Как правильно найти момент силы – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Момент силы
$vec{M}=left[vec{r}timesvec{F}right]$
Размерность	L²MT⁻²
Единицы измерения
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы ${vec {r}}$ и вектора силы $vec{F}$ . Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы обозначается символом ${vec {M}}$ или, реже, ${displaystyle {vec {tau }}}$ (тау).

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ${displaystyle M_{parallel }}$ ; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела $vec{L}$ относительно того же начала O со временем $t$ : имеет место соотношение ${displaystyle d{vec {L}}/dt={vec {M}}}$ . В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения[править | править код]

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила $vec{F}$ приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины $F$ на расстояние $x$ от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

${displaystyle M=Fx}$ .

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации ${displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}}$ .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения ${displaystyle Fx}$ требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае момент силы $vec{F}$ , приложенной к телу, определяется как векторное произведение

${displaystyle {vec {M}}=left[{vec {r}}times {vec {F}}right]}$ ,

где ${vec {r}}$ — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор ${vec {M}}$ перпендикулярен векторам ${vec {r}}$ и $vec{F}$ .

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела $vec{L}$ , то начало O всегда выбирается одинаковым для $vec{L}$ и ${vec {M}}$ .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

${displaystyle {vec {M}}=sum _{i}left[{vec {r}}_{i}times {vec {F}}_{i}right]}$ ,

где ${displaystyle {vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор точки приложения $i$ -й силы ${displaystyle {vec {F}}_{i}}$ . В случае силы, распределённой с плотностью ${displaystyle d{vec {F}}/dV}$ ,

${displaystyle {vec {M}}=int limits _{V}left[{vec {r}}times {frac {d{vec {F}}}{dV}}right]dV}$ .

Если ${displaystyle d{vec {F}}/dV}$ (Н/м³) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси[править | править код]

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента ${vec {M}}$ на ось, то есть

${displaystyle M_{parallel }={vec {M}}cdot {vec {e}}_{o}}$ ,

где ${displaystyle {vec {e}}_{o}}$ — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

${displaystyle M_{parallel }=pm left|{vec {r}}_{perp }times {vec {F}}_{perp }right|}$ ,

где через ${displaystyle {vec {r}}_{perp }}$ и ${displaystyle {vec {F}}_{perp }}$ обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы ${vec {M}}$ , величина момента силы относительно оси ${displaystyle M_{parallel }}$ не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а ${displaystyle M_{parallel }}$ (как и ${vec {M}}$ ) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения[править | править код]

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность ${vec {M}}$ (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

${displaystyle {vec {M}}=rFsin alpha cdot {vec {e}}_{o}}$

или, если записать момент силы относительно оси,

${displaystyle M_{parallel }=rFsin alpha }$ ,

где $alpha$ — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно ${displaystyle rsin alpha }$ . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при ${displaystyle alpha =pi /2}$ . При сонаправленности $vec{F}$ и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие[править | править код]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: ${displaystyle Sigma F_{horizontal}=0,,Sigma F_{vertical}=0}$ и момент силы в третьем измерении: ${displaystyle Sigma M=0}$ .

Движение твёрдого тела[править | править код]

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

${displaystyle {vec {L_{o}}}=I_{c},{vec {omega }}+[M({vec {r_{o}}}-{vec {r_{c}}}),{vec {v_{c}}}].}$

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если $I$ — постоянная величина во времени, то

${displaystyle {vec {M}}=I{frac {d{vec {omega }}}{dt}}=I{vec {alpha }},}$

где ${displaystyle {vec {alpha }}}$ — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с²). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

${displaystyle {vec {M_{c}}}=I_{c}{frac {d{vec {omega }}}{dt}}+[{vec {w}},I_{c}{vec {w}}].}$

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

Момент силы — производная момента импульса ${displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}}$ относительно точки O по времени:

${displaystyle {vec {M}}={frac {d{vec {L}}}{dt}}}$ ,

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

${displaystyle M_{parallel }={frac {dL_{parallel }}{dt}}}$ .

