В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.
Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом 
(греческая буква «сигма»).
Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”
Что такое дисперсия
Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.
Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:
- Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
- Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
- Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).
Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.
| Порода собаки | Рост в миллиметрах |
| Ротвейлер | 600 |
| Бульдог | 470 |
| Такса | 170 |
| Пудель | 430 |
| Мопс | 300 |
Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:
Среднее 
мм.
Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.
Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:
![[ begin{array}{l} 1: 600-394 = 206 \ 2: 470-394 = 76 \ 3: 170-394 = -224\ 4: 430-394 = 36\ 5: 300-394 = -94 end{array} ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3916a3ccd97d909589dfe1dabb970af0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:
Дисперсия 
мм2.
Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм2.
Как найти среднеквадратическое отклонение
Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:
мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).
Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).
Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.
То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.
Что такое стандартное отклонение
Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.
Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.
Если есть 
значений, то:
Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.
Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:
Дисперсия выборки = 
мм2.
При этом стандартное отклонение по выборке равно 
мм (округлено до ближайшего целого значения).
Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.
Примечание. Почему именно квадраты разностей?
Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:
.
Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?
.
На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:
.
Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.
А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).
Для первого примера получится:
.
Для второго примера получится:
.
Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.
Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.
И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.
О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич
Среднеквадрати́ческое отклонение (среднеквадрати́чное отклонение, стандартное отклонение[1]) — наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (аналога среднего арифметического с бесконечным числом исходов). Обычно означает квадратный корень из дисперсии случайной величины, но иногда может означать тот или иной вариант оценки этого значения.
В литературе обычно обозначают греческой буквой 
Варианты определения[править | править код]
Обычно определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: ![{displaystyle sigma ={sqrt {D[X]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c535aeb360aec0139028ee203973550bb364cbb)
На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.
В частности, если 
,
то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.
Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией[2]):
.
Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.
Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии[2], в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):
Само по себе, однако, 
Обе оценки являются состоятельными[2].
Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки[3]. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.
Среднее значение выборки также является случайной величиной с оценкой среднеквадратичного отклонения[3][нет в источнике]:
Правило трёх сигм[править | править код]
Правило трёх сигм (
.
Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале 
Интерпретация[править | править код]
Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.
Например, для у всех трёх числовых множеств: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8} средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.
В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.
Практическое применение[править | править код]
На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.
Экономика и финансы[править | править код]
Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля
В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.
Оценка рисков и критика[править | править код]
Среднеквадратическое отклонение широко распространено в финансовой сфере в качестве критерия оценки инвестиционного риска. По мнению американского экономиста Нассима Талеба, этого делать не следует. Так, по теории около двух третей изменений должны укладываться в определённые рамки (среднеквадратические отклонения −1 и +1) и что колебания свыше семи стандартных отклонений практически невозможны. Однако в реальной жизни, по мнению Талеба, всё иначе — скачки отдельных показателей могут превышать 10, 20, а иногда и 30 стандартных отклонений. Талеб считает, что риск-менеджерам следует избегать использования средств и методов, связанных со стандартными отклонениями, таких как регрессионные модели, коэффициент детерминации (R-квадрат) и бета-факторы. Кроме того, по мнению Талеба, среднеквадратическое отклонение — слишком сложный для понимания метод. Он считает, что тот, кто пытается оценить риск с помощью единственного показателя, обречён на неудачу[4].
Климат[править | править код]
Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.
Спорт[править | править код]
Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.
Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.
Пример[править | править код]
Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.
Пусть оценки учеников класса следующие:
.
Тогда средняя оценка равна:
.
Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:
Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:
Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:
Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:
и стандартное отклонение равнялось бы:
Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.
Примечания[править | править код]
- ↑ Встречаются также различные синонимы: среднее квадратическое отклонение, стандартный разброс, стандартная неопределённость; термин «среднее квадратическое» означает «среднее степени 2»
- ↑ 1 2 3 Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Введение в математическую статистику. — М. : Издательство ЛКИ, 2010. — §2.2. Выборочные моменты: точная и асимптотическая теория. — ISBN 978-5-382-01013-7.
- ↑ 1 2 C. Patrignani et al. (Particle Data Group). 39. STATISTICS. — В: Review of Particle Physics // Chin. Phys. C. — 2016. — Vol. 40. — P. 100001. — doi:10.1088/1674-1137/40/10/100001.
- ↑ Талеб, Гольдштейн, Шпицнагель, 2022, с. 46.
