Как найти радиус цилиндра если вписана призма

Призма это фигура в основании которой лежит правильный многоугольник. Соответственно, радиус цилиндра описанного вокруг призмы, будет равен радиусу окружности описанной вокруг многоугольника. Более этого сказать что либо тяжело. Поскольку вывод формулы не затребован в вопросе, то далее только стандартная формула.

Хотя нужно уточнить, что призма может быть и не правильной формы и тогда расчет может быть только индивидуальный. Более того, не всякий неправильный многоугольник имеет описанную окружность.

Стандартная формула R=a/(2*sin⁡(180°/n))

Для простоты расчета предоставлю графический макет.

ССЫЛКА НА МАКЕТ

А поскольку расчет автоматизированный, то почему бы не рассчитать и другие параметры правильных многоугольников.

В макете можно задать количество сторон многоугольника и размер его стороны.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Технология урока:
проблемно-исследовательская технология.

Цели урока:

• Рассмотреть понятия: вписанного цилиндра в
  призму и вписанной призмы в цилиндр;
• Использовать эти понятия при решении задач;
• Формировать представления об использовании
  этих понятий в практической жизни человека.

Метапредметные связи: геометрия, черчение,
рабочие профессии.

Учащиеся должны знать:

• Понятия: вписанного цилиндра в призму и
  вписанной призмы в цилиндр;
• Применение данных понятий при решении задач;
• Применение данных понятий в практической жизни.

Учащиеся должны уметь:

• Решать задачи на взаимное расположение
  цилиндра и призмы;
• Объяснять применение данных понятий в
  практической жизни человека.

План урока:

1. Организационный момент (1 минута);
2. Постановка проблемы на определение темы урока и
   его целей. (3 минуты);
3. Актуализация знаний учащихся. Повторение ранее
   изученного материала (5 минут);
4. Объяснение новой темы. Проблемно-поисковая
   работа.(7 минут);
5. Закрепление изученных понятий в ходе
   фронтального опроса.(7 минут);
6. Решение задач различного уровня сложности. (15
   минут);
7. Рефлексия. Итоговый тест по усвоению новых
   понятий с самопроверкой. (5 минут);
8. Подведение итогов урока. Домашнее задание.(1
   минута).

ХОД УРОКА

1. Постановка проблемы: токарь из
шестигранника вытачивает цилиндр.

Вопрос: о каком взаимном расположении
геометрических тел идет речь? (слайд 1 из презентации к уроку)

Используя определенные инструменты,
фрезеровщик из цилиндрической заготовки
получает шестигранник.

Вопрос:о каком взаимном расположении
геометрических тел идет речь? (слайд 2)

Тема  урока “Цилиндр, вписанный в призму.
Призма, вписанная в цилиндр”. (слайд 3)

Цели урока:

• Рассмотреть понятия: вписанного цилиндра в
  призму и вписанной призмы в цилиндр;
• Использовать эти понятия при решении задач;
• Формировать представления об использовании
  этих понятий в практической жизни
  человека.(слайд 4)

2. Актуализация знаний учащихся. Повторение
ранее изученного.

Повторение определений, связанных с понятиями
“призма” и “цилиндр”:

1. В какой треугольник можно вписать окружность?
   Около какого треугольника можно описать
   окружность?
2. В какой четырехугольник можно вписать
   окружность? Около какого четырехугольника можно
   описать окружность?
3. Формулы для вычисления площади правильного
   многоугольника, его стороны и радиуса вписанной
   окружности. Памятка на столе (Приложение
   1).
4. Решить задачу: Найдите боковое ребро правильной
   четырехугольной призмы, если сторона ее
   основания равна 9 см, а площадь поверхности равна
   306 см². У слабых учащихся лежит на столе
   решение этой задачи с пропусками, которые они
   должны заполнить во время работы (Приложение
   2).
5. Жестянщик изготавливает 10 баков цилиндрической
   формы размерами 50 см в высоту и 40 см в диаметре.
   Сколько листов железа размерами 0,81,6 м потребуется для этого (5%
   листового железа идет на скрепление деталей)?
   Ответ округлите до целых. У слабых учащихся
   лежит на столе решение этой задачи с пропусками,
   которые они должны заполнить во время работы (Приложение 3).

3. Объяснение новой темы. Проблемно – поисковая
работа.

Как вы думаете можно ли вписать в цилиндр
призму?

При каких условиях призма вписана в цилиндр?

1. Призма прямая.
2. Основания призмы вписаны в основания
   цилиндра.
3. Боковые ребра призмы совпадают с образующими
   (слайд 6).

Как вы думаете можно ли описать около цилиндра
призму?

При каких условиях около цилиндра можно
описать призму?