Если момент силы ${vec {M}}$ или ${displaystyle M_{parallel }}$ равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностью[править | править код]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность ${displaystyle {vec {F}}cdot {vec {v}}}$ (где $vec{v}$ — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

${displaystyle P={vec {M}}cdot {vec {omega }}}$ .

В системе СИ мощность $P$ измеряется в ваттах, угловая скорость $vec{omega}$ — в радианах в секунду.

С механической работой[править | править код]

Если под действием момента силы ${vec {M}}$ происходит поворот тела на угол $dvarphi$ , то совершается механическая работа

${displaystyle dA=left|{vec {M}}right|dvarphi }$ .

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол ${displaystyle varphi _{2}-varphi _{1}}$ получим

${displaystyle A=int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}left|{vec {M}}right|dvarphi =left|{vec {M}}right|(varphi _{2}-varphi _{1})=left|{vec {M}}right|int _{t_{1}}^{t_{2}}omega (t)dt}$ .

В системе СИ работа $A$ измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию $2pi$ джоуля.

Измерение момента силы[править | править код]

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия[править | править код]

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы ${vec {F}}$ на рычаг ${vec {r}}$ , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок $dl$ , которому соответствует бесконечно малый угол $dvarphi$ . Обозначим через ${displaystyle d{vec {l}}}$ вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка $dl$ и равен ему по модулю. Угол между векторами ${vec {F}}$ и ${displaystyle d{vec {l}}}$ равен $beta$ , а угол между векторами ${vec {r}}$ и ${vec {F}}$ равен $alpha$ .

Следовательно, бесконечно малая работа $dA$ , совершаемая силой ${vec {F}}$ на бесконечно малом участке $dl$ , равна скалярному произведению вектора ${displaystyle d{vec {l}}}$ и вектора силы, то есть ${displaystyle dA={vec {F}}cdot d{vec {l}}}$ .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора ${displaystyle d{vec {l}}}$ через радиус-вектор ${vec {r}}$ , а проекцию вектора силы ${vec {F}}$ на вектор ${displaystyle d{vec {l}}}$ — через угол $alpha$ .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага $dl$ можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу ${vec {r}}$ , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: ${displaystyle dl=rmathrm {tg} ,dvarphi }$ , где в случае малого угла справедливо ${displaystyle mathrm {tg} ,dvarphi =dvarphi }$ и, следовательно, ${displaystyle left|d{vec {l}}right|=left|{vec {r}}right|dvarphi }$ .

Для проекции вектора силы ${vec {F}}$ на вектор ${displaystyle d{vec {l}}}$ видно, что угол ${displaystyle beta ={frac {pi }{2}}-alpha }$ , а так как ${displaystyle cos {left({frac {pi }{2}}-alpha right)}=sin alpha }$ , получаем, что ${displaystyle left|{vec {F}}right|cos beta =left|{vec {F}}right|sin alpha }$ .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: ${displaystyle dA=left|{vec {r}}right|dvarphi left|{vec {F}}right|sin alpha }$ , или ${displaystyle dA=left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|sin alpha ,dvarphi }$ .

Видно, что произведение ${displaystyle left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|sin alpha }$ есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов ${vec {r}}$ и ${vec {F}}$ , то есть ${displaystyle left|{vec {r}}times {vec {F}}right|}$ , которое и было принято обозначить за момент силы $M$ , или модуль вектора момента силы ${displaystyle left|{vec {M}}right|}$ .

Теперь полная работа записывается просто: ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {r}}times {vec {F}}right|dvarphi }$ , или ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {M}}right|dvarphi }$ .

См. также[править | править код]

Момент инерции
Момент импульса
Теорема Вариньона

Источник

Момент силы M(F)

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно твердого тела, оси или точки.
Момент силы
Обозначение: M, m или M(F).

Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]

Аналогом момента силы является момент пары сил.

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

Момент определяется как произведение силы F на плечо h:

M(F)=F×h

Момент как произведение силы на плечо

Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Другие видео

Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки вращения создает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.

Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.

Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

Пример момента силы - заворачивание гайки гаечным ключом

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h2>h1).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Сила и точка

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Линия действия силы

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Плечо момента силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Если сила F приложена перпендикулярно к оси бруса и известно расстояние между точками A и B.

Момент силы перпендикулярной стержню

То момент силы F относительно точки A:

М_A=F×AB

Сила расположена под углом к оси стержня

В случае, если сила F приложена под углом α к оси балки
Момент силы расположенной под углом к стержню

Момент силы относительно точки B:

M_B=F×cosα×AB

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Если известно расстояние от точки где определяется момент до линии действия силы (плечо h)
Момент силы для произвольно расположенного стержня

Момент силы относительно точки B:

M_B=F×h

См. также:

Примеры решения задач >
Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник

Определение

Момент силы — это крутящий или вращательный момент, который является векторной величиной.

Чтобы определить, чему равен момент силы, нужно получить произведение вектора силы и радиус-вектора, который проводится к точке приложения силы от оси вращения. Поэтому величину можно назвать характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело.

Термины “крутящий” и “вращающий” моменты в данном случае не являются тождественными. Разница между ними состоит в том, что “вращающий” момент воспринимается как внешнее усилие, которое прикладывают к объекту. Термин “крутящий” же рассматривается как внутреннее усилие, которое появляется при приложении конкретных нагрузок (что делает определение схожим с используемым при изучении сопротивления материалов).

Понятие «момент силы»

Физики воспринимают этот термин в качестве так называемой “вращающей силы”. В соответствии с системой СИ, измеряется данная величина в ньютон-метрах. Иногда в литературе можно также встретить понятие “момент пары сил” (такое определение, например, появляется в исследованиях Архимеда над рычагами).

При использовании простых примеров (например, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему) величина рассчитывается как произведение расстояния до оси вращения рычага и непосредственно силы, которая на него воздействует.

Пример: На рычаг оказывает воздействие силы в 3 ньютона, которую прикладывают на расстоянии 2 м от оси вращения рычага. В результате момент силы будет равнозначен силе в 1 ньютон, прикладываемой на расстоянии 6 м по отношению к рычагу.

Как определить, чему равен момент силы

Формула

Точно определить момент действия силы частицы удастся, применив следующую векторную формулу:

[vec{mathrm{M}}=vec{mathrm{r}} vec{mathrm{F}}]

В данном случае [vec{mathrm{r}}] — это радиус вектора частицы, а
[vec{mathrm{F}}] — сила, воздействующая на эту частицу.

Важно помнить, что в физике энергия воспринимается как скалярная величина. В то же время момент силы считается (псевдо)векторной величиной. Поэтому совпадение размерностей указанных величин никогда не бывает случайным. Например, момент силы в 1 Н/м, приложенный через целый оборот, при выполнении механической работы сообщает энергию в 2 Дж. В математическом отображении эта формула момента силы будет выглядеть так:

[mathbf{E}=mathbf{M} boldsymbol{theta}], где:

[mathbf{E}] — это энергия;
[mathbf{M}] — это вращающийся момент;
[boldsymbol{theta}] — это угол в радианах.

В современных условиях момент силы измеряется при помощи особых датчиков нагрузки, которые могут быть трех типов:

оптического;
тензометрического;
индуктивного.

Применение специальной техники позволяет определить величину предельно точно и избавляет ученых от необходимости производить лишние расчеты.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Момент силы: формулы

Наиболее интересным в физике считается определение момента силы в поле. Для этого используется следующая формула:

[vec{M}=vec{M_{1}} vec{F}]

Где:

[vec{M_{1}}]- это момент рычага;
[vec{F}]- это величина силы, действующей на тело.

У такой формулы момента силы в физике будет один недостаток. С ее помощью не удастся определить, в каком направлении направлен момент силы. Известной станет только его величина. Если сила окажется перпендикулярной вектору, тогда момент рычага окажется равен расстоянию от центра до точки, в которой была приложена сила. В таком случае момент силы достигнет максимального значения:

[vec{T}=vec{r} quad vec{F}]

Если сила совершает какое-либо действие на определенном расстоянии, она параллельно выполняет механическую работу относительно того же объекта. В таком случае в физической практике считается, что и момент силы выполняет работу (при совершении действия через угловое расстояние).

