каждое мгновение пропорциональна значению некоторой функции от времени: m=m₀f (t). При t = 0 масса m = m₀.

Интегрируя, получаем равенство, которое носит название формулы Циолковского.

Ответ. . Это равенство правильнее называть задачей, а не формулой (см. В. В. Добронравов, H. Н. Никитин и А. П. Дворников, «Курс теоретической механики»).

Горизонтальное движение реактивного самолета

Задача №10

Определить закон движения x=x(t) самолета с жидкостным реактивным двигателем на активном и горизонтальном участке полета, положив, что масса самолета изменяется по линейному закону:

m= m₀ (1 —at),

относительная скорость υ_r отбрасываемых частиц относительно самолета постоянна и аэродинамические силы зависят от квадрата скорости самолета, т. е. считать силу лобового сопротивления

и подъемную силу

Решение. Направим ось абсцисс горизонтально (рнс. 179) по скорости самолета, ось ординат перпендикулярно к ней.

Рис. 179

На самолет по вертикальной оси действуют следующие силы: вес G и подъемная сила Р. При горизонтальном полете самолета они уравновешивают друг друга

По горизонтальной оси на самолет действуют сила лобового сопротивления, направленная против абсолютной скорости и прибавочная сила, направленная против относительной скорости υ_r, т. е. по движению самолета.

Движение самолета прямолинейное и горизонтальное, его можно описать одним (первым) из уравнений Мещерского (181). В этой задаче оно принимает вид:

Определим квадрат скорости из условия равенства вертикальных сил:

и подставим его в выражение силы лобового сопротивления

Для определения производной массы по времени, продифференцируем линейный закон изменения массы, заданный в условии задачи

Из того же закона видно, что

поэтому 

После подстановки найденных выражений в уравнение Мещерского и сокращения на m имеем:

Интегрируя один раз, получим:

Подставляем начальные данные (при t=0, υ_x=υ_0x), имеем

υ_0x = C₁

Получаем следующее выражение изменения скорости самолета в зависимости от времени

Чтобы получить закон движения самолета, надо в левой части этого выражения представить υ_x как производную от текущей координаты х по времени, разделить переменные и проинтегрировать

Возьмем отдельно последний интеграл

Следовательно,

Определим C₂ по начальным данным, положив, что при t = 0 и х = 0, тогда

Подставив в предыдущее равенство вместо C₂ его значение  найдем закон, определяющий движение самолета на активном участке пути. Естественно, что в эту формулу проекции входят со своими знаками, например, в рассмотренной задаче проекция относительной скорости υ_lx отрицательна, а проекция начальной скорости υox положительна.

Ответ.

Пример 17. Однородный цилиндр массой и радиусом скатывается без скольжения по наклонной плоскости длиной , составляющей угол с горизонтом (см. рис.). Найти: 1) ускорение поступательного движения центра масс ; 2) величину углового ускорения ; 3) силу трения ; 4) время движения цилиндра по наклонной плоскости; 5) кинетическую энергию цилиндра в конце спуска.

Решение. На цилиндр, совершающий плоское движение, действуют внешние тела: Земля с силой тяжести , наклонная плоскость с силой реакции и силой трения . Заметим, что поскольку в данной задаче цилиндр не проскальзывает, то на него действует сила трения качения.

Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Запишем уравнение движения центра масс (4.38) в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью наклонной плоскости

. (1)

Спроектируем векторное равенство (1) на ось , будем иметь следующее выражение:

(2)

Переходим в неинерциальную систему отсчета, связанную с центром масс цилиндра (точка ); записываем уравнения вращения цилиндра вокруг оси, проходящей через центр масс

,

где – проекции на ось , моментов силы реакции , силы тяжести и силы трения соответственно.

Проекции момента силы реакции и силы тяжести равны нулю, т.к. линии действия этих сил пересекают ось вращения. Проекция момента силы трения равна (см. вставку к рисунку).

Учитывая, что момент инерции относительно оси вращения цилиндра равен и (см. рис.), перепишем последнее соотношение в следующем виде:

. (3)

В данной задаче проскальзывание цилиндра отсутствует, следовательно, точки поверхности цилиндра, соприкасающиеся с поверхностью наклонной плоскости, имеют равную нулю линейную скорость. Это значит, что величина скорости поступательного движения центра масс равна величине скорости вращательного движения этих точек. Следовательно, величина ускорения центра масс равна величине тангенциального ускорения, т.е. . С учетом этого равенства запишем для ускорения центра масс и углового ускорения цилиндра следующее соотношение:

. (4)

Решив систему уравнений (2), (3) и (4), найдем величину ускорения центра масс

. (5)

Величину углового ускорения находим из равенства (4)

.

Из уравнения (3) находим величину вектора силы трения

.

Для определения времени движения цилиндра по наклонной плоскости воспользуемся соотношением . С учетом того, что начальная скорость цилиндра равна нулю, получим выражение для времени движения

.

Кинетическую энергию цилиндра, совершающего плоское движение, определим из соотношения (4.40).Учтем при этом, что и .

. (6)

Скорость центра масс в конце наклонной плоскости найдем из соотношения

. (7)

Из равенства (7) вместо скорости поступательного движения центра масс подставим в выражение (6), получим соотношение для кинетической энергии цилиндра

.

Пример 18*. Однородный диск радиусом раскрутили до угловой скорости и осторожно положили боковой поверхностью на горизонтальную поверхность и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен . Найти: 1) время, в течении которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; 2) полную работу силы трения.

Решение. Изобразим все силы, с которыми внешние тела действуют на вращающийся диск с начальной угловой скоростью . Направление его вращение показано на рисунке. На диск действуют: Земля с силой тяжести , горизонтальная поверхность с силой реакции и силой трения скольжения .

Если диск, вращающийся с угловой скоростью положить на горизонтальную поверхность, то будет наблюдаться следующий характер движения: под действием силы трения скольжения вращение вокруг оси проходящей через центр масс (точка ), станет равнозамедленным с проскальзыванием, и, кроме того, центр масс цилиндра начнет двигаться равноускоренно с ускорением , направленным так, как показано на рисунке.

Через некоторое время проскальзывание прекратится. В этот момент для точек соприкосновения боковой поверхности цилиндра будет выполняться следующее условие: величина вектора скорости поступательного движения будет равна величине вектора скорости вращательного движения , т.е. .

Если последнее равенство продифференцировать по времени, то получим следующее соотношение

.

Это значит, что в момент прекращения проскальзывания ускорение поступательного движения центра масс равно тангенциальному ускорению точек соприкосновения боковой поверхности цилиндра с горизонтальной поверхностью.

Запишем уравнение поступательного движения центра масс цилиндра

. (1)

Для проекций векторов на оси координат, входящих в равенство (1), получим следующие соотношения:

(2)

Решим систему уравнений (2), учтем при этом, что , получим выражение для ускорения поступательного движения оси вращения

. (3)

Выразим величину скорости поступательного движения центра масс через величину ускорения по формуле, учтем при этом, что начальная скорость поступательного движения равна нулю:

, (4)

где – время проскальзывания цилиндра.

Линии действия силы тяжести и силы реакции проходят через ось вращения, следовательно, моменты этих сил относительно этой оси равны нулю. С учетом этого, запишем уравнения вращения цилиндра вокруг оси, проходящей через центр масс

. (5)

Проекция углового ускорения связана с проекцией угловой скорости следующим соотношением , – время проскальзывании; – проекция угловой скорости в момент окончания проскальзывания.

С учетом того, что, и (см. вставку к рис.), перепишем последнее соотношение в виде .

Последнее соотношение для подставим в равенство (5), получим уравнение

. (6)

Угловая скорость связана со скоростью движения центра масс соотношением

. (7)

С учетом этого выражения равенство (6) примет вид

Окончательно имеем выражение для времени проскальзывания цилиндра

. (8)

В момент прекращения проскальзывания величина скорости центра масс связана с величиной угловой скорости соотношением .

Выразим величину угловой скорости в момент прекращения проскальзывания с величиной начальной угловой скорости , для этого время проскальзывания из уравнения (8) подставим в равенство (7), получим следующее выражение

. (9)

Для вычисления работы силы трения используем теорему об изменении кинетической энергии. Учтем при этом, что сила тяжести и сила реакции работы не совершают, т.к. направления этих сил перпендикулярны перемещению цилиндра.

Запишем выражение для работы силы трения

, (10)

где , конечное и начальное значения кинетической энергии соответственно.

Выразим величину скорости центра масс диска в момент прекращения проскальзывания через угловую скорость, учтем при этом соотношение (10), получим окончательное равенство для работы силы трения

.

[1]АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО– модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом.

[2] Расстояние от линии действия вектора импульса материальной точки до оси ).

[3] Аддитивность (от лат. additio — прибавление) — свойство величин, заключающееся в том, что сумма значений величин, соответствующих частям объекта, равна значению величины, соответствующей целому объекту.

[4] ИНЕРТНОСТЬ (инерция) в механике, свойство тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоя, когда действующие на него силы отсутствуют или взаимно уравновешены.

[5] Задача повышенной сложности

[6] Центральная сила– сила, линия действия которой при любом положении тела проходит через одну и ту же точку, называемую центром силы.

[7] Замкнутая система — это система, на которую внешние силы не действуют.

[8] Плоское движение — это такое движение твердого тела, при котором траектории движения всех его точек лежат в параллельных плоскостях.

*Задача повышенной сложности

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10812 — | 7381 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Решение:

Закон сохранения энергии

где потенциальная энергия диска на высоте h

кинетическая энергия поступательного движения диска

кинетическая энергия вращательного движения диска

Момент инерции диска

Связь угловой и линейной скоростей

Линейная скорость центра масс диска

Ответ: .

