Как найти долю в интервале

Как найти долю в интервале

___________

* Доля распределения случайной величины
в заданном. интервале равна вероятности
попадания случайной величины в этот
интервал. В большинстве практических
задач физический смысл имеет понятие
«доля распределения случайной величины
в интервале», используемый в данном
стандарте, хотя все приведенные
статистические выводы справедливы и
для «вероятности попадания случайной
величины в интервал».

(Измененная редакция, Изм. № 1).

8.1 Алгоритм вычисления доли распределения
случайной величины в заданном интервале
[L,М] и вне его при известных
параметрах нормального распределения
приведен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 – Вычисление доли распределения
случайной величины в заданном интервале
[L,М] и вне его при известных
параметрах нормального распределения
(вспомогательный алгоритм)

Исходные
данные

Табличные
данные и вычисления

1 Среднее
значение (математическое ожидание):

m0=

1 Пересчитанная
для стандартного нормального закона
эквивалентная нижняя граница
интервала:

2 Стандартное
отклонение

s0=

или дисперсия

D0=s20=

2 Пересчитанная
для стандартного нормального закона
эквивалентная верхняя граница
интервала:

3 Границы
интервала:

нижняя L=

верхняя
М=

3 Доля
распределения случайной величины,
лежащая ниже границы L:

qL=Ф(uL)

Если Lне
задано, тоqL= 0

4 Доля
распределения случайной величины,
лежащая выше границы М:

qM=Ф(-uM)

Если Мне
задано, тоqM= 0

Результаты:

1 Доля
распределения случайной величины
вне интервала [L,M]:

q=qL+qM

1 Доля
распределения случайной величины в
интервале [L,M]:

p= 1 –q

Примечание
– Величины Ф(uL) иФ(-uM) представляют
собой значения функции стандартного
нормального закона распределения,
которые определяют потаблице
А.1 приложения А

Для решения данной задачи не используют
выборочные данные, а значения параметров
mиs2считают известными.Таблица
8.1содержит вспомогательный
алгоритм для решения задач 8.2-8.9.

Пример – Оценка ожидаемого уровня
несоответствий показателя качества
продукции (уровня несоответствий) при
настройке станка на середину поля
допуска или номинальное значение и
известной точности s20.

8.2 Алгоритм точечного оценивания доли
распределения случайной величины в
заданном интервале [L,М] и вне
его при известном стандартном отклонении
или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Таблица 8.2 – Точечная оценка доли
распределения случайной величины в
заданном интервале [L,М] и вне
его при известном стандартном отклонении
или дисперсии

Статистические
и исходные данные

Табличные
данные и вычисления

1 Объем
выборки:

n=

1 Точечная
оценка среднего значения:

2 Стандартное
отклонение:

s0=

или дисперсия
D0=s20=

2 Пересчитанные
для стандартного нормального закона
эквивалентные границы интервала:

нижняя:

верхняя:

3 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

3 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины, лежащей ниже границы L(см.таблицу
8.1)

Если Lне
задана, то

4 Границы
интервала:

нижняя L=

верхняя M=

4 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины, лежащей выше границы М(см.таблицу
8.1)

Если Мне
задана, то

Результаты:

1 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины вне интервала [L,М]:

2 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины в интервале [L,М]:

Примечание
– Величины
и
представляют
собой значения функции стандартного
нормального закона распределения,
которые определяют потаблице
A.1 приложения А

Пример – Оценка уровня несоответствия
показателя качества продукции, который
следует ожидать при работе станка или
технологического процесса при
установленном допуске и неизвестном
уровне настройки. При этом считают, что
точность станка или технологического
процесса известна или достаточно точно
оценена заранее.

8.3 Алгоритм точечного оценивания доли
распределения случайной величины в
заданном интервале [L,М] и вне
его при неизвестной дисперсии приведен
в таблице 8.3.

Таблица 8.3 – Точечная оценка доли
распределения случайной величины в
заданном интервале [L,М] и вне
его при неизвестной дисперсии

Статистические
и исходные данные

Табличные
данные и вычисления

1 Объем
выборки:

n=

1 Точечная
оценка среднего значения:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

2 Вычисляем:

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

3 Точечная
оценка стандартного отклонения:

4 Границы
интервала:

нижняя L=

верхняя М=

4 Пересчитанные
для стандартного нормального закона
эквивалентные границы интервала

нижняя:

верхняя:

5 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины, лежащей ниже границы L(см.таблицу
8.1):

Если Lне
задана, то

6 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины, лежащей выше границы М(см.таблицу
8.1):

Если М не
задана, то
0

Результаты:

1 Точечная
оценки доли распределения случайной
величины вне интервала [L,М]:

2 Точечная
оценка доли распределения случайной
величины в интервале [L,М]:

Примечание
– Величины
и
представляют
собой значения функции стандартного
нормального закона распределения,
которые определяют потаблице
A.1 приложения А

Пример тот же, что и в 8.2,
но точность станка или технологического
процесса неизвестна.