[mathrm{P}=mathrm{M} {omega}]

Международная система измерений предлагает определять мощность в Ваттах, при этом момент силы измеряется в радианах в секунду. Для определения величину угловой скорости используется единица “радианы в секунду”).

Как определяется момент действия нескольких сил

Если на тело действуют одновременно две равные по величине и противоположно направленные силы (не лежащие на одной и той же прямой), оно находится в состоянии равновесия. Такая ситуация связана с тем, что результирующий момент данных сил по отношению к любой из осей не обладает нулевым значением. Ведь обе силы направлены в одну сторону момента и являются парой сил.

Если тело закреплено на оси, оно будет вращаться под влиянием пары сил. Когда же пара сил прилагается по отношению к свободному телу, последнее начнет крутиться вокруг той оси, которая проходит через центр тяжести.

В соответствии с правилом моментов сил в физике, момент пары сил считается одинаковым по отношению к любой оси, перпендикулярной плоскости этой пары. При этом суммарный момент пары M всегда определяется как произведение плеча пары (то есть расстояния l между силами) и одной из этих сил F. Данный расчет производится независимо от типов отрезков, на которые разделяется положение оси.

[mathrm{M}=mathrm{FL}_{1}+mathrm{FL}-2=mathrm{FL}_{1}+mathrm{L}_{2}=mathrm{FL}]

В случае, если равнодействующая момент нескольких сил равняется нулю, он будет одинаковым по отношению ко всем параллельным друг другу осям. Именно поэтому воздействие всех сил на тело можно заменить действием только одной пары сил, имеющих точно такой же момент.

Источник

Содержание:

Моменты силы относительно точки и оси:

Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.

Алгебраический момент силы относительно точки

При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 19

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.

Плечом Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на линию действия силы .

Обозначим Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике или алгебраический момент силы относительно точки . Тогда

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.

Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике ).

Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и моментной точке:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент силы относительно точки

При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).

Плечом силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 20

Условимся векторный момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки обозначать , а его числовую величину — . Тогда, согласно определению,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Справедлива формула

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике —радиус-вектор, проведенный из моментной точки в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, что Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки . По определению векторного произведения двух векторов известно, что

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как показано на рис. 20, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике , причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике . Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т. е. плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике , которой перпендикулярен и векторный момент .

Направление Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным

нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 21

Если сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике дана своими проекциями на оси координат и даны координаты точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (4), можно выделить проекции Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Модуль векторного момента Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В формулах (6) числовую величину Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике берем со знаком плюс.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике обозначим .

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 22

По определению,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — вектор проекции силы на плоскость , перпендикулярную оси , а точка — точка пересечения оси с плоскостью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике .

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и точке пересечения оси с плоскостью:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы относительно точки .

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Используя формулу (8), имеем (рис. 23)

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки , взятой на пересечении оси с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлен перпендикулярно плоскости треугольника . Аналогично, для другой точки оси

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

причем векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлен перпендикулярно плоскости треугольника . Треугольник является проекцией треугольников Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является ось , а перпендикулярами к плоскостям треугольников и —соответственно векторные моменты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и . Таким образом, , где — угол между вектором и осью . Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

причем знак Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике полностью определяется знаком .

Аналогично,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

т. е.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — любая точка на оси .

Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 23

Формулы для моментов силы относительно осей координат

Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике имеем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Согласно (5),

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Аналогично, для осей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Окончательно

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике , если проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил

При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.

Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).

Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.

Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

При равновесии пар сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.

Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.

В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно
Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.

Задача 1.

Определить момент пары сил (рис. 63), если Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике н, АВ — 0,5 м и а = 30°.

Решение.

1. При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.

Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.

В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.

Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.

Легко видеть, что

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2. Найдем момент пары сил:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Задача 2.

Как изменится момент пары сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если

повернуть силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.

1. Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).

Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и найдем его длину:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент пары при заданном положении сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2. Повернем силы из заданного положения на угол =а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
3. Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.