Центр — масса — диск

При очень больших угловых скоростях ( со — оо) у — е, и центр масс диска оказывается на оси вращения. [17]

Устойчивость вала при скорости, большей критической, обусловлена кориолисовым ускорением, которое появляется при перемещении центра масс диска S в радиальном направлении от точки Ох. Тогда точка S начинает двигаться в направлении, перпендикулярном к радиусу, и приходит в конечном итоге в положение по другую сторону от точки О. [18]

Количество движения диска равно количеству движения точки, масса которой равна массе диска, а скорость равна скорости центра масс диска . Задачу решаем в единицах СИ. [19]

Напряжения изгиба, обусловленные действием центробежных сил инерции при вращении вала, можно найти, если известны положения центров масс дисков , закрепленных на валу. [20]

Строят ех и eft и делят расстояние между концами этих векторов на k частей, пропорционально расстояниям между центрами масс дисков . [22]

Из этих формул видно, что первоначально выбранное направление угловой скорости не совпадает с действительным, так же как и направление скорости центра масс диска . [23]

Диск движется без проскальзывания по наклонной плоскости. Центр масс диска находится на расстоянии с от геометрического центра. Записать лагранжиан, найти частоту линейных колебаний в окрестности положения равновесия. [24]

Однородный диск радиуса а и массы m катится без скольжения по горизонтальной пдС Сности. У с — координаты центра масс диска , 0, ф, Ф — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, в, ф, р, где х, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, t Ф — углы Эйлера ( см. задачу 50.11); 3) в квазикоординатах р, q, r, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные осл центрального эллипсоида инерции; Л, С — главные центральные моменты инерции диска. [25]

Полученные значения скоростей с1 и ш постоянны и зависят лишь от расположения масс системы. Следовательно, после начала движения жука центр масс диска движется с постоянной по величине скоростью, а его угловая скорость также постоянна. [26]

Однородный круглый диск массы М эксцентрично насажен на ось г, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен г, эксцентриситет ОС з, где С — центр масс диска . [27]

Однородный круглый диск массы ЛТ эксцентрично насажен на ось г, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен г, эксцентриситет ОС к, где С — центр масс диска . Оси координат показаны кг риеукке. [28]

Однородный круглый диск массы М эксцентрично насажен на ось z, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен г, эксцентриситет ОС а, где С — центр масс диска . Вычислить осевые Jx, Ju, ] г и центробежные Jxy, Jxi, Jyz моменты инерции диска. Оси координат показаны на рисунке. [29]

В статье [29] задача о качении по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости тяжелого диска, несущего маховик, ось вращения которого перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр масс ( рис. 11), сведена к анализу гипергеометрических квадратур. Неголономная механическая система диск маховик имеет четыре степени свободы и является гиростатом, положение которого однозначно определяется шестью обобщенными координатами: ф, , ц — углами Эйлера между трехгранником, жестко связанным с главными центральными осями инерции диска, и неподвижным трехгранником OX Y Z, 7 — углом поворота маховика относительно диска вокруг оси Cz, x, у — координатами проекции центра масс диска на плоскость OX Y, по которой катится диск. [30]

Примеры решения задач

Пример
1. Найти
момент инерции тонкого однородного
диска массой
и радиусаотносительно: а) оси симметрии,
перпендикулярной к плоскости диска; б)
оси, совпадающей с диаметром диска.

Р
е ш е н и е. а)Выберем
на диске цилиндрический слой радиуса
и шириной(см.
рис. 3а). Так как все элементы цилиндрического
слоя находятся на одном расстоянии
от центра кольца, его момент инерции
равен

(14)

где
– масса кольца, которую можно найти,
определив поверхностную плотность
материала дискаи умножив ее на площадь поверхности
кольцат.е.

Подставляя
это значение в (14) интегрируя пов пределах от 0 до,
найдем момент инерции диска относительно
оси симметрии

(15)

б)
Для нахождения момента инерции диска
относительно диаметра, например оси
воспользуемся соотношением (6). Проведем
три взаимно перпендикулярные осипересекающиеся в центре диска (рис. 3б).
Очевидно, что,
тогда из уравнения (6) следует

Подставляя
в это выражение значение
из уравнения (15), найдем момент инерции
диска относительно диаметра

Пример
2. Найти
момент инерции однородного шара массы
и радиусаотносительно оси, совпадающей с центром
шара.

Ре ш е н и е. Вычисление момента инерции
шара прямым методом, т.е. с использованием
уравнения (1) довольно трудоемкая
математическая задача, поэтому для
нахождения этого момента инерции
воспользуемся соотношением (5). Проведем
три взаимно перпендикулярные осипересекающиеся в центре шара (см. рис.
4). Очевидно, что

поэтому
соотношение (5) перепишем в виде

(16)

где
– искомый момент инерции,– момент инерции шара относительно
центра шара.

Для
нахождения момента инерции
выберем тонкий сферический слой радиусаи толщинойцентр
которого совпадает с центром шара (на
рис. 4 он выделен цветом). Все элементы
этого слоя находятся на одинаковом
расстоянии от центра шара, поэтому его
момент инерции относительно центра
шара равен

.
(17)

Объемная
плотность шара равна
,
умножая ее на объем тонкого сферического
слоянайдем массу сферического слоя

Подставляя
это выражение в (17) и интегрируя в пределах
от 0 до
,
найдем момент инерции шара относительно
центра

С учетом этого из
уравнения (16) находим искомый момент
инерции шара

Пример
3. Однородный
цилиндр радиуса
раскрутили вокруг его оси до угловой
скоростии поместили затем в угол (рис.5) Коэффициент
трения между стенками угла и цилиндром
равенСколько оборотов сделает цилиндр до
остановки?

Р
е ш е н и е. Расставим силы, действующие
на цилиндр. Запишем уравнение, описывающее
выражение цилиндра относительно его
оси

(18)

где
– момент инерции цилиндра относительно
этой оси. Знак “–” в левой части этого
уравнения обусловлен тем, что при
замедленном движении модуль углового
ускоренияТак как нам необходимо найти число
оборотов, которое сделает цилиндр до
остановки, исключим из уравнения (18)
время. Для этого умножим и разделим
левую часть уравнения (18) на

где
– угловая скорость вращения цилиндра
в некоторый момент времени. После
преобразований получим

.
(19)

Прежде
чем решать это уравнение, найдем выражения
для сил трения. Так как центр цилиндра
покоится,

Запишем
это уравнение в проекциях на оси
и(см. рис. 5)

Решая
эту систему уравнений, учитывая, что
аполучим
выражения для сил трения

Подставляя эти
выражения в уравнение (19) и интегрируя
левую часть этого уравнения в пределах
от
до 0, а правую часть в пределах от 0 до,
найдем число оборотов,
которое сделает цилиндр до остановки

Пример
4. Однородный
шар скатывается без скольжения по
наклонной плоскости, составляющей угол
с горизонтом. Найти ускорениецентра шара и кинетическую энергию шара
через времяпосле начала движения.

Р е ш е н и е. Решим
задачу двумя способами.

а) Шар совершает
плоское движение. Свяжем подвижную
систему отсчета с центром шара. Эта
система движется поступательно
относительно наклонной плоскости, а
шар в этой системе вращается вокруг
оси, проходящей через его центр. Расставим
силы, действующие на шар в
процессе движения (см. рис.6). Запишем
теорему о движении центра масс в проекции
на ось
(см.
рис.6)

(20)

Уравнение
вращательного движения шара вокруг
оси, проходящей через центр масс имеет
вид

(21)

где
– угловое ускорение шара,– момент инерции шара относительно оси
вращения. Решая совместно уравнения
(20) и (21), найдем ускорение центра шараи его угловое ускорение

(22)

Используя формулу
(13) для кинетической энергии тела,
совершающего плоское движение, и
учитывая, что в интересующий нас момент
времени
и(т.к.ипостоянные), найдем кинетическую энергию
шара через времяпосле начала движения

б) Так как шар
катится без проскальзывания, точка
соприкосновения шара
с наклонной плоскостью имеет скорость
равную нулю. Поэтому прямая, перпендикулярная
плоскости рисунка и проходящая через
точкуявляется мгновенной осью вращения.
Относительно этой оси шар совершает
вращательное движение, поэтому для
описания движения достаточно записать
уравнение (12) в виде

(23)

где
– момент инерции шара относительно
мгновенной оси вращения. Согласно
теореме Штейнера момент инерцииравен

Подставляя это
выражение в уравнение (23), находим
ускорение центра шара
и его угловое ускорение(см. уравнения (22)).

Кинетическая
энергия шара, в этом случае, определяется
только вращательным движением

Заметим, что при
любом способе решения, кинетическую
энергию шара можно найти из закона
сохранения энергии (сила трения работы
не совершает, т.к. эта сила – сила трения
покоя). Пусть за время
высота центра шара изменилась на(см. рис.6), тогда

(24)

где
– расстояние, пройденное центром шара
за времяПодставляя
в (24) выражение дляи,
находим кинетическую энергию шара

Пример
5. Однородный
стержень длины
может вращаться вокруг горизонтальной
оси, перпендикулярной к стержню и
проходящей через один из его концов
(рис. 7). Систему равномерно вращают с
угловой скоростьювокруг вертикальной оси. Пренебрегая
трением, найти уголмежду стержнем и вертикалью.

Р е ш е н и е. Решим
задачу двумя способами. Первое решение
приведем в инерциальной системе отсчета,
т.е. в системе, в которой стержень
вращается. Второе решение – в неинерциальной
системе отсчета, жестко связанной со
стержнем.

а) Система отсчета,
в которой будем решать задачу, на рис.
7 не показана. Решение задачи относительно
вертикальной оси вращения не даст
желаемого результата, т.к. моменты сил,
действующих на стержень (сила тяжести
и сила реакции в точке
),
относительно этой оси равны нулю, и
величина момента импульса остается
постоянной.

Поэтому
будем решать задачу относительно точки
подвеса стержня. Напомним, что уравнение
моментов относительно точки имеет вид

откуда видно, что
направление изменения момента импульса
совпадает по направлению с направлением
момента силдействующих на стержень, поэтому в
дальнейшем это уравнение будем записывать
для модулейи

(25)

Момент силы реакции
в точке
равен нулю, т.к. плечо этой силы равно
нулю. Направление момента силы тяжести
показано на рис.7, а величина равна

(26)

Найдем величину
и направление момента импульса
стержня относительно точкиДля этого выделим на стержне небольшой
участок длинойи массойположение которого относительно точкизададим радиус-вектором(см.
рис. 7). Обозначим величину момента
импульса этого участка какТак как стержень вращается вокруг
вертикальной оси, так как показано на
рисунке, скоростьэтого участка будет направлена за
плоскость рисунка, поэтому как следует
из определения момента импульса

,

он будет направлен
перпендикулярно стержню, как показано
на рис. 7. Очевидно, что направления всех
моментов импульса остальных участков
стержня будут иметь такое же направление,
поэтому результирующий момент импульса
будет также перпендикулярен стержню.
Учитывая, что векторы
ивзаимно перпендикулярны, величинаравна

Интегрируя это
уравнение

найдем величину
момента импульса стержня относительно
точки

Момент
импульса поворачивается вместе со
стержнем, и за время
повернется на некоторый угол,
получив приращение(см. рис.8).
Найдем величину этого приращения

или

.
(27)

Подставляя уравнение
(26) и (27) в уравнением моментов (25), получим

где
.
Преобразуем это уравнение к виду

.
(28)

Если величина

уравнение (28) имеет
одно решение
,
и это положение устойчивое, т.е. стержень
будет занимать вертикальное положение
и будет вращаться вокруг собственной
оси.

Если
то уравнение (28) будет иметь два решение

и
,

причем можно
показать, что первое решение перестает
быть устойчивым, и стержень отклонится
на угол, определяемый вторым решением.