8.4 Алгоритм интервального оценивания
доли распределения случайной величины
с неизвестной дисперсией в одностороннем
интервале выше заданной нижней границы
Lприведен втаблице
8.4. Таким образом определяют
верхнюю доверительную границуqвдля доли распределения вне одностороннего
интервала с нижней границейL, а
также нижнюю доверительную границурндля доли распределения случайной
величины в указанном интервале.

Примечание – Здесь и далее следует
различать заданный изначально
односторонний или двусторонний интервал
(допуск) с известной границей (границами)
для случайной величины Хи доверительный
интервал для доли распределения случайной
величины в этом допуске и вне его. Границы
заданного интервала (допуска)LиМдля случайной величины измеряются в
тех же единицах физических величин, что
и случайная величина, например: в
миллиметрах, граммах и т. п. Границы
получаемого доверительного интервала
являются безразмерными, как и сама
вероятность.

Примеры

1 Определение уровня несоответствий
для показателя «толщина гальванопокрытия».
Случай, когда необходимо иметь определенную
уверенность в том, что уровень
несоответствий не превышает установленного
предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих
деталей по показателю качества «твердость
после термической обработки». Требование
(допуск) одностороннее: L= 45 ед.
Роквелла. Оценка получается в виде
верхней доверительной границыqвна долю несоответствующей продукции с
твердостью ниже 45 ед. Кроме того,
получается нижняя доверительная границарнна долю продукции,
соответствующей требованию, т. е. на
долю деталей с твердостью не ниже 45 ед.
Доверительные оценкирниqв, в отличие от точечных,
имеют характеристики достоверности
утверждений (с вероятностью 1 –a):

истинная доля годной продукции не менее
рн;

истинная доля несоответствующей
продукции не более qв.

Таблица 8.4 – Определение верхнейqви нижнейрндоверительных
границ для доли распределения случайной
величины в одностороннем интервале и
вне его с заданной нижней границейL(дисперсия неизвестна)

Необходимые
условия: Prob{q£qв}
³ 1 –a,Prob{p³pн}
³ 1 –a

Статистические
и исходные данные

Промежуточные
вычисления и процедуры

1 Объем
выборки:

n=

1 Устанавливаем
соответственно три пары доверительных
вероятностей:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

–
дляmи

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

–
дляs, причем

=
1 –a,

4 Степени
свободы:

v=n– 1 =

где j=
1, 2, 3, тогда

a1m= 1/4a

a2m= 1/2a

5 Выбранная
доверительная вероятность:

1 – a

a3m= 3/4a

ajs=
/

6 Нижняя
граница одностороннего интервала:

L=

2 Процедура
доверительного оценивания среднего
значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная
оценка параметра mс доверительной
вероятностью (1 –am)

(см. формулу
(2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная
оценка параметра sс доверительной
вероятностью (1 –as)

(см. формулу
(4) таблицы 7.1)

Примечание
– Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная
оценка величины qпри полученных
значениях параметровmиs–
потаблице
8.1:

qjв=

4 После
повторения процедуры по пунктам 2 и
3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q1в,q2в,q3в

Результаты:

1 Верхняя
доверительная граница для q,
соответствующая доверительной
вероятности (1 –a):

qв=min(q1в,q2в,q3в)

2 Нижняя
доверительная граница для р:

рн= 1 –qв

8.5 Алгоритм интервального оценивания
доли распределения случайной величины
с неизвестной дисперсией в одностороннем
интервале ниже заданной верхней границы
Мприведен в таблице 8.5. Таким образом
определяют верхнюю доверительную
границуqвдля доли
распределения вне одностороннего
интервала с верхней границейМ, а
также нижнюю доверительную границурндля доли распределения случайной
величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 – Определение верхнейqви нижнейрндоверительных
границ для доли распределения случайной
величины в одностороннем интервале и
вне его с заданной верхней границейМ(дисперсия неизвестна)