4. Легко заметить, что силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике могут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
Момент пары сил изменяет свой знак.

Задача 3.

К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Определить момент равнодействующей пары сил

Решение 1.

Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 2.
1. Перенесем силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике из точек в точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил и одинаковыми модулями.

2. Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3. Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике заменяющей собой две данные.

4. Найдем момент пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

и, следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с плечом BD (диагональю данного квадрата).

Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Заказать решение задач по теоретической механике

Задача 4.

На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение.

1. Момент данной пары сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Откуда

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

2. Обозначив силы, образующие искомую пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике замечая, что ее плечо равно ВС, получим
Отсюда

•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.

Задача 5.

Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы образующие пару Какие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение.

1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике но имеющим противоположный знак.

Так как пара Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).

2. Применяем условие равновесия:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Или, подставив значения моментов,
где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Отсюда Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.

Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов – точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 – сила и центр моментов – точка В).
Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.

По рис. 70

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А (или С) равен нулю.

Задача 6.

Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, если Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).

1. Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

2. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Опустив из точки А на линию действия

силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике перпендикуляр AD, получим плечо силы Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3. Величина момента отрицательная (сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике поворачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

4. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силы является перпендикуляр АЕ к СЕ – линии действия силы Из треугольника АСЕ

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике против хода часовой стрелки). Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

5. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силы относительно точки А является отрезок АС, так как сила направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).

1. Центр моментов в точке В.

2. Через точку В проходят линии действия двух сил: Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента отрицательная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

4. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент отрицательный:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

5. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента положительная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

6. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силыявляется отрезок ВС. Момент положительный:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.

Ответ. Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В задаче силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто – как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).

Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Задача 7.

Определить моменты относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике я, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. Углы ВС =1,5 м.

Решение.

1. Относительно точки А моменты сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике определяются аналогично

2. Находим момент силы Вариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы в данном случае определяем из Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в котором известен только . Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:

AF = AB – FB.
Величину FB находим из Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в котором

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

И теперь можем определить плечо АЕ:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Раскрываем скобки и заменяем Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент положительный, следовательно:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Разложим силу Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).

Модуль первой составляющей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей а ее плечо АК = ВС =1,5 м.

Применяя теорему Вариньона, получаем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Теория пар сил
Приведение системы сил к простейшей системе
Условия равновесия системы сил
Плоская система сил
Аксиомы и теоремы статики
Система сходящихся сил
Плоское движение тела
Принцип виртуальных перемещений

Источник

Момент силы. Условия равновесия рычага

Устройство и виды рычагов
Момент силы
Правило моментов для двух сил
Правило моментов для нескольких сил
Применение рычагов в быту и технике
Задачи
Лабораторная работа №9. Проверка условия равновесия рычага

п.1. Устройство и виды рычагов

Рычаг – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.

Рычаг состоит из перекладины и опоры.
Точка опоры делит перекладину рычага на два плеча рычага.

Назначение рычага – получить выигрыш в силе или расстоянии.
Если к плечу рычага достаточно приложить меньшую силу, то переместить конец рычага придётся на бóльшее расстояние: выигрыш в силе оборачивается проигрышем в расстоянии.
И наоборот, если удаётся сократить перемещение конца рычага, придётся приложить бóльшую силу: выигрыш в расстоянии оборачивается проигрышем в силе.

В зависимости от взаимного расположения точки опоры и нагрузки различают три вида рычагов.

п.2. Момент силы

Плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой сила действует на рычаг.

Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры провести перпендикуляр на линию действия силы.

Момент силы

На рисунке (l_1) – плечо силы (F_1, l_2) – плечо силы (F_2).

Силы вращают рычаг вокруг точки опоры – по часовой или против часовой стрелки.

Ось вращения проходит через точку опоры перпендикулярно плоскости вращения.

На рисунке сила (F_1) вращает рычаг против часовой стрелки, а сила (F_2) – по часовой стрелке.

Момент силы – это произведение силы, вращающей тело, на её плечо. $$ M=Fl $$ В системе СИ единица измерения момента силы – Н·м.