1. Призма прямая.
2. Основания цилиндра вписаны в основания
   призмы.
3. Образующие цилиндра совпадают с боковыми
   ребрами призмы (слайд 7).

4. Закрепление изученных понятий в ходе
фронтального опроса.

1. Можно ли описать цилиндр вокруг прямой призмы, в
   основании которой лежит ромб?
2. Можно ли вписать цилиндр в призму, в основании
   которой лежит прямоугольник?
3. Определите вид треугольника, лежащего в
   основании призмы, вписанной в цилиндр, если ось
   цилиндра проходит внутри призмы (слайд 8)?
4. В прямой четырехугольной призме углы основания
   в порядке следования относятся как 3:5:8:6. Можно ли
   описать цилиндр вокруг этой призмы?

5. Решение задач различного уровня сложности по
готовым чертежам.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная
призма, а вокруг него описана правильная
четырехугольная призма.Найти отношение площадей
боковых поверхностей этих призм (слайд 9).

Решение: = =
= 3/4. Ответ: 3/4.

В основании прямой призмы лежит ромб. Площадь
боковой поверхности призмы равна 120 см².
Найти радиус основания цилиндра, вписанного в
эту призму, если высота призмы равна 6 см, а острый
угол основания — 60°(слайд 10).

Решение S = Ph = , 120 = 4 * а * 6, а = 5см._осн = а² * , _осн =
25, _осн
= (25):5 = , r = :2 = .

Ответ:
см.

Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6дм
и 8дм и высотой, равной 14дм, вписан в цилиндр.
Найдите радиус основания цилиндра, площадь
полной поверхности цилиндра(слайд 11).

Ответ: r=5 дм, S=190 дм².

Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найти
площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы, описанной вокруг этого
цилиндра (слайд 12).

Ответ: 2Q.

6. Рефлексия. Итоговый тест по усвоению новых
понятий с самопроверкой.

1. Верно ли утверждение: в наклонную призму можно
   вписать цилиндр?
2. Верно ли утверждение: высота цилиндра равна
   высоте, вписанной в него треугольной призме?
3. Верно ли утверждение: около любой треугольной
   призмы можно описать цилиндр?
4. Верно ли утверждение: в любую четырехугольную
   призму можно вписать цилиндр?
5. Верно ли утверждение: около правильной
   шестиугольной призмы можно описать цилиндр?
6. Верно ли утверждение: призму высотой 40 см можно
   вписать в цилиндр высотой 24 см?
7. Из тонкостенной цилиндрической трубы жестянщик
   делает четырехгранную водосточную трубу. Будут
   ли равны площади поверхностей этих труб?
8. Найдите боковое ребро правильной
   четырехугольной призмы, если сторона ее
   основания равна 2, а площадь поверхности равна 104.
9. Люди, каких профессий сталкиваются с понятиями:
   “вписанный цилиндр в призму” и “ вписанная
   призма в цилиндр”?

Выполнить самопроверку и проанализировать
знания и умения, полученные на уроке (слайд13).

7. Итог урока. Домашнее задание.

Дома № 629.

Литература.

1. Атанасян Л.Г., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Геометрия 10 – 11. Учебник для общеобразовательных
учреждений. – 15-е изд.,доп. – М.: Просвещение, 2006.

2. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение геометрии в 10
– 11 классах. Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для
учителя. – 2-изд. – М. Просвещение, 2003.

Призма, вписанная в цилиндр.

Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания
вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.

При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно,
что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма,
вписанная в цилиндр, будет прямою.

Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её
свойства:

– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её
основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра  R  равен радиусу этой
окружности;
– высота  Н  призмы, которая
соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  R  описанной окружности.

Где a, b, с  – стороны, h – высота, d – диагональ.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?

РЕШЕНИЕ:

Да, так как вокруг любого треугольника
можно описать окружность.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?

РЕШЕНИЕ:

Нет, так как вокруг ромба, который
не является квадратом, нельзя описать окружность.


Призма, описанная вокруг цилиндра.

Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая
проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения,
в котором находится касательная цилиндра.

Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её
основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям,
которые касаются цилиндра.

При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные
цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в
которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то
есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.

По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим
её свойства:


– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания
будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра  r  равен радиусу этой
окружности; 
– высота  Н  призмы, которая
соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  r  описанной окружности.

Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:


Вокруг цилиндра, высота которого равна  5 см, описали четырёхугольную
призму, три стороны которой в порядке следования равны  


3 см, 4 см  и  7 см. 


Найти площадь
боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:


Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника
основания  х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то 


3 + 7 = 4 + х,

откуда  х = 6 см.