б) Решим теперь
задачу в неинерциальной системе отсчета,
жестко связанной со стержнем. В этой
системе отсчета на стержень, кроме сил
взаимодействия действует центробежная
сила инерции. Так как стержень находится
в равновесии, сумма моментов сил,
действующих на стержень, должна равняться
нулю, т.е.

где
– величина момента силы тяжести,– величина момента центробежной силы
инерции относительно точкиВеличина момента силы тяжести определяется
уравнением (26).
Для нахождения момента центробежной
силы инерции воспользуемся рис. 7, считая,
что стержень покоится.

На выделенный
участок стержня действует центробежная
сила инерции

величина момента
которой, относительно точки
равна

Интегрируя это
выражение по всей длине стержня, получим

.

Подставляя
это выражение и соотношение (26) в уравнение
моментов (25), получим уравнение

,

в точности
совпадающее с уравнением (28).

Надо заметить,
что решение этой задачи в неинерциальной
системе отсчета много проще, чем в
инерциальной.

Пример
6. Однородная
тонкая квадратная пластинка массы
может свободно вращаться вокруг
неподвижной вертикальной оси, совпадающей
с одной из ее сторон. В центр пластины
по нормали к ней упруго ударяется шарик
массылетевший со скоростьюНайти величину скорости шарикасразу после удара.

Р
е ш е н и е. Система “пластина-шарик”
незамкнута, так как для удержания оси
пластины в неподвижном состоянии к ней
необходимо приложить внешние силу.
Однако надо заметить, что момент этих
внешних сил относительно оси равны
нулю, т.к. они приложены непосредственно
к оси.

Для
решения задачи воспользуемся законами
сохранения энергии (удар упругий) и
законом сохранения момента импульса
(сумма момента внешних сил относительно
оси равен нулю). Будем считать, что длина
стороны пластины равна
и шарик после удара будет лететь в
прежнем направлении, тогда

,

где
– момент инерции пластины относительно
оси,– угловая скорость, с которой пластина
будет вращаться после удара вокруг оси.

Для
простоты решения этой системы перепишем
ее в виде

(29)

Разделив первое
уравнение не второе, получим

(30)

Решая
совместно уравнения (29) и(30) и учитывая,
что момент инерции пластины относительно
оси, совпадающей с одной из ее сторон
равен
(докажите это самостоятельно), найдем
скорость шарика после удара

Заметим,
что если
,
скорость шарика после удара становится
отрицательной. Это означает, что пришарик полетит в обратную сторону.

Пример
7. Однородный
диск радиуса
и массылежит на гладкой горизонтальной
поверхности. На боковую поверхность
диска плотно намотана нить, к свободному
концукоторой приложили постоянную горизонтальную
силуПосле начала движения диска точкапереместилась на расстояниеНайти угловую скорость диска к этому
моменту времени.

Р
е ш е н и е. Под действием силы
диск будет совершать плоское движение.
Свяжем подвижную систему отсчета с
центром масс диска. Величину ускорения
центра масснайдем из второго закона Ньютона,
записанного в проекции на направление
движения

.
(31)

В
системе отсчета, связанной с центром
масс, диск вращается с угловым ускорением
,
которое найдем из уравнения вращательного
движения диска

(32)

где
– момент инерции диска, относительно
оси вращения.

Найдем
величины скорости
центра масс диска и угловой скорости
его вращения к моменту времени,
когда точка приложения силысовершит перемещениеТак как в начальный момент времени диск
покоился, а величины ускоренийине меняются с течением времени (см.
уравнения (31) и (32)), получим

Исключая
из этих уравнений время
найдем связь между скоростью центра
масс и угловой скоростью вращения диска

(33)

Запишем теорему
об изменении кинетической энергии для
диска

(34)

где
– работа всех сил, действующих на диск.
Силы тяжести и сила реакции опоры работу
на совершают, работу совершает только
постоянная силаПо определению работа постоянной силы
равна произведению модуля силы наперемещение
точки приложения силы,
таким образом

.
(35)

Подставляя
выражения (33) и (35) в уравнение (34), найдем
величину угловой скорости диска к
моменту времени, когда точка приложения
силы совершит перемещение

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Динамика механической системы
2. Геометрия масс
3. Механическая система. Центр масс механической системы
4. Порядок решения задач на определение центра масс механической системы
5. Примеры решения задач на тему: Определение центра масс механической системы
6. Моменты инерции твердого тела относительно оси
7. Моменты инерции некоторых однородных тел
8. Примеры решения задач на тему: Моменты инерции твердого тела относительно оси
9. Теорема о движении центра масс механической системы
10. Закон сохранения движения центра масс
11. Порядок решения задач на применение теоремы о движении центра масс
12. Примеры решения задач на тему: Теорема о движении центра масс механической системы
13. Теорема об изменении количества движения точки и механической системы
14. Импульс силы
15. Теорема об изменении количества движения точки и системы
16. Закон сохранения количества движения системы
17. Порядок решения задач на применение теоремы об изменении количества движения точки и механической системы
18. Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении количества движения точки и механической системы
19. Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы
20. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
21. Порядок решения задач на применение теоремы об изменении момента количества движения точки и механической системы
22. Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы
23. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
24. Кинетическая энергия механической системы
25. Определение кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
26. Порядок решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии механической системы
27. Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Динамика механической системы

В предыдущей главе рассматривались задачи, связанные с движением материальной точки, которая находится под действием приложенных к ней сил. Однако часто приходится встречаться с такими случаями, когда движение одной точки невозможно рассматривать изолированно от движения других материальных точек. Это заставляет нас перейти к изучению движения совокупности материальных точек, или механических систем.

В механике под механической системой материальных точек или тел имеют в виду такую их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения или движения всех других.

Совокупность тел, между которыми отсутствуют силы взаимодействия и движение которых никаким образом не связано друг с другом, механическую систему не создают. Механические системы бывают свободными и несвободными.

Система материальных точек, движение которых не ограничено никакими связями, а определяется только действующими на эти точки силами, называется системой свободных точек.

Система материальных точек, движение которых ограничивается наложенными на точки связями, называется системой несвободных точек.

Решение задач динамики механической системы базируется на теоремах динамики и некоторых принципах, которые будут рассмотрены в данной главе.

Геометрия масс

Геометрия точки масс, в просторечии известная как точки масс , является проблемой геометрии – метод решения , который применяет физический принцип центра масс к геометрическим задачам, включающим треугольники и пересекающиеся чевианы . Все задачи, которые могут быть решены с использованием геометрии материальных точек, также могут быть решены с использованием аналогичных треугольников, векторов или соотношений площадей, но многие студенты предпочитают использовать массовые точки.

Механическая система. Центр масс механической системы

В механике под механической системой подразумевают совокупность взаимодействующих между собой материальных точек или тел.

Частным случаем механической системы является абсолютно твердое тело.

Массой механической системы называется сумма масс всех точек, входящих в систему:

где  – масса материальной точки с номером ,

 – число всех точек системы.

Центром масс (центром инерции) механической системы называется точка  (рис.5.1), радиус-вектор которой определяется по формуле:

где  – масса системы материальных точек;

 – радиус-вектор точки с массой .

Декартовы координаты центра масс системы материальных точек определяются по зависимостям:

Здесь  – координаты -ой материальной точки.

Для твердого тела центр масс совпадает с центром тяжести.

Порядок решения задач на определение центра масс механической системы

Решение задач, в которых необходимо определить положение центра масс и уравнение его траектории, рекомендуется проводить в следующей последовательности:

Определить координаты центра масс системы по формулам (5.1), при этом  будут функциями времени, то есть, полученные выражения будут параметрическими уравнениями движения центра масс.

Для нахождения уравнений траектории центра масс надо с последних выражений (пункт 3) исключить время.

Примеры решения задач на тему: Определение центра масс механической системы

Задача № 1

Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рис.5.2, если вес каждого из шаров  и  равен , вес муфты равен . Пули  и   считать материальными точками. Массой стержней пренебречь.

Решение. Система координат, относительно которой необходимо определить положение центра масс, изображена на рис.5.2.

Для определения положения центра масс системы надо определить его координаты по формулам (5.1):

где 

 – координаты центра масс пуль ,  и муфты .

Следовательно,

Находим координаты центров масс:

пули : 

пули : 

муфты : 

Тогда: 

поскольку

Ответ: 

Задача № 2

Найти уравнение движения центра масс шарнирного параллелограмма а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа с постоянной угловой скоростью . Звенья параллелограмма – однородные стержни (рис.5.3), и

Решение. Начало системы координат свяжем с шарниром кривошипа . Ось направим справа по линии а ось – перпендикулярно линии .

Поскольку звенья 1,2,3 параллелограмма однородны, то центры масс их лежат посередине звеньев (точки ).

Из размеров звеньев вытекает:

Определим координаты центров масс звеньев механизма как функции угла поворота (рис.5.3):

Для определения координат центра масс шарнирного параллелограмма воспользуемся зависимостью (5.1):

Для определения уравнения траектории центра масс (точки ) исключим параметр из уравнений (1) и (2). С этой целью выполним следующие преобразования:

Сложим, соответственно, левые и правые части этих уравнений:

Таким образом, траекторией центра масс шарнирного параллелограмма является окружность:

с радиусом, равным , с центром в точке с координатами 

Ответ:  

Задача № 3

Определить траекторию центра масс механизма эллипсографа (рис.5.4), который состоит из муфт  и  весом каждая, кривошипа весом и линейки весом , если 

Считать, что линейка и кривошип есть однородные стержни, а муфты – точечные массы.

Решение. Механизм состоит из 4 подвижных звеньев. Для удобства решения задачи пронумеруем звенья соответственно рис.5.4.

Система координат, относительно которой будет определяться траектория центра масс механизма показана на рисунке.

Сначала определим координаты центров масс всех звеньев механизма:

Для определения координат центра масс механизма эллипсографа воспользуемся формулой (5.1):

Следовательно, координаты центра масс эллипсографа имеют значения:

Для нахождения уравнения траектории центра масс в явном виде необходимо из этих уравнений исключить угол . Решив оба уравнения относительно и , возводя их затем к квадрату и сложив, получим:

Траекторией центра масс является окружность с центром в точке и радиусом , который равен:

Ответ: 

Задача № 4

Определить зависимость от угла поворота кривошипа координат центра масс кривошипно-ползунного механизма, что изображено на рис.5.5. Длина кривошипа , его вес , длина шатуна , его вес , вес ползуна .

Решение. Выберем систему координат как показано на рис.5.5. Рассмотрим механизм в произвольном положении, которое определяется углом (для любого положения , так как ).

Применяя формулу (5.1), получим:

где  – координаты центров тяжести тел, составляющих систему,

 – масса всей системы.