Литература[править | править код]
- Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..
- Нассим Талеб, Дениэл Гольдштейн, Марк Шпицнагель. Шесть ошибок руководителей компаний при управлении рисками // Управление рисками (Серия «Harvard Business Review: 10 лучших статей») = On Managing Risk / Коллектив авторов. — М.: Альпина Паблишер, 2022. — С. 41—50. — 206 с. — ISBN 978-5-9614-8186-0.
Как оценить стандартное отклонение любой гистограммы
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
Гистограмма предлагает полезный способ визуализации распределения значений в наборе данных.
По оси X гистограммы отображаются интервалы значений данных, а по оси Y указано, сколько наблюдений в наборе данных приходится на каждый интервал.
Поскольку гистограмма размещает наблюдения в бинах, невозможно вычислить точное стандартное отклонение набора данных, представленного гистограммой, но можно оценить стандартное отклонение.
В следующем примере показано, как это сделать.
Связанный: Как оценить среднее значение и медиану любой гистограммы
Как оценить стандартное отклонение гистограммы
Чтобы оценить стандартное отклонение гистограммы, мы должны сначала оценить среднее значение.
Мы можем использовать следующую формулу для оценки среднего:
Среднее значение: Σm i n i / N
куда:
- m i : середина i -го бина
- n i : частота i -го бина
- N: общий размер выборки
Например, предположим, что у нас есть следующая гистограмма:
Вот как мы можем оценить среднее значение этой гистограммы:
Мы оцениваем среднее значение как 22,89 .
Примечание. Среднюю точку для каждой группы можно найти, взяв среднее значение нижнего и верхнего значения диапазона. Например, средняя точка для первой группы рассчитывается как: (1+10)/2 = 5,5.
Теперь, когда у нас есть оценка среднего значения, мы можем использовать следующую формулу для оценки стандартного отклонения:
Стандартное отклонение: √ Σn i (m i -μ) 2 / (N-1)
куда:
- n i : частота i -го бина
- m i : середина i -го бина
- μ : среднее значение
- N: общий размер выборки
Вот как мы применим эту формулу к нашему набору данных:
По нашим оценкам, стандартное отклонение набора данных составляет 9,6377 .
Хотя это не гарантирует точное соответствие стандартному отклонению набора данных (поскольку мы не знаем необработанных значений данных набора данных), оно представляет нашу наилучшую оценку стандартного отклонения.
Дополнительные ресурсы
В следующих руководствах объясняется, как выполнять другие распространенные задачи, связанные с данными, сгруппированными в ячейки:
Как найти дисперсию сгруппированных данных
Как найти медиану сгруппированных данных
Как найти режим сгруппированных данных
Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.
Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.
Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).
Стандартное отклонение также называется:
- среднеквадратическое отклонение,
- среднее квадратическое отклонение,
- среднеквадратичное отклонение,
- квадратичное отклонение,
- стандартный разброс.
Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения
Стандартное отклонение используется:
- в финансах в качестве меры волатильности,
- в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.
Пример:
Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.
| День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Пред.А | 19 | 21 | 19 | 21 |
| Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:
- А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
- Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
Однако, глядя на цифры, можно заметить:
- в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
- в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).
Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что
- стандартное отклонение компании A = 1,
- стандартное отклонение компании Б ≈ 5.
Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).
Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения
Формулы вычисления стандартного отклонения
σ — стандартное отклонение,
xi — величина отдельного значения выборки,
μ — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Эта формула применяется, когда анализируются все значения выборки.
S — стандартное отклонение,
n — размер выборки,
xi — величина отдельного значения выборки,
xср — среднее арифметическое выборки.
Эта формула применяется, когда присутствует очень большой размер выборки, поэтому на анализ обычно берётся только её часть.
Единственная разница с предыдущей формулой: “n — 1” вместо “n”, и обозначение “xср” вместо “μ”.
Разница между формулами S и σ (“n” и “n–1”)
Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:
- только её часть – используется формула S (с “n–1”),
- полностью все данные – используется формула σ (с “n”).
Как рассчитать стандартное отклонение?