Необходимые
условия: Prob{q£qв}
³ 1 –a,Prob{p³pн}
³ 1 –a

Статистические
и исходные данные

Промежуточные
вычисления и процедуры

1 Объем
выборки:

n=

1 Устанавливаем
соответственно три пары доверительных
вероятностей:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

–
дляmи

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

–
дляs, причем

=
1 –a,

4 Степени
свободы:

v=n– 1 =

где j=
1, 2, 3, тогда

a1m= 1/4a

a2m= 1/2a

5 Выбранная
доверительная вероятность:

1 – a

a3m= 3/4a

ajs=
/

6 Верхняя
граница одностороннего интервала:

М=

2 Процедура
доверительного оценивания среднего
значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная
оценка параметра mс доверительной
вероятностью (1 –am)

(см. формулу
(1) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная
оценка параметра sс доверительной
вероятностью (1 –as)

(см. формулу
(4) таблицы 7.1)

Примечание
– Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная
оценка величины qпри полученных
значениях параметровmиs–
потаблице
8.1:

qjв=

4 После
повторения процедуры по пунктам 2 и
3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q1в,q2в,q3в

Результаты:

1 Верхняя
доверительная граница для q,
соответствующая доверительной
вероятности (1 –a):

qв=min(q1в,q2в,q3в)

2 Нижняя
доверительная граница для р:

рн= 1 –qв

Пример – Определение уровня несоответствий
для показателя «процент примесей» в
металлургии или в фармакологии. Случай,
когда необходимо иметь определенную
уверенность в том, что уровень
несоответствий не превышает установленного
предельного процента.

8.6 Алгоритм интервального оценивания
доли распределения случайной величины
с неизвестной дисперсией в заданном
интервале [L,М] приведен в таблице
8.6. Таким образом определяют верхнюю
доверительную границуqвдля доли распределения вне интервала
[L,М], а также нижнюю доверительную
границуpндля доли
распределения случайной величины в
данном интервале.

Таблица 8.6 – Определение верхнейqви нижнейpндоверительных
границ для доли распределения случайной
величины в заданном интервале [L,М]
и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые
условия: Prob{q£qв}
³ 1 –a,Prob{p³pн}
³ 1 –a

Статистические
и исходные данные

Промежуточные
вычисления и процедуры

1 Объем
выборки:

n=

1 Устанавливаем
соответственно три пары доверительных
вероятностей:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

–
дляmи

–
дляs, причем

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

=
1 –a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a1m= 1/4a

4 Степени
свободы:

v=n– 1 =

a2m= 1/2a

a3m= 3/4a

5 Выбранная
доверительная вероятность:

1 – a

ajs=
/

6 Границы
интервала:

L=

М=

2 Процедура
доверительного оценивания среднего
значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная
оценка параметра mс доверительной
вероятностью (1 –am)

,

(см. формулы
(1),(2)
таблицы 6.2)

2.2 Наихудшая
точка
:

=mн, еслиmн–А£В–mв

=mв, еслиmн–А>В–mв

2.3 Интервальная
оценка параметра s,соответствующая
доверительной вероятности (1 –as)

(см. формулу
(4) таблицы 7.1)

Примечание
– Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная
оценка величины qпри полученных
значениях параметровmиs–
потаблице
8.1:

qjв=

4 После
повторения процедуры по пунктам 2 и
3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q1в,q2в,q3в

Результаты:

1 Верхняя
доверительная граница для q,
соответствующая доверительной
вероятности (1 –a):

qв=min(q1в,q2в,q3в)

2 Нижняя
доверительная граница для р:

рн= 1 –qв

Пример из 8.2,
но точность станка заранее неизвестна.
Случай, когда необходимо иметь определенную
уверенность в том, что уровень
несоответствий не превышает установленного
предельного значения.

8.7 Алгоритм интервального оценивания
доли распределения случайной величины
с неизвестной дисперсией в одностороннем
интервале выше заданной нижней границы
Lприведен в таблице 8.7. Таким образом
определяют нижнюю доверительную границуqндля доли распределения
вне одностороннего интервала с нижней
границейL, а также верхнюю доверительную
границурвдля доли
распределения случайной величины в
указанном интервале.