С рис.5.5 находим:

Масса всей системы в данном случае равна:

Подставляя в выражения (1) и (2) значения координат центров масс тел механической системы и величину массы системы , получим:

Ответ: 

Задача № 5

Определить уравнение траектории центра масс кулисного механизма (рис.5.6), если вес кривошипа равен , вес ползуна равен , а вес кулисы и штанги равен . Кривошип, который вращается с постоянной угловой скоростью , считать тонким однородным стержнем, а ползун – точечной массой. Центр тяжести кулисы и штанги расположен в точке , причем . При расчетах принять:

Будем считать, что в начальный момент ползун занимал крайнее правое положение.

Решение. Выберем оси декартовых координат, как показано на рисунке, где положение кулисного механизма соответствует моменту времени . Так как кривошип вращается равномерно, то его угол поворота равен

Для определения положения центра масс системы необходимо найти его координаты  и  по формуле (5.1).

Поскольку механическая система состоит из трех тел – кривошипа , ползуна и кулисы со штангой , то:

Индекс 1 соответствует кривошипу, индекс 2 – ползуну , индекс 3 – кулисе со штангой.

Из рисунка видно:

Подставим значения в формулы для определения  и .

Исключим время в уравнениях, которые определяют движение центра масс.

Для этого решим оба уравнения относительно и :

Возведем эти уравнения к квадрату и добавим:

Таким образом, траекторией центра масс кулисного механизма является эллипс с полуосями и

Центр эллипса лежит на оси и отдален от начала координат вправо на расстояние

Ответ: 

Моменты инерции твердого тела относительно оси

Влияние собственных свойств тела на вращательное движение значительно сложнее, чем в поступательном движении.

Также как масса тела является мерой инертности тела при его поступательном движении, так и момент инерции тела относительно данной оси является мерой инертности тела при его вращательном движении.

Как мера инертности тела момент инерции входит во все формулы вращательного движения. Не зная момента инерции тела, не умея его определить, нельзя решать задачи, которые связаны с вращательным или сложным движением тела, частью которого является вращательное движение.

Момент инерции тела (системы) относительно оси, например , обозначим (индекс указывает на ось, относительно которой определяется момент инерции).

Моментом инерции тела относительно оси, например , называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек тела на квадраты их расстояний к оси:

Если тело сплошное, то под необходимо понимать массу элементарной частицы тела , тогда момент инерции будет выражаться интегралом:

где  – расстояние доли от оси.

Этот интеграл берется по всей массе тела. Очевидно, что величина момента инерции зависит от размеров и формы тела , а также от закона распределения массы в теле.

Момент инерции измеряется в системе СИ – в , в технической системе – в .

Для тел правильной геометрической формы определение моментов инерции делается с помощью интегрального вычисления. Если тело имеет неправильную форму, то момент инерции его определяется либо приблизительно, путем разбития тела на несколько тел, которые имеют правильную геометрическую форму, либо экспериментально.

Для однородного тела, при плотности :

где интеграл берется по всему объему тела.

Для однородной материальной поверхности:

где  – масса единицы плоскости поверхности и интеграл берется по всей плоскости поверхности.

Для однородной материальной линии:

где  – масса единицы длины линии. Интеграл берется по длине .

Для одной материальной точки, которая находится на расстоянии от оси, момент инерции равен:

Иногда при определении момента инерции тела пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси, например , называется линейная величина , определяемая равенством:

где  – масса тела.

Следовательно, радиус инерции определяет расстояние от оси к точке, в которой необходимо сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.

Момент инерции системы относительно начала координат равен

Моменты инерции относительно координатных осей (осевые моменты) выражаются зависимостями:

Существует простая зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через его центр масс (теорема Гюйгенса-Штейнера).

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

где  – момент инерции тела относительно оси, которая проходит через центр масс и параллельна данной;

 – момент инерции тела относительно данной оси;

 – расстояние между осями.

Из выражения (5.4) вытекает, что наименьшим момент инерции тела будет относительно той оси, которая проходит через центр его масс.

Моменты инерции некоторых однородных тел

Форма тела.	Схема тела.	Момент инерции.
Тонкий прямолинейный стержень
-„-
Круглая пластинка малой толщины
Кольцо (материальная окружность)
Круглый цилиндр
Прямоугольный параллелепипед
Полый шар со стенками малой толщины
Шар

Примеры решения задач на тему: Моменты инерции твердого тела относительно оси

Задача №1

Маятник, изображенный на рис. 5.7, состоит из тонкого однородного стержня длиной и массой и круглого однородного диска с радиусом и массой

Определить момент инерции относительно оси его вращения (ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка).

Решение. Маятник состоит из двух тел: стержня и диска, поэтому

где  и  моменты инерции относительно оси стержня и диска, соответственно.

Момент инерции стержня равен (см. 5.5):

Момент инерции диска найдем по формуле (5.4):

где  – момент инерции диска относительно оси, которая проходит параллельно оси через его центр масс, точку , а расстояние от центра масс к оси –

Итак

Пользуясь выражениями для моментов инерции стержня (2) и диска (3), найдем момент инерции маятника относительно оси :

После подстановки в выражение (4) числовых данных, получим:

Ответ: 

Задача №2.

Определить момент инерции стального вала радиуса см и массой относительно его образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром (рис.5.8).

Решение. Для определения момента инерции стального вала относительно оси , надо воспользоваться формой Гюйгенса-Штейнера

где  – момент инерции относительно оси , которая проходит через центр масс тела.,

– масса вала,

 – расстояние между осями, равное радиусу вала.

Тогда

Ответ: 

Задача № 3

Определить осевые моменты инерции и изображенной на рис.5.9 однородной прямоугольной пластинки весом .

Решение. Определим момент инерции пластинки относительно оси . Для этого выделим на расстоянии полоску шириной .

Момент инерции этой тонкой полоски относительно оси равен:

где  – масса полоски.

Масса полоски равна:

где  – площадь полоски;

– масса единицы площади поверхности пластинки.

Тогда:

а момент инерции всей пластинки будет равен сумме моментов инерции всех полосок, на которые можно разбить пластинку:

При предельном переходе, то есть, когда 

Итак, 

Вычислим массу пластинки:

Таким образом

Момент инерции пластинки относительно оси находим аналогичным путем и получим:

Ответ: 

Задача №4

Определить момент инерции относительно оси   однородного прямоугольного параллелепипеда весом (рис.5.10).

Решение. Выделим элементарный параллелепипед со сторонами основания и высотой Расстояние элементарного параллелепипеда от осей  и  равно и соответственно.

Момент инерции элементарного параллелепипеда относительно оси равен:

где: – масса элементарного параллелепипеда, равна:

Тогда, 

а момент инерции всего параллелепипеда

При предельном переходе, то есть при  то сумма, которая стоит справа, переходит в двойной интеграл:

Вычислим двойной интеграл:

Масса параллелепипеда:

Следовательно,

Ответ: 

Задача №5

Определить момент инерции относительно оси тонкой однородной параболической пластинки (рис.5.11) массой . Предельная прямая пластинки параллельна оси  и удалена от нее на расстояние . Уравнение параболы, которая ограничивает пластинку, имеет вид

Решение. Проведем на пластинке (рис.5.11) две прямые, параллельные оси и удаленные от нее на расстоянии  и 

Вычислим момент инерции относительно оси элементарной полоски, которая ограничена этими прямыми и параболическим контуром пластинки (заштрихована на рисунке):

где  – элементарная масса плоскости, которая равна:

Здесь  – плотность пластинки,

– площадь пластинки.

Итак,

Из уравнения  вытекает 

Таким образом

Момент инерции пластинки относительно оси равен:

Масса пластинки 

где площадь пластинки 

Тогда 

Следовательно,

Ответ: 

Задача №6

Определить для тонкого равнобедренного треугольника , основание которого равно , высота и масса (рис.5.12), его моменты инерции относительно основания и относительно высоты.

Решение. С серединой основания равнобедренного треугольника свяжем начало системы координат ; ось проведем по основанию , а ось – перпендикулярно  основанию.

Для определения момента инерции треугольника относительно основания (относительно оси ) выделим на расстоянии элементарную полоску шириной .

Момент инерции этой полоски относительно оси составит:

где , масса полоски длиной , равна:

Тогда момент инерции элементарной полоски относительно основания будет равен:

Найдем зависимость между координатой  и длиной полоски . Из сходства треугольников и (рис.5.12) следует:

или 

откуда

Подставив (2) у (1’), получим:

а момент инерции треугольника  относительно основания определится как

или

В интеграле (3) границы координаты меняются от к .

Высчитаем интеграл (3):

Выразим момент инерции через массу треугольника :

Преобразуем выражение (4):

или

Перейдем к определению момента инерции треугольника относительно его высоты .

Поскольку у треугольника высота является осью симметрии, то достаточно определить момент инерции относительно этой оси для прямоугольного треугольника , тогда

где  – момент инерции треугольника ;

 – момент инерции треугольника .

Расчетная схема для определения момента инерции приведена на рис.5.13.

Выделим элементарную полоску на расстоянии от оси , ширина полоски – , длина – . 

Определим момент инерции этой полоски относительно оси :

где – масса элементарной полоски.

Определим зависимость между длиной полоски и координатой . Из сходства треугольников и получается:

 или 

откуда

Подставив (6) у (5), получим:

Момент инерции треугольника относительно оси (относительно высоты ), равен:

или

Определим интеграл (7):

Окончательно,

Тогда, момент инерции треугольника  относительно высоты будет равен:

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 34.9, 34.12, 34.16 [2].

Теорема о движении центра масс механической системы

Силы, действующие на механическую систему, можно условно поделить на внешние и внутренние.

Силы, которые действуют на точки данной механической системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему, называются внешними.

Силы, действующие на точки механической системы со стороны точек данной системы, называются внутренними.

Внешние силы обозначаются верхним индексом , внутренние – : -внешняя сила, – внутренняя сила.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

а) геометрическая сумма (главный вектор) внутренних сил равна нулю:

б) геометрическая сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил относительно любого центра или оси равна нулю:

Теорема о движении центра масс механической системы формулируется следующим образом:

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

где – масса системы;

 – ускорение центра масс;

 – сумма внешних сил, которые действуют на систему.

Из сравнения приведенной выше формулы со вторым законом динамики, который, как известно, записан для материальной точки:

можно сделать следующий вывод:

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточено массу всей системы и к которой приложены те же внешние силы, действующие на систему.

Теорема о движении центра масс системы, если ее записать в проекциях на оси декартовой системы координат, имеет вид:

где  – координаты центра масс механической системы.

Из приведенных уравнений следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс. Теорема позволяет исключить из рассмотрения все ранее неизвестные внутренние силы.

Задачи динамики поступательного движения твердого тела решаются с помощью теоремы о движении центра масс системы материальных точек.

Действительно, применив эту теорему, мы определим уравнение траектории, скорость и ускорение центра тяжести твердого тела. При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек одинаковы, одинаковы и их скорости и ускорения.