Пример 1 (с σ)
Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.
| День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
| Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:
Применяем эти шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
x1 – μ = 15 – 20 = -5
x2 – μ = 26 – 20 = 6
x3 – μ = 15 – 20 = -5
x4 – μ = 24 – 20 = 4
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
(x1 – μ)² = (-5)² = 25
(x2 – μ)² = 6² = 36
(x3 – μ)² = (-5)² = 25
(x4 – μ)² = 4² = 16
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (xi – μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102
5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):
(Σ (xi – μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5
6. Найти квадратный корень:
√((Σ (xi – μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498
Пример 2 (с S)
Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.
У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.
Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.
| Яблоня 1 | Яблоня 2 | Яблоня 3 | Яблоня 4 | Яблоня 5 | Яблоня 6 |
| 9 | 2 | 5 | 4 | 12 | 7 |
Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:
Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.
Применяем практически те же шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5
X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5
X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5
X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5
X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5
X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25
(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25
(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25
(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25
(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25
(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5
5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):
(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1
6. Найти квадратный корень:
S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193
Дисперсия и стандартное отклонение
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).
Дисперсия — в статистике это “среднее квадратов отклонений от среднего”. Чтобы её вычислить нужно:
- Вычесть среднее значение из каждого числа
- Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
- Найти среднее значение квадратов разностей.
Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:
S² — выборочная дисперсия,
Xi — величина отдельного значения выборки,
Xср (может появляться как X̅) — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Правило трёх сигм
Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.
Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:
- одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
- двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
- трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).
Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.
Стандартное отклонение в excel
Вычисление стандартного отклонения с “n – 1” в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):
1. Занесите все данные в документ Excel.
2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.
3. Введите в этом поле “=СТАНДОТКЛОНА(“
4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.
5. Нажмите Ввод (Enter).
В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.
Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.
Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:
- при <10% выборка слабо вариабельна,
- при 10% – 20 % — средне вариабельна,
- при >20 % — выборка сильно вариабельна.
Узнайте также про:
- Корреляции,
- Метод Крамера,
- Метод наименьших квадратов,
- Теорию вероятностей
- Интегралы.
Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
- Закон распределения дискретной случайной величины
- Математическое ожидание
- Дисперсия
- Среднее квадратичное отклонение
- Правило трёх сигм
- Примеры
п.1. Закон распределения дискретной случайной величины
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными на опыте значениями этой величины X= {xi} и их вероятностями pi = P(xi).
При этом сумма всех вероятностей равна 1: (mathrm{sum_{i=1}^n p_i=1})
Закон распределения можно задать таблицей, графиком или аналитически (в виде формулы).
Например:
Закон распределения случайной величины X = {0;1;2;3}, равной числу выпадения орлов при 3 бросках монеты, аналитически задаётся формулой: $$ mathrm{ p_i=P(x_i)=P_3(i)=frac{C_3^{i}}{2^3}, i={0;1;2;3} } $$
В табличном виде:
|
xi |
pi |
|
0 |
1/8 |
|
1 |
3/8 |
|
2 |
3/8 |
|
3 |
1/8 |
В виде графика:
п.2. Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {xi} равно сумме произведений всех возможных значений xi на соответствующие вероятности pi: $$ mathrm{ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} } $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.
Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом: положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
M(C) = C
4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий:
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:
M(XY) = M(X) · M(Y)
6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
M(CX) = C · M(X)
Например:
Пусть в результате экспериментов получено следующее распределение случайной величины X – числа появления белых шаров (см. пример 1, §40 данного справочника):
| Число белых шаров, xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | (mathrm{C_5^0q^5}) | (mathrm{C_5^1pq^4}) | (mathrm{C_5^2p^2q^3}) | (mathrm{C_5^3p^3q^2}) | (mathrm{C_5^4p^4q}) | (mathrm{C_5^5p^5}) |
| 0,0074 | 0,0618 | 0,2060 | 0,3433 | 0,2861 | 0,0954 |
Найдём математическое ожидание для данного распределения:
M(X) = 0 · 0,0074 + 1 · 0,0618 + … + 5 · 0,0954 = 3,125
п.3. Дисперсия
Дисперсия дискретной случайной величины X = {xi} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ mathrm{ D(X)=M(X-M(X))^2 } $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ mathrm{ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) } $$
Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) = 0
4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:
D(CX) = C2 · D(X)
Например:
Продолжим исследование и найдём дисперсию для распределения случайной величины X – числа появления белых шаров. Составим расчётную таблицу:
pi
0,0074
0,0618
0,2060
0,3433
0,2861
0,0954
1
xip1
0
0,0618
0,4120
1,0300
1,1444
0,4768
3,125
(mathrm{x_i^2})
0
1
4
9
16
25
–
(mathrm{x_i^2p_i})
0
0,0618
0,8240
3,0899
4,5776
2,3842
10,9375
Получаем: D(X) = 10,9375 – 3,1252 ≈ 1,1719.