Момент силы определяется не для всего тела, а для некоторой его точки, удалённой от центра (оси) вращения. Эта величина имеет смысл только для вращающихся тел.

п.3. Правило моментов для двух сил

Правило моментов для двух сил
Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки.

$$ F_1l_1=F_2l_2 $$

п.4. Правило моментов для нескольких сил

Правило моментов для нескольких сил
Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов всех сил, вращающих его по ходу часовой стрелки, равен сумме моментов всех сил, вращающих его против хода часовой стрелки.

Например:

Силы (F_1, F_2, F_3) вращают рычаг против часовой стрелки, а сила (F_4) – по часовой стрелке. Поэтому: $$ F_1l_1+F_2l_2+F_3l_3=F_4l_4 $$

п.5. Применение рычагов в быту и технике

Рычаги первого рода

Весы Предмет, вес которого нужно измерить, — это нагрузка, а гиря создает усилие. Они равны, так как находятся на одном расстоянии от точки опоры.	Рычажные весы Точка опоры смещена относительно центра. Грузило передвигается по основанию, пока не уравновесит взвешиваемый объект.
Гвоздодёр Усилие ручки увеличивается плечом и вытаскивает гвоздь. Нагрузкой здесь является сопротивление гвоздя.	Ручная тележка Небольшое усилие, прикладываемое к ручкам тележки, позволяет поднимать тяжелый груз.
Плоскогубцы Составной рычаг, пара простых рычагов, соединенных в точке опоры. Нагрузка — сопротивление предмета захвату инструментом.	Ножницы Составной рычаг первого рода, развивают мощное режущее действие очень близко к месту крепления. Нагрузка — сопротивление материала лезвиям.

Рычаги второго рода

Рычаги третьего рода

п.6. Задачи

Задача 1. Для каждого положения тела укажите плечо силы.

При необходимости достраиваем линию действия силы и опускаем на неё перпендикуляр из точки опоры. Этот перпендикуляр и есть искомое плечо.

Задача 2. Грузы уравновешены на рычаге. Отношение плеч рычага 1:5. Масса большего груза 2,5 кг. Найдите массу меньшего груза.

Дано:
(frac{l_1}{l_2}=frac 15)
(m_1=2,5 text{кг})
__________________
(m_2-?)

Задача 2
По правилу моментов begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2 end{gather*} На обоих концах рычага действуют силы тяжести: $$ F_1=m_1g, F_2=m_2g $$ Получаем: begin{gather*} m_1gl_1=m_2gl_2\[7pt] m_2=frac{m_1l_1}{l_2} end{gather*} Подставляем: $$ m_2=2,5cdot frac 15=0,5 (text{кг}) $$ Ответ: 0,5 кг

Задача 3. На концах рычага действуют силы 15 Н и 60 Н, направленные вниз. Рычаг находится в равновесии. Расстояние между точками приложения сил 1 м. Где расположена точка опоры?

Дано:
(F_1=15 text{Н})
(F_2=60 text{Н})
(l_1+l_2=1 text{м})
__________________
(l_1, l_2-?)

Задача 3
По правилу моментов begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2. end{gather*} Получаем систему уравнений begin{gather*} left{ begin{array}{l l} 15l_1=60l_2 \ l_1+l_2=1 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=4l_2 \ l_1+l_2=1 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=4l_2 \ 4l_2+l_2=1 end{array} right. Rightarrow \[7pt] Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=4l_2 \ 5l_2=1 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=0,8 \ l_2=0,2 end{array} right. end{gather*} Ответ: 0,8 м от точки приложения первой силы и 0,2 м от точки приложения второй силы.

Задача 4*. К балке, расположенной на двух опорах А и В подвешен груз массой 500 кг. Расстояние от точки подвеса груза к одному из концов балки в 4 раза больше, чем к другому. С какой силой балка давит на каждую из опор? Примите (gapprox 10 text{м/с}^2). Ответ запишите в килоньютонах.

Дано:
(m=500 text{кг})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
(OB=4OA)
__________________
(F_A, F_B-?)