Площадь боковой поверхности призмы


S_бок = P × l
где,  Р – периметр
основания,

l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.

Имеем:

Р = 3 + 7 + 4 +
6 = 20 (см).

ЗАДАЧА:

Правильная
четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого
равен  0,5. Площадь боковой
поверхности призмы равна  8. Найдите высоту цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Так как четырёхугольная призма правильная, то в
основании лежит квадрат.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен  0,5.
Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть

2 ∙ 0,5 = 1.

Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной
грани равна

8 : 4 = 2.

Каждая грань представляет собой прямоугольник,
следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону
основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:

2 : 1 = 2.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы,
следовательно, она равна  2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите
площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра  10
см, а высота  20
см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  О  и  О₁ – центры основ данного цилиндра,

ОО₁ – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед
вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD  и А₁В₁С₁D₁, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или
квадраты, причем точки  О  и  О₁ – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. Тогда

АА₁ ∥ ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁ ∥ ОО₁.

ОО₁ ⊥ (АВС),
ОО₁ ⊥ (А₁В₁С₁),

следовательно, параллелепипед является
прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра,
боковые ребра – образующие цилиндра,

Поскольку параллелепипед
правильный, то  АВСD – квадрат,

АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,

тоді  АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.

S_п
= S_б
+ 2S_осн  = P∙
H + 2S_ABCD
=

= 4
∙ 10√͞͞͞͞͞2  ∙
20 +
2(10√͞͞͞͞͞2)² =

= 800√͞͞͞͞͞2 +
400 = 400(2√͞͞͞͞͞2  +
1)
(см²).

ОТВЕТ:  400(2√͞͞͞͞͞2  +
1) см²

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная
призма, площадь боковой поверхности которой равна  Q. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Если правильная четырехугольная призма описана вокруг
цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, –
квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов,
боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и
цилиндра. Отметим сторону квадрата  а, радиус цилиндра  r, высоту призмы и цилиндра  Н.

По условию

S_б.пр. = Q,

S_б.пр. = P∙ H = 4a ∙ H = Q,

S_б.ц. = 2πrH, а = 2r.

Маємо:

4a ∙ H = Q, 4∙ 2rH = Q,

2rН = ^Q/₄,

тоді 

S_б.ц. = π ∙ 2RH = π∙ ^Q/₄ 

ОТВЕТ: π∙ ^Q/₄

Решение задач с применением
тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой
является прямоугольный треугольник с катетом 
а  и прилежащим  к нему острым углом  α.
Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена
к плоскости основания под углом  β.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,

О  и  О₁ – центры оснований, ОО₁ –
отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная
призма (прямая).

АВСА₁В₁С₁, ∠ С = ∠ С₁ = 90°.

Тогда  ∆ АВС  и  ∆
А₁В₁С₁  вписаны в круги оснований цилиндра, О  и  О₁ –
середины гипотенуз  АВ  и  А₁В₁, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,

∠ ВАС = α, АС = а,

АА₁ ∥
ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁,

АА₁ ⊥ (АВС),
А₁С –
наклонная, АС – проекция,

поэтому ∠ АСА₁ = β – угол между 
А₁С  и  (АВС).

ОТВЕТ:

Задания к уроку 12

Призма описана около цилиндра, если ее основания — многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Соответственно, цилиндр вписан в призму.

Цилиндр можно вписать в призму, если в основание призмы можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен радиусу цилиндра. Высоты цилиндра и призмы равны. В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, цилиндр в этом случае вписан в прямую призму.

Боковые грани описанной около цилиндра призмы являются касательными плоскостями к боковой поверхности цилиндра.

Найдем отношение объема призмы к объему вписанного в нее цилиндра:

   

  p — полупериметр основания призмы, r — радиус вписанной в основание призмы окружности и радиус цилиндра, H — высота призмы и высота цилиндра.

В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему вписанного цилиндра

   

Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему вписанного цилиндра

   

Для правильной шестиугольной призмы это отношение равно

   

Отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра:

   

Поскольку половина периметра основания — полупериметр, 

   

Таким образом, если цилиндр вписан в призму, отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности цилиндра равно отношению объема призмы к объему вписанного цилиндра. В частности, отношение площади боковой поверхности правильной треугольной призмы к площади боковой поверхности вписанного цилиндра

   

Отношение боковой поверхности правильной четырехугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

   

Отношение боковой поверхности правильной шестиугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

   

При решении задач, в которых цилиндр вписан в призму, можно рассматривать часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямой призмы это сечение — прямоугольник, стороны которого равны радиусу цилиндра и высоте цилиндра. Например, AA1O1O: AA1=H, AO=r.