Таблица 8.7 – Определение нижнейqни верхнейрв, доверительных
границ для доли распределения случайной
величины в одностороннем интервале и
вне его с заданной нижней границейL(дисперсия неизвестна)

Необходимые
условия: Prob{q³qн}
³ 1 –a,Prob{p£pв}
³ 1 –a

Статистические
и исходные данные

Промежуточные
вычисления и процедуры

1 Объем
выборки:

n=

1 Устанавливаем
соответственно три пары доверительных
вероятностей:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

–
дляmи

–
дляs, причем

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

=
1 –a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a1m= 1/4a

4 Степени
свободы:

v=n– 1 =

a2m= 1/2a

a3m= 3/4a

5 Выбранная
доверительная вероятность:

1 – a

6 Нижняя
граница одностороннего интервала:

L=

2 Процедура
доверительного оценивания среднего
значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная
оценка параметра mс доверительной
вероятностью (1 –am)

(см. формулу
(2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная
оценка параметра sс доверительной
вероятностью (1 –as)

(см. формулу
(3) таблицы 7.1)

Примечание
– Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная
оценка величины qпри полученных
значениях параметровmиs–
потаблице
8.1:

qjн=

4 После
повторения процедуры по пунктам 2 и
3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q1н,q2н,q3н

Результаты:

1 Нижняя
доверительная граница для q,
соответствующая доверительной
вероятности (1 –a):

qн=max(q1н,q2н,q3н)

2 Верхняя
доверительная граница для р:

рв= 1 –qн

Пример – Доказательство (с заданной
вероятностью) того, что уровень
несоответствий по данному показателю
качества превышает установленное в
нормативной документации предельное
значение. Случай предъявления рекламаций
на серийную или массовую продукцию по
определенному показателю качества.

8.8 Алгоритм интервального оценивания
доли распределения случайной величины
с неизвестной дисперсией в одностороннем
интервале ниже заданной верхней границы
Мприведен в таблице 8.8. Таким образом
определяют нижнюю доверительную границуqндля доли распределения
вне одностороннего интервала с верхней
границейМ, а также верхнюю
доверительную границурвдля доли распределения случайной
величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 – Определение нижнейqни верхнейрв, доверительных
границ для доли распределения случайной
величины в одностороннем интервале и
вне его с заданной верхней границейМ(дисперсия неизвестна)

Необходимые
условия: Prob{q³qн}
³ 1 –a,Prob{p£pв}
³ 1 –a

Статистические
и исходные данные

Промежуточные
вычисления и процедуры

1 Объем
выборки:

n=

1 Устанавливаем
соответственно три пары доверительных
вероятностей:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

–
дляmи

–
дляs, причем

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

=
1 –a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a1m= 1/4a

4 Степени
свободы:

v=n– 1 =

a2m= 1/2a

a3m= 3/4a

5 Выбранная
доверительная вероятность:

1 – a

6 Верхняя
граница одностороннего интервала:

М=

2 Процедура
доверительного оценивания среднего
значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная
оценка параметра mс доверительной
вероятностью (1 –am)

(см. формулу
(2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная
оценка параметра sс доверительной
вероятностью (1 –as)

(см. формулу
(3) таблицы 7.1)

Примечание
– Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная
оценка величины qпри полученных
значениях параметровmиs–
потаблице
8.1:

qjн=

4 После
повторения процедуры по пунктам 2 и
3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q1н,q2н,q3н

Результаты:

1 Нижняя
доверительная граница для q,
соответствующая доверительной
вероятности (1 –a):

qн=max(q1н,q2н,q3н)

2 Верхняя
доверительная граница для р:

рв= 1 –qн

8.9 Алгоритм интервального оценивания
доли распределения случайной величины
с неизвестной дисперсией в заданном
интервале [L,М] приведен в таблице
8.9. Таким образом определяют нижнюю
доверительную границуqндля доли распределения вне интервала
[L,М], а также верхнюю доверительную
границурвдля доли
распределения случайной величины в
данном интервале.

Таблица 8.9 – Определение нижнейqни верхнейрв, доверительных
границ для доли распределения случайной
величины в заданном интервале [L,М]
и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые
условия: Prob{q³qв}
³ 1 –a,Prob{p£pн}
³ 1 –a

Статистические
и исходные данные

Промежуточные
вычисления и процедуры

1 Объем
выборки:

n=

1 Устанавливаем
соответственно три пары доверительных
вероятностей:

2 Сумма
значений наблюдаемых величин:

Sx=

–
дляmи

–
дляs, причем

3 Сумма
квадратов значений наблюдаемых
величин:

Sx2=

=
1 –a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a1m= 1/4a

4 Степени
свободы:

v=n– 1 =

a2m= 1/2a

a3m= 3/4a

5 Выбранная
доверительная вероятность:

1 – a

ajs=
/

6 Границы
интервала:

L=

М=

2 Процедура
доверительного оценивания среднего
значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная
оценка параметра mс доверительной
вероятностью (1 –am)

или

,

(см. формулы
(1),(2)
таблицы 6.2)

2.2 Наихудшая
точка
:

=mв, если
(2.2.1)

=mн, если
(2.2.2)

,
если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются

2.3 Интервальная
оценка параметра sс доверительной
вероятностью (1 –as)

(см. формулу
(3) таблицы 7.1)

Примечание
– Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная
оценка величины qпри полученных
значениях параметровmиs–
потаблице
8.1:

qjн=

4 После
повторения процедуры по пунктам 2 и
3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q1н,q2н,q3н

Результаты:

1 Нижняя
доверительная граница для q,
соответствующая доверительной
вероятности (1 –a):

qн=max(q1н,q2н,q3н)

2 Верхняя
доверительная граница для р:

рв= 1 –qн

Соседние файлы в папке Толстов это все дал

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Часто в статистике нас интересует измерение параметров населения — чисел, описывающих некоторые характеристики всего населения.

Двумя наиболее распространенными параметрами населения являются:

1. Среднее значение населения: среднее значение некоторой переменной в популяции (например, средний рост мужчин в США).

2. Доля населения: доля некоторой переменной в населении (например, доля жителей округа, которые поддерживают определенный закон).

Хотя мы заинтересованы в измерении этих параметров, обычно слишком дорого и долго собирать данные о каждом человеке в популяции, чтобы вычислить параметр популяции.

Вместо этого мы обычно берем случайную выборку из общей совокупности и используем данные из выборки для оценки параметра совокупности.

Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес определенного вида черепах во Флориде. Поскольку во Флориде тысячи черепах, было бы очень много времени и денег, чтобы обойти и взвесить каждую отдельную черепаху.

Вместо этого мы могли бы взять простую случайную выборку из 50 черепах и использовать средний вес черепах в этой выборке для оценки истинного среднего значения популяции:

Выборка из примера населения

Проблема в том, что средний вес черепах в выборке не обязательно точно соответствует среднему весу черепах во всей популяции. Например, мы можем просто случайно выбрать образец, полный черепах с низким весом, или, возможно, образец, полный тяжелых черепах.

Чтобы зафиксировать эту неопределенность, мы можем создать доверительный интервал. Доверительный интервал — это диапазон значений, который может содержать параметр генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности. Он рассчитывается по следующей общей формуле:

Доверительный интервал = (точечная оценка) +/- (критическое значение) * (стандартная ошибка)

Эта формула создает интервал с нижней границей и верхней границей, который, вероятно, содержит параметр совокупности с определенным уровнем достоверности.

Доверительный интервал = [нижняя граница, верхняя граница]

Например, формула для расчета доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности выглядит следующим образом:

Доверительный интервал = x +/- z*(s/ √n )

куда:

  • x : выборочное среднее
  • z: выбранное значение z
  • s: стандартное отклонение выборки
  • n: размер выборки

Z-значение, которое вы будете использовать, зависит от выбранного вами уровня достоверности. В следующей таблице показано значение z, которое соответствует популярным вариантам выбора уровня достоверности:

| Уровень достоверности | z-значение | | — | — | | 0,90 | 1,645 | | 0,95 | 1,96 | | 0,99 | 2,58 |

Например, предположим, что мы собираем случайную выборку черепах со следующей информацией:

  • Размер выборки n = 25
  • Средний вес выборки x = 300
  • Стандартное отклонение выборки s = 18,5

Вот как найти вычислить 90% доверительный интервал для истинного среднего веса населения:

90% доверительный интервал: 300 +/- 1,645*(18,5/√25) = [293,91, 306,09]

Мы интерпретируем этот доверительный интервал следующим образом:

Вероятность того, что доверительный интервал [293,91, 306,09] содержит истинный средний вес популяции черепах, составляет 90%.

Другой способ сказать то же самое состоит в том, что существует только 10-процентная вероятность того, что истинное среднее значение генеральной совокупности лежит за пределами 90-процентного доверительного интервала. То есть существует только 10%-ная вероятность того, что истинный средний вес популяции черепах больше 306,09 фунтов или меньше 293,91 фунтов.

Ничего не стоит, что есть два числа, которые могут повлиять на размер доверительного интервала:

1. Размер выборки: чем больше размер выборки, тем уже доверительный интервал.

2. Уровень достоверности: чем выше уровень достоверности, тем шире доверительный интервал.