Закон сохранения движения центра масс

Из теоремы о движении центра масс вытекает несколько следствий:

а) если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Пусть , тогда 

 или , поэтому 

Если изначально центр масс был в покое, то он и останется в покое. Если же начальная скорость не равна нулю, то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью;

б) если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось ) равна нулю, то центр масс системы вдоль этой оси или не движется, или движется равномерно.

Если , то:

 или , поэтому 

Если при этом равна нулю начальная скорость, то есть , то , то есть 

Таким образом видим, что в этом случае координата центра масс  механической системы во время ее движения остается неизменной.

При проекция центра масс на ось движется равномерно.

Все эти результаты выражают законы сохранения движения центра масс системы.

Порядок решения задач на применение теоремы о движении центра масс

Рекомендуется такая последовательность решения задач:

Изобразить на рисунке все внешние силы, действующие на систему;

Выбрать систему координат;

Записать теорему о движении центра масс в векторной форме;

Спроектировать это векторное уравнение на оси координат;

Высчитать суммы проекций всех внешних сил на оси координат и подставить их в проекции уравнения движения;

Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Примеры решения задач на тему: Теорема о движении центра масс механической системы

Задача № 1

Определить главный вектор внешних сил, действующих на колесо весом , которое скатывается без скольжения с наклонной плоскости, если его центр масс движется по закону (рис.6.1).

Решение. Покажем внешние силы, которые действуют на колесо: силу тяжести и реакцию поверхности , которые проходят через центр масс колеса .

Запишем теорему о движении центра масс в векторной форме:

Выбираем систему координат и спроектируем уравнение (1) на оси  и :

Поскольку . то  и . То есть, главный вектор внешних сил является параллельным оси :

Найдем проекцию ускорения центра масс на ось :

Итак, 

Ответ: 

Задача №2

Колесо весом и радиусом катится со скольжением по прямолинейной горизонтальной рейке в результате действия постоянной силы , которая приложена к его центру тяжести (рис.6.2).

Определить скорость центра масс колеса, если в начальный момент оно находилось в покое. Коэффициент трения скольжения равен .

Решение. На колесо действуют внешние силы:  – сила тяжести колеса, – движущая сила, – нормальная реакция рейки, – сила трения скольжения, которая направлена вдоль рельса в сторону, противоположную силе .

Запишем теорему о движении центра масс колеса в векторной форме:

где  – ускорение центра масс колеса.

Спроектируем это уравнение на оси координат :

Во время движения колеса  Итак  из второго уравнения (1) получаем:

Поскольку при качении колеса со скольжением сила трения достигает своего максимального значения, то

Подставим (3) в первое из уравнений (1) и получим:

Поскольку 

то

Согласно начальным условиям при с тех пор находим, что произвольная постоянная

Итак, закон изменения скорости центра масс колеса имеет вид:

Ответ: 

Задача №3

На однородную призму , которая лежит на горизонтальной плоскости, положили однородную призму (рис.6.3,а), поперечные сечения призм – прямоугольные треугольники, вес призмы втрое больше веса призмы . Необходимые размеры показаны на рисунке.

Определить длину , на которую передвинется призма , когда призма , спускаясь по поверхности призмы , дойдет к горизонтальной плоскости. Предположить, что все поверхности, которые соприкасаются, идеально гладкие.

Решение. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из 2-х призм  и . Призма , спускаясь по призме справа, как будто выжимает ее, отодвигает налево (рис.6.3, б).

Для решения этой задачи применим теорему о движении центра масс.

На систему действуют внешние силы: тяжести  призмы , тяжести призмы , нормальная реакция плоскости (рис.6.3). Внешняя сила трения призм по идеально гладкой поверхности равна нулю.

Таким образом, все внешние силы системы вертикальны. Внутренние силы системы (давление призмы  на призму , реакция на это давление, а также силы трения между призмами  и ), нас не интересуют.

Введем систему координат , ось направим по горизонтали справа и запишем теорему о движении центра масс системы в проекции на ось :

Поскольку внешние силы перпендикулярны оси , то

Тогда

где  – постоянная интегрирования.

В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, то есть скорость центра масс  Итак,

Из этого следует, что , то есть, абсцисса центра масс, независимо от перемещения призм, остается постоянной.

Запишем выражение для определения координаты центра масс в начале движения:

где  – абсцисса центра масс призмы ,

 – абсцисса центра масс призмы .

Выражение для определения координаты центра масс системы, когда призма опускается по боковой грани призмы  к горизонтальной плоскости:

где  – новое значение абсциссы центра масс призмы ,

 – новое значение абсциссы центра масс призмы .

Поскольку , то 

или 

Перепишем это уравнение следующим образом:

Найдем перемещение центров масс призм  и :

Присутствие слагаемого () в последнем уравнении учитывает перемещение призмы вместе с призмой слева на величину .

Подставим значение перемещений в уравнение (1):

.

Решим это уравнение относительно , имея в виду, что :

Ответ: 

Задача №4

Три груза (рис.6.4), весом соединенные невесомой нитью, которая не растягивается, и которая перекинута через неподвижные блоки  и . Во время опускания груза 1 вниз груз 2 перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды  весом  справа, а груз 3 поднимается по боковой грани вверх. Пренебрегая трением между срезанной пирамидой и полом, определить перемещение усеченной пирамиды относительно пола, если груз опустится на

Решение. Изобразим все внешние силы, которые приложены к материальной системе, состоящей из пирамиды и трех грузов (рис.6.4). Внешними силами являются: – сила тяжести пирамиды;  – силы тяжести грузов;  – нормальная реакций

горизонтальной плоскости. Направим ось по горизонтали справа и запишем теорему о движении центра масс системы материальных точек в проекции на эту ось:

Поскольку все внешние силы перпендикулярны оси , то 

Следовательно, 

тогда

В начальный момент времени система была в состоянии покоя, то есть , поэтому

Поскольку

то

Таким образом, абсцисса центра масс системы не зависит от перемещений грузов, входящих в систему, и остается неизменной относительно неподвижной системы координат .

Запишем выражение для определения для начального момента времени, когда грузы находились в состоянии покоя:

где  – абсциссы центров масс пирамиды и грузов 1,2 и 3.

Если груз 1 опустится на величину при неподвижной пирамиде, то координата при этом не изменится. Тогда груз 2 переместится вправо на величину и координата его центра масс будет равна . Груз 3 тоже подвинется по наклонной поверхности на величину , при этом по направлению оси его положение изменится на величину и координата центра масс будет . То есть, относительно пирамиды центр масс системы изменит свое положение, но не изменит его относительно неподвижной системы координат, поскольку должен выполняться закон сохранения движения центра масс. И тогда пирамида должна переместиться налево на некоторую величину .

Грузы 1,2 и 3 вместе с пирамидой также переместятся влево на расстояние , и новые координаты всех центров масс будут равны:

Запишем выражение для определения положения абсциссы центра масс для нового положения системы:

Поскольку  то 

После приведения подобных получим:

или

Окончательно

После подстановки числовых величин, получим:

Ответ: 

Задача № 5

Электрический двигатель весом с горизонтальным валом без всяких креплений установлен на гладком горизонтальном фундаменте.

На валу электродвигателя (рис.6.5) под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной и весом , на второй конец стержня насажен точечный груз весом ; угловая скорость вала равна .

Определить:

Закон горизонтального движения электродвигателя;

Угловую скорость вала электродвигателя, при которой электродвигатель будет «подскакивать» над фундаментом;

Наибольшее горизонтальное усилие , которое действует на болты, если ими закреплен корпус электродвигателя на фундаменте.

Решение. Будем рассматривать электромотор, стержень и груз как одну механическую систему. Внешними силами, которые действуют на эту систему, являются: сила тяжести электродвигателя , сила тяжести стержня , сила тяжести груза , а также реакции фундамента  и . Все эти силы вертикальны. 

Начало неподвижной системы координат возьмем в точке , соответствующей положению центра вала электродвигателя, когда стержень направлен вертикально вверх (рис.6.5, а).

Поскольку проекция на ось главного вектора действующих на систему внешних сил равна нулю, то дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси имеет вид:

где  – масса системы.

В нашем случае  или

Тогда дифференциальное уравнение движения центра масс (1) приводится к виду:

откуда 

Предполагая, что в начальный момент скорость центра масс системы равна нулю, то есть, при пуске электродвигателя он был неподвижным, получим

Следовательно, , то есть, центр масс системы не перемещается вдоль оси .

Поскольку в начальный момент времени центр масс системы находится на оси (то есть, ), то и в любой момент времени

При вращении стержня координаты центров масс электрического двигателя, стержня и груза будут варьироваться.

Предположим, что в некоторый момент времени координата центра масс мотора станет равной , тогда координаты центров масс стержня и груза будут равны и (рис.6.5,b).

Поскольку все время , то

где  На рисунке 6.5,b показан момент, когда координата отрицательна.

Тогда

откуда 

 и, следовательно:

Таким образом, центр электродвигателя совершает гармонические колебания вдоль оси с амплитудой, равной:

и периодом

Определим угловую скорость вала, при которой электродвигатель будет «подскакивать» над фундаментом.

Для этого составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси :

или 

где  – суммарная реакция фундамента.

Значение найдем из выражения для координаты центра масс:

поскольку

Последнее уравнение перепишем в виде:

Возьмем из обеих частей равенства вторую производную по времени

Из уравнений (2) и (3) вытекает, что

итак,

Минимальное значение реакции фундамента будет при :

Если , то это значит, что электромотор не прижимается к фундаменту. Итак, искомое значение угловой скорости, при которой электродвигатель начинает “подскакивать” над фундаментом, найдем из условия

откуда

В завершение определим наибольшее горизонтальное усилие , которое действует на болты, если ими будет закреплен корпус электродвигателя на фундаменте.

На рис.6.5 штрих-пунктирными линиями показаны оси болтов и горизонтальные реакции болтов  и .

В этом случае дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси будет:

Значение найдем по формуле:

или 

Тогда

При этом уравнение (4) принимает вид:

Из последнего уравнения выходит:

Таким образом, максимальное горизонтальное усилие, действующее на болты, будет при :

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 35.1; 35.6; 35.10; 35.20 [2].

Теорема об изменении количества движения точки и механической системы

Теорема об изменении количества движения (импульса) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему.

Импульс силы

Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени вводится понятие импульса силы.

Если сила  – постоянная, то импульс силы равен

Направление импульса силы совпадает с направлением .

Единица измерения импульса в системе СИ – , в системе МкГс – .

Если сила переменная, то импульс силы за конечный промежуток времени определяется как интеграл:

Импульс силы – сложная физическая величина, которая одновременно учитывает влияние модуля, направления и времени действия силы на изменение состояния движения тела.

Модуль импульса силы можно определить через его проекции на оси координат:

где  – проекции силы;

 – проекции импульса на оси координат.