п.4. Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {xi} – это корень квадратный от дисперсии: $$ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)} } $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.
Свойства СКО
1) Размерность СКО равна размерности случайной величины.
2) СКО может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) СКО постоянной величины равно нулю:
σ(C) = 0
4) Постоянный множитель можно вынести за знак СКО:
σ(CX) = C · σ(X)
п.5. Правило трёх сигм
Большое количество случайных величин, измеряемых в экспериментах (например, в школьных лабораторных работах), имеет так называемое нормальное распределение.
В частности, при больших n, биномиальное распределение можно с хорошей точностью описывать как нормальное с M(X) = np и (mathrm{sigma(X)=sqrt{npq}}).
График плотности нормального распределения p(x) похож на колокол, с максимумом, соответствующим M(X) = Xcp – среднему значению измеряемой величины.
Величина СКО σ(X) характеризует степень отклонения X от среднего значения M(X).
Если величина X имеет нормальное распределение, то в пределах
±σ лежит 68,26% значений, принимаемых этой величиной
±2σ лежит 95,44% значений, принимаемых этой величиной
±3σ лежит 99,72% значений, принимаемых этой величиной
Вероятность того, что нормально распределённая величина примет значение, отклоняющееся от среднего больше, чем на «три сигмы», равна 0,28%, т.е. пренебрежимо мала.
п.6. Примеры
Пример 1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО при бросании кубика.
Закон распределения величины X – очки на верхней грани при бросании кубика и расчётная таблица:
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
xip1
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1
3,5
(mathrm{x_i^2})
1
4
9
16
25
36
–
(mathrm{x_i^2p_i})
(mathrm{frac16})
(mathrm{frac23})
(mathrm{1frac12})
(mathrm{2frac23})
(mathrm{4frac16})
6
(mathrm{15frac16})
Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=1}^6 x_ip_i=3,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=1}^6 x_i^2p_i-M^2(X)=15frac16-3,5^3=2frac{11}{12} }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{2frac{11}{12}}approx 1,7 } end{gather*} Ответ: (mathrm{M(X)=3,5; D(X)=2frac{11}{12}; sigma(X)approx 1,7}).
Пример 2*. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО суммы очков при бросании двух кубиков.
Используем свойства мат.ожиданий и дисперсий.
Пусть X – очки на первом кубике, Y – на втором.
Параметры распределения для каждого из кубиков рассчитаны в примере 1.
(mathrm{M(X)=M(Y)=3,5, D(X)=D(Y)=2frac{11}{12}}).
Для суммы очков получаем:
(mathrm{M(X+Y)=M(X)+M(Y)=3,5+3,5=7})
(mathrm{D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2frac{11}{12}+2frac{11}{12}=5frac56})
(mathrm{sigma(X+Y)=sqrt{D(X+Y)}=sqrt{5frac56}approx 2,4})
Ответ: (mathrm{M(X+Y)=7; D(X+Y)=5frac56; sigma(X+Y)approx 2,4}).
Пример 3*. Докажите, что в опытах по схеме Бернулли математическое ожидание M(X)=np, а дисперсия D(X)=npq.
Проведем один опыт. В нём может быть только два исхода: «успех» и «неудача».
Составим расчётную таблицу:
(mathrm{x_i^2p_i})
0
p
p
Мат.ожидание первого опыта (mathrm{M(X)=sum x_ip_i=p}).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (mathrm{X=X_1+X_2+…+X_n}). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{p+p+…+p}_{n text{раз}}=np } end{gather*} Дисперсия первого опыта (mathrm{D(X)=sum x_i^2p_i-M(X)=p-p^2=p(1-p)=pq})
По свойству дисперсии суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{pq+pq+…+pq}_{n text{раз}}=npq } end{gather*} Что и требовалось доказать.
Пример 4. 100 канцелярских кнопок высыпали на стул. Вероятность, что кнопка упала острием вверх, равна 0,4. Найдите среднее количество, дисперсию и СКО для числа кнопок, упавших острием вверх. Найдите интервал оценки для количества этих кнопок по правилу «трёх сигм».