Типы доверительных интервалов

Существует много типов доверительных интервалов. Вот наиболее часто используемые:

Доверительный интервал для среднего

Доверительный интервал для среднего значения — это диапазон значений, который может содержать среднее значение генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности. Формула для расчета этого интервала:

Доверительный интервал = x +/- z*(s/ √n )

куда:

  • x : выборочное среднее
  • z: выбранное значение z
  • s: стандартное отклонение выборки
  • n: размер выборки

Ресурсы: Как рассчитать доверительный интервал для среднего
Доверительный интервал для среднего калькулятора

Доверительный интервал для разницы между средними значениями

Доверительный интервал (ДИ) для разницы между средними значениями представляет собой диапазон значений, который, вероятно, содержит истинное различие между двумя средними значениями генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности. Формула для расчета этого интервала:

Доверительный интервал = ( x 1 – x 2 ) +/- t * √ ((s p 2 /n 1 ) + (s p 2 /n 2 ))

куда:

  • x 1 , x 2 : среднее значение для образца 1, среднее значение для образца 2
  • t: t-критическое значение, основанное на доверительном уровне и (n 1 +n 2 -2) степенях свободы
  • s p 2 : объединенная дисперсия
  • n 1 , n 2 : размер выборки 1, размер выборки 2

куда:

  • Объединенная дисперсия рассчитывается как: s p 2 = ((n 1 -1)s 1 2 + (n 2 -1)s 2 2 ) / (n 1 +n 2 -2)
  • Критическое значение t можно найти с помощью калькулятора обратного t-распределения .

Ресурсы: Как рассчитать доверительный интервал для разницы между средними
Доверительный интервал для калькулятора разницы между средними значениями

Доверительный интервал для пропорции

Доверительный интервал для доли — это диапазон значений, который может содержать долю населения с определенным уровнем достоверности. Формула для расчета этого интервала:

Доверительный интервал = p +/- z * (√ p (1-p) / n )

куда:

  • p: доля выборки
  • z: выбранное значение z
  • n: размер выборки

Ресурсы: Как рассчитать доверительный интервал для пропорции
Доверительный интервал для калькулятора пропорций

Доверительный интервал для разницы в пропорциях

Доверительный интервал для разницы в пропорциях — это диапазон значений, который может содержать истинную разницу между двумя пропорциями населения с определенным уровнем достоверности. Формула для расчета этого интервала:

Доверительный интервал = (p 1 –p 2 ) +/- z*√(p 1 (1-p 1 )/n 1 + p 2 (1-p 2 )/n 2 )

куда:

  • p 1 , p 2 : доля образца 1, доля образца 2
  • z: z-критическое значение, основанное на доверительном уровне
  • n 1 , n 2 : размер выборки 1, размер выборки 2

Ресурсы: Как рассчитать доверительный интервал для разницы пропорций
Доверительный интервал для калькулятора разницы пропорций

Источник

Как получить процент от числа в интервале?

Доброй ночи. Долго время мучаюсь, лажу вроде бы вокруг да около, но никак не могу решить задачу.
Не знаю как корректно описать задание, поэтому попробую с примерами.
Есть интвервал: 40 – 60
Есть число: 50

Сколько процентов составляет это число в заданном интервале?

По факту видно, что число находится по середине между 40 и 60, то есть результат будет 50%. Но по какой формуле получить этот результат – не понимаю.


  • Вопрос задан

    более трёх лет назад

  • 1583 просмотра

Для удобства сдвигаете границы и значение к 0
60 – 40 = 20
50 – 40 = 10
После чего считаете процент числа от верхней границы 10/20 *100% = 50%

(50-40)/(60-40)
Либо линейную нормализацию посмотрите.

Перечитала ваш вопрос. Все-таки не поняла его. Формулировка странная.
Вы имеете в виду определить, где именно находится число 50 на заданном интервале? И отобразить в виде процента. Для чего вам это нужно, напишите.

1. Сначала находите, чему равен 1 процент в исходном интервале: (60-40) / 100 = 0.2.
2. Затем находите величину искомого интервала: 50-40 = 10.
3. Находите величину искомого интервала в процентах: 10 / 0.2 = 50%

Удачи!

Пригласить эксперта


  • Показать ещё
    Загружается…

18 мая 2023, в 23:42

1800 руб./за проект

18 мая 2023, в 22:57

500 руб./за проект

18 мая 2023, в 19:39

5000 руб./за проект

Минуточку внимания

Источник

При обработке большого числа экспериментальных данных их предварительно группируют и оформляют в виде так называемого Интервального ряда.