Задача 4*
Сила тяжести (F_{text{т}}=mg), направленная вниз, уравновешивается силами реакции опор (F_A) и (F_B), направленными вверх. begin{gather*} F_A+F_B=mg end{gather*} По правилу моментов при равновесии begin{gather*} F_Acdot OA=F_Bcdot OB=F_Bcdot 4OARightarrow F_A=4F_B \[7pt] F_A+F_B=5F_B=mgRightarrow F_B=frac{mg}{5} end{gather*} Получаем: begin{gather*} F_B=frac{500cdot 10}{5}=1000 text{Н}=1 text{кН}, F_A=4cdot 100=4000 text{Н}=4 text{кН} end{gather*} Ответ: 4 кН и 1 кН

п.7. Лабораторная работа №9. Проверка условия равновесия рычага

Цель работы
Исследовать условия равновесия рычага под действием двух параллельных сил.

Теоретические сведения

Рычаг – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.

В работе используется рычаг 1-го рода, в котором опора располагается между точками приложения сил.

Плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой сила действует на рычаг. Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры провести перпендикуляр на линию действия силы.

Момент силы – это произведение силы, вращающей тело, на её плечо: (M=Fl).

Правило моментов для двух сил
Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки.

begin{gather*} M_1=M_2\[7pt] F_1l_1=F_2l_2 end{gather*}

В работе используется лабораторный рычаг с отверстиями диаметром 4 мм, находящимися на расстоянии 5 см друг от друга. Отверстий нечетное количество; центральное отверстие (центр тяжести) используется для подвеса рычага на штативе в положении равновесия. Абсолютную погрешность определения плеча на данном рычаге принимаем равной половине диаметра отверстия $$ Delta l=frac D2=2 text{мм} $$

Для измерения веса груза используется динамометр с ценой деления $$ d=0,1 text{Н}. $$

Абсолютная погрешность определения веса $$ Delta_F=frac d2=0,05 text{Н}. $$

Относительные погрешности измерений: $$ delta_l=frac{Delta_l}{l}, delta_F=frac{Delta_F}{F}, delta_M=delta_l+delta_F $$

Абсолютная погрешность определения момента силы $$ Delta_M=Mcdot delta_M $$

Погрешности определения отношений сил и плечей: begin{gather*} r_F=frac{F_1}{F_2}, delta_{rF}=frac{Delta_F}{F_1}+frac{Delta_F}{F_2}, Delta_{rF}=frac{F_1}{F_2}cdot delta_{rF}\[7pt] r_l=frac{l_2}{l_1}, delta_{rF}=delta_{rl}frac{Delta_l}{l_1}+frac{Delta_l}{l_2}, Delta_{rl}=frac{l_2}{l_1}cdot delta_{rl} end{gather*}

Приборы и материалы
Лабораторный рычаг, штатив, стержень, динамометр, набор грузов.

Ход работы

1. Закрепите стержень в штативе, наденьте на него рычаг. Если стержень проходит через центральное отверстие рычага, он находится в равновесии.
2. Подвесьте три груза на динамометре, запишите их вес (F_1).
3. Подвесьте грузы слева от оси вращения рычага на расстоянии 5 см.
4. С помощью динамометра определите, какую силу нужно приложить на расстоянии 15 см справа от оси вращения, чтобы удерживать рычаг в равновесии.
5. Как направлены в этом случае силы, действующие на рычаг? Запишите длину плеч этих сил.
6. Найдите моменты сил (M_1) и (M_2), их относительные и абсолютные погрешности.
7. Вычислите отношение сил (frac{F_1}{F_2}) и плеч (frac{l_2}{l_1}) для этого случая, погрешности их определения.
8. Сделайте выводы.