По условию n = 100, p = 0,4.
Для каждой кнопки может быть два исхода: упасть острием вверх или вниз.
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. begin{gather*} mathrm{ M(X)=np=100cdot 0,4=40 }\ mathrm{D(X)=npq=100cdot 0,4cdot 0,6=24 }\ mathrm{sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{24}approx 4,9} end{gather*} Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X)lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{40-3cdot 4,9lt Xlt 40+3cdot 4,9 }\ mathrm{25,3lt Xlt 54,7}\ mathrm{26leq Xleq 54} end{gather*} Скорее всего (99,7%), от 26 до 54 кнопок будут острием вверх.
Ответ: (mathrm{M(X)=40; D(X)=24; sigma(X)approx 4,9; 26leq Xleq 54})
Пример 5*. В тесте 10 задач с 4 вариантами ответов. Ответы выбираются наугад. Постройте распределение величины X = «количество угаданных ответов», найдите числовые характеристики этого распределения.
Найдите интервал оценки для количества угаданных ответов по правилу «трёх сигм».
Какова вероятность угадать хотя бы 1 ответ? Хотя бы 5 ответов? Угадать все 10 ответов?
По условию: (mathrm{n=10, p=frac14, q=frac34}).
Для каждого ответа может быть два исхода: «угадал»/ «не угадал».
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. $$ mathrm{ P_{10}(k)=C_{10}^kp^kq^{10-k}=C_{10}^kfrac{3^{10-k}}{4^{10}}=left(frac34right)^{10}frac{C_{10}^k}{3^k} } $$ Строим расчётную таблицу. Для (mathrm{C_{10}^k}) используем рекуррентную формулу (см. §36 данного справочника): $$ mathrm{ C_{n}^k=frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1} } $$
| (mathrm{x_i=k}) | (mathrm{C_k}) | (mathrm{3^k}) | (mathrm{p_i(x_i)}) | (mathrm{x_icdot p_i}) | (mathrm{x_i^2}) | (mathrm{x_i^2cdot p_i}) |
| 0 | 1 | 1 | 0,0563135 | 0,0000000 | 0 | 0,0000000 |
| 1 | 10 | 3 | 0,1877117 | 0,1877117 | 1 | 0,1877117 |
| 2 | 45 | 9 | 0,2815676 | 0,5631351 | 4 | 1,1262703 |
| 3 | 120 | 27 | 0,2502823 | 0,7508469 | 9 | 2,2525406 |
| 4 | 210 | 81 | 0,1459980 | 0,5839920 | 16 | 2,3359680 |
| 5 | 252 | 243 | 0,0583992 | 0,2919960 | 25 | 1,4599800 |
| 6 | 210 | 729 | 0,0162220 | 0,0973320 | 36 | 0,5839920 |
| 7 | 120 | 2187 | 0,0030899 | 0,0216293 | 49 | 0,1514053 |
| 8 | 45 | 6561 | 0,0003862 | 0,0030899 | 64 | 0,0247192 |
| 9 | 10 | 19683 | 0,0000286 | 0,0002575 | 81 | 0,0023174 |
| 10 | 1 | 59049 | 0,0000010 | 0,0000095 | 100 | 0,0000954 |
| Σ | 1 | 2,5 | 8,125 |
Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=0}^{10} x_ip_i=2,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=0}^{10} x_i^2p_i-M^2(X)=8,125=2,5^2=1,875 }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{1,875}approx 1,37 } end{gather*} 
Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X) lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{ 2,5-3cdot 1,37lt X lt 2,5+3cdot 1,37 }\ mathrm{ -1,61lt Xlt 6,61 }\ mathrm{ 0leq Xleq 6 } end{gather*} Скорее всего (по расчетам – 99,65%), вы угадаете от 0 до 6 ответов.
Вероятность угадать хотя бы один ответ: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 1)=1-p_0approx 1-0,0563=0,9437 }end{gather*} Очень хорошие шансы – 94,37%.
Вероятность угадать хотя бы 5 ответов: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 5)=1-left(sum_{i=0}^{4}{p_i} right)approx 1-(0,0563+0,1877+…+0,1460)=0,0781 }end{gather*} Шансов мало – 7,81%. Т.е. «средний балл» при сдаче тестов мало достижим методом научного тыка.
Вероятность угадать все 10 ответов: p10≈ 0,000001. Шанс – один из миллиона.