Пример 1. Средняя месячная зарплата за год каждо­го из пятидесяти случайно отобранных работников хо­зяйства такова:

317 304 230 285 290 320 262 274 205 180 234 221 241 270 257 290 258 296 301 150 160 210 235 308 240 370 180 244 365 130 170 250 370 267 288 231 253 315 201 256 279 285 226 367 247 252 320 160 215 350.

Здесь переменной величиной X является средняя месячная зарплата. Как видно из приведенных данных, наименьшее значение величины Х равно 130, а наи­большее — 370. Таким образом, диапазон наблюдений представляет собой интервал 130 – 370, длина которого равна 370 – 130 = 240.

Разобьем диапазон наблюдений на части (разряды) Так, чтобы каждый разряд содержал несколько экспе­риментальных данных. Например, разделим интервал 130 – 370 на 6 равных частей, тогда длина каждого раз­ряда будет 40. Границами разрядов будут числа 130, 170, 210, 250, 290, 330, 370 (рис. 3).

Подсчитаем число значений, попавших в каждый разряд. Например, в первый разряд попадают следующие числа: 150 (1 раз), 160 (2 раза), 130 (1 раз), 170 (1 раз). Поскольку число 170 находится на границе между пер­вым и вторым разрядами, мы включим его и в первый и во второй разряды, но с кратностью 1/2. Сложив кратно­сти, мы получим Абсолютную частоту первого разряда:

M1 = 1 + 2 + 1 + 0,5 = 4,5.

Разделив абсолютную частоту на число П всех наблюде­ний, получим Относительную частоту Попадания величины Х в первый разряд:

Проделав вычисления для всех разрядов, мы полу­чим следующую таблицу.

Таблица 6

Здесь Mi — абсолютные частоты, — относитель­ные частоты. Табл. 6 называется Интервальным рядом.

Сумма всех абсолютных частот равна числу всех приведенных в табл. 6 значений переменной величины:

4,5 + 5 + 12 + 14,5 + 9 + 5 = 50.

Это свойство используется для проверки правильности вычислений. Из него следует, что сумма всех относи­тельных частот равна единице:

0,09 + 0,10 + 0,24 + 0,29 + 0,18 + 0,10 = 1.

Интервальный ряд изображают графически в виде Гистограммы, которая строится так. Сначала вычисляют плотности частот H1, H2, H3, … , разделив относительную частоту каждого разряда на его длину:

Затем выбирают на плоскости систему координат и откладывают на оси Х значения 40, 80, 120, … , соответ­ствующие границам разрядов. На каждом из отрезков длины 40, как на основании, строят прямоугольник, высота которого равна плотности частоты соответствую щего разряда. Полученная фигура и называется Гисто­граммой. Она изображена на рис. 4.

Заметьте, что высоты H1, H2, … , H6 прямоугольников, образующих гистограмму, выбраны так, что их площади будут , т. е. равны соответствующим отно­сительным частотам. Отсюда вытекает такое правило:

Для того, чтобы найти долю тех значений величи­ны. X, которые попадают в некоторый интервал, нужно найти площадь той части гистограммы, основанием которой является данный интервал.

Определим, например, долю значений величины X, Принадлежащих интервалу 210 – 300. Для этого вычислим площадь фигуры с основанием 210 – 300 (на рисунке она выделена штриховкой). Площади первых двух прямоуголь­ников, составляющих фигуру, равны соответственно = 0,24 и = 0,29; площадь третьего равна 10 • 0,0045 = 0,045. Сумма площадей 0,24 + 0,29 + 0,045 = 0,575 и дает нужное число. Иными словами, 57,5% значений величины Х находится в границах от 210 до 300.

Как мы заметили в начале параграфа, интервальный ряд составляют при обработке больших массивов ин­формации. В таких случаях, как правило, отдельные значения величины Х не фиксируются, а подсчитывает­ся количество ее значений, попавших в каждый разряд (т. е. абсолютные частоты). Поэтому исследователь не знает отдельных значений наблюдаемой величины Х и не может воспользоваться формулами (1), (5) и (7) для вычисления среднего арифметического, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Но приближен­ное значение этих числовых характеристик можно най­ти с помощью интервального ряда. Для этого сначала находят середины разрядов: (здесь K — Число всех разрядов интервального ряда); затем прово­дят вычисления по следующим формулам:

Результаты расчетов по данным табл. 6 сведены в сле­дующую таблицу:

Таблица 7

В первом столбце записаны номера разрядов, во вто­ром — числа (середины разрядов), в третьем — произведения , и т. д. Таблица заполняется по столбцам. Середину разряда вычисляем как полусумму его границ:

Согласно формуле (8), сумма чисел третьего столбца да­ет среднее арифметическое = 256,8. Оно записано в последней строке этого столбца. Сумма чисел последнего столбца равна дисперсии D = 3113,75 [см. формулу (9)]. Наконец, по формуле (10) определяем среднее квадратическое отклонение S = = 55,80.