Результаты измерений и вычислений

(F_1, text{Н})	(l_1, text{см})	(F_2, text{Н})	(l_2, text{см})	(F_1/F_2)	(l_2/l_1)
2,9	5	1,0	15	2,9	3,0

Погрешности прямых измерений: $$ Delta_l=2 text{мм}=0,2 text{см}, Delta_F=0,05 text{Н} $$ Найдем моменты сил и погрешности вычислений: begin{gather*} M_1=F_1cdot l_1=2,9cdot 5=14,5 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] delta_{M1}=frac{Delta_l}{l_1}+frac{Delta_F}{F_1}=frac{0,2}{5}+frac{0,05}{2,9}approx 0,04+0,017=0,057=5,7text{%} \[7pt] Delta_{M1}=M_1cdot delta_{M1}=14,5cdot 0,057approx 0,8 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] M_1=(14,5pm 0,8) text{Н}cdot text{м}\[7pt] \[7pt] M_2=F_2cdot l_2=1,0cdot 15=15,0 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] delta_{M2}=frac{Delta_l}{l_2}+frac{Delta_F}{F_2}=frac{0,2}{15}+frac{0,05}{1,0}approx 0,013+0,05=0,063=6,3 text{%} \[7pt] Delta_{M2}=M_2cdot delta_{M2}=15,0cdot 0,063approx 0,9 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] M_2=(15,0pm 0,9) text{Н}cdot text{м} end{gather*} Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей: $$ M_1=M_2 $$

Погрешность вычислений для (frac{F_1}{F_2}) begin{gather*} delta_{rF}=frac{Delta_F}{F_1}+frac{Delta_F}{F_2}=frac{0,05}{2,9}+frac{0,05}{1,0}approx 0,017+0,05=0,067=6,7text{%}\[7pt] Delta_{rF}=frac{F_1}{F_2}cdot delta_{rF}=2,9cdot 0,067approx 0,2\[7pt] frac{F_1}{F_2}=2,9pm 0,2 end{gather*}

Погрешность вычислений для (frac{l_2}{l_1}) begin{gather*} delta_{rl}=frac{Delta_l}{l_1}+frac{Delta_l}{l_2}=frac{0,2}{5}+frac{0,2}{15}approx 0,04+0,013=0,053=5,3text{%}\[7pt] Delta_{rl}=frac{l_2}{l_1}cdot delta_{rl}=3,0cdot 0,053approx 0,2\[7pt] frac{l_2}{l_1}=3,0pm 0,2 end{gather*} Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей: $$ frac{F_2}{F_2}=frac{l_2}{l_1} $$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Моменты сил, приложенных слева и справа от оси вращения рычага, равны $$ M_1=(14,5pm 0,8) text{Н}cdot text{м}, M_2=(15,0pm 0,9) text{Н}cdot text{м} $$ Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей, (M_1=M_2) – правило моментов выполняется.

Отношения сил и плечей равны begin{gather*} frac{F_1}{F_2}=2,9pm 0,2, frac{l_2}{l_1}=3,0pm 0,2 end{gather*}

Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей (frac{F_1}{F_2}=frac{l_2}{l_1}) – правило отношений выполняется.

Эксперименты подтвердили условие равновесия рычага.

Источник

Определение, общие сведения[править | править код]

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы относительно оси[править | править код]

Единицы измерения[править | править код]

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Статическое равновесие[править | править код]

Движение твёрдого тела[править | править код]

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

С мощностью[править | править код]

С механической работой[править | править код]

Измерение момента силы[править | править код]

Из истории понятия[править | править код]

См. также[править | править код]

Определение

Пример момента силы

Плечо момента силы

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Сила расположена под углом к оси стержня

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Понятие «момент силы»

Как определить, чему равен момент силы

Момент силы: формулы

Как определяется момент действия нескольких сил

Алгебраический момент силы относительно точки

Векторный момент силы относительно точки

Момент силы относительно оси

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Формулы для моментов силы относительно осей координат

Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Момент силы относительно точки

Задача 6.

Задача 7.

Момент силы. Условия равновесия рычага

п.1. Устройство и виды рычагов

п.2. Момент силы

п.3. Правило моментов для двух сил

п.4. Правило моментов для нескольких сил

п.5. Применение рычагов в быту и технике

п.6. Задачи

п.7. Лабораторная работа №9. Проверка условия равновесия рычага

Вам также может понравиться

Как найти шлейф тачскрина

Как найти идеал своего мужчины

0x80070422 как исправить ошибку windows 10 pro

Добавить комментарий Отменить ответ