Углы между вектором и осями координат определяются из следующих соотношений:

Теорема об изменении количества движения точки и системы

Одной из мер движения точки является количество ее движения.

Понятие количества движения было введено в механику Декартом и положено в основу механики Ньютоном.

Единица измерения количества движения в системе СИ – , в системе МкГс – .

Если спроектировать вектор количества движения на оси координат, то ее проекции определяются следующим образом:

Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме имеет вид:

Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме всех сил, действующих на эту точку.

Теорема об изменении количества движения точки в интегральной форме:

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех сил, которые приложены к точке.

Векторному уравнению (7.1) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

Большинство практических задач решается с использованием выражения (7.2).

Количеством движения механической системы называется векторная величина , равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек этой системы.

Найти можно путем построения многоугольника количеств движения всех точек системы (рис.7.1).

Замыкающая сторона векторного многоугольника будет представлять собой вектор .

Величина может быть какой угодно, даже равняться нулю, когда многоугольник, построенный из векторов , оказывается замкнутым.

Формулу (7.3) можно записать в виде:

где  – масса всей системы;

 – скорость центра масс системы.

Из этой формулы следует, что количество движения системы равно нулю, когда скорость центра масс равна нулю. Например, если тело вращается вокруг неподвижной оси, которая проходит через его центр масс, то количество движения тела равно нулю.

В случае, когда колесо катится, вектор характеризует только поступательную часть плоского движения колеса.

Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме выразится формулой:

где  – главный вектор всех внешних сил, которые действуют на механическую систему.

Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме всех действующих на точки системы внешних сил.

В проекциях на оси координат уравнение (7.5) соответствует уравнениям:

В интегральной форме теорема об изменении количества движения системы имеет вид:

где  – количество движения системы в начальный момент времени.

 – количество движения системы в конечный момент времени.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, которые действуют на систему за тот же промежуток времени.

Векторному уравнению (7.7) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

Практическая ценность теоремы заключается в том, что она позволяет исключить из рассматривания неизвестные внутренние силы.

Закон сохранения количества движения системы

Выводы из теоремы об изменении количества движения системы, которые еще имеют название законов сохранения количества движения:

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор количества движения системы не меняется:

если 

то  и 

2. Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось, например , равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось сохраняется постоянной:

если 

то  и 

Эти результаты выражают законы сохранения количества движения системы. Из них вытекает, что внутренние силы не могут изменить количество движения системы.

Порядок решения задач на применение теоремы об изменении количества движения точки и механической системы

Для материальной точки:

Изобразить на рисунке все силы, приложенные к материальной точке, то есть активные силы и реакции связей.

Выбрать систему координат.

Записать теорему об изменении количества движения точки в векторной форме.

Спроектировать это векторное уравнение на оси выбранной системы координат.

Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Для механической системы:

Изобразить на рисунке все внешние силы.

Выбрать систему координат.

Записать теорему об изменении количества движения системы в векторной форме.

Спроектировать это векторное уравнение на оси выбранной системы координат.

Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении количества движения точки и механической системы

Задача № 1

Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути (рис.7.2). Во время торможения до полной остановки развивается сила сопротивления, равная веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда составляла 72 км/ч.

Определить время и путь торможения.

Решение. Изобразим силы, действующие на поезд во время торможения: сила тяжести поезда , нормальная реакция пути , сила сопротивления , которая по величине равна

Выберем систему координат. Поскольку движение прямолинейное и горизонтальное, достаточно рассмотреть движение по направлению оси .

Запишем теорему об изменении количества движения поезда (рассматривая его как материальную точку) в интегральной форме:

где  – масса поезда,

 – конечная и начальная скорость поезда,

 – сумма импульсов сил , ,  которые действуют на поезд во время торможения.

Спроектируем векторное уравнение (1) на ось :

Проекции импульсов сил  и  на ось равны нулю, поскольку векторы  и   перпендикулярны оси.

Сила сопротивления во время торможения по величине не изменяется, следовательно, ее импульс равен:

Скорость в конце участка торможения равна нулю, то есть

Окончательно, уравнение импульсов (2) в проекции на ось приобретет вид:

или 

откуда

С учетом числовых значений величин и имеем:

Путь торможения определим из формулы для равнопеременного движения:

В этом случае ускорение поезда определяется из формулы:

то есть, 

Тогда

Ответ: 

Задача № 2

По шероховатой наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол , спускается тяжелое тело без начальной скорости.

Определить время , за которое тело пройдет путь длиной , если коэффициент трения  и .

Решение. Во время движения на тело действуют сила тяжести тела , нормальная реакция поверхности и сила трения , которая направлена в сторону, противоположную движению(рис.7.3).

Направим ось вдоль наклонной поверхности вниз и запишем теорему об изменении количества движения в векторной форме:

Спроектируем ровность (1) на ось :

Проекция импульса нормальной реакции на ось равна нулю, поскольку сила  перпендикулярна .

Учитывая, что во время движения сила тяжести и сила трения не меняются , то

Кроме того

Итак, уравнение импульса (2) примет вид:

Вычислим силу трения:

Тогда уравнение (3) примет вид:

или 

откуда

Поскольку

то

Используя полученную зависимость, сначала подсчитаем ускорение тела, а после этого – время движения.

Поскольку

то

 и 

Из формулы , учитывая, что при получим 

Из этой формулы находим время движения :

Ответ: 

Задача № 3

На полигоне пушка, которая наклонена под углом к горизонту, делает выстрел в мишень. Сила тяжести ствола пушки – Сила тяжести снаряда равна Скорость снаряда у дульного среза

Определить скорость свободного отката ствола пушки в момент вылета снаряда.

Решение. В задаче рассматривается движение материальной системы, состоящей из ствола и снаряда (рис.7.4).

На систему действуют внешние силы: тяжести ствола и тяжести снаряда . Внутренние силы определяются давлением пороховых газов . Эти силы необходимо исключить из рассмотрения, согласно теореме о количестве движения механической системы.

Применим теорему об изменении количества движения системы:

где  – количество движения системы в конечный момент времени;

 – количество движения системы в начальный момент времени;

 – сумма импульсов всех внешних сил (, ).

Ось направим перпендикулярно векторам внешних сил  и .

Спроектируем уравнение (1) на ось :

Поскольку проекции сил  и  на ось  равны нулю, то и проекции импульсов и также равны нулю. Итак:

 или 

Таким образом, проекция количества движения системы на ось в конечный момент времени равна проекции количества движения системы в начальный момент времени.

В начальный момент времени (до выстрела) снаряд и ствол были неподвижны, следовательно, их количества движения равнялись нулю и

В момент вылета снаряда проекция количества движения системы на ось равна:

или

Поскольку

то

откуда

 и 

С учетом числовых значений:

Знак минус показывает, что скорость ствола направлена в сторону, противоположную скорости снаряда.

Ответ: 

Задача № 4

Буксирный пароход весом набрал скорость , после чего натянулся буксирный канат, и баржа весом двинулась вслед за пароходом.

Определить общую скорость парохода и баржи , считая, что движущая сила и сила сопротивления воды уравновешиваются, то есть, () дв = соп ().

Решение. Для определения скорости применим теорему об изменении количества движения системы.

На систему, которая состоит из парохода и баржи, действуют внешние силы: силы тяжести и , силы выталкивания и , которые приложены к баржи и буксиру, а также движущая сила дв и сила сопротивления воды соп (рис.7.5).

Внутренняя сила – натяжение буксирного каната – неизвестна.

Ось направим горизонтально, вправо.

Запишем теорему об изменении количества движения данной системы в интегральной форме:

где – количество движения системы баржа-буксир в тот момент времени, когда они начинают двигаться с одинаковой скоростью;

– количество движения этой системы в начальный момент времени;

 – сумма импульсов всех внешних сил.

Спроектируем уравнение (1) на ось :

Поскольку по условиям дв = соп, а направлены они в разные стороны, то

Кроме того, проекции на ось сил тяжести парохода и баржи, а также выталкивающих сил и , равны нулю. Следовательно, проекции импульсов этих сил на ось тоже равны нулю. Таким образом уравнение проекций принимает вид:

 или 

Подсчитаем количество движения парохода и баржи в начальный момент времени, когда скорость парохода равна , а скорость баржи .

Совместимое движение парохода и баржи происходит с одинаковой скоростью , поэтому количество движения системы в это время

Поскольку

то 

Отсюда имеем

Ответ: 

Задача № 5

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 массами и соответственно, а также прямоугольной вертикальной плиты 3 массой которая движется вдоль горизонтальных направляющих( рис.7.6). В момент времени , когда скорость плиты  груз под действием внутренних сил начинают двигаться по желобам плиты. Груз 1 движется по дуге окружности с радиусом по закону , где выражено в радианах, – в секундах (ось, от которой ведется положительное направление отсчета угла показано на рисунке). Груз 2 движется от точки прямолинейно по закону , где выражено в метрах, – в секундах (на рисунке груз 2 изображен в положении положительного отсчета координаты ), угол .

Определить зависимость , то есть, скорость движения плиты как функцию времени, считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми силами сопротивления движения.

Решение. Рассмотрим механическую систему в произвольном положении (рис.7.6).

Изобразим все внешние силы, действующие на систему: силы тяжести , ,  и реакцию направляющей .

Проведем координатные оси так, чтобы ось проходила через точку , где находится центр масс плиты  в начальный момент времени

Определим с помощью теоремы об изменении количества движения механической системы в проекции на ось .

Поскольку все внешние силы, действующие на систему, вертикальны, то и, согласно (7.10), имеем: 

 или ,                (1)

где  – проекция количества движения системы в момент времени

– проекция количества движения системы в произвольный момент времени .

Определим количества движения  и :

где 

Выразим координаты  и  через координату .

С рис.7.6 видно, что в произвольный момент времени абсцисса первого груза

а абсцисса второго груза

Тогда

Подставляя полученные выражения для и в (3), получим:

Поскольку  то 

В соответствии с (1), выражения (2) и (4) равны, то есть:

Отсюда окончательно получим: 

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 28.3; 28.7; 36.9; 36.11; 36.16 [2].

Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы

Наряду с количеством движения, как векторной меры поступательного движения, для вращательного движения можно ввести момент количества движения.

Для материальной точки массой , которая имеет скорость , момент количества движения  относительно любого центра определяется из выражения (рис.8.1):

Вектор момента количества движения прикладывается в точке , относительно которой он вычисляется. Если спроектировать обе части уравнения (8.1) на оси декартовой системы координат, получим моменты количества движения точки относительно осей координат:

Подобно тому, как количество движения системы является характеристикой поступательного движения, кинетический момент является характеристикой вращательного движения системы.