Интервальный ряд, гистограмма и числовые характеристики, найденные по формулам (8)—(10), составляют Математическую модель средней заработной платы. Она используется при проведении различных социологи­ческих исследований, например, при определении уров­ня жизни работников какой-либо отрасли.

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Для проведения демографических исследований выбрали 50 семей и получили следующие данные о ко­личестве членов семьи:

2 5 3 4 1 3 6 2 4 3 4 1 3 5 2 3 4 4 3 3 2 5 3 4 4

3 3 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 6 3 2 3 1 6 4 3 3 2 1 7.

Укажите переменную величину; составьте табл. 5; найдите числовые характеристики — среднее арифмети­ческое, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2. Управление сельского хозяйства Дрюковского района представило сводку по пятидесяти хозяйствам. Согласно этой сводке, урожайность ржи в них составила (в центнерах с гектара):

17.5 17.8 18.6 18.3 19.1 19.9 20.6 20.1 22 21.4 17.5 18.5 19 20 22 20.6 19.1 18.6 17.9 19.1 22 19 17.5 22 22.6 21 21.4 19 17.8 18.3 19.9 20.1 21.4 18.5 20 20.6 18.6 21.4 21 20 20 18 18 18 17.5 18.6 19.1 20.6 17.5 18.6 .

Постройте интервальный ряд (табл. 6), гистограмму, составьте табл. 7 и по формулам (8)-(10) найдите число­вые характеристики — среднее арифметическое, диспер­сию, среднее квадратическое отклонение.

< Предыдущая   Следующая >
Источник

Решения задач на построение доверительных интервалов

Тема построения интервальных оценок очень важна и изучается в любом курсе математической статистике. В этом разделе мы рассмотрим решения задач на построение интервалов для среднего, дисперсии, СКО и вероятности с заданным уровенем доверительной вероятности.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Примеры решений онлайн

Пример 1. По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.

Пример 2. Строительная компания хочет оценить среднюю стоимость ремонтных работ, выполняемых для клиентов. Каким должен быть объем выборки среди 1200 клиентов строительной фирмы, если среднее квадратическое отклонение по результатам пробного обследования составило 850 у.е., а предельная ошибка выборки не должна превышать 200 у.е. с вероятностью 0,95?

Пример 3. Из партии объемом 500 однородных товаров для проверки по схеме случайной бесповторной выборки отобрано 70 товаров, среди которых оказалось 56 небракованных. Найдите вероятность того, что доля бракованных товаров во всей партии отличается от полученной доли в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине), а также границы, в которых с надежностью 0,96 заключена доля бракованных товаров во всей партии.

Пример 4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания $a$ нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю $=75.12$, объем выборки $n=121$ и среднее квадратическое отклонение $sigma=11$.

Пример 5. По группе семей с доходом 154 руб./чел. зафиксированы следующие цифры потребления молока за месяц (на одного человека): 8,3; 8,6; 8,7; 8,8; 9,1; 9,3; 9,4; 13,4; 13,5; 13,8; 13,9; 14,1; 14,3. Найти доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии с надежностью 0.95, дать точность оценки. Выборка произведена из нормальной совокупности.

Пример 6. По данным выборочного контроля найти выборочные математическое ожидание и дисперсию нормальной случайной величины $xi$. Найти доверительные интервалы для них, соответствующие доверительной вероятности 0,9.

Пример 7. С целью размещения рекламы опрошено 420 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 170 человек. С доверительной вероятностью $gamma=0,91$ найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.

Пример 8. Построить доверительный интервал для математического ожидания $a$ нормально распределенной генеральной совокупности с известным среднеквадратичным отклонением $sigma=6$ с помощью выборки объема $n=36$ с данным средним выборочным 75.17, с заданной надежностью 0.90.

Нужно решить задачи по доверительным интервалам?

Полезные ссылки

  • Таблицы и формулы
  • Решение задач на заказ
  • Ссылки на учебники
  • Решенные контрольные

Ищете решение задания по доверительным интервалам? Найдите свое или похожее тут:

Источник

Добавить комментарий