Спроектировав это уравнение на оси координат, получим:

Если рассматривать движение системы, на которую действуют внешние и внутренние силы , то производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра:

Проектируя обе части уравнения на неподвижные оси и учитывая, что проекция вектора, который изображает момент силы относительно точки на ось, равна моменту силы относительно этой оси, получим:

Теорема об изменении кинетического момента позволяет изучать вращательное движение твердого тела вокруг оси и точки, или вращательную часть движения тела в общем случае движения свободного твердого тела.

Практическая ценность теоремы заключается еще и в том, что она позволяет при изучении движения системы исключить из рассмотрения неизвестные внутренние силы.

Из теорем об изменении кинетического момента системы (8.7)-(8.8) вытекают важные выводы:

Если сумма моментов относительно центра всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то кинетический момент системы  относительно той же точки является постоянным по величине и направлению, то есть,

если , то  и 

Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно некоторой оси, например , равна нулю, то проекция кинетического момента на эту же ось является постоянной по величине, то есть,

если . то  и 

Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

Кинетический момент тела относительно оси вращения по уравнению (8.4) , если ось является осью вращения тела, равен:

Следовательно, 

Сумма моментов внешних сил  относительно оси вращения называется вращательным моментом и обозначается

Таким образом, дифференциальное уравнение вращательного движения тела имеет вид:

Из (8.9) следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно вращательному моменту

Это уравнение позволяет решать следующие задачи:

– если заданы уравнения вращения тела и его момент инерции , то можно определить вращательный момент:

– если заданы внешние силы, приложенные к телу, начальные условия вращения и , момент инерции  тела, то можно найти уравнение вращения тела :

– определить момент инерции тела относительно оси вращения, если известны величины  и :

Из уравнения  вытекают отдельные случаи:

1. Если , то , а если , то и . В этом случае тело вращается равномерно.

2. Если , то , а если  то и . Итак, твердое тело вращается равнопеременно. 

Порядок решения задач на применение теоремы об изменении момента количества движения точки и механической системы

Задачи, которые относятся к этой теме, можно разделить на следующие четыре основных типа:

Вычисление кинетического момента.

Изучение движения конкретной точки механической системы, если эта точка участвует во вращательном движении системы.

Изучение вращательного движения твердого тела.

Изучение движения механической системы, в которую входят тела, совершающие как поступательные, так и вращательные движения.

Задачи первого типа могут быть решены с помощью общих формул (8.4), (8.5).

Порядок решения задач второго типа может быть следующим:

• Выбрать систему координат.
• Изобразить все внешние силы, приложенные к материальной точке; в случае произвольной точки к этим силам добавить реакции внешних связей.
• Записать в скалярной форме выражение теоремы об изменении момента количества движения точки.
• Высчитать сумму моментов сил, которые приложены к материальной точке.
• Определить количество движения материальной точки и его момент относительно осей.
• Подставить данные пунктов 4 и 5 в уравнения (8.6) теоремы об изменении момента количества движения материальной точки.
• Решить, в соответствии с условием, прямую или обратную задачу динамики точки.

При решении задач третьего типа сохранять рекомендации первых двух пунктов, а далее делать следующим образом:

• Записать дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (8.9).
• 
• Определить момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси.
• Подсчитать сумму моментов всех внешних сил относительно оси вращения.
• Величины, полученные в п. п. 4 и 5, подставить в уравнение (8.9).
• Записать начальные условия.
• Решить уравнение п. 6 в зависимости от условия, как прямую или обратную задачу.

При решении задач четвертого типа необходимо предварительно расчленить заданную систему на отдельные твердые тела, и к каждому из них, в зависимости от характера движения, применить одну из теорем: об изменении количества движения – в случае поступательного движения тел расчлененной системы; об изменении кинетического момента – при наличии тел, которые совершают вращательные движения.

Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы

Задача №1

Однородный круглый диск весом и с радиусом катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг собственной оси 60 об/мин (рис.8.2).

Определить главный момент количеств движения диска   относительно оси , которая проходит через центр диска перпендикулярно плоскости движения.

Решение. Главный момент количеств движения системы (кинетический момент) относительно оси вращения равен (8.6):

где  – момент инерции тела относительно оси вращения,

 – угловая скорость вращения.

В данном случае кинетический момент относительно оси, проходящей через центр диска , равен:

Ответ: 

Задача №2

Во время вращения барабана 1 весом  и радиусом вокруг неподвижной оси на его боковую поверхность наматывается невесомая и нерастяжимая нить, что вызывает движение груза 2 весом , который скользит по неподвижной гладкой горизонтальной плоскости (рис.8.3).

Определить главный момент количества движения (кинетический момент) системы относительно оси  и выразить его как зависимость от угловой скорости. Барабан считать однородным круглым цилиндром. Ось направлена перпендикулярно рисунку.

Решение. В состав механической системы входят два твердых тела: барабан 1 и груз 2.

Следовательно, кинетический момент системы равен:

где  – кинетический момент барабана;

 – кинетический момент груза относительно неподвижной оси .

Кинетический момент барабана равен (8.5):

где

тогда

Главный момент количества движения груза, который движется поступательно, определяется как момент количества движения материальной точки, то есть:

поскольку

то

Окончательно

Ответ: 

Задача №3

Шарик , который находится в сосуде с жидкостью и прикреплен к концу стержня длиной , приводится в вращение вокруг вертикальной оси  с начальной угловой скоростью (рис.8.4, а). Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения : , где – масса шарика, – коэффициент пропорциональности.

Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет вдвое меньше начальной, а также число оборотов , которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в ее центре, массой стержня пренебречь.

Решение. Ось  направим вдоль оси вращения и покажем силы, действующие на вал с шариком: силу сопротивления , которая направлена в сторону, противоположную вращению (рис.8.4, б), силу тяжести шарика , реакции подшипника и подпятника .

Все силы указаны на рисунках, направления сил и изображены произвольно.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения шарика относительно оси :

где момент инерции шарика

Поскольку момент силы тяжести  относительно оси равен нулю ( параллельна оси ), то вращательный момент равен моменту силы сопротивления относительно оси (как известно, момент силы сопротивления всегда отрицательный):

Следовательно, дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид:

или

Разделим переменные и проинтегрируем:

Произвольную постоянную определим по начальным условиям: при .

Следовательно,

Высчитаем, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет вдвое меньше начальной, то есть, .

Откуда:

Для определения числа оборотов, которые сделает стержень с шариком за промежуток времени , необходимо найти зависимость угла поворота от времени :

Следовательно,

Разделим переменные и проинтегрируем это дифференциальное уравнение:

Произвольную постоянную  определим по начальным условиям: при .

Итак закон изменения угла поворота по времени имеет вид:

или

При , угол поворота равен

Поскольку за 1 оборот шарик обернется на , то количество оборотов составит

Ответ: 

Задача №4

Для определения момента трения в цапфах, на вал насажен маховик весом , радиус инерции маховика  Маховику придана угловая скорость, соответствующая об/мин. Без внешнего воздействия на него, он остановился через  мин.

Определить момент трения , считая его постоянным.

Решение. Направим ось вдоль неподвижной оси вращения. Изобразим на рис.8.5 внешние нагрузки, действующие на вал и маховик: силу тяжести маховика , реакции опор  и   и момент сил трения .

Запишем теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения:

Поскольку мы рассматриваем вращение твердого тела, то 

Найдем вращательный момент внешних сил относительно оси вращения , если учтем, что момент сил ,  и  относительно оси равны нулю, поскольку эти силы пересекают ось. Следовательно, вращательный момент равен моменту сил трения и направлен в сторону, противоположную вращению маховика.

Таким образом

Высчитаем величины, которые входят в это уравнение:

где  – угловая скорость маховика в момент остановки, ,

 – угловая скорость в начальный момент времени.

Поскольку  то 

С учетом значений  и получим:

Ответ: 

Задача №5

Однородный цилиндр (рис.8.6) радиусом вращается вокруг своей геометрической оси угловой скоростью .

Определить, как изменится угловая скорость цилиндра, если ось вращения перейдет в положение , которое совпадает с образующей цилиндра?

Решение. На цилиндр действует сила тяжести , которая направлена вертикально вниз.

Запишем теорему об изменении кинетического момента цилиндра:

где  – момент инерции цилиндра,

 – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения.

Поскольку сила  параллельна оси вращения, то

 и 

Итак, , тогда

где  – момент инерции цилиндра относительно оси ,

 – момент инерции цилиндра относительно оси ,

По теореме Гюйгенса-Штейнера

где  – масса цилиндра.

Из формулы (1) получим:

Вычислим и :

Следовательно,

Угловая скорость уменьшилась в три раза, поскольку в три раза увеличился момент инерции.

Ответ: 

Задача №6

Молотильный барабан начинает вращаться из состояния покоя () под действием постоянного момента

Определить, пренебрегая трением, частоту вращения барабана после того, как он начнет вращаться и сделает оборотов (рис.8.7), зная, что момент инерции барабана относительно оси вращения

Решение. Для определения угловой скорости барабана воспользуемся формулой:

где  – начальная угловая скорость вращения,

– конечная угловая скорость вращения,

 – угол, на который поворачивается барабан.

Из (1) вытекает:

 где 

Следовательно,

Таким образом, для определения угловой скорости необходимо знать угловое ускорение .

Для определения  воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента:

где  – сумма моментов всех внешних сил относительно оси вращения.

На барабан действуют следующие внешние нагрузки:  – сила тяжести барабана; ,
– реакции подшипников  и ; – вращательный момент.

С учетом действующих сил уравнение (2) будет иметь вид:

При этом , поскольку силы ,  и 
 пересекают ось и моментов не образуют. Итак,

Тогда,

Ответ: 

Задача №7

Груз весом подвешен на канате, который навитый на цилиндрический барабан, ось вращения которого горизонтальна (рис.8.8).

Определить угловое ускорение барабана во время опускания груза , пренебрегая весом каната, сопротивлением воздуха, трением в подшипниках. Барабан считать однородным цилиндром весом и радиусом

Решение. Для определения углового ускорения барабана будем рассматривать движение системы, в которую включим следующие тела: барабан весом , груз весом и канат, натяжение которого заранее неизвестно.

Если применить теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси, то натяжение каната, являющегося внутренней силой, в уравнение не войдет.

Относительно оси, которая проходит через точку , эта теорема имеет вид:

На систему действуют следующие внешние силы:  – вес груза,  – вес барабана,  – реакция опоры .

Силы и не создают моментов относительно оси , потому что они ее пересекают. Только сила создает момент относительно оси , который равен:

Итак,

Определим кинетический момент системы относительно оси вращения :

где  – кинетический момент барабана,

 – кинетический момент груза.

где  – момент инерции барабана относительно оси вращения ;

поскольку 

Тогда кинетический момент системы равен:

Подставим полученные результаты в уравнение (1):

Знак момента силы взят положительным, поскольку направление вращения барабана совпадает с направлением момента силы .

Решаем уравнение (2) и определяем угловое ускорение .

Выносим из под знака дифференциала в левой части уравнения (2) постоянные величины:

или

С учетом числовых значений угловое ускорение равно:

Ответ: 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема о кинетической энергии системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему.

Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия системы не зависит от направлений скоростей точек.

Кинетическая энергия может равняться нулю, если скорости всех точек системы равны нулю.

Кинетическая энергия системы характеризует и поступательное, и вращательное движения системы. Поэтому теоремой об изменении кинетической энергии особенно часто пользуются при решении задач.

Единицей кинетической энергии в системе СИ является Джоуль (Дж).

Определение кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения

Поступательное движение твердого тела:

При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек (в том числе скорость центра масс тела) в каждый момент времени равны между собой; то есть, для любой точки . Итак

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

Вращательное движение твердого тела:

Скорость любой точки твердого тела, которое вращается с угловой скоростью , равна

где  – расстояние от точки к оси вращения.

Тогда кинетическая энергия тела определяется согласно зависимости:

Поскольку

то

Плоскопараллельное движение твердого тела:

При плоскопараллельном движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, будто тело вращается вокруг оси, которая перпендикулярна плоскости движения и которая проходит через мгновенный центр скоростей .

В этом случае кинетическую энергию тела можно определить по формуле:

где  – момент инерции тела относительно оси, которая проходит через мгновенный центр скоростей.

Поскольку (согласно теореме Штейнера-Гюйгенса)

где  – момент инерции относительно оси, которая проходит через центр масс тела и параллельна мгновенной оси вращения, то

Поскольку , то окончательно

Таким образом, 

в случае плоскопараллельного движения тела кинетическая энергия состоит из кинетических энергий поступательного движения вместе со скоростью центра масс и вращательного движения вокруг оси, которая проходит через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы:

Дифференциальная форма:

Интегральная форма:

Если механическая система неизменна, то сумма работ внутренних сил равна нулю и теорема запишется так:

Порядок решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме рекомендуется проводить в следующей последовательности:

а) изобразить на рисунке все внешние силы системы;

б) высчитать сумму работ всех внешних сил на перемещении точек системы;

в) вычислить кинетическую энергию системы материальных точек в начальном и конечном ее состояниях;

г ) пользуясь результатами подсчетов по пунктам б) и в) записать теорему об изменении кинетической энергии механической системы и определить искомую величину.

Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Задача № 1

Механизм эллипсографа (рис.10.1) состоит из ползунов  и  весом каждый, кривошипа весом , и линейки весом . Кривошип вращается вокруг неподвижной оси , которая перпендикулярна плоскости чертежа с угловой скоростью .

Определить кинетическую энергию механизма эллипсографа, полагая, что линейка и кривошип – однородные тонкие стержни, а ползуны  и  – материальные точки, а также, что

Решение. Заданная механическая система состоит из четырех тел: кривошипа 1 и линейки 2, ползунов 3 и 4.

Кинетическая энергия всей системы равна:

где  – кинетическая энергия кривошипа 1,

 – кинетическая энергия линейки 2,

– кинетическая энергия ползунов 3 и 4.

Кривошип совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси , которая перпендикулярна оси рисунка. В этом случае кинетическая энергия тела равна

Тогда

Линейка 2 движется плоскопараллельно. Ее кинетическая энергия равна

где  – скорость точки С, которая является центром масс линейки 2,

 – угловая скорость линейки 2,

– момент инерции линейки относительно оси , которая проходит через центр масс линейки .

Для определения угловой скорости линейки 2 используем понятие мгновенного центра скоростей. Как известно, мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек тела, движущихся плоскопараллельно. Тогда в нашем случае он будет расположен в точке , и скорость точки определится:

С другой стороны, точка принадлежит звену 1, и ее скорость равна

Тогда, учитывая, что получим:

Момент инерции линейки относительно оси равен:

С учетом полученных значений кинетическая энергия линейки 2 равна:

Подсчитаем кинетическую энергию ползунов 3 и 4, которые двигаются поступательно:

.

Скорости точек можно определить, учитывая положение мгновенного центра скоростей линейки 2:

Тогда

Подставляя найденные выражения (2), (4), (5) в (1), получим:

Ответ: 

Задача № 2

На рисунке 10.2 изображен подъемный механизм лебедки. Груз весом  поднимается с помощью невесомого и нерастяжимого троса, который переброшен через блок и намотан на барабан радиусом и весом . К барабану приложен вращательный момент, который пропорционален квадрату угла поворота барабану: 

где  – постоянный коэффициент.

Определить скорость груза в момент, когда он поднимется на высоту . Массу барабана считать равномерно распределенной вдоль его обода. Блок – сплошной диск весом . В начальный момент система находилась в покое.

Решение. Изобразим на рисунке все внешние силы, действующие на барабан , блок и груз : силы тяжести , , ; вращательный момент, а также реакции шарниров и . Внутренней силой является натяжение троса .

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

где  – кинетическая энергия системы в конечном положении;

 – кинетическая энергия системы в исходном положении;

 – сумма работ всех внешних сил на перемещении ;

 – сумма работ всех внутренних сил на перемещении .

Поскольку в начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, то

В связи с тем, что трос не растягивается и при движении системы находится в натянутом состоянии, сумма работ внутренних сил системы равна нулю, следовательно

При поднятии груза на высоту сумма работ равна:

Поскольку точки приложения сил  и  – неподвижны, то

Работа силы равна:

Работа вращательного момента в случае, когда он не меняется

где  – угол поворота тела под действием момента.

Поскольку в нашем случае вращательный момент меняется, то его работа определится следующим образом:

Определим угол , на который вернулся барабан  при подъеме груза на высоту :

Следовательно,

Таким образом,

Перейдем к подсчету кинетической энергии системы в конечном положении:

где  – кинетическая энергия груза ;

 – кинетическая энергия диска ;

 – кинетическая энергия барабана .

Груз движется поступательно и его кинетическая энергия равна:

Диск совершает вращательное движение, его кинетическая энергия определяется из выражения:

где – момент инерции диска относительно оси вращения;

 – угловая скорость диска.

Поскольку диск – сплошной, то равен:

где  – радиус диска.

Поскольку линейная скорость обода диска равна скорости груза, угловая скорость вращения :

Итак,

Кинетическая энергия барабана , поскольку он совершает вращательное движение, равна:

Поскольку масса барабана распределена по ободу, то:

Угловую скорость барабана высчитаем из условия равенства линейных скоростей на ободах диска и барабана:

Откуда

Таким образом

Кинетическая энергия системы в конечном положении равна

Итак, теорема об изменении кинетической энергии системы имеет вид:

Решая это уравнение относительно , находим скорость груза после того, как он пройдет путь :

Ответ:  

Задача № 3

Груз (рис.10.3) весом , опускаясь вниз с помощью перекинутого через неподвижный блок невесомого и нерастяжимого троса, поднимает вверх груз  весом , который закреплен к оси подвижного блока . Блоки и считать однородными сплошными дисками весом каждый.

Определить скорость груза в момент, когда он опустится на высоту . Скольжением на ободах блоков и силами сопротивления пренебречь.

В начальный момент система находилась в состоянии покоя.

Решение. Изобразим внешние силы, которые действуют на систему: силы тяжести ;  реакцию шарнира и реакцию в точке  – . Внутренней силой является натяжение троса .

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

В начальный момент времени система находилась в покое, следовательно, . Работа внутренней силы натяжения троса, равна нулю. Итак,

Сумма работ внешних сил при перемещении системы в конечное положение составляет:

Работа сил  равна нулю, поскольку точки приложения сил 3  неподвижны.

Итак,

Работа силы при опускании груза на высоту равна:

Работу силы тяжести блока определим следующим образом. При опускании груза на высоту точка блока поднимается вверх на расстояние , которая равна , а центр блока на величину , так как точка – мгновенный центр скоростей блока .

Таким образом,

Груз  поднимается вверх так же на величину . Тогда работа силы тяжести груза  будет равна:

Итак, 

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении:

Груз перемещается поступательно и его кинетическая энергия равна

где – скорость груза в конце перемещения.

Блок  осуществляет плоскопараллельное движение. В этом случае:

Кинетическая энергия поступательного движения блока  равна:

Поскольку точка – мгновенный центр скоростей блока , а скорость точки равна скорости груза , то скорость вращения блока :

Тогда

Таким образом,

Кинетическая энергия вращательного движения блока  определяется из равенства:

где  – момент инерции блока относительно оси, которая проходит через центр масс . Блок  – сплошной однородный диск, поэтому

Тогда

Таким образом, кинетическая энергия блока  равна:

Блок совершает вращательное движение и его кинетическая энергия:

то есть

Груз совершает поступательное движение со скоростью точки то есть со скоростью . Поэтому 

Следовательно, кинетическая энергия системы в конечном положении:

Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии системы имеет вид:

Находим скорость груза , решая это уравнение относительно :

Ответ: 

Задача № 4

Прямоугольная пластинка (рис.10.4) со сторонами  и , и весом вращается вокруг вертикальной оси с начальной угловой скоростью . Каждый элемент пластинки несет при этом сопротивление воздуха, направление которого перпендикулярно плоскости пластинки, а величина пропорциональна площади элемента и квадрату его скорости. Коэффициент пропорциональности равен .

Определить, сколько оборотов сделает пластинка к тому мгновению, когда ее угловая скорость станет вдвое меньше начальной?

Решение. Поскольку силы сопротивления, приложенные к пластинке, не постоянные, а зависят от скорости, то для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:

Высчитаем дифференциал кинетической энергии пластинки. Поскольку пластинка вращается вокруг неподвижной оси, то ее кинетическая энергия равна:

откуда:

где  – момент инерции пластинки относительно оси .

Перейдем к определению суммы элементарных работ внешних сил, которые действуют на пластинку. Это такие силы (рис.10.4):

– сила тяжести пластинки ;

– реакции в опорах и : и ;

– сила сопротивления воздуха .

Итак,

где – элементарная работа силы тяжести пластинки;

– элементарные работы реакций подшипников;

– элементарная работа силы сопротивления .

Работы реакций и  равны нулю, ибо точки их приложения неподвижны. Работа силы тяжести тоже равна нулю в связи с тем, что высота центра тяжести пластинки не меняется.

Таким образом,

Для вычета работы сил сопротивления воспользуемся формулой для работы сил, которые приложены к вращающемуся твердому телу:

где  – сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно оси вращения;

 – элементарный угол поворота.

Чтобы определить , разобьем пластинку на элементарные прямоугольники со сторонами и . Тогда сила сопротивления, приложенная к элементарному прямоугольнику, будет равняться:

и

Следовательно,

или

и

.

Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

Разделим переменные и проинтегрируем:

Момент инерции пластинки составляет:

Тогда

Откуда находим:

Число оборотов  составляет:

Ответ: 